一次函數(shù)和幾何綜合題

1、.1（ 2013?天水）如圖 1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知 AOB 是等邊三角形，點(diǎn) A 的坐標(biāo)是（ 0， 4），點(diǎn) B 在第一象限，點(diǎn) P 是 x 軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接 AP ，并把 AOP 繞著點(diǎn) A 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使邊 AO 與 AB 重合，得到 ABD （ 1）求直線AB 的解析式；（ 2）當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（， 0）時(shí)，求此時(shí)DP 的長(zhǎng)及點(diǎn)D 的坐標(biāo)；（ 3）是否存在點(diǎn)P，使 OPD 的面積等于？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由2（2013?濟(jì)寧）如圖，直線y= x+4 與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A 、B ，與直線y=x 交于點(diǎn) C在線段 OA 上，動(dòng)點(diǎn)Q 以每

2、秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O 出發(fā)向點(diǎn)A 做勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P 從點(diǎn) A 出發(fā)向點(diǎn)O 做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P、Q 其中一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)分別過點(diǎn)P、 Q 作 x 軸的垂線，交直線AB 、 OC 于點(diǎn) E 、F，連接 EF 若運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒，在運(yùn)動(dòng)過程中四邊形PEFQ 總為矩形（點(diǎn)P、Q 重合除外） （ 1）求點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)的速度是多少？（ 2）當(dāng) t 為多少秒時(shí)，矩形 PEFQ 為正方形？（ 3）當(dāng) t 為多少秒時(shí)，矩形 PEFQ 的面積 S 最大？并求出最大值;.3（ 2013?綏化）如圖，直線MN 與 x 軸， y 軸分別相交于A， C 兩點(diǎn)，分別過A， C 兩點(diǎn)作 x 軸

3、， y 軸的垂線相交于B點(diǎn)，且 OA，OC（ OA OC）的長(zhǎng)分別是一元二次方程x2 14x+48=0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根（ 1）求 C 點(diǎn)坐標(biāo)；（ 2）求直線 MN 的解析式；（ 3）在直線MN 上存在點(diǎn)P ，使以點(diǎn)P， B， C 三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出P 點(diǎn)的坐標(biāo)4（ 2013?齊齊哈爾）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線l 分別交 x 軸、 y 軸于 A 、B 兩點(diǎn)（ OA OB）且 OA、OB 的長(zhǎng)分2+1） x+=0 的兩個(gè)根，點(diǎn)C 在 x 軸負(fù)半軸上，且 AB ：AC=1 ：2別是一元二次方程 x （ 1）求 A、 C 兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（ 2）若點(diǎn) M 從 C 點(diǎn)出發(fā)，以每秒

4、1 個(gè)單位的速度沿射線CB 運(yùn)動(dòng)，連接 AM ，設(shè) ABM 的面積為 S，點(diǎn) M 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t ，寫出 S 關(guān)于 t 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（ 3）點(diǎn) P 是 y 軸上的點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn) Q，使以 A、 B、 P、 Q 為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出 Q 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由;.5（ 2013 春?屯留縣期末）如圖，四邊形OABC 是菱形，點(diǎn)C 在 x 軸上， AB 交 y 軸于點(diǎn) H， AC 交 y 軸于點(diǎn) M已知點(diǎn) A（ 3， 4）（ 1）求 AO 的長(zhǎng)；（ 2）求直線AC 的解析式和點(diǎn)M 的坐標(biāo)；（ 3）點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā)，以每秒 2

5、 個(gè)單位的速度沿折線 A B C 運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn) C 終止設(shè)點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒， PMB 的面積為 S 求 S 與 t 的函數(shù)關(guān)系式； 求 S 的最大值6（ 2012?鞍山）如圖，正方形 ABCO 的邊 OA、 OC 在坐標(biāo)軸上，點(diǎn) B 坐標(biāo)（ 3，3），將正方形 ABCO 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度 （ 0° 90°），得到正方形 ADEF ，ED 交線段 OC 于點(diǎn) G，ED 的延長(zhǎng)線交線段 BC 于點(diǎn) P，連 AP 、AG （ 1）求證： AOG ADG ；（ 2）求 PAG 的度數(shù)；并判斷線段 OG、 PG、 BP 之間的數(shù)量關(guān)系，說明理由；（ 3）當(dāng) 1=

