[精選]初中數(shù)學(xué)最值題解法小結(jié)--資料

1、初中數(shù)學(xué)最值題解法小結(jié)在中學(xué)數(shù)學(xué)題中，最值題是常見題型，圍繞最大（?。┲邓龅臄?shù)學(xué)題是各種各樣，就其解法，主要為以下幾種：一. 二次函數(shù)的最值公式二次函數(shù) y ax2bx c （a、b、c 為常數(shù)且 a 0）其性質(zhì)中有若 a0 當(dāng) xb 時， y 有最小值。 ymin4acb2；2a4a若 a0 當(dāng) xb 時， y 有最大值。 ymax4acb 2。2a4a利用二次函數(shù)的這個性質(zhì)，將具有二次函數(shù)關(guān)系的兩個變量建立二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，從而達(dá)到解決實(shí)際問題之目的例 1. 某玩具廠計(jì)劃生產(chǎn)一種玩具熊貓，每日最高產(chǎn)量為 40 只，且每日產(chǎn)出的產(chǎn)品全部售出， 已知生產(chǎn) x 只玩具熊貓的

2、成本為 R（元），售價(jià)每只為 P（元），且 R、P 與 x 的關(guān)系式分別為 R50030x ， P1702x 。（ 1）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時，每日獲得的利潤為 1750 元；（2）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？解：（1）根據(jù)題意得1750PxR(170 2 x) x(50030x) 1750整理得 x 2x11250解得 x17025 ， x245 （不合題意，舍去）（2）由題意知，利潤為Px R2x2140x 5002 x35 2 1950()所以當(dāng) x35時，最大利潤為 1950 元。二 . 一次函數(shù)的增減性一次函數(shù) y kx b( k0)的自變量 x 的取值范圍是全體實(shí)數(shù)

3、， 圖象是一條直線，因而沒有最大（?。┲?；但當(dāng)mxn 時，則一次函數(shù)的圖象是一條線段，根據(jù)一次函數(shù)的增減性，就有最大（?。┲?。例 2. 某工程隊(duì)要招聘甲、乙兩種工種的工人 150 人，甲、乙兩種工種的工人的月工資分別是 600 元和 1000 元，現(xiàn)要求乙種工種的人數(shù)不少于甲種工種人數(shù)的 2 倍，問甲、乙兩種工種各招聘多少人時可使得每月所付的工資最少？解：設(shè)招聘甲種工種的工人為x 人，則乙種工種的工人為 (150x) 人，由題意得：150x 2x所以 0 x50設(shè)所招聘的工人共需付月工資y 元，則有：y600x 1000(150x)400x 150000（ 0 x50）因?yàn)?y 隨 x 的增大

4、而減小所以當(dāng) x 50時， ymin130000 （元）三. 判別式法例 3. 求 x 2x1 的最大值與最小值。x 2x1分析：此題要求出最大值與最小值，直接求則較困難，若根據(jù)題意構(gòu)造一個關(guān)于未知數(shù) x 的一元二次方程；再根據(jù)x 是實(shí)數(shù)，推得0，進(jìn)而求出 y 的取值范圍，并由此得出y 的最值。解：設(shè) x 2x1y ，整理得 x 2x 1 yx2yx yx 2x1即 (1 y) x2(1 y) x1 y0因?yàn)?x 是實(shí)數(shù)，所以0即 (1 y) 24(1 y) 20解得 1y33所以 x2x1 的最大值是3，最小值是 1 。x2x13四.構(gòu)造函數(shù)法“最值”問題中一般都存在某些變量變化的過程，因此

5、它們的解往往離不開函數(shù)。例 4.求代數(shù)式 x1x2 的最大值和最小值。解：設(shè) yx 1x 2 ，1 x 1，再令 xsin，則有122y x 1x 2sin1sin 2sincossin 21 ，最小值為12所以得 y 的最大值為五.22利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，顯然有 a 2b 2kk ，當(dāng)且僅當(dāng) ab 0 時，等號成立，即 a 2b 2k 的最小值為 k。abb 2ab 的最小值為例 5.設(shè) a、b 為實(shí)數(shù)，那么 a2_。解： a2b22ababa2b22(b1)a2b(ab 1) 23 b23 b12424(ab 1) 23 (b 1) 21124當(dāng) ab10 ， b 10 ，即 a

