三角函數(shù)圖像變換順序詳解全面

1、圖象變換的順序?qū)じ}根研究一、圖象變換的四種類型從函數(shù)y = f （x）到函數(shù)y = A f- ）+m，其間經(jīng)過4種變換：1縱向平移 一一m變換2縱向伸縮一一A變換3橫向平移 一一* 變換4橫向伸縮 一一川 變換一般說來，這4種變換誰先誰后都沒關(guān)系，都能達(dá)到目標(biāo)，只是在不同的變換順序中,“變換量”可不盡相同，解題的“風(fēng)險性”也不一樣以下以y = si nx到y(tǒng) = As in （，- ）+m為例，討論4種變換的順序問題.的圖象可由y = sin x的圖象經(jīng)過怎樣的平移”二 了 （工）二 1 + 3sin（ 2x【例1】函數(shù)''' 和伸縮變換而得到?【解法1】第1步，橫向

2、平移:71將y = sin x向右平移，第2步，橫向伸縮:y = sin（ x 將二的橫坐標(biāo)縮短1二倍,第3步：縱向伸縮:y = sin （加-號）將的縱坐標(biāo)擴(kuò)大3倍，得y 3血(2x)第4步：縱向平移:將向上平移1， 1+3sin( 2x 【解法2】第1步，橫向伸縮:將y = sin x的橫坐標(biāo)縮短二倍，得y = sin 2x第2步，橫向平移:71將y = sin 2x向右平移；-；，得y = sin( 7.x第3步，縱向平移:將f二向上平移，得尸二扌 + sin( £第4步，縱向伸縮:+ sin（ 2 不-）孑4的縱坐標(biāo)擴(kuò)大尹=1 + 3sin2A 3倍，得-7171【說明】解法

3、1的“變換量”（如右移1 ）與參數(shù)值（：）對應(yīng)，而解法2中有的變7171換量（如右移匚）與參數(shù)值（）不對應(yīng)，因此解法 1的“可靠性”大，而解法 2的“風(fēng) 險性”大【質(zhì)疑】對以上變換，提出如下疑問：（1）在兩種不同的變換順序中，為什么“伸縮量”不變，而“平移量”有變？（2）在橫向平移和縱向平移中，為什么它們增減方向相反一一如當(dāng)* <0時對應(yīng)右移（增方向），而m < 0時對應(yīng)下移（減方向）？（3）在橫向伸縮和縱向伸縮中，為什么它們的縮擴(kuò)方向相反一一如| > 1時對應(yīng)著“縮”，而| A | >1時，對應(yīng)著“擴(kuò)”？【答疑】 對于（2）,（ 3）兩道疑問的回答是：這是因?yàn)樵诤瘮?shù)表

4、達(dá)式 y = A fC ： ' ）+m 中x和y的地位在形式上“不平等”所至 .如果把函數(shù)式變?yōu)榉匠淌焦ぃ▂+二）=f ' 1 ），則x、y在形式上就“地位平等”了y= 1 + 3siii( 2x )-1) = sin( 2x 如將例1中的4變成34它們的變換“方向”就“統(tǒng)一”了對于疑問（1）：在不同的變換順序中，為什么“伸縮量不變”，而“平移量有變”？這是因?yàn)樵凇耙淮巍碧娲篨T 中，平移是對x進(jìn)行的.故先平移（xtI ）對后伸縮（t - “ I ）沒有影響；但先收縮（x -）對后平移（t 一 I）卻存在著“平移”相關(guān)這71就是為什么（在例1的解法2中）后平移=corp =7

5、T4時，有7TI的原因.【說明】 為了使得4種變換量與4個參數(shù)（A,工，卩，m）對應(yīng)，降低“解題風(fēng)險”在由sinx變到Asin 二' 4 )(:二 0)的途中，采用如下順序：(1) 橫向平移：x" (2) 橫向伸縮：x+口 t 1 甘!：(3) 縱向伸縮：sin (一 ') t Asin(4) 縱向平移： Asin (U："二)t Asin (' ' ) + m這正是例1中解法1的順序.二、正向變換與逆向變換如果把由 sin x至U Asin')+m的變換稱作正向變換，那么反過來，由AsinC I )+m到sin x變換則稱逆向變換顯

6、然，逆向變換的"順序”是正向變換的"逆”因?yàn)檎蜃儞Q的一般順序是：(1)橫向平移，(2)橫向伸縮，(3)縱向伸縮，(4)縱向平移所以逆向變換的一般順序則是：(1)縱向平移，(2)縱向伸縮，(3)橫向伸縮，(4)橫向平移如將函數(shù)y= 2sin (2 -) +1的圖像下移1個單位得y=2sin (2x】；)，再將縱坐標(biāo)縮小一半得y= sin(2 x-；),再將橫坐標(biāo)擴(kuò)大2倍得y= sin(x-；),最后將圖象左移-；得函數(shù)y= sinx.【例2將y = f (x) - cos x的圖象向右平移',再向上平移1,所得的函數(shù)為y=2sin2 x. 試求f (x)的表達(dá)式【分

7、析 這是圖象變換的逆變換問題：已知函數(shù)的變換結(jié)果，求“原函數(shù)”我們考慮將“正向變換”的過程倒逆回去而得“逆向變換”的順序【解析 將y = 2sin2 x下移1個單位(與正向變換上移1個單位相反)，得 y = 2sin2 x 1,再將2sin2x1左移'(與正向變換右移'相反)sin 2x= 2sin xcqsx令 f (x) - cos x = 2sin x cos x 得 f (x) = 2sin x【說明由此得原函數(shù)為 y=f(x)cosx=2 sin x cosx=sin2x.正向變換為sin 2xt2sin2x,其逆變換為 2sin2xt sin2x.717TTl因?yàn)?

8、sin2x=1+sin(2 x二),所以下移1個單位得sin(2 x二)，左移得sin2x.三、翻折變換使睹0平移變換XT '是“對x而言”，由于x過于簡單而易被忽略強(qiáng)調(diào)一下，這里x的系數(shù)是+1.千萬不要誤以為是由sin(-71x)左移1而得.其實(shí)，x或y的系數(shù)變-1,也對應(yīng)著兩種不同的圖象變換：由XT - x對應(yīng)著關(guān)于y軸的對稱變換，即沿y軸的翻折變換；由f (x) t - f (x)對應(yīng)著關(guān)于x軸的對稱變換，即沿x軸的翻折變換.【例3】= 2 £in(3?r+"I求函數(shù)4的單調(diào)減區(qū)間【分析】 先變換-3xt3x,即沿y軸的翻折變換【解析1】V = f3x + ) = -2sin( 3-)'4'4,轉(zhuǎn)化為求71g(x)=s in (3x )的增區(qū)間71-7171-3 令WW7171 亠W x W (f(x)減區(qū)間主解)2n又函數(shù)的f(x)周期為，故函數(shù)f(x)減區(qū)間的通解為Tl亠 W X W -+ 1【解析2】y= 2sin() = -2 sin( 3z)4A的減區(qū)間為2 心r 3 a 2 w 4 w 22knx2kn 7i + 一即是- W x W -I【說明】 從圖象變換的角度看問題，比較解析1和解析2可