圓與扇形題匯總

1、圓與扇形公式與割補(bǔ)內(nèi)容提要本講主要講解與圓和扇形有關(guān)的概念，及周長、面積公式等下面我們來說 說這方面的基礎(chǔ)知識.圓是我們在生活中經(jīng)常見到的圖形，它也是最完美的平面圖形： 有無數(shù)條通過圓心的對稱軸，繞圓心旋轉(zhuǎn)任何角度還保持原狀.而且，所有的平面圖形在周長相同的情況下，圓的面積是最大的.我們知道，圓的周長和直徑的比值是一個(gè)固定不變的數(shù)，這正是圓周率，用d,半徑記作r,如圖1所示.所以，圓的周長C2Sr7,圓的面積如圖3,由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫扇形.它 是圓的一部分，所以關(guān)于扇形的各種計(jì)算可以應(yīng)用圓里面的結(jié)論.n360扇形的圓心角為n°寸，它的弧長和面積應(yīng)該分

2、別是圓周長和圓面積的 所以，；.360360我們先來熟悉一下這些公式.練習(xí)：1. 半徑是2的圓的面積和周長分別是多少？2.3.2. 直徑是5的圓的面積和周長分別是多少？5.6.3. 周長是10 的圓的面積是多少？8.9.4. 面積是9 的圓的周長是多少？11.12.例題一、基本公式運(yùn)用例題1.已知扇形的圓心角為120°半徑為2,則這個(gè)扇形的面積和周長各是多少?（圓周率按3.14計(jì)算）例題2.已知扇形面積為18.84平方厘米，圓心角為 60°則這個(gè)扇形的半徑和周長各是多少?例題3.例題4.隨堂練習(xí):1. 已知一個(gè)扇形的弧長為 0785厘米，圓心角為45°，這個(gè)扇形的

3、半徑和周長各是 多少？2.3.2. 扇形的面積是31.4平方厘米，它所在圓的面積是157平方厘米，這個(gè)扇形的圓心 角是多少？5.3. 如圖，直角三角形 ABC的面積是45,分別以B，C為圓心，3為半徑畫圓.已知圖中陰影部分的面積是35.58.請問：角A是多少度？ （ 取3.14）A7.8.圓中方，方中圓9.如圖，左下圖和右下圖中的正方形邊長都是2,那么大圓、小圓的面積分別為411.隨堂練習(xí):1.已知外面大圓的半徑是 4,里面小圓的面積是多少？（答案用表示）二、割補(bǔ)法12. 求下列各圖中陰影部分的面積（圖中長度單位為厘米，圓周率按3.14計(jì)算）：度單位為厘米，圓周率按(2)223.14計(jì)算）：部

4、分的面積（圖中長求下列各圖中陰影部）(2)分的面積（圖中長度單位為厘米，圓周率按3.14計(jì)算）：(1)(2)(2)2(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)13. 已知圖中正方形的邊長為 2,分別以其四個(gè)頂點(diǎn)為圓心的直角扇形恰好交于正方形中心，那么圖中陰影部分的面積為 .(答案用表示)14.15.16.14. 根據(jù)圖中所給數(shù)值，求下面圖形的外周長和總面積分別是多少？ ( 取3.14)ILje丿15. r 4 :作業(yè)：半徑為4厘米的圓的周長是 米，面積是 平方厘米;半徑為4厘米，圓心角為90的扇形周長是 米，面積是 平方厘米.（取3.14）家里來客人了，淘氣到超市買了4瓶啤酒，