6、0，b1 時，21。上式等號成立。故所求的最小值為六 . 零點(diǎn)區(qū)間討論法例 6. 求函數(shù) y | x 1| | x 4| 5 的最大值。分析：本題先用“零點(diǎn)區(qū)間討論法”消去函數(shù) y 中絕對值符號，然后求出 y 在各個區(qū)間上的最大值，再加以比較，從中確定出整個定義域上的最大值。解：易知該函數(shù)有兩個零點(diǎn) x1、 x4當(dāng) x4 時y( x 1)( x 4) 5 0當(dāng) 4 x 1時y( x 1) ( x 4) 52x 8當(dāng) 4 x 1得10y2x80當(dāng) x1時， y(x1)( x4)510綜上所述，當(dāng) x4 時， y 有最大值為 ymax0七.利用不等式與判別式求解在不等式 xa 中， xa 是最大值

7、，在不等式 xb 中， xb 是最小值。例 7.已知 x、y 為實(shí)數(shù)，且滿足 xym5 ， xy ymmx3，求實(shí)數(shù) m最大值與最小值。解：由題意得xy5 mxy3 m(x y) 3 m(5 m)m25m3所以 x、 y 是關(guān)于 t的方程 t 2(5m t(m2m3)0的兩實(shí)數(shù)根，)5所以(5) 24(m253)0mm即 3 210130mm13解得1m3m 的最大值是 13 ，m的最小值是 1。 3八 . “夾逼法”求最值在解某些數(shù)學(xué)問題時，通過轉(zhuǎn)化、變形和估計(jì)，將有關(guān)的量限制在某一數(shù)值范圍內(nèi)，再通過解不等式獲取問題的答案，這一方法稱為“夾逼法” 。例 8. 不等邊三角形ABC 的兩邊上的高

8、分別為4 和 12 且第三邊上的高為整數(shù)，那么此高的最大值可能為 _。解：設(shè) a、b、c 三邊上高分別為 4、 12、h因?yàn)?2S ABC4a12b ch ，所以 a 3b又因?yàn)?c ab4b ，代入 12b ch得 12b 4bh，所以 h 3又因?yàn)?cab2b ，代入 12bch得 12b 2bh ，所以 h 6所以 3<h<6，故整數(shù) h 的最大值為 5。求最值問題最值型應(yīng)用問題經(jīng)常出現(xiàn)在近幾年的中考試卷中。這類問題貼近生活、貼近社會，有利于體現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文價(jià)值和社會價(jià)值，有利于考查學(xué)生的分析、猜想、建模和綜合應(yīng)用等各方面的能力。本文舉幾例求最值的問題。利用一次函數(shù)的性質(zhì)來求最

9、值問題對于一般的一次函數(shù)，由于自變量的取值范圍可以是全體實(shí)數(shù)，因此不存在最大最小值（簡稱“最值” ），但在實(shí)際問題中，因題目中的自變量受到實(shí)際問題的限制，所以就有可能出現(xiàn)最大或最小值。求解這類問題除正確確定函數(shù)表達(dá)式外，利用自變量取值范圍可以確定最大值或最小值。例、（ 2008 年泉州市初中學(xué)業(yè)質(zhì)量檢查）紅星服裝廠準(zhǔn)備生產(chǎn)一批A、 B兩種型號的演出服，已知每小時生產(chǎn)A 型演出服比 B 型演出服少 2 套，且生產(chǎn)18 套 A 型演出服與生產(chǎn) 24 套 B 型演出服所用的時間相同。設(shè)該廠每小時可生產(chǎn) A 型演出服 a 套，用含 a 的代數(shù)式表示該廠生產(chǎn)24 套B 型演出服所用的時間；求出a 的值。

10、若該廠要在8 小時之內(nèi)（含 8 小時）先后生產(chǎn) A、 B 兩種型號的演出服 50套，且生產(chǎn)一套 A、 B 兩種型號的演出服可得利潤分別為 40 元和 30 元，問應(yīng)如何安排生產(chǎn) A、B 兩種型號的演出服的套數(shù)，才能使獲得的總利潤最大？最大的總利潤是多少元？分析：（） 242或 18aa 2418 解得 a 6a2 a（）設(shè)生產(chǎn) A 型演出服 x 套，依題意得x50 x8，解得 x42 。W利潤 40x 30 50 x 10x150068W利潤是 x 一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的增減性 k10 0 W隨 x 的增大而增大， x42 ，當(dāng) x42 時， W利潤有最大值 10 42 15001920例

