導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用函數(shù)的極值ppt課件

1、利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)的單調(diào)性的根本步驟為利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)的單調(diào)性的根本步驟為: :求函數(shù)的定義域求函數(shù)的定義域; ;求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ; ;)(xf 解不等式解不等式 0 0得得f(x)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間的單調(diào)遞增區(qū)間; ; 解不等式解不等式 0 0).x1=-a,x2=a(a0).0)( xf當(dāng)當(dāng)x x變化時(shí)變化時(shí), ,f(x), ,f(x)的變化情況如下表的變化情況如下表: :)(xf 練習(xí)練習(xí):求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值.216xxy 解解:.)1 ()1 ( 6222xxy 令令 =0,解得解得x1=-1,x2=1.y 當(dāng)當(dāng)x變化時(shí)變化時(shí), ,y的變化情況如下表的變

2、化情況如下表:y x-,-1 -1-1,1 1 2,+ y - 0 + 0 - y 極大值極大值-3 極小值極小值3 因此因此,當(dāng)當(dāng)x=-1時(shí)有極大值時(shí)有極大值,并且并且,y極大值極大值=3;而而,當(dāng)當(dāng)x=1時(shí)有極小值時(shí)有極小值,并且并且,y極小值極小值=- 3.課本課本P130 P130 練習(xí)練習(xí)1.1.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=fy=fx x在在x0 x0及其附近有定義及其附近有定義, ,假設(shè)假設(shè)f fx0 x0的值比的值比x0 x0附近一切各點(diǎn)的函數(shù)值都大附近一切各點(diǎn)的函數(shù)值都大, ,我們說我們說f fx0 x0是函數(shù)是函數(shù)y=fy=fx x的一個(gè)極大值的一個(gè)極大值; ;假設(shè)假設(shè)f fx0 x0的

3、值比的值比x0 x0附近一切各點(diǎn)的函數(shù)值附近一切各點(diǎn)的函數(shù)值都小都小, ,我們說我們說f fx0 x0是函數(shù)是函數(shù)y=fy=fx x的一個(gè)極小值的一個(gè)極小值. .極大值與極大值與極小值統(tǒng)稱極值極小值統(tǒng)稱極值. .2.2.當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)f fx x在在x0 x0處延續(xù)時(shí)處延續(xù)時(shí), ,判別判別f fx0 x0是極大小值的是極大小值的方法是方法是: :(1):(1):假設(shè)在假設(shè)在x0 x0附近的左側(cè)附近的左側(cè) 那么那么,f(x0),f(x0)是是極大值極大值; ;( ) 0,( ) 0,f xf x右右側(cè)側(cè) (2): (2):假設(shè)在假設(shè)在x0 x0附近的左側(cè)附近的左側(cè) 那么那么,f(x0),f(x0)

4、是是極小值極小值. .( ) 0, ( ) 0,f xf x右右側(cè)側(cè)3.3.了解函數(shù)極值的定義時(shí)應(yīng)留意了解函數(shù)極值的定義時(shí)應(yīng)留意: :1 1函數(shù)的極值是一個(gè)部分性的概念函數(shù)的極值是一個(gè)部分性的概念, ,極值點(diǎn)是區(qū)間內(nèi)部的極值點(diǎn)是區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn)而不會(huì)是端點(diǎn)點(diǎn)而不會(huì)是端點(diǎn). .2 2假設(shè)假設(shè)f fx x在某區(qū)間內(nèi)有極值在某區(qū)間內(nèi)有極值, ,那么那么f fx x在某區(qū)間內(nèi)在某區(qū)間內(nèi)一定不是單調(diào)函數(shù)一定不是單調(diào)函數(shù), ,即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值. .3 3極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系, ,即極大值不一定即極大值不一定比極小值大比極小值大

5、, ,極小值不一定比極大值小極小值不一定比極大值小. .4 4函數(shù)函數(shù)f fx x在某區(qū)間內(nèi)有極值在某區(qū)間內(nèi)有極值, ,它的極值點(diǎn)的分布是有它的極值點(diǎn)的分布是有規(guī)律的規(guī)律的, ,相鄰兩個(gè)極大值點(diǎn)之間必有一個(gè)極小值點(diǎn)相鄰兩個(gè)極大值點(diǎn)之間必有一個(gè)極小值點(diǎn), ,同樣相鄰?fù)瑯酉噜弮蓚€(gè)極小值點(diǎn)之間必有一個(gè)極大值點(diǎn)兩個(gè)極小值點(diǎn)之間必有一個(gè)極大值點(diǎn). .普通地普通地, ,當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)f fx x在某區(qū)間上延續(xù)且有有限極值點(diǎn)時(shí)在某區(qū)間上延續(xù)且有有限極值點(diǎn)時(shí), ,函數(shù)函數(shù)f fx x在該區(qū)間內(nèi)在該區(qū)間內(nèi)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)是交替出現(xiàn)的的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)是交替出現(xiàn)的. .6 6極值只能在函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)或?qū)?shù)為零