5、售貨員阿姨將 4瓶啤酒捆扎在一起（如下圖所示），捆4圈至少要用繩子 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.F列圖形中的正方形的邊長為2,則下圖中各個(gè)陰影部分面積的大小分別為厘米.（取3.14,接頭處忽略不計(jì)）.（取 3.14）用一塊面積為36平方厘米的圓形鋁板下料，從中裁出了 7個(gè)同樣大小的圓鋁板.問：所余下的邊角料的總面積是多少平方厘米?圓與扇形旋轉(zhuǎn)與重疊知識總結(jié)：學(xué)習(xí)如何利用割補(bǔ)法和包含排除的思想計(jì)算圖形中特定部分的面積；學(xué)會分 析幾何圖形的運(yùn)動(dòng)過程，并由此得出點(diǎn)的軌跡和圖形掃過的區(qū)域.例題：一、重疊問題例題1下圖中甲區(qū)域比乙區(qū)域的面積大57平方厘米，且半圓的半徑是 10厘

6、米，那么其中直角三角形的另一條直角邊的長度是多少？（圓周率 取3.14）例題2.例題3.下圖中有一個(gè)等腰直角三角形 ABC, 個(gè)以AB為直徑的半圓，和一個(gè)以BC為半徑的扇形已知 AB BC 10厘米圖中陰影部分的面積為多少平方厘米？ （ 取 3.14）例題4. C隨堂練習(xí)1.如圖17-13,以AB為直徑做半圓，三角形 ABC是直角三角形，陰影部分比陰影部分的面積小28平方厘米，AB長40厘米.求BC的長度.（取3.14.）2.3.4.5.6.例題5如圖，直角三角形的兩條直角邊分別為3和5,分別以三條邊做了 3個(gè)半圓（直角頂點(diǎn)在以斜邊為直徑的半圓上），那么陰影部分的面積為 5例題6.例題7.例題

7、8.例題9圖1是一個(gè)直徑是3厘米的半圓，AB是直徑.如圖2所示，讓A點(diǎn)不動(dòng)，把整個(gè)半圓逆時(shí)針轉(zhuǎn)60°此時(shí)B點(diǎn)移動(dòng)到C點(diǎn)請問：圖中陰影部分的面積是多圖2少平方厘米？ （ 取3.14）圖1例題10.例題11.例題12.例題13.動(dòng)態(tài)掃面積問題例題14.如圖，正方形 ABCD邊長為1厘米，依次以 A、B、C、D為圓心，以AD、平方厘米.（取 3.14）EG例題15.例題16.例題17.例題18.例題19.例題20.BE、CF、DG為半徑畫出四個(gè)直角扇形，那么陰影部分的面積為例題21.例題22.例題23.例題24.如圖所示，以等邊三角形的B、C、A三點(diǎn)分別為圓心，分別以 AB、CD、AE為半

8、徑畫弧，這樣形成的曲線 ADEF被稱為正三角形 ABC的漸幵線，如果正 三角形ABC的邊長為3厘米，那么此漸幵線的長度為多少厘米，圖中I、Il、Ill三部分的面積之和是多少平方厘米？例題26.例題27.三、運(yùn)動(dòng)圓掃面積例題28.圖中正方形的邊長是 4厘米，而圓環(huán)的半徑是1厘米.當(dāng)圓環(huán)繞正方形無滑取 3.14)動(dòng)地滾動(dòng)一周又回到原來位置時(shí)，其掃過的面積有多大？（例題29.例題30.隨堂練習(xí)1.圖中長方形的長是10厘米，寬是4厘米，而圓環(huán)的半徑是1厘米.當(dāng)圓環(huán)繞 正方形無滑動(dòng)地滾動(dòng)一周又回到原來位置時(shí)，其掃過的面積有多大？ （取3.14）2. 例題31.圖中等邊三角形的邊長是 3厘米，而圓環(huán)的半徑

