因數(shù)與倍數(shù)應用題答案

1、因數(shù)與倍數(shù)應用題答案一、求因數(shù)的個數(shù)類應用題1 、筐內(nèi)有96 個蘋果，如果不一次拿出，也不一個一個地拿，要求每次拿出的個數(shù)同樣多，拿完時又正好不多不少，共有多少種拿法分析解答：依題意，每次拿由的蘋果數(shù)X拿的次數(shù)=96,這個等式說明了什么呢說明了每次拿的蘋果數(shù)和拿的次數(shù)是 96 的因數(shù)（或約數(shù)），這樣一分析，我們就知道解答此題實際上是要求96 的因數(shù)分個數(shù)有多少個。96=3 X25,因因數(shù)個數(shù)定理公式知：96的因數(shù)個數(shù)是：（1+1） X （5+1） =12 個；12 個因數(shù)包括了1 和 96這兩個因數(shù)，題目要求不能一次拿完，即：1次X 96個=96個，這種情況要排除；同時也不能一個一個地拿，即：

2、96次X 1個=96個也要排除；所以共有：12 2=10（種）拿法。2 、 （ 1996 年日本算術(shù)奧林匹克競賽）有50 張卡片，分別寫著1 50 這 50 個數(shù)字，正反兩面寫的數(shù)字相同，卡片一面是紅，一面是藍，某班有50 名學生，老師把50 張卡片中藍色的一面朝上擺在桌子上，對同學們說： “請你們按學號順序逐個到前面來翻卡片，規(guī)則是：凡是卡片上的數(shù)是自己學號的倍數(shù)，就把它翻過來，藍翻紅，紅翻藍”，那么當每個同學都翻完后，紅色朝上的卡片有幾張分析解答：由“凡是卡片上的數(shù)是學號的倍數(shù)，把它翻過來”知道，卡片翻幾次的由卡片上的數(shù)的因數(shù)個數(shù)決定的，卡片上的數(shù)的因數(shù)個數(shù)是幾，就翻動幾次。那么一張卡片翻

3、動幾次紅色朝上呢我們需要找規(guī)律，怎樣找規(guī)律呢老師講過從特殊到一般找規(guī)律。我們要一下找出 50 張卡片的規(guī)律有困難，我們只研究一張卡片。開始時是“藍色朝上”翻動一次，紅色朝上；翻動兩次藍色朝上（還原到原來的狀態(tài)）翻動 3 次又的紅色朝上翻動 4 次藍色朝上；從中找到規(guī)律：翻動奇數(shù)次的卡片是紅色朝上的；翻動偶數(shù)次的卡片是藍色朝上。下面思考，1 50 這 50個數(shù)中那些數(shù)的因數(shù)個數(shù)是奇數(shù)我們學習了因數(shù)的個數(shù)定理：一個完全平方數(shù)的因數(shù)是奇數(shù)個，其它的數(shù)的因數(shù)是偶數(shù)個（包括1 和自身因數(shù)），這樣問題就得到了解決，看1 50 中那幾個數(shù)是完全平方數(shù)，顯然只有：1， 4， 9， 16，25， 36， 49。

4、下面的問題就是怎么敘述解答過程，關(guān)于怎么敘述問題，這是現(xiàn)在五年級學生面臨的一個難點，因為此題的解答過程包含證明推理，而命題的證明要到初中二年級才開始學習。為了家長幫助學生建立這方面的能力， 什么是推理和證明推理是反映從已知判斷得出新的判斷的思維形式。一般地講邏輯推理只有兩種形式，即：假設判斷一一如果A推由B （大前提），如果有A這個條件（小前 提），則必定有B （結(jié)論）；第二種形式就是選言判斷，或者B 成立或者B 的否定成立（大前提），如果 B 的否定不成立，（小前提），則必有B 成立（結(jié)論）。數(shù)學問題解答過程雖然不必規(guī)定唯一的敘述形式，但應有統(tǒng)一的要求，即敘述形式應合乎邏輯。五年級學生沒有學

5、習命題的證明，只要能夠把推理的過程說清楚就可以了，現(xiàn)在說明推理的過程是有一定的困難，不要緊，從現(xiàn)在去慢慢練習，也為上中學作準備。下面敘述如下：解答示范：每張卡片翻動奇數(shù)下紅色朝上，根據(jù)規(guī)則，凡是卡片上的數(shù)是學生學號的倍數(shù)，就把卡片翻動一次。也就是 1 50 這 50 個數(shù)它有多少個因數(shù)，卡片就翻動它的因數(shù)個次數(shù)。因為完全平方數(shù)的因數(shù)個數(shù)是奇數(shù)，1 50 中完全平方數(shù)“1， 4， 9， 16， 25， 36， 49”的因數(shù)是奇數(shù)個，這些卡片被翻動了奇數(shù)次，所以，紅色卡片朝上的一共有7張，它們分別是：寫有數(shù)的“1， 4， 9， 16， 25， 36， 49”卡片。3 、在 100 至 300 之間