6、2 時(shí)，求直線 PE 的解析式;.7（ 2012?桃源縣校級(jí)自主招生）如圖，點(diǎn)A 在 y 軸上，點(diǎn) B 在 x 軸上，且 OA=OB=1 ，經(jīng)過原點(diǎn)O 的直線 l 交線段 AB于點(diǎn) C，過 C 作 OC 的垂線，與直線x=1 相交于點(diǎn)P，現(xiàn)將直線L 繞 O 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使交點(diǎn)C 從 A 向 B 運(yùn)動(dòng)，但 C 點(diǎn)必須在第一象限內(nèi)，并記AC 的長(zhǎng)為 t ，分析此圖后，對(duì)下列問題作出探究：（ 1）當(dāng) AOC 和 BCP 全等時(shí)，求出t 的值；（ 2）通過動(dòng)手測(cè)量線段OC 和 CP 的長(zhǎng)來判斷它們之間的大小關(guān)系并證明你得到的結(jié)論；（ 3） 設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ 1， b），試寫出b 關(guān)于 t 的函數(shù)關(guān)系式

7、和變量t 的取值范圍 求出當(dāng) PBC 為等腰三角形時(shí)點(diǎn)P 的坐標(biāo)8（ 2012 秋 ?海陵區(qū)期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB 與 x 軸交于點(diǎn)A，與 y 軸交于點(diǎn)B ，與直線 OC 交于點(diǎn) C（ 1）若直線AB 解析式為y= 2x+12 ，直線 OC 解析式為y=x ， 求點(diǎn) C 的坐標(biāo)； 求 OAC 的面積（ 2）如圖 2，作 AOC 的平分線 ON，若 AB ON，垂足為 E ， OAC 的面積為 6，且 OA=4 ， P、 Q 分別為線段 OA、 OE 上的動(dòng)點(diǎn)，連接 AQ 與 PQ，試探索 AQ+PQ 是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，說明理由;.9（ 201

8、2 秋 ?成都校級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，已知直線PA 是一次函數(shù)y=x+m （ m0）的圖象，直線 PB 是一次函數(shù)y= 3x+n （ n m ）的圖象，點(diǎn)P 是兩直線的交點(diǎn)，點(diǎn)A、 B、 C、 Q 分別是兩條直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)（ 1）用 m、 n 分別表示點(diǎn)A 、B、 P 的坐標(biāo)及 PAB 的度數(shù)；（ 2）若四邊形PQOB 的面積是，且 CQ： AO=1： 2，試求點(diǎn)P 的坐標(biāo)，并求出直線PA 與 PB 的函數(shù)表達(dá)式；（ 3）在（ 2）的條件下，是否存在一點(diǎn)D，使以 A 、B 、 P、 D 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)D 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由10（20

9、12 秋?綦江縣校級(jí)期末）如圖，一次函數(shù)的函數(shù)圖象與x 軸、 y 軸分別交于點(diǎn)A 、B ，以線段 AB為直角邊在第一象限內(nèi)作Rt ABC ，且使 ABC=30 °（ 1）求 ABC 的面積；（ 2）如果在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)P （m ，），試用含 m 的代數(shù)式表示 APB 的面積，并求當(dāng) APB 與 ABC 面積相等時(shí) m 的值；（ 3）是否存在使 QAB 是等腰三角形并且在坐標(biāo)軸上的點(diǎn) Q？若存在，請(qǐng)寫出點(diǎn) Q 所有可能的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由;.2015 年 08 月 14日的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一解答題（共10小題）1（ 2013?天水）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已

10、知 AOB 是等邊三角形，點(diǎn)A 的坐標(biāo)是（ 0， 4），點(diǎn) B 在第一象限，點(diǎn) P 是 x 軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP ，并把 AOP 繞著點(diǎn) A 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AO 與 AB 重合，得到 ABD （ 1）求直線AB 的解析式；（ 2）當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（， 0）時(shí)，求此時(shí)DP 的長(zhǎng)及點(diǎn)D 的坐標(biāo)；（ 3）是否存在點(diǎn)P，使 OPD 的面積等于？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由考點(diǎn) ：一次函數(shù)綜合題專題 ：壓軸題分析：（1）過點(diǎn) B 作 BE y 軸于點(diǎn) E ，作 BF x 軸于點(diǎn) F依題意得 BF=OE=2 ，利用勾股定理求出OF，然后可得點(diǎn) B 的坐標(biāo)設(shè)直線A