9、是1厘米.當(dāng)圓環(huán)繞等邊三 角形無滑動(dòng)地滾動(dòng)一周又回到原來位置時(shí)，其掃過的面積有多大？ （取3.14）例題32.例題33.例題34.例題35.思考題如圖所示，一只小狗被拴在一個(gè)邊長為4米的正五邊形的建筑物的一個(gè)頂點(diǎn)處,四周都是空地.繩長剛好夠小狗走到建筑物外墻邊的任一位置.小狗的活動(dòng)范圍取3）是多少平方米？（建筑外墻不可逾越，小狗身長忽略不計(jì),作業(yè)：1.圖17-14由一個(gè)長方形與兩個(gè) 90角的扇形構(gòu)成，其中陰影部分的面積是平方厘米.（取3.14.）2. 圖 17-143.4. 圖中有一個(gè)矩形和兩個(gè)半徑分別為5和2的直角扇形，那么兩個(gè)陰影部分的面積相差為 . （ 取3.14）5.5. 如圖，直角三

10、角形的兩條直角邊長分別是10cm和6cm,分別以直角邊為直徑作出兩個(gè)半圓，這兩個(gè)半圓的交點(diǎn)恰好落在斜邊上，那么陰影部分的面積是cm2.（取 3.14）6. (17 30)10cm8.9.圖1是一個(gè)直徑是3厘米的半圓，AB是直徑.如圖2所示，讓A點(diǎn)不動(dòng),把整個(gè)半圓逆時(shí)針轉(zhuǎn)60°此時(shí)B點(diǎn)移動(dòng)到C點(diǎn).請問：圖中陰影部分的面積是平方厘米（取3.14）圖110.11.圖中正方形的邊長是AB圖26厘米，而圓環(huán)的半徑是1厘米.當(dāng)圓環(huán)繞正方形無14.滑動(dòng)地滾動(dòng)一周又回到原來位置時(shí)，其掃過的面積有 . （ 取3.14）12.13.圖中等邊三角形的邊長是5厘米，圓形的半徑是1厘米.當(dāng)圓形繞等邊三.（冗取

11、 3.14）角形滾動(dòng)一周又回到原來位置時(shí)，掃過的面積有/QZ幾何計(jì)數(shù)知識總結(jié):例題：一、枚舉或分類解題利用枚舉法以及分類的方法進(jìn)行幾何計(jì)數(shù)，特別是對于正方形和三角形的計(jì)數(shù) 問題.通常按照面積的大小或者包含基本圖形的多少來對圖形進(jìn)行分類.例題1.小杰瑞把巧克力棒擺成了如圖所示的形狀，其中每一條小短邊代表一個(gè)巧克 力棒.請問：例題2. ( 1) 一共有多少個(gè)巧克力棒？例題3.例題4. (2)這些巧克力棒共構(gòu)成了多少個(gè)三角形？例題5.例題6. ( 3)嘴饞的小杰瑞吃掉一個(gè)巧克力棒后(圖中兩端帶有箭頭的小邊)，剩下的圖形中還有多少個(gè)三角形？例題7.隨堂練習(xí)例題8.如圖，它是由18個(gè)大小相同的小正三角形

12、拼成的四邊形，其中某些相鄰的小正三角形可以拼成較大的正三角形.圖中包含的各種大小的正三角形一共有例題9.例題10.例題11.如圖，AB, CD , EF , MN互相平行，則圖中三角形個(gè)數(shù)是 N例題13.例題14.圖中有多少個(gè)正方形?例題16.例題17.二、與排列組合有關(guān)的計(jì)數(shù)利用排列組合的方法進(jìn)行幾何計(jì)數(shù)，特別是對于矩形和四邊形的計(jì)數(shù)問題例題18.如圖，線段AB，BC，CD，DE的長度都是3厘米.請問：例題19. (1)圖中一共有多少條線段？例題20.例題21. ( 2)這些線段的長度之和是多少厘米？3厘米 3 ,厘 3厘米 3厘米fYV兀 V 八 、ABCDE例題22.隨堂練習(xí)1.求圖中一