6、，只有三個因數(shù)的數(shù)是多少分析及解答：通過上面一題的解答，我們知道“完全平方數(shù)的因數(shù)個數(shù)是奇數(shù)個”， 100 至 300 之間的數(shù)的因數(shù)個數(shù)只有 3 個的數(shù)一定是完全平方數(shù)。但要清楚是不是完全平方數(shù)的因數(shù)都是3 個呢我們研究一下，42=16 是完全平方數(shù)，它的因數(shù)個數(shù)是：42=24，根據(jù)學習過的因數(shù)個數(shù)定理：16 的4+1=5 個。同學們發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律沒有只有質(zhì)數(shù)的平方的數(shù)的因數(shù)是3 個，如22， 32， ， 52， 72， 112，132,，我們把問題轉(zhuǎn)化為求“100至300之間有那幾個數(shù)是質(zhì)數(shù)的平方的數(shù)”。解答：因為只有質(zhì)數(shù)的平方的數(shù)的因數(shù)是3 個，在 100 至300之間只有7個完全平方數(shù)：

7、112, 122,172,但只有11， 13， 17 是質(zhì)數(shù)。所以只有112=121， 132=169， 172=289這三個數(shù)的因數(shù)是3 個。二、分解質(zhì)因數(shù)類應用題1 、有 4 個小朋友，他們的年齡恰好一個比一個大1 歲，并且他們年齡的乘積是360，那么其中年齡最大的一個是多少歲分析解答像這種題，有的地方中考都出過，主要考察學生靈活運用知識的能力。對于小學生此題解答的思考不會出現(xiàn)干擾，但中學生因為方程的知識比較牢固，認為問題中的數(shù)量關(guān)系明顯，列方程解答一定能夠解出來。設4 個人的年齡分別是：X， X+1 ， X+2， X+3 列方程是：X（ X+1） （ X+2）（ X+3） =360，這個

8、方程是高次方程，一般中學生是解不出來，只有學習了奧數(shù)的同學才有辦法解答。下面用學習過小學奧數(shù)“轉(zhuǎn)化的思想”老師解答一下，再次說明，學習數(shù)學要學習數(shù)學方法，看看小學奧數(shù)學習過的“轉(zhuǎn)化數(shù)學思想” 的作用。X （ X+1） （ X+2） （ X+3） =360，高次方程我們通過轉(zhuǎn)化把它轉(zhuǎn)化學習過的知識處理：初中一元二次方程。原方程變形為：（ X2+3X） （ X2+3X+2）360=0；（ X2+3X） 2+2（ X2+3X）360=0上面轉(zhuǎn)化為我們學習過的一元二次方程了，這中關(guān)鍵的一步。設： （ X2+3X） =Y，即：Y2+2Y 360=0，解答 Y1= 20（舍去）， Y2=18；因假設知：（

9、 X2+3X） =18，解這個一元二次方程：X1= 6（舍去）， X2=3這樣4個人年齡中最大的是：X+3=6歲。方法二，分解質(zhì)因數(shù)方法從上面解答過程看，用代數(shù)的方法解答過程是復雜的，有時，在解答數(shù)學問題中，算術(shù)方法更為簡便。這在中學處理有些問題中也經(jīng)常用到。特別是在解答選擇和填空題時。360=23 X 32X 5;然后按照題意，把上面分解后的6 個數(shù)進行組合成為4 個數(shù)的乘積，即：360=3 X 4X 5X6; 顯然最大的年齡是 6歲。2 ，某班王老師帶領(lǐng)全班同學去植樹，學生恰好平均分成三組，如果老師與同學每人植樹一樣多，則共植樹572 棵，那么這個班有學生多少人，每人植樹多少棵分析解答一一

10、依題意知道，植樹總數(shù)=每人植樹棵數(shù)x師生總數(shù)，師生總數(shù)=每組學生數(shù)X 3組+1名老師，說明師生總數(shù)除以 3，余數(shù)是1。572=2 X2X 11 X 13,依題意，把分解得到是質(zhì)因數(shù)進行組合得：572=11 X 52=11 X (51+1)因此，這個班學生51 人，每人植樹11 棵；注意：572=44 X 13=44 X ( 12+1),這里，全班人數(shù) 12人,老師 1 人，每人植樹44 棵情況不符合題意一個班學生人數(shù)應該不是12 人；三、奇數(shù)與偶數(shù)類應用題自然數(shù)按奇偶性分類，分為奇數(shù)與偶數(shù)，利用奇數(shù)和偶數(shù)的性質(zhì)可以解決一些有趣的問題。奇數(shù)與偶數(shù)的性質(zhì)奧數(shù)教材第21 頁進行了歸納，這些性質(zhì)要熟記