11、B 的解析式是y=kx+b ，把已知坐標(biāo)代入可求解（2）由 ABD 由 AOP 旋轉(zhuǎn)得到，證明 ABD AOPAP=AD ， DAB= PAO， DAP= BAO=60 °，ADP 是等邊三角形利用勾股定理求出DP在 Rt BDG 中， BGD=90 °， DBG=60 °利用三角函數(shù)求出 BG=BD ?cos60 °， DG=BD ?sin60°然后求出 OH，DH ，然后求出點(diǎn) D 的坐標(biāo)（3）本題分三種情況進(jìn)行討論，設(shè)點(diǎn)P 的坐標(biāo)為（ t ，0）： 當(dāng) P 在 x 軸正半軸上時(shí)，即 t 0 時(shí)，關(guān)鍵是求出D 點(diǎn)的縱坐標(biāo)，方法同（ 2），在

12、直角三角形DBG 中，可根據(jù) BD 即 OP 的長(zhǎng)和 DBG 的正弦函數(shù)求出 DG 的表達(dá)式， 即可求出 DH 的長(zhǎng)，根據(jù)已知的 OPD 的面積可列出一個(gè)關(guān)于 t 的方程，即可求出t 的值 當(dāng) P 在 x 軸負(fù)半軸，但 D 在 x 軸上方時(shí)即 t 0 時(shí)，方法同 類似，也是在直角三角形DBG 用BD 的長(zhǎng)表示出 DG，進(jìn)而求出 GF 的長(zhǎng)，然后同 當(dāng) P 在 x 軸負(fù)半軸， D 在 x 軸下方時(shí)，即 t 時(shí)，方法同 綜合上面三種情況即可求出符合條件的t 的值解答：解：（ 1）如圖 1，過點(diǎn) B 作 BE y 軸于點(diǎn) E ，作 BF x 軸于點(diǎn) F 由已知得：BF=OE=2 ， OF=，點(diǎn) B

13、的坐標(biāo)是（， 2）設(shè)直線 AB 的解析式是y=kx+b （ k 0），則有;.解得直線 AB 的解析式是y=x+4 ；（ 2）如圖 2 ， ABD 由 AOP 旋轉(zhuǎn)得到， ABD AOP，AP=AD ， DAB= PAO， DAP= BAO=60 °， ADP 是等邊三角形，DP=AP=如圖 2 ，過點(diǎn) D 作 DH x 軸于點(diǎn) H，延長(zhǎng) EB 交 DH 于點(diǎn) G，則 BG DH 方法（一）在 Rt BDG 中， BGD=90 °， DBG=60 °BG=BD ?cos60 °=× =DG=BD ?sin60 °=×=OH=

14、EG=， DH=點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（，）方法（二）易得 AEB= BGD=90 °， ABE= BDG， ABE BDG ，；而 AE=2 ， BD=OP=， BE=2， AB=4 ，則有，解得 BG=， DG=；OH=， DH=；點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（，）（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，在它的運(yùn)動(dòng)過程中，使 OPD 的面積等于設(shè)點(diǎn) P 為（ t ，0），下面分三種情況討論： 當(dāng) t 0 時(shí)，如圖， BD=OP=t ， DG=t ，DH=2+t OPD 的面積等于，;.，解得，（舍去）點(diǎn) P1的坐標(biāo)為（， 0） 當(dāng) D 在 y 軸上時(shí)，根據(jù)勾股定理求出BD=OP ，當(dāng) t 0 時(shí)，如圖， BD=OP=

15、 t ，DG= t ，GH=BF=2（t ） =2+t OPD 的面積等于，解得，點(diǎn) P 2 的坐標(biāo)為（， 0），點(diǎn) P 3 的坐標(biāo)為（， 0） 當(dāng) t 時(shí)，如圖 3， BD=OP= t ， DG= t ，DH= t 2 OPD 的面積等于， （ t ） （ 2+t ） =，解得（舍去），點(diǎn) P 4的坐標(biāo)為（， 0），綜上所述，點(diǎn)P 的坐標(biāo)分別為P 1（，0）、 P2（， 0）、 P3（，0）、P4（， 0）;.點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查的是一次函數(shù)的應(yīng)用，包括待定系數(shù)法求解析式、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形面積公式的應(yīng)用等，難度較大2（2013?濟(jì)寧）如圖，直線y= x+4 與坐標(biāo)軸分