13、共有多少條線段.2.3.4.5.圖中一共有多少條線段.求圖中一共有多少例題23求個(gè)矩形.例題24.例題25.例題26.例題27.例題28.例題29.例題30.隨堂練習(xí)如圖,1.圖中共有多少個(gè)菱形?四條邊長度都相等的四邊形稱為菱形.用16個(gè)同樣大小的菱形組成如例題31.右圖是一個(gè)長為9,寬為4的長方形網(wǎng)格，每一個(gè)小格都是一個(gè)正方形，那么:例題32.1）從中可以數(shù)出 個(gè)矩形.例題33.2）從中可以數(shù)出個(gè)正方形.例題34.3）從中可以數(shù)出包含 個(gè)，正方形有個(gè).例題35.隨堂練習(xí)（1） 圖中包含的長方形有 個(gè).包含 的正方形又有 個(gè).（2） 圖中同時(shí)包含和的長方形有 個(gè).三、與容斥原理有關(guān)的幾何計(jì)數(shù)例

14、題36.圖中一共包含多少個(gè)矩形？多少個(gè)正方形?1.圖中有個(gè)矩形思考題用16個(gè)邊長為1的等邊三角形拼成一個(gè)邊長為 4的大等邊三角形，那么組成的圖形中可以找出多少個(gè)平行四邊形？1.數(shù)一數(shù)圖中一共有多少條線段?2.【分析與解】按邊長分類數(shù)，圖中共有9 3 1 13個(gè)三角形；平行四邊形共有3 3 3 2 15 個(gè).5. 在圖中，包含的長方形共有個(gè).z6. 圖中有個(gè)矩形，個(gè)正方形.【分析與解】圖中共有7 1 8個(gè)正方形，19個(gè)長方形.這道題適合按大小分 類數(shù).7. 圖中有三角形個(gè)，梯形個(gè).8.9.【分析與解】三角形有312 318個(gè)，梯形有1 212 318個(gè).個(gè)正方形,個(gè)長方形.圖中有10.2 33

15、212 313 52 4 1長方形有 正方形有 38個(gè)（這里給出正方形的求法比較巧妙，如果不答案是 38，1 231 23144144個(gè)合適，請按正方形的邊長分類枚舉）行程知識總結(jié)：本講重點(diǎn)學(xué)習(xí)在小升初中和各個(gè)杯賽中的較復(fù)雜的行程問題，行程問題主要有三組共9個(gè)基本公式：(1)路程速度時(shí)間；速度路程時(shí)間；時(shí)間路程速度；(2)相遇路程速度和時(shí)間；速度和相遇路程時(shí)間；時(shí)間相遇路程速度和；(3)追及路程速度差時(shí)間；速度差追及路程時(shí)間；時(shí)間追及路程速度差.要會靈活運(yùn)用公式，通過已知的條件求出未知的路程、速度或時(shí)間. 此時(shí)，我們還經(jīng)常需要用到以下這三個(gè)基本倍數(shù)關(guān)系： 當(dāng)運(yùn)動(dòng)的速度相同時(shí)，時(shí)間的倍數(shù)關(guān)系等于

16、路程的倍數(shù)關(guān)系； 當(dāng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同時(shí)，速度的倍數(shù)關(guān)系等于路程的倍數(shù)關(guān)系；當(dāng)運(yùn)動(dòng)的路程相同時(shí)，時(shí)間的倍數(shù)關(guān)系等于速度的倍數(shù)關(guān)系，但注意時(shí)間長的速度慢，時(shí)間短的速度快.例題1.()甲、乙兩地間的路程是 600千米，上午8點(diǎn)客車以平均每小時(shí) 60 千米的速度從甲地幵往乙地，貨車以平均每小時(shí)50千米的速度從乙地幵往甲 地.要使兩車在全程的中點(diǎn)相遇，貨車必須在上午幾點(diǎn)出發(fā)？例題2.例題3.例題4.()某學(xué)校組織學(xué)生去春游，以 2米/秒的速度前進(jìn)，一名學(xué)生以 4米/秒的速度從隊(duì)尾跑到隊(duì)頭，再回到隊(duì)尾，共用6分鐘，那么隊(duì)伍的總長為多少米？例題5.例題6.例題7. A城在一條河的上游，B城在這條河的下游.A、

