幾種求極限方法及總結

1、幾種求極限方法及總結幾種求極限方法的總結摘 要極限是數(shù)學分析中的重要概念，也是數(shù)學分 析中最基礎最重要的內容.通過幾對求極限的學習 和深入研究，我總結出十二種求極限的方法. 關鍵詞 定義 夾逼定理 單調有界 無窮小 洛必 達泰勒公式 數(shù)列求和定積分 定積分數(shù)列1用定義求極限M根據(jù)極限的定義：數(shù)列£ 收斂O % Vw0, m N w N +,當nN時，有此f .例1用定義證明您曲=1證明：Vw>0,要使不等式是 vw>o,m n=2利用兩邊夾定理求極限川例2求極限limj=!<£成立：解得n>丄-1，取"=77 + 1£=1x n

2、+ 11 14 z + r + ,-廣 + 2、/+ 3Vn + 7?；解：設"估丄1 1+ (:ln2 +n則有：>1+1+jir +n yj/r +n同時有沖h沖hR耐，于n «nn'于是喬由 y/n2 +n < >/«2 +2/7 + 1 =n + l. /,+i > 后=n.亠 nnn n有<$<cn< 廠<- = ln +1 yn2 +nV/7+1 n.已知：lim = 1lim I , 1+ ,】+ ,丨 + ,】=1“ n +1T yln2+ yln2+2 V/r+3 后 + n3利用函數(shù)的單調

3、有界性求極限E實數(shù)的連續(xù)性定理：單調有界數(shù)列必有極限.例 3 設x = yfa , x2 = yja + y/a ,x” = J" + Jd +需(n=l, 2, .) (d>0), 求 lim x;r->x解：顯然b”是單調增加的。我們來證明它是有界的.易見x2 = yja + Xi , x3 = J Cl + 尤2 ，X” = Jd + 兀_1 ，.從而xn2 =a + xil_lf顯然心是單調增加的，所以易：<d + X"兩段除以©，得 "V上+ 1n石需+ 1這就證明了 ©的有界性設心，對等式兀；=(/ + “ 兩邊去

4、極限，則有l(wèi)imx： = 6/ + lim A；f_1f *>,g M t / + j4" + 1=>/=/+"解得心-4利用無窮小的性質求極限也關于無窮小的性質有三個，但應用最多的性質是：若函數(shù)f(X)(XTd)是無窮小， 函數(shù)g(x)在U (a77)有界，貝！J函數(shù)f (x)*g(x)(XT“)是無窮小.例 求極限 lim (cosa/x+T-cosJx)解 4 COS Jx+ 1 一 COS yx一 2sin(早+ f)sin(竿£)2 2 2 2而 lim = 0,故 lim= 0itx2(Jx + 1 + Jx)f 25應用“兩個盧要極限”求

5、極限lim 竺丄= l,lim(l +丄)"=ex->0 xv->xx例 5 求 liin(siii + cos)y x xsin 二. (sin + cos -)v = (sin + cos )2 XX(1 +sin ?嚴x:原式=lim (1 + sinXT86利用洛必達法則求極限匕】7tarctanxn例6求lim-(-) KT8. 10sin x7t1一 arc tanx一解: lim 丄=lim 一J + 入，=1. 1川 TH11sincosX2X例7求極限lim-(-)J tan 3x sr tanx limtan 3x(tanx)*(cos3x)'

6、 -6cos3xsin 3x ie sin 6x ” 6cos6x -6Inn= lim = lim= Inn= lim=3(tan3x)*3(cosx) A -6cosxsinxsin 2x 2cos2x -22 2 2 2 27利用泰勒公式求極限例8：求極限Umlim ,人"fx VI + xsin x 一 yjcosx,"2中分子為宀將各函數(shù)展開到含/項。當 XTO 時l-cosx = 2x2 +O(x2),xsinx = x2 +0(x2).而COSX = J1 - (1 -COSX)= ( _ £X，+ 0(")= + £-x1 +0

