幾類特殊類型函數(shù)的積分教學(xué)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1幾類特殊類型函數(shù)的積分教學(xué)幾類特殊類型函數(shù)的積分教學(xué)例如： dxxdxxxdxxdxex411, sin, ln1, 2積不出來(lái)！于是，人們就想：是否有某些類型的函數(shù)按照特定的方法就一定能積出來(lái)？答案是肯定的！下面就來(lái)給大家介紹幾類這樣的函數(shù)。第1頁(yè)/共37頁(yè)一. 有理函數(shù)的積分dxxQxP )()(有理函數(shù)：兩個(gè)多項(xiàng)式的商)()(xQxP mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxa 11101110.0, 0),.,2 , 1 , 0( ,),.,2 , 1 , 0( ,00 bamjbniaji且且為常數(shù)，為常數(shù)，其中其中為真分式為真分式時(shí)，稱有理函數(shù)時(shí)，稱有理函數(shù) )()( x

2、QxPmn 為假分式為假分式時(shí)，稱有理函數(shù)時(shí)，稱有理函數(shù) )()( xQxPmn 第2頁(yè)/共37頁(yè)假分式多項(xiàng)式除法多項(xiàng)式+真分式例1123 xxx112 xx計(jì)算步驟：1. 將)()(xQxP化為真分式2. 用待定系數(shù)法將真分式)()(xQxP分解為部分分式之和第3頁(yè)/共37頁(yè)(1)將)(xQ分解為質(zhì)因式之積，即：因式分解(2)(xQ含有因式kax)( 時(shí)，的分解式中就對(duì)應(yīng)著k個(gè)部分分式：kkaxAaxAaxA)(.)(221 )()(xQxP)(xQ含有因式)04( ,)(22 qpqpxxk時(shí)，的分解式中就對(duì)應(yīng)著k個(gè)部分分式：kkkqpxxCxBqpxxCxBqpxxCxB)(.)(222

3、22211 )()(xQxP第4頁(yè)/共37頁(yè)（3）確定系數(shù)),.,2 , 1( ,kiCBAiii 3. 求積分dxax 1dxaxk )(1dxqpxxCBx 2dxqpxxCBxk )(2)04(2 qp)04(2 qp第5頁(yè)/共37頁(yè)dxax 1)(1axdax dxaxk )(1)()(1axdaxk 第6頁(yè)/共37頁(yè)dxqpxxCBx 2dxqpxx 2 )2(px 2B )2(BpC )( 1 2 22qpxxdqpxxB dxpqpxBpC )4()2(1)2(22)( 1 2 22qpxxdqpxxB )2()4()2(1)2(22pxdpqpxBpC 0第7頁(yè)/共37頁(yè)dxq

4、pxxCBxk )(2dxqpxxk )( 2 )2(px 2B )2(BpC )( )( 1 2 22qpxxdqpxxBk dxpqpxBpCk )4()2(1)2(22)( 1 2 22qpxxdqpxxBk ）（)2()4()2(1)2(22pxdpqpxBpCk 0 用遞推公式第8頁(yè)/共37頁(yè)例1 求dxxxx 23132解23132 xxx是真分式232 xx )2)(1( xx設(shè)23132 xxx 1 xA 2 xB即 13x)1()2( xBxA 13xBAxBA 2)(比較系數(shù)，得 3 BA12 BA解得 4 A7 B 23132xxx2714 xx（*）第9頁(yè)/共37頁(yè) d

5、xxxx23132 dxxx)2714( dxxdxx 217114 )1(114 xdx )2(217 xdx |1|ln4 x |2|ln7 xC 另解：在（*）式中，得得取取, 2 xB 7得得取取, 1 xA 44 A 4 A7 B第10頁(yè)/共37頁(yè)例2 )2()1(2xxdx解設(shè) )2()1(12xx2)1(1 xBxA 2 xC即2)1()2()2)(1(1 xCxBxxA取1 x代入得B 11 B取2 x代入得C 1比較2x的系數(shù)，得CA 0CA 1 1 A1 B1 C第11頁(yè)/共37頁(yè) )2()1(12xx2)1(111 xx 21 x dxxx)2()1(12 dxxdxxd

6、xx21)1(1112)2(21)1()1(1)1(112 xdxxdxxdxCxxx |2|ln)11(|1|lnCxxx |2|ln11|1|ln第12頁(yè)/共37頁(yè)例3 dxxxx3243解3243 xxx是真分式 323xx323 xxxx)1(3)1(2 xxx)3)(1(2 xxx設(shè)3243 xxx 1 xA 32 xxCBx第13頁(yè)/共37頁(yè)取1 x得A55 1 A比較2x的系數(shù)，得BA 0AB 1 比較常數(shù)項(xiàng)，得CA 3443 AC1 1 A1 B1 C3243 xxx 11 x 312 xxx 4x)1)()3(2 xCBxxxA第14頁(yè)/共37頁(yè) dxxxx3243 dxx1

7、1 dxxxx312 )1(11xdx dxxx3 2)12( x21 21 |1|ln x 3)3(2122xxxxd )21(411)21(1212 xdx第15頁(yè)/共37頁(yè) |1|ln x |3|ln212 xx 21)21(112arctan112 xC |1|ln x |3|ln212 xx 1112arctan111 xC 第16頁(yè)/共37頁(yè)例4 dxxxxx223222解xxxx 223222是假分式xxxx 223222 xxxx 2221真分式 xx22)21(2 xx設(shè) xxx222xA 21 xB第17頁(yè)/共37頁(yè)BxxAx2)21(22 取21 x得B 25取0 x得A