16、別交于點(diǎn)A 、B ，與直線y=x 交于點(diǎn) C在線段 OA 上，動(dòng)點(diǎn)Q 以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O 出發(fā)向點(diǎn)A 做勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P 從點(diǎn) A 出發(fā)向點(diǎn)O 做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P、Q 其中一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)分別過點(diǎn)P、 Q 作 x 軸的垂線，交直線AB 、 OC 于點(diǎn) E 、F，連接 EF 若運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒，在運(yùn)動(dòng)過程中四邊形PEFQ 總為矩形（點(diǎn)P、Q 重合除外） （ 1）求點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)的速度是多少？（ 2）當(dāng) t 為多少秒時(shí)，矩形 PEFQ 為正方形？（ 3）當(dāng) t 為多少秒時(shí)，矩形 PEFQ 的面積 S 最大？并求出最大值;.考點(diǎn) ： 一次函數(shù)綜合題專題 ： 壓軸題

17、分析：（1）根據(jù)直線 y= x+4 與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A 、B ，得出 A，B 點(diǎn)的坐標(biāo)， 再利用 EP BO，得出= = ，據(jù)此可以求得點(diǎn)P 的運(yùn)動(dòng)速度；（ 2）當(dāng) PQ=PE 時(shí)，以及當(dāng) PQ=PE 時(shí)，矩形 PEFQ 為正方形，分別求出即可；（ 3）根據(jù)（ 2）中所求得出 s 與 t 的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而利用二次函數(shù)性質(zhì)求出即可解答：解：（ 1） 直線 y= x+4 與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、 B， x=0 時(shí)， y=4 ， y=0 時(shí)， x=8 ， = = ，當(dāng) t 秒時(shí)， QO=FQ=t ，則 EP=t ， EP BO，=，AP=2t ，動(dòng)點(diǎn) Q 以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O 出發(fā)向

18、點(diǎn) A 做勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)的速度是每秒2 個(gè)單位長(zhǎng)度；（ 2）如圖 1，當(dāng) PQ=PE 時(shí)，矩形 PEFQ 為正方形，則 OQ=FQ=t ， PA=2t ，QP=8 t 2t=8 3t ， 8 3t=t ，解得： t=2 ；如圖 2 ，當(dāng) PQ=PE 時(shí)，矩形 PEFQ 為正方形， OQ=t ， PA=2t ， OP=8 2t ， QP=t （ 8 2t ） =3t 8， t=3t 8，解得： t=4 ；（ 3）如圖 1，當(dāng) Q 在 P 點(diǎn)的左邊時(shí)， OQ=t ， PA=2t ，QP=8 t 2t=8 3t ，;.S 矩形 PEFQ =QP ?QF= （8 3t） ?t=8t 3t2 ，

19、當(dāng) t= = 時(shí)，S 矩形 PEFQ 的最大值為：=，如圖 2 ，當(dāng) Q 在 P 點(diǎn)的右邊時(shí)， OQ=t ， PA=2t ，2t 8t ，t， QP=t （ 8 2t ） =3t 8，S 矩形 PEFQ =QP ?QF= （3t 8） ?t=3t 2 8t ，當(dāng)點(diǎn) P、 Q 其中一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)， t 4，當(dāng) t= = 時(shí)， S 矩形 PEFQ 的最大，t=4 時(shí)， S2矩形 PEFQ 的最大值為： 3×4 8×4=16，綜上所述，當(dāng)t=4 時(shí)， S 矩形 PEFQ 的最大值為： 16點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，得出P， Q 不同的位置

20、進(jìn)行分類討論得出是解題關(guān)鍵;.3（ 2013?綏化）如圖，直線MN 與 x 軸， y 軸分別相交于A， C 兩點(diǎn)，分別過A， C 兩點(diǎn)作 x 軸， y 軸的垂線相交于B點(diǎn)，且 OA，OC（ OA OC）的長(zhǎng)分別是一元二次方程x2 14x+48=0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根（ 1）求 C 點(diǎn)坐標(biāo)；（ 2）求直線 MN 的解析式；（ 3）在直線MN 上存在點(diǎn)P ，使以點(diǎn)P， B， C 三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出P 點(diǎn)的坐標(biāo)考點(diǎn) ：一次函數(shù)綜合題專題 ：壓軸題分析：2可以求得 OC=6， OA=8 則 C（ 0， 6）；（1）通過解方程 x 14x+48=0（2）設(shè)直線 MN 的解析式是 y=k

