兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布X與與Y 獨(dú)立獨(dú)立)()(),(jijiyYPxXPyYxXP即即jiijppp連續(xù)連續(xù)型型)()(),(yfxfyxfYX對一切對一切 i , j 有有離散型離散型X與與Y 獨(dú)立獨(dú)立對任何對任何 x ,y 有有復(fù) 習(xí)第1頁/共21頁 在第二章中，我們討論了一維在第二章中，我們討論了一維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布，現(xiàn)在我們隨機(jī)變量的函數(shù)的分布，現(xiàn)在我們進(jìn)一步討論進(jìn)一步討論:當(dāng)隨機(jī)變量當(dāng)隨機(jī)變量 X, Y 的概率分布已知時(shí)，如何求出的概率分布已知時(shí)，如何求出它們的函數(shù)它們的函數(shù)Z = g ( X, Y ) 的分布的分布?其中其中 是連續(xù)函數(shù)是

2、連續(xù)函數(shù).( , )zg x y第2頁/共21頁當(dāng)( X ,Y )為離散型r.v.時(shí), Z也是離散型的，),(kkjikyxgzZkkjkikkzyxgjikyYxXPzZP),(),()(, 2, 1k一、兩個(gè)離散型一、兩個(gè)離散型r.v.的函數(shù)的概率分布的函數(shù)的概率分布例1 設(shè)二維r.v.( X,Y )的概率分布為X Y pij -1 1 2-1 04161418112181求XYXYYXYX,的概率分布.第3頁/共21頁解： 根據(jù)( X,Y )的聯(lián)合分布可得如下表格：P 4141618181121 X +Y X -Y X Y Y / X ( X,Y ) (-1,-1) (-1,0) (1,

3、-1) (1,0) (2,-1) (2,0)-2 -1 0 1 1 2 0 -1 2 1 3 2 1 0 -1 0 -2 0 1 0 -1 0 -1/2 0第4頁/共21頁故得PX+Y-2 -1 0 1 241414161121PX - Y-1 0 1 2 34141418181PX Y-2 -1 0 1 6141812411PY /X-1 -1/2 05頁/共21頁解：依題意 例2 若 X 和 Y 相互獨(dú)立,它們分別服從參數(shù)為的泊松分布, 證明Z=X+Y服從參數(shù)為于是于是,.2 , 1 , 0,!)(11iieiXPi,.2 , 1 , 0,!)(22jjejYPj

4、12, 12 的泊松分布的泊松分布.0()(,)kiP ZkP Xi Ykikiikiikeie021)!(!21kiikiikikke021)!( !21!)(2121kek), 2 , 1 , 0(k1212()()!keP Zkk0(,)kiP Xi Ykiq 設(shè) X B (n1, p), Y B (n2, p), 且相互獨(dú)立， 則 X + Y B ( n1+n2, p)第6頁/共21頁方法 從求Z 的分布函數(shù)出發(fā),將Z 的分布函數(shù)轉(zhuǎn)化為( X ,Y )的事件 二、兩個(gè)連續(xù)型二、兩個(gè)連續(xù)型r.v.的函數(shù)的概率分布的函數(shù)的概率分布)()(zZPzFZ),(zYXgPzDdxdyyxf),(

5、),(| ),(:zyxgyxDz其中問題 已知r.v.( X ,Y )的密度函數(shù)，g(x,y)為已知的連續(xù)函數(shù).求 密度函數(shù).),(YXgZ 第7頁/共21頁1. 和的分布和的分布：Z = X + Y 設(shè)( X ,Y )的聯(lián)合d.f.為 f (x,y), 則 zzx +y= z)()(zZPzFZ)(zYXPzyxdxdyyxf),(xzdyyxfdx),(或yzdxyxfdy),(zdxxzxfzfZ),()(dyyyzfzfZ),()(或) 1 (z) 2 (z即第8頁/共21頁特別地，若X ,Y 相互獨(dú)立，則dxxzxfzfZ),()()3 (zdyyyzfzfZ),()(或dxxzf