11、某房地產(chǎn)開發(fā)公司計(jì)劃建A、B 兩種戶型的住房共80 套，該公司所籌資金不少于 2090 萬元，但不超過2096 萬元，且所籌資金全部用于建房，兩種戶型的建房成本和售價(jià)如下表：AB(1) 該公司對這兩種戶型住房有哪幾種建房方案 ?成本( 萬元 / 套)2528(2) 該公司如何建房獲得利潤最售價(jià)( 萬元 / 套)3034大 ?(3) 根據(jù)市場調(diào)查，每套 B 型住房的售價(jià)不會改變，每套 A 型住房的售價(jià)將會提高 a 萬元 ( a>0)，且所建的兩種住房可全部售出，該公司又將如何建房獲得利潤最大 ?注：利潤 =售價(jià) - 成本分析： (1) 設(shè) A種戶型的住房建 x 套，則 B 種戶型的住房建

12、(80- x) 套，根據(jù)題意：該公司所籌資金不少于 2090 萬元，但不超過 2096 萬元，可列出兩個不等式，解不等式組，即可求出 x 的取值范圍，進(jìn)而確定 x 的正整數(shù)值 . (2) 根據(jù)一次函數(shù)的增減性解決 . (3) 要應(yīng)用分類討論的數(shù)學(xué)思想 . 從而做到不重復(fù)不遺漏 , 注意思維的縝密性 .解析： (1) 設(shè) A種戶型的住房建x 套，則 B 種戶型的住房建 (80- x) 套由題意知 209025x+28(80- x) 209648 x50 x 取非負(fù)整數(shù)， x 為 48，49， 50 有三種建房方案：A型 48套，B型 32 套；A型 49 套，B型 31 套；A型 50 套，B型

13、 30 套(2) 設(shè)該公司建房獲得利潤 ( 萬元 ) 由題意知 =5x+6(80- x)=480- x 當(dāng) x=48 時，最大 =432(萬元 )即 A 型住房 48 套， B 型住房 32 套獲得利潤最大(3) 由題意知 =(5+ a) x+6(80- x)=480+( a-1) x 當(dāng) O<a<l 時，x=48，最大，即 A 型住房建 48 套， B 型住房建 32 套當(dāng) a=l 時， a-1=0 ，三種建房方案獲得利潤相等當(dāng) a>1 時， x=50，最大，即 A 型住房建 50 套，B 型住房建 30 套.答: 略.說明 : 此題的第 (1) 問是利用一元一次不等式組解

14、決的 , 第(2) 、(3) 問是利用一次函數(shù)的增減性解決問題的 , 要注意三問相互聯(lián)系 .二、利用反比例函數(shù)的性質(zhì)來求最值問題例：一名工人一天能生產(chǎn)某種玩具至個，若每天須生產(chǎn)這種玩具個，那么須招聘工人多少名？分析：這是一道反比例函數(shù)模型的應(yīng)用題，這里是常量。設(shè)每人每天生產(chǎn) x 個玩具，需要工人 y 名。則有 y400 。（ x5 ，且 x 為整數(shù)）當(dāng) x0 時， y 隨 x 的增大而減小，x 400y400 ，即 80y 133 1533 y 為正整數(shù)， y 取至。即須招聘工人為80 至 134 人。三、利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值問題對于某些與二次函數(shù)有關(guān)的實(shí)際問題，如果我們能夠?qū)?shí)際問題抽象為二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，建立起二次函數(shù)的關(guān)系式，應(yīng)用二次函數(shù)最值性質(zhì)，可以解決許多實(shí)際問題。例將進(jìn)貨單價(jià) 40 元的商品按 50 元一個售出時，能賣出 500 個，若此商品每個漲價(jià) 1 元，其銷售量減少 10 個，為了賺到最大利潤， 售價(jià)應(yīng)定為多少？解：設(shè)利潤為 y 元，每個售價(jià)為 x 元，則每個漲（ x 50）元，從而銷售量減少 10