21、x+b （k 0）把點(diǎn) A 、 C 的坐標(biāo)分別代入解析式，列出關(guān)于系數(shù)k 、 b 的方程組，通過解方程組即可求得它們的值；（ 3）需要分類討論： PB 為腰， PB 為底兩種情況下的點(diǎn) P 的坐標(biāo)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式以及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征進(jìn)行解答解答：解：（ 1）解方程 x2 14x+48=0 得x1=6 ， x 2=8 OA， OC（ OA OC）的長(zhǎng)分別是一元二次方程2x 14x+48=0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根， OC=6 ， OA=8 C（ 0， 6）；（ 2）設(shè)直線 MN 的解析式是 y=kx+b （k 0）由（ 1）知， OA=8 ，則 A（ 8， 0）點(diǎn) A、 C

22、 都在直線 MN 上，解得，直線 MN 的解析式為y= x+6 ；（ 3） A（ 8， 0）， C（ 0， 6），根據(jù)題意知 B （ 8， 6）;.點(diǎn) P 在直線 MNy= x+6上，設(shè) P （a ， a+6 ）當(dāng)以點(diǎn) P， B ， C 三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，需要分類討論： 當(dāng) PC=PB時(shí)，點(diǎn) P 是線段 BC 的中垂線與直線MN 的交點(diǎn)，則 P1（4， 3）； 當(dāng) PC=BC 時(shí)， a2+ （a+6 6） 2=64 ，解得， a=，則 P2（，）， P3（， ）； 當(dāng) PB=BC時(shí)，（ a8）2+ （a 6+6 ） 2=64 ，解得， a=，則a+6= ， P4（，）綜上所述，

23、符合條件的點(diǎn)P 有： P （4，3），P（，） P（，），P（，）1234點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等腰三角形的性質(zhì)解答（3）題時(shí)，要分類討論，防止漏解另外，解答（3）題時(shí)，還利用了“數(shù)形結(jié)合 ”的數(shù)學(xué)思想4（ 2013?齊齊哈爾）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線l 分別交 x 軸、 y 軸于 A 、B 兩點(diǎn)（ OA OB）且 OA、OB 的長(zhǎng)分別是一元二次方程x2（+1） x+=0 的兩個(gè)根，點(diǎn)C 在 x 軸負(fù)半軸上，且AB ：AC=1 ：2（ 1）求 A、 C 兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（ 2）若點(diǎn) M 從 C 點(diǎn)出發(fā)，以每秒

24、1 個(gè)單位的速度沿射線CB 運(yùn)動(dòng)，連接AM ，設(shè) ABM 的面積為S，點(diǎn) M 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t ，寫出 S 關(guān)于 t 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（ 3）點(diǎn) P 是 y 軸上的點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn) Q，使以 A、 B、 P、 Q 為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出 Q 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由考點(diǎn) ：一次函數(shù)綜合題;.專題 ： 壓軸題分析：（1）通過解一元二次方程x2（+1） x+=0 ，求得方程的兩個(gè)根，從而得到A、 B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式可求AB 的長(zhǎng)，根據(jù) AB ：AC=1 ：2 ，可求 AC 的長(zhǎng)，從而得到C 點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）分 當(dāng)點(diǎn) M

25、在 CB 邊上時(shí)； 當(dāng)點(diǎn) M 在 CB 邊的延長(zhǎng)線上時(shí)；兩種情況討論可求S 關(guān)于 t 的函數(shù)關(guān)系式；（3）分 AQ=AB ， BQ=BA ，BQ=QA 三種情況討論可求 Q 點(diǎn)的坐標(biāo)解答：解：（ 1）x2（+1） x+=0 ，（x）（ x 1） =0 ，解得 x =， x=1，12OA OB， OA=1， OB=，A （1， 0）， B（ 0，）， AB=2 ，又 AB ： AC=1： 2， AC=4 ，C（ 3， 0）；（2） AB=2 ， AC=4 ， BC=2，AB2+BC2=AC2，即 ABC=90 °，由題意得： CM=t ，CB=2 當(dāng)點(diǎn) M 在 CB 邊上時(shí)， S=2