6、的點(diǎn)取極值只能在函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)或?qū)?shù)為零的點(diǎn)取到到. .4.4.確定函數(shù)的極值應(yīng)從幾何直觀入手確定函數(shù)的極值應(yīng)從幾何直觀入手, ,了解可導(dǎo)函數(shù)在其定義了解可導(dǎo)函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性與函數(shù)極值的相互關(guān)系域上的單調(diào)性與函數(shù)極值的相互關(guān)系, ,掌握利用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)掌握利用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)極值的根本方法極值的根本方法. .5 5導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件, ,而不是充分條而不是充分條件件. .例例: :知函數(shù)知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+b.(1)f(x)=-x3+ax2+b.(1)假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù)f(x)f(x)在在x=0,x=4x=0,x=4處獲得處獲

7、得極值極值, ,且極小值為且極小值為-1,-1,求求a a、b b的值的值.(2).(2)假設(shè)假設(shè) , ,函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)圖圖象上的恣意一點(diǎn)的切線斜率為象上的恣意一點(diǎn)的切線斜率為k,k,試討論試討論k-1k-1成立的充要條件成立的充要條件 . . 1 , 0 x解解:(1):(1)由由 得得x=0 x=0或或x=4a/3.4a/3=4,a=6.x=4a/3.4a/3=4,a=6.023)(2 axxxf由于當(dāng)由于當(dāng)x0 x0 x0時(shí)時(shí), , 故當(dāng)故當(dāng)x=0 x=0時(shí)時(shí), ,f(x)f(x)到達(dá)極小值到達(dá)極小值f(0)=b,f(0)=b,所以所以b=-1.b=-1. 0)(, 0)( x

8、fxf(2)(2)等價(jià)于當(dāng)?shù)葍r(jià)于當(dāng) 時(shí)時(shí),-3x2+2ax-1,-3x2+2ax-1恒成立恒成立, ,即即g(x)=3x2-2ax-10g(x)=3x2-2ax-10對(duì)一切對(duì)一切 恒成立恒成立. . 1 , 0 x 1 , 0 x由于由于g g0 0=-10,=-10,故只需故只需g g1 1=2-2a0,=2-2a0,即即a1.a1.反之反之, ,當(dāng)當(dāng)a1a1時(shí)時(shí),g(x)0,g(x)0對(duì)一切對(duì)一切 恒成立恒成立. . 1 , 0 x所以所以,a1,a1是是k-1k-1成立的充要條件成立的充要條件. . 223( )(2).f xxx求求函函數(shù)數(shù)例例的的極極值值(:( ),)f x 的的定定

9、義義域域?yàn)闉榻饨?)2(3)1 (4)(xxxxf1, 0)(xxf解得令.)(,20不存在時(shí)及當(dāng)xfxx:)(),(, 2, 1, 0的變化情況如表將定義域分成四個(gè)區(qū)間由xfxfxxx1)(1; 0)(,20極大值極小值時(shí)當(dāng)時(shí)或當(dāng)xfxxfxx x-, 0 00,111,2 22,+ fx- 不存在不存在 +0 -不存在不存在 + fx 極小值極小值0 極大值極大值1 極小值極小值0 例例:知函數(shù)知函數(shù) f(x)滿足條件滿足條件:當(dāng)當(dāng)x2時(shí)時(shí), ;當(dāng)當(dāng) x2,由條件可知由條件可知 ,即即:2 x0)(2 xf; 02)()(2 xxfxg當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),x20,列表如列表如下下: x -1 -1

10、,1 1 + 0 0 0 + fx 極大極大值值 極小極小值值 )(xf )1,( ), 1( 由表可得由表可得 ,即即 . 04) 1 (0) 1(4cbacbaff又又5a=3b,解得解得a=3,b=5,c=2.2假設(shè)假設(shè)a0,列表列表如下如下: x -1 -1,1 1 - 0 0 0 - fx 極小值極小值 極大值極大值 )1,( ), 1( )(xf 由表可得由表可得 ,即即 . 04) 1(0) 1 (4cbacbaff又又5a=3b,解得解得a=-3,b=-5,c=2. 例例:知知f(x)=ax5-bx3+c在在x= 1處有極值處有極值,且極大值為且極大值為 4,極小值為極小值為0.試確定試確定a,b,c的值的值. 練習(xí)練習(xí):函數(shù)函數(shù)fx=x3+ax2+bx+a2在在x=1處有極值為處有極值為 10,求求a、b的值的值.解解: =3x2+2ax+b=0有一個(gè)根有一個(gè)根x=1,故故3+2a+b=0.)(xf 又又f1=10,故故1+a+b+a2=10.由、解得由、解得 或或.33114 baba當(dāng)當(dāng)a=-3,b=3時(shí)時(shí), ,此時(shí)