8、 22 A xxx222x2 2125 x第18頁(yè)/共37頁(yè) dxxxxx223222 dxxxxx)221(2 dxxxx)212521( )21(2125|ln222xdxxxx Cxxxx |21|ln25|ln222第19頁(yè)/共37頁(yè)例5 dxxxxx2223)1(1解2223)1(1 xxxx是真分式設(shè)2223)1(1 xxxx 12 xBAx 22)1( xDCx 123xxx)1)(2 xBAx DCx )()(23DBxCABxAx 第20頁(yè)/共37頁(yè)比較系數(shù)，得 A 1B 1CA 1DB 1AC 10 BD 12 1 A1 B0 C2 D)()(12323DBxCABxAxx

9、xx 第21頁(yè)/共37頁(yè) dxxxxx2223)1(1 dxxx112 dxx22)1(2 dxx1 2x2211 dxx22)1(12 )1(1 1 2122xdx dxx1 1 2 dxx22)1(12 112xx dxx)1(222 第22頁(yè)/共37頁(yè) xxarctan|1|ln212 2 )arctan1(212xxx C |1|ln212 x 12 xxC 注：本題用到遞推公式。第23頁(yè)/共37頁(yè)dxxx 103)1(dxxxx 234811怎么積？如按上面講的步驟去積，將非常繁。1 xt令令dttt 103)1( dttttt)33(10987 dxxxxx 234838 23)(

10、)( 42424xxx)(4xd414xu 令令duuuu 2341 22 第24頁(yè)/共37頁(yè)注:在求有理函數(shù)的積分時(shí),雖然按上面介紹的步驟一定可以積出來(lái),但是,這種方法不一定是最佳的方法,有時(shí),甚至很繁.所以,我們?cè)谇笥欣砗瘮?shù)的積分時(shí),如有更簡(jiǎn)單的方法,就不必用上面介紹的方法.簡(jiǎn)言之,要靈活!哪個(gè)方法簡(jiǎn)便,就用哪個(gè).第25頁(yè)/共37頁(yè)二. 三角函數(shù)有理式的積分dxxxR )cos,(sin定義將xx cos,sin及常數(shù)進(jìn)行有限次四則運(yùn)算所得的函數(shù)稱為三角函數(shù)的有理式,記為)cos,(sinxxR積分方法:令2tanxt 則txarctan2 dx，dtt212 ，212sinttx 221

11、1costtx dxxxR )cos,(sin ) , (R212tt 2211tt dtt212 有理函數(shù) 萬(wàn)能代換第26頁(yè)/共37頁(yè)例6dxx sin211解用萬(wàn)能代換.令2tanxt dx，dtt212 212sinttx dxx sin211 21 1 212tt dtt212 4t 122dtt第27頁(yè)/共37頁(yè) 3 )2(122dtt 2Ctt |3232|ln321 Ctt |3232|ln31 Cxx |322tan322tan|ln31 )2(3 )2(122tdt第28頁(yè)/共37頁(yè)怎樣求下列積分? xdx3sin xdx2cos xdx4tan xdxxsinsin2 )(

12、cos)cos1(2xdx dxx22cos1 dxx)2cos2121( xdxx22tantan dxxx)1(sectan22 dxxxdxx222tansectan )(tantan2xxd dxx)1(sec2 第29頁(yè)/共37頁(yè) )cos1(sinsin1dxxxx dxxx2sin1cos令2tanxt )(sinsin112xdx 注意靈活!第30頁(yè)/共37頁(yè)規(guī)律：求積分 dxxxR)cos,(sin（1）若)cos,(sin)cos,sin(xxRxxR 用第一換元法，選xucos （2）若)cos,(sin)cos,(sinxxRxxR 用第一換元法，選xusin （3）若

13、)cos,(sin)cos,sin(xxRxxR 用第一換元法，選xutan 練習(xí)：求下列積分dxxx 43cossin . 1dxxx 43sincos . 2dxxx 62cossin . 3第31頁(yè)/共37頁(yè)三. 簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分1. dxfdxbaxxRn),(困難:含有根號(hào)積分方法:作換元,令nfdxbaxt 例7 dxxx31解令31xt 31tx dttdx23 dxxx31 dtttt )3(123 dttt )(34 Ctt )52(352 Ctt 532352 Cxx 3532)1(53)1(23第32頁(yè)/共37頁(yè)例8 dxxx)1(13解令6xt 6tx dttdx56 dxxx)1(1 3 1 )1(2t 3tdtt56 dttt 221 6 dttt 221 1- 1 6 dtt)1 1 1(62 Ctt )arctan(6 Cxx )arctan(666第33頁(yè)/共37頁(yè)2. dxcbxaxxR),(2困難:含有根號(hào)積分方法:先配方,再換元例9 dxxxx74342解先配方,742 xx3)2(2 x dxxxx74342 dxxx3)2(342 2 xt dttt33)2(42 dttt3542 dtt 3 2t 2 25 第34頁(yè)