26、t （ 0t）； 當(dāng)點(diǎn) M 在 CB 邊的延長(zhǎng)線上時(shí)， S=t 2（ t 2）；（3）存在 當(dāng) AB 是菱形的邊時(shí)，如圖所示，在菱形 AP 1Q1B 中， Q1O=AO=1 ，所以 Q1 點(diǎn)的坐標(biāo)為（1， 0），在菱形 ABP 2Q2 中， AQ2=AB=2 ，所以 Q2 點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2），在菱形 ABP 3Q3 中， AQ3 =AB=2 ，所以 Q3 點(diǎn)的坐標(biāo)為（1， 2）， 當(dāng) AB 為菱形的對(duì)角線時(shí)，如圖所示的菱形AP 4BQ4，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x，則在 Rt AP 4 O 中， AP 4222222，=AO +P 4O，即 x =1 +（ x） ，解得 x=所以 Q4（ 1，）綜上可

27、得，平面內(nèi)滿足條件的Q 點(diǎn)的坐標(biāo)為： Q1（ 1， 0），Q2（ 1， 2）， Q3（ 1， 2 ）， Q4（ 1，）;.點(diǎn)評(píng)：考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：解一元二次方程，兩點(diǎn)之間的距離公式，三角形面積的計(jì)算，函數(shù)思想，分類思想的運(yùn)用，菱形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度5（ 2013 春?屯留縣期末）如圖，四邊形 OABC 是菱形，點(diǎn) C 在 x 軸上， AB 交 y 軸于點(diǎn) H， AC 交 y 軸于點(diǎn) M已知點(diǎn) A（ 3， 4）（ 1）求 AO 的長(zhǎng)；（ 2）求直線AC 的解析式和點(diǎn)M 的坐標(biāo)；（ 3）點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā)，以每秒 2 個(gè)單位的速度沿折線A B C 運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)

28、 C 終止設(shè)點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t 秒， PMB的面積為 S 求 S 與 t 的函數(shù)關(guān)系式； 求 S 的最大值考點(diǎn) ：一次函數(shù)綜合題；解二元一次方程組；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；三角形的面積；角平分線的性質(zhì)；勾股定理；菱形的性質(zhì)專題 ：計(jì)算題分析：（1）根據(jù) A 的坐標(biāo)求出AH 、 OH，根據(jù)勾股定理求出即可；（2）根據(jù)菱形性質(zhì)求出B 、 C 的坐標(biāo)，設(shè)直線AC 的解析式是y=kx+b ，把 A（ 3，4）， C（ 5， 0）代入得到方程組，求出即可；（3） 過 M 作 MN BC 于 N，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出MN ， P 在 AB 上，根據(jù)三角形面積公式求出即可；P在 BC 上，根據(jù)三角形

29、面積公式求出即可； 求出 P 在 AB 的最大值和P 在 BC 上的最大值比較即可得到答案解答：（1）解： A（ 3， 4），AH=3 ， OH=4 ，由勾股定理得：AO=5 ，答： OA 的長(zhǎng)是 5（ 2）解： 菱形 OABC ，OA=OC=BC=AB=5 ，;.5 3=2 ，B （ 2， 4）， C（ 5， 0），設(shè)直線 AC 的解析式是y=kx+b ，把 A （ 3， 4）， C（ 5， 0）代入得：，解得：，直線 AC 的解析式為，當(dāng) x=0 時(shí)， y=2.5M（0， 2.5），答：直線 AC 的解析式是，點(diǎn) M 的坐標(biāo)是（ 0， 2.5）（ 3） 解：過 M 作 MNBC 于 N，菱

30、形 OABC， BAC= OCA，MO CO， MN BC， OM=MN ，當(dāng) 0t 2.5 時(shí)， P 在 AB 上， MH=4 2.5=，S=×BP ×MH=×（ 52t ） × = t+，當(dāng) t=2.5 時(shí)， P 與 B 重合， PMB 不存在；當(dāng) 2.5 t 5 時(shí)， P 在 BC 上， S=×PB ×MN=×（ 2t 5） × =t ，答： S 與 t 的函數(shù)關(guān)系式是（0t 2.5）或（ 2.5 t 5） 解：當(dāng) P 在 AB 上時(shí)，高M(jìn)H 一定，只有BP 取最大值即可，即P 與 A 重合， S 最大是&#