6、xfzfYXZ)()()(dyyfyzfzfYXZ)()()(或)()(zfzfYX記作)()(zfzfYX記作) 1 (z) 2 (z) 4 (z稱之為函數(shù) f X ( z) 與 f Y ( z)的卷積 zzx +y= z第9頁/共21頁解法一 從分布函數(shù)出發(fā)(必須掌握)()(zYXPzFZzyxdxdyyxf),(x+y = z(1)當(dāng)z 0 時(shí)，0)(zFZ1yx1(2)當(dāng)0 z 1 時(shí)，xzzZdydxzF001)(zdxxz0)(2/2zzzfZ)(yx11x+y = zzz( )0Zfz 例3 已知( X ,Y ) 的聯(lián)合d.f.為其他, 010 , 10, 1),(yxyxfZ

7、= X + Y ,求 f Z (z)第10頁/共21頁x+y = z(3)當(dāng)1 z 2 時(shí)，xzzdydx011111)(1zdxxzz12/22zzzzfZ 2)(z-11yx1zz) 1()( zzFZ1yx1x+y = z22(4)當(dāng)2 z 時(shí)，1)(zFZ0)(zfZ0,02( ),012,12Zzzfzzzzz或綜合上述可得第11頁/共21頁例3 已知( X ,Y ) 的聯(lián)合d.f.為其他, 010 , 10, 1),(yxyxfZ = X + Y ,求 f Z (z)解法二解法二（圖形定限法）（圖形定限法）其他, 010, 1)(xxfX其他, 010, 1)(yyfY顯然X ,Y

8、 相互獨(dú)立,且y1x1dxxzfxfzfYXZ)()()(10)(dxxzfY其他, 01, 1)(zxzxzfY第12頁/共21頁dxxzfxfzfYXZ)()()(10)(dxxzfY其他, 01, 1)(zxzxzfYz1z = x10( )()ZYfzfzx dx0,02,zz或01,01,zdxz111,12,zdxzz-1 = xx210,02( ),012,12Zzzfzzzzz或第13頁/共21頁例4 若X和Y 是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 , 具有相同的分布 N(0,1) , 求 Z=X+Y 的概率密度.dxxzfxfzfYXZ)()()(解： 由卷積公式 222212z xxe

9、edx 22()4212zzxeedx 22()212zxzxeedx 第14頁/共21頁22()4212zzxeedx 令令,2ztx得得 Zfz 22412zteedt 2412ze 2222122ze 可見 Z=X+Y 服從正態(tài)分布 N(0,2).第15頁/共21頁 正態(tài)隨機(jī)變量的結(jié)論正態(tài)隨機(jī)變量的結(jié)論q 若X ,Y 相互獨(dú)立,),(),(222211NYNX則),(222121NYXniNXiii, 2 , 1),(2q 若nXXX,21相互獨(dú)立，則),(1211niiniiniiNX有限個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布有限個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.第16頁/共

10、21頁2. 平方和的分布平方和的分布: Z = X 2+Y 2設(shè)(X ,Y )的聯(lián)合 d.f. 為 f (x,y)，則)()(22zYXPzFZ, 0),(, 0, 022zdxdyyxfzzyx, 0,)sin,cos(, 0, 0020zrdrrrfdzz, 0,)sin,cos(21, 0, 0)(20zdzzfzzfZ第17頁/共21頁例如，X N(0,1), Y N(0,1), X ,Y 相互獨(dú)立， Z = X 2+Y 2 , 則, 0,212121, 0, 0)(202sin2cos22zdeezzfzzZ, 0,21, 0, 0)(2zezzfzZ自由度為2的 2分布稱為第18頁/共21頁已知(X ,Y )的聯(lián)合d.f. 為f (x,y)，令Z = X / Y , 求 f Z (z).( )()ZFzP Zz3. 商的分布商的分布： Z = X / Y 00( , )( , )yzyzdyf x y dxdyf x