高等數(shù)學(xué)：深度思維訓(xùn)練討論題25a一致收斂級數(shù)與含參變量的積分

1、品味數(shù)學(xué)（觀察、發(fā)現(xiàn)，試探，整理，品味），提高思維討論題25 （選修內(nèi)容）1、討論在中的一致收斂性解 當(dāng)時，積分以為惟一的瑕點，由于當(dāng)時，而積分是收斂的，故由M判別法，積分在上是一致收斂的。2、設(shè)是上的正值連續(xù)函數(shù)，討論的連續(xù)性。解 因為當(dāng)時在上連續(xù)，所以當(dāng)時，連續(xù)。當(dāng)時。但當(dāng)時，由在上的連續(xù)性，在上必有最小值，使，而，從而存在，當(dāng)時有，即，所以在處間斷。3、求下列含參變量的積分所確定的函數(shù)的極限：（1）；（2）；（3）解 （1）設(shè)。因為連續(xù)，所以當(dāng)時，是連續(xù)的。故；（2）設(shè)，顯然當(dāng)時，是連續(xù)的。故；（3）設(shè)，顯然當(dāng)時，是連續(xù)的。故4、計算積分（1）；（2）；（3）；（4）；（5）解 （1）令

2、，則，且在上連續(xù)，從而滿足積分號下求導(dǎo)數(shù)的條件，故進(jìn)而但根據(jù)牛頓萊布尼茨公式，故（2）設(shè)，則，令，則，所以，因；（3）設(shè)，則，令，則在上連續(xù)，所以由含參變量正常積分的可積性定理，有；（4），令，則在上連續(xù)，所以由含參變量正常積分的可積性定理，有；（5）設(shè)，因為所以為連續(xù)函數(shù)且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，從而可在積分號下求導(dǎo)數(shù)，。于是，但，故5、設(shè)，求解 令，其中為參變量。由含參變量積分的求導(dǎo)公式，得而故6、設(shè)為可微函數(shù)，試求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)（1）；（2）解 （1），；（2）若，則若，不妨設(shè)，則，同理，若，時，有7、求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，其中為可微函數(shù)解8、計算解 令在上連續(xù)，且也在上連續(xù)。應(yīng)用積分號下求導(dǎo)的性質(zhì)

3、，可得，令時，有，積分得由的連續(xù)性，上述表達(dá)式對也成立。在原式中令，則，從而。因此。9、求解 由于，故不是瑕點。又，令在上連續(xù)。利用交換積分次序性質(zhì)，10、證明：在上連續(xù)證 ，當(dāng)時，有由M判別法知，關(guān)于是一致收斂的。由此以及一致收斂的定義知，關(guān)于也是一致收斂的。于是在上連續(xù)。再由的任意性，知在上連續(xù)。11、計算積分（利用歐拉-普啊桑積分）解 利用分部積分，有12、計算下列積分：（1）；（2）解 （1）設(shè)，則，由于當(dāng)時一致收斂（因為，而收斂），所以可以交換積分次序。即；（2）設(shè)，由余在區(qū)域上連續(xù)，因為，而收斂，從而有一致收斂。利用，可以交換積分順序。即13、證明：證 利用函數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)，有，為

4、正整數(shù)。從而，（由余元公式）即得14、在上處處收斂，但非一致收斂。證 由于，故在上處處收斂于0。取，對，有，因此在上非一致收斂。15、證明：若函數(shù)列在D上一致收斂于，則函數(shù)列在D上一致收斂于。證 由于在D上一致收斂于，由定義知對，使得，總有，又，從而對上述任意的，使得，總有。由一致收斂的定義在D上一致收斂于。16、證明：級數(shù)在上不一致收斂。證 級數(shù)的前項和于是，故級數(shù)在上收斂于但。故在處間斷。由一致收斂的函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)，推知：級數(shù)在上不一致收斂。17、證明：在區(qū)間上有二階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，并且計算證 因為，且收斂，由M判別法知，級數(shù)在區(qū)間上一致收斂。再由一致收斂函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)，得知在區(qū)間上有一階

5、連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，且在區(qū)間上也一致收斂。再由一致收斂函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)，得知在區(qū)間上有二階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)。從而。18、設(shè)，計算積分 解 因為收斂，由M判別法知，級數(shù)在區(qū)間上一致收斂，再由一致收斂函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)，將在上積分得19、設(shè)級數(shù)為，證明：（1）該級數(shù)的收斂域為；（2）該級數(shù)在內(nèi)內(nèi)閉一致收斂；（3）該級數(shù)的和函數(shù)在內(nèi)連續(xù)。證 （1）因為，當(dāng)時，級數(shù)絕對收斂；當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時因，級數(shù)也發(fā)散；該級數(shù)的收斂域為；（2），當(dāng)時，由于而收斂，故在上一致收斂，由的任意性,故該級數(shù)在內(nèi)內(nèi)閉一致收斂；（3）對，取適當(dāng)?shù)氖?，由?）知在上一致收斂，故的和函數(shù)在上連續(xù)，因此在點處連續(xù)，由的任意性，該級數(shù)的和函數(shù)在內(nèi)連續(xù)。20、若在上可積，。試證：在上一致收斂。證 由已知，在上有界，即存在，使得。因而對，有，一般地，又收斂，由M判別法，故在上一致收斂。21、如果在上是單調(diào)函數(shù)，且級數(shù)在的端點處絕對收斂。證明：該級數(shù)在上絕對一致收斂（絕對值級數(shù)一致收斂）。證 不妨設(shè)單調(diào)增加，則，令，則，又收斂，由M判別法，故在上絕對一致收斂。22、用積分號下微分法，計算無窮積分解 因為，所以0不是瑕點，函數(shù)與在區(qū)域上連續(xù)，而無窮積分在上一致收斂（因為）。故有從而,令，而由得，從而23、利用歐拉積分計算（1）；（2）；（3）；（4