31、215;5× =，同理在 BC 上時(shí)， P 與 C 重合時(shí)， S 最大是×5× =，S 的最大值是，答： S 的最大值是;.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)勾股定理，三角形的面積，菱形的性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，解二元一次方程組，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵6（ 2012?鞍山）如圖，正方形 ABCO 的邊 OA、 OC 在坐標(biāo)軸上，點(diǎn) B 坐標(biāo)（ 3，3），將正方形 ABCO 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度 （ 0° 90°），得到正方形 ADEF ，ED 交線段 OC 于點(diǎn) G，ED 的延長(zhǎng)線交線段 B

32、C 于點(diǎn) P，連 AP 、AG （ 1）求證： AOG ADG ；（ 2）求 PAG 的度數(shù)；并判斷線段 OG、 PG、 BP 之間的數(shù)量關(guān)系，說明理由；（ 3）當(dāng) 1= 2 時(shí)，求直線 PE 的解析式考點(diǎn) ：一次函數(shù)綜合題專題 ：壓軸題分析：（1）由 AO=AD ， AG=AG ，利用 “HL ”可證 AOG ADG；（2）利用（ 1）的方法，同理可證 ADP ABP ，得出 1=DAG， DAP= BAP ，而1+ DAG+ DAP+ BAP=90 °，由此可求 PAG 的度數(shù)；根據(jù)兩對(duì)全等三角形的性質(zhì)，可得出線段OG、PG、 BP 之間的數(shù)量關(guān)系；（ 3）由 AOG ADG 可

33、知， AGO= AGD，而 1+ AGO=90 °， 2+ PGC=90 °，當(dāng) 1=2 時(shí)，可證AGO= AGD= PGC ，而 AGO+ AGD+ PGC=180 °，得出 AGO= AGD= PGC=60 °，即 1=2=30 °，解直角三角形求OG， PC，確定 P、 G 兩點(diǎn)坐標(biāo)，得出直線PE 的解析式解答：（1）證明： AOG= ADG=90 °，在 Rt AOG 和 Rt ADG 中， AOG ADG （HL ）；（ 2）解： PG=OG+BP 由（ 1）同理可證 ADP ABP ，則 DAP= BAP ，由（ 1）可知

34、， 1= DAG ，又 1+ DAG+ DAP+ BAP=90 °，所以， 2 DAG+2 DAP=90 °，即 DAG+ DAP=45 °，故 PAG= DAG+ DAP=45 °，;. AOG ADG ， ADP ABP ，DG=OG ， DP=BP ，PG=DG+DP=OG+BP；（ 3）解： AOG ADG ， AGO= AGD，又 1+ AGO=90 °， 2+ PGC=90 °， 1= 2， AGO= AGD= PGC ，又 AGO+ AGD+ PGC=180°， AGO= AGD= PGC=60 °，

35、 1= 2=30 °，222在 Rt AOG 中， AO=3 ，AG=2OG ， AG =AO +OG ，OG=，則 G 點(diǎn)坐標(biāo)為：（， 0），CG=3 ，在 Rt PCG 中，PG=2CG=2 （ 3）， PC=3 3，則 P 點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，3 3），設(shè)直線 PE 的解析式為 y=kx+b，則，解得，所以，直線PE 的解析式為y=x 3點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合運(yùn)用關(guān)鍵是根據(jù)正方形的性質(zhì)證明三角形全等，根據(jù)三角形全等的性質(zhì)求角、邊的關(guān)系，利用特殊角解直角三角形，求P、 G 兩點(diǎn)坐標(biāo)，確定直線解析式7（ 2012?桃源縣校級(jí)自主招生）如圖，點(diǎn)A 在 y 軸上，點(diǎn) B 在 x 軸

36、上，且 OA=OB=1 ，經(jīng)過原點(diǎn)O 的直線 l 交線段 AB于點(diǎn) C，過 C 作 OC 的垂線，與直線x=1 相交于點(diǎn)P，現(xiàn)將直線L 繞 O 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使交點(diǎn)C 從 A 向 B 運(yùn)動(dòng)，但 C 點(diǎn)必須在第一象限內(nèi)，并記AC 的長(zhǎng)為 t ，分析此圖后，對(duì)下列問題作出探究：（ 1）當(dāng) AOC 和 BCP 全等時(shí)，求出t 的值；（ 2）通過動(dòng)手測(cè)量線段OC 和 CP 的長(zhǎng)來判斷它們之間的大小關(guān)系并證明你得到的結(jié)論；（ 3） 設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ 1， b），試寫出b 關(guān)于 t 的函數(shù)關(guān)系式和變量t 的取值范圍 求出當(dāng) PBC 為等腰三角形時(shí)點(diǎn)P 的坐標(biāo);.考點(diǎn) ：一次函數(shù)綜合題專題 ：壓軸題；探究型分