17、B兩城的水路距離為 396 千米一艘在靜水中速度為每小時(shí)12千米的漁船從B城往A城幵，一艘在靜水中速度為每小時(shí)30千米的治安巡邏艇從 A城往B城幵.已知河水的速度為 每小時(shí)6千米，從A流向B.兩船在距離A城180千米的地方相遇.巡邏艇在 到達(dá)B城后得到消息說他們剛才遇到的那艘漁船上有一名逃犯，于是巡邏艇 立刻返回去追漁船.請問巡邏艇能不能在漁船到達(dá)A城之前追上漁船？如果能的話，請問巡邏艇在距 A城多遠(yuǎn)的地方追上漁船；如果不能的話，請算出 巡邏艇比漁船慢多少小時(shí)到 A城.例題8.例題9.例題10.例題11.蝸牛沿著公路前進(jìn)，對面來了一只兔子，他問兔子：后面有烏龜嗎？ ”，兔子回答說：“ 1(分鐘

18、前我超過了一只烏龜”，接著蝸牛繼續(xù)爬了 10分鐘，遇 到了烏龜.已知烏龜?shù)乃俣仁俏伵Ｋ俣鹊?0倍，那么兔子速度是烏龜速度的倍.例題12.例題13.例題14.例題15.例題16.甲、乙二人相距100米的直路上來回跑步，甲每秒鐘跑2.8米,乙每秒鐘 跑 2.2 米 .他們同時(shí)分別在直路兩端出發(fā) ,當(dāng)他們跑了 30 分鐘時(shí) ,這段時(shí)間內(nèi)相 遇了幾次？例題 17.例題 18.例題 19.例題 20.例題 21. 甲乙兩車同時(shí)從 A、B 兩地出發(fā)相向而行，兩車在距離 B 地 64 千米的 地方第一次相遇，相遇后兩車?yán)^續(xù)原速前進(jìn)，并且在到達(dá)對方出發(fā)點(diǎn)之后， 立即沿原路返回，途中在距離 A點(diǎn)48千米處第二次

19、相遇，問：兩次相遇點(diǎn)距 離是多少千米？例題 22.例題 23.例題 24.例題 25. 甲、乙兩車分別從 A、B 兩地出發(fā)，在 A、B 之間不斷往返行駛，已知 甲車的速度是每小時(shí) 15 千米，乙車的速度是每小時(shí) 35 千米，并且甲、乙兩車 第三次相遇（這里特指面對面的相遇）的地點(diǎn)與第四次相遇的地點(diǎn)恰好相距120千米，那么，A B兩地之間的距離等于 千米.例題 26.例題 27.例題 28.例題 29. 快、中、慢 3 輛車同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，沿同一公路追趕前面的一個(gè) 騎車人.這 3 輛車分別用 6 分鐘、 10 分鐘、 12 分鐘追上騎車人.現(xiàn)在知道快 車每小時(shí)走 24 千米，中車每小時(shí)走 20 千米，那么，慢車每小時(shí)走多少千米？例題 30.例題 31.例題 32.例題33.有甲乙丙三車各以一定的速度從 A到B ,乙比丙晚出發(fā)10分鐘，出發(fā)后 40 分鐘追上丙，甲比乙又晚出發(fā) 10 分鐘，出發(fā)后 60 分鐘追上丙，問，甲出發(fā)后多少分鐘可以追上乙？ 例題 34.例題 35.例題 36.例題 37.例題 38.例題 39.思考題一次越野賽跑中，當(dāng)小明跑了 1600 米時(shí)，小剛跑了 1450 米，此后兩人分別以每 秒 a 米和每秒 b 米勻速跑，又過 100 秒時(shí)小剛追上小明， 200 秒時(shí)小剛到達(dá)