7、(x2) +O(x2)=l-x2 +0(x2)24%/1 + xsinx = Jl + x2 +0(x2) = 1 + x2 + 0(x2)2X2 原式;=limT82*>1.1-"72+0(，) 48利用數(shù)列求和來求極限匕】有時做一些求極限的題時，若對原函數(shù)先做一些變形, 程簡便些。例9：求極限lim（； + * +蘭二）r 22-2Q 人 132/2 -1 mtT 1135解：令兀石+去+丁則產(chǎn)二歹+歹+歹化簡之后再利用極限性質去求極限過2/1-1+1 1 1 1 121112S" 一*+ 歹 +*戸- 2+_/i-i(j y11 * 2丿2 1-12從而1)2&

8、gt;1-s“T + j1 2J' 1、：.原式=limn->»川一1=3V1 + xsin x 一 yjcosx9用定積分求和式的極限習例1。設函數(shù)訕在0,吐連續(xù)，且心。，求臥用）用）/（孚）疋）121解令 T=lim;/(./()/(© 于是 “i V u nn n121 1 2 lnT=-lnn弓叫)匕卜心W訃+1B疋)" k 1!而 talnT = flimgln/(-).- = Jln/W所以輒/(扣G)n/( )/(-) = In f(x)dx10利用定積分求極限利用定積分求極限可分為以下兩種形式(1) lim 匕匕型.n定理1設f(x)

9、在0,1上可積，則有:liniICQn舁hnn1= f(x)dx0123 n111- H例12求limE”蟲n123xdx- 211+ + 解：設f (x)=x,f(x)在0上可積。則lim ""”(2) lim qx V n n n定理2設f(x)在。上可積則有輒侶莎石5卜心 例13求lim亠仝“TOC jj解：lim = lim"fOC fj"TOO=exp令 f (x) =x,則有 lim - = lim 芒n->x /J RTR11利用數(shù)列的遞推公式求極限閃這種方法實際上包含有兩種方法(1)利用遞推關系求出通項公式，然后求極限。這是基本的解

10、法，它把極限的存在性與求 極限問題一起解決.例 14 設"產(chǎn) 1, 4=2, 3。”+2-4“”+=0 ( n > 1),求 lima解：遞推公式可化為3 ( %2 %)= % J設所以 >/?! =a2-a=1那么仇+1 _ 1仇 3將以上各式相加得 d”-q = 1 +訂+尹1n-2TT5_£22丄=> Um alt =-3"2 i “2(1)如果數(shù)列極限存在設為A,則根據(jù)遞推公式求出A.令數(shù)列的第n項記為A+“”，利用無窮小和極限的關系，只需證明血TO Sts),便可確定數(shù)列的極限確實存在且就 為A.例15證明數(shù)列2, 2+；, 2+丄，極

11、限存在并求出這個極限旦22 +丄2解：由題意知遞推關系為嚴2 +丄，若數(shù)列的極限存在并設為A,則22+丄心A=1 +、伍+ 0十有遞推關系得1+逅+ 0卄=2 +1 + " + 0/T0(1-血)1 + 血 + 0JI因為卩n = C _ ( +) = 2 +_ ( + V2 ) = 1 V2 d<|a 但 2=1+ 邁+ 0= A =1->/2 ,所 以n卩卩4 即|0”|tO(”too)由此推出數(shù)列的極限存在并且就為1+血12利用級數(shù)收斂的必要條件求極限山當計算的題目形式很復雜時，可以作一個級數(shù)，看其是否收斂再根據(jù)收斂的必要條件計算 極限.收斂的必要條件：若級數(shù)£知收斂，則"TO”Sts）n-l解：作級數(shù)坊,令需=lim77 + 171=1=lim = 0 < 1 n* n +1有達朗貝爾判別法知f 4-收斂又有