37、析：（1） AOC 和 BCP 全等，則AO=BC=1 ，又 AB=， t=AB BC= 1；（2）過點(diǎn) C 作 x 軸的平行線，交OA 與直線 BP 于點(diǎn) T 、 H，證 OTC CHP 即可；（3）根據(jù)題意可直接得出b=1t ；當(dāng) t=0 或 1 時(shí)， PBC 為等腰三角形，即P （1， 1）， P（ 1， 1），但 t=0 時(shí)，點(diǎn) C 不在第一象限，所以不符合題意解答： 解：（ 1） AOC 和 BCP 全等，則 AO=BC=1 ，又AB=，所以 t=AB BC= 1；（ 2） OC=CP 證明：過點(diǎn)C 作 x 軸的平行線，交OA 與直線 BP 于點(diǎn) T 、 HPC OC， OCP=90

38、 °， OA=OB=1 ， OBA=45 °， TH OB， BCH=45 °，又 CHB=90 °， CHB 為等腰直角三角形，CH=BH ， AOB= OBH= BHT=90 °，四邊形 OBHT 為矩形， OT=BH ，OT=CH ， TCO+ PCH=90 °，CPH+ PCH=90 °， TCO= CPH ，HB x 軸， TH OB， CTO= THB=90 °， TO=HC ， TCO= CPH ， OTC CHP，OC=CP ；（ 3） OTC CHP ， CT=PH ，PH=CT=AT=AC?co

39、s45 °=t ，;.BH=OT=OA AT=1 t ，BP=BH PH=1 t ，；（ 0 t ） t=0 時(shí)， PBC 是等腰直角三角形，但點(diǎn)C 與點(diǎn) A 重合，不在第一象限，所以不符合，PB=BC ，則 t=|1t| ，解得 t=1 或 t= 1（舍去），當(dāng) t=1 時(shí)， PBC 為等腰三角形，即 P 點(diǎn)坐標(biāo)為： P（ 1， 1）點(diǎn)評(píng)：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)和點(diǎn)的意義表示出相應(yīng)的線段的長(zhǎng)度，再結(jié)合三角形全等和等腰三角形的性質(zhì)求解試題中貫穿了方程思想和數(shù)形結(jié)合的思想，請(qǐng)注意體會(huì)8（ 2012 秋 ?海陵區(qū)期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系

40、中，直線AB 與 x 軸交于點(diǎn)A，與 y 軸交于點(diǎn)B ，與直線 OC 交于點(diǎn) C（ 1）若直線 AB 解析式為 y= 2x+12 ，直線 OC 解析式為 y=x ， 求點(diǎn) C 的坐標(biāo)； 求 OAC 的面積（ 2）如圖 2，作 AOC 的平分線 ON，若 AB ON，垂足為 E ， OAC 的面積為 6，且 OA=4 ， P、 Q 分別為線段 OA、 OE 上的動(dòng)點(diǎn)，連接 AQ 與 PQ，試探索 AQ+PQ 是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，說明理由考點(diǎn) ：一次函數(shù)綜合題專題 ：綜合題；數(shù)形結(jié)合分析：（1） 聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)式，求解即可得出交點(diǎn)坐標(biāo)，即為點(diǎn)C 的坐標(biāo) 欲求 OAC 的面積，結(jié)合圖形，可知，只要得出點(diǎn)A 和點(diǎn) C 的坐標(biāo)即可，點(diǎn)C 的坐標(biāo)已知，利用函數(shù)關(guān)系;.式即可求得點(diǎn)A 的坐標(biāo)，代入面積公式即可（ 2）在 OC 上取點(diǎn) M，使 OM=OP ，連接 MQ，易證 POQ MOQ，可推出 AQ+PQ=AQ+MQ ；若想使得 AQ+PQ存在最小值，即使得 A 、Q、 M 三點(diǎn)共線，