11、。幾點要注意：1 ，偶數(shù)個奇數(shù)的和是偶數(shù)，奇數(shù)個奇數(shù)的和是奇數(shù)；2 ，在運算中，加法與減法運算結(jié)果的的奇偶性不變。也就是： 偶數(shù)個奇數(shù)的差是偶數(shù)，奇數(shù)個奇數(shù)的差仍然是奇數(shù)；3、奇數(shù)片偶數(shù)例題 1： 9 只杯子全部口朝上，每次翻動其中的4 只杯子，能否經(jīng)過若干次翻動，使9 只杯子開口全部朝下分析解答由題目知道，每次翻動 4 只杯子，翻動若干次，那么具體一共翻動的次數(shù)的確切數(shù)是無法確定的。審題后要知道，一個問題只能用奇偶性解決。我們先研究一只杯子，翻動1 次口朝下，翻動2 次口朝上，翻動3 次口朝下，每只杯子要口朝下必須翻動奇數(shù)次，這樣問題就找到了解答的方案。敘述解答過程：每只杯子只有翻動奇數(shù)次口

12、才能朝下，要使 9 只杯子口全部朝下，翻動的總次數(shù)是9 個奇數(shù)的和。因為奇數(shù)個奇數(shù)的和是奇數(shù)，所以，翻動的總次數(shù)是奇數(shù)。依題意，每次翻動4 只杯子，翻動的總次數(shù)是4 的倍數(shù)，這個總次數(shù)是偶數(shù)，前后矛盾，即奇數(shù)K偶數(shù)，所以，無論怎么翻動，都不能使9 只杯子的口朝下。例題 2（奇偶性中的周期問題）一個會議室有9 盞燈，從1 9 依次編號，開始時，只有編號是2， 6， 9 的燈是亮著的， 一個同學按1 9， 再按 1 9 順序不停地拉動開關(guān)，一共拉了300 下，這時編號是幾的燈是不亮著的。分析解答每盞燈拉動開關(guān)奇數(shù)下改變原來的狀態(tài)， 即暗的變亮，亮的變暗。300 +9=333,所以，1, 2, 3號

13、燈拉動了 34次，拉了 偶數(shù)下，不改變原來的狀態(tài)，即原來是亮的仍然亮，原來是暗的仍然暗；4， 5， 6， 7， 8， 9 拉了 33 下，是奇數(shù)下，改變原來的的狀態(tài)，原來亮的變暗，原來暗的變亮。所以不亮的燈是：1， 3， 6， 9 號。四，數(shù)的倍數(shù)（整除）類應用題數(shù)論問題是數(shù)學“王國”中最有趣的數(shù)學知識，無論你的學歷高低都能夠研究這部分的內(nèi)容，通過對數(shù)論的研究，可以訓練人的分析問題和邏輯推理能力。要熟練地解答整除問題類應用題，必須對2，5；4，25；8，125；3，9；7，11，13 倍數(shù)的數(shù)的特征（或能夠被以上數(shù)整除的數(shù)的特征）十分清楚，并能夠把知識靈活運用。例題1（奧數(shù)教材第29 頁練習3

14、）六一兒童節(jié)快到了，四（ 2）班的同學分成4 組做綢花，每個小組做的綢花一樣多，馬大哈統(tǒng)計了一下說“還是人多力量大，大家一共做了 246朵綢花” ，馬大哈統(tǒng)計對了嗎為什么分析解答一一四（2）班同學做的花總數(shù)=每個組做的花x4，花的總數(shù)是4 的倍數(shù)；下面就看246 朵是不是4 的倍數(shù)，問題就解決了。答：馬大哈統(tǒng)計錯了。因為，花的總數(shù)=每個組做的花X 4,花的總數(shù)是4 的倍數(shù)；4 是倍數(shù)的數(shù)的特征是末兩位數(shù)的4的倍數(shù)，而246 的麥兩位數(shù)46 不能被 4 整除， 246 不是 4的倍數(shù)，所以，馬大哈統(tǒng)計錯了。例 2、 有 72 名學生，共交課間餐費元，平均每人交多少元分析解答一一把課間餐費化為分，

15、則總錢數(shù)A527B （分）一定是總?cè)藬?shù)72的倍數(shù)，又72=8X9,所以，A527B是8和 9 的倍數(shù)。根據(jù)8 的倍數(shù)特征：一個數(shù)的后三位組成的數(shù)是8 的倍數(shù)，這個數(shù)就是8 的倍數(shù)。即：27B 是的的倍數(shù)，只有B=2,這個數(shù)變?yōu)榱?A5272,又這個數(shù)是9的倍數(shù)，它的各位數(shù)字之和是 9的倍數(shù)，A+5+2+7+2=A+16所以，A=2,72 名學生的課間餐費總數(shù)是：25272 分；平均每個同學交：25272 + 72=351 （分）=（元）例題 3（奧數(shù)教材第34 頁練習4） 、新學期開學了，學校為了使同學們有一個更加方便的讀書環(huán)境，新買了18 個書架，可是會計不小心把發(fā)票給弄污了，單價只剩下2 個數(shù)字“ 2*0 元” ， 總價也只剩下2 個數(shù)字“ *4*8* 元”你能幫助算出單價和總價嗎分析解答一一由題意，總價一定是18的倍數(shù)，又18=2 X 9,總價一