萬有引力與航天(基礎(chǔ)復(fù)習(xí))

1、精品文檔第六章：萬有引力與航天1、開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律第一定律：所有行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。第二定律：對任意一個(gè)行星來說，它與太陽的連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積。a 3第三定律：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等。即：kT 2比值 k 是一個(gè)與行星無關(guān)的常量。2、萬有引力定律（ 1）開普勒對行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律的描述（開普勒定律）為萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)奠定了基礎(chǔ)。（ 2）萬有引力定律公式：FG m1m2， G 6.67 10 11N m2 / kg 2r 2（3）萬有引力定律適用于一切物體，但用公式計(jì)算時(shí)，注意有一定的適用條件。3、萬有引力定律在

2、天文學(xué)上的應(yīng)用。（ 1）基本方法：把天體的運(yùn)動(dòng)看成勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其所需向心力由萬有引力提供：G Mmm v2m 2 rr 2r在忽略天體自轉(zhuǎn)影響時(shí)，天體表面的重力加速度：g G M，R為天體半徑。R2（2）天體質(zhì)量，密度的估算。r ，周期為T，由 GMm42測出環(huán)繞天體作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r2m2r 得被環(huán)繞天體的質(zhì)量為T42 r 3，密度為M3 r 3， R為被環(huán)繞天體的半徑。MVGT 2R2GT 2當(dāng)環(huán)繞天體在被環(huán)繞天體的表面運(yùn)行時(shí)，r R，則3GT2 。（3）環(huán)繞天體的繞行速度，角速度、周期與半徑的關(guān)系。由 G Mmm v2得 vGMr 2rrr 越大， v 越小由 G Mmm 2 r

3、得GMr 2r 3r越大，越小由 GMm42r 得 T4 2r 3r 2m2GMT r 越大， T 越大（4）三種宇宙速度第一宇宙速度（地面附近的環(huán)繞速度） ：v1=7.9km/s ，人造衛(wèi)星在地面附近環(huán)繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度。1歡迎下載精品文檔第二宇宙速度（地面附近的逃逸速度）： v2=11.2km/s ，使物體掙脫地球束縛，在地面附近的最小發(fā)射速度。第三宇宙速度：v3=16.7km/s ，使物體掙脫太陽引力束縛，在地面附近的最小發(fā)射速度。（ 1）測天體的質(zhì)量及密度 ：（萬有引力全部提供向心力）由 G Mmm 224 2 r 3r 得 Mr 2TGT 2又 M4R3得3 r 33GT2R

4、3【例 1】繼神秘的火星之后，今年土星也成了全世界關(guān)注的焦點(diǎn)！經(jīng)過近7 年 35.2億公里在太空中風(fēng)塵仆仆的穿行后，美航空航天局和歐航空航天局合作研究的“卡西尼”號土星探測器于美國東部時(shí)間6 月 30 日（北京時(shí)間 7 月 1 日）抵達(dá)預(yù)定軌道，開始“拜訪” 土星及其衛(wèi)星家族。 這是人類首次針對土星及其31 顆已知衛(wèi)星最詳盡的探測！若“卡西尼”號探測器進(jìn)入繞土星飛行的軌道，在半徑為R的土星上空離土星表面高 h 的圓形軌道上繞土星飛行，環(huán)繞n 周飛行時(shí)間為 t 。試計(jì)算土星的質(zhì)量和平均密度。解析：設(shè)“卡西尼”號的質(zhì)量為，土星的質(zhì)量為 .“卡西尼”號圍繞土星的中心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其向mM心力由萬有

5、引力提供 .GMmm(Rh)( 2)2，其中 Tt ，(R h) 2Tn42 n 2 ( R h)3所以： MGt2又 V4 R3，M 3 n 2 ( R h) 33VGt 2 R3模型 2：2011 年 11 月 8 日 , “螢火 1 號 ”火星探測器發(fā)射升空. 假設(shè)探測器在離火星表面高度分別為和的圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí), 周期分別為和. 火星可視為質(zhì)量分布均勻的球體,且忽略火星的自轉(zhuǎn)影響, 萬有引力常量為G. 僅利用以上數(shù)據(jù) , 可以計(jì)算出 ()。2歡迎下載精品文檔A. 火星的密度和火星表面的重力加速度B. 火星的質(zhì)量和火星對 “螢火一號 ”的引力C. 火星的半徑和 “螢火一號 ”的質(zhì)量D. 火

6、星表面的重力加速度和火星對 “螢火一號 ”的引力解:A 、因?yàn)槿f有引力提供探測器做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力, 則有 :;,聯(lián)立方程可求得火星的質(zhì)量M和火星的半徑R,根據(jù)密度公式得 :.在火星表面的物體有,可得火星表面的重力加速度, 所以可得出火星的密度和火星表面的重力加速度,所以 A 選項(xiàng)是正確的 .B、從 A 選項(xiàng)分析知道可以求出火星的質(zhì)量, 因?yàn)椴恢?“螢火一號 ”的質(zhì)量 , 所以不能求出火星對 “螢火一號 ”的引力 , 故 B 錯(cuò)誤 .C、從 A 選項(xiàng)分析知道可以求出火星的質(zhì)半徑, 不能求出 “螢火一號 ”的質(zhì)量 , 故 C 錯(cuò)誤 .D、從 A 選項(xiàng)分析知道可以求出火星的表面的重力加速度, 因

7、為不知道 “螢火一號 ”的質(zhì)量 ,所以不能求出火星對“螢火一號 ”的引力 , 故 D 錯(cuò)誤 . 所以 A 選項(xiàng)是正確的 .（2）行星表面重力加速度、軌道重力加速度問題：（重力近似等于萬有引力）黃金代換式表面重力加速度：G Mmmg0g 0GMR2R2。3歡迎下載精品文檔GMmGM軌道重力加速度：R h2mgh g h2Rh【例 2】一衛(wèi)星繞某行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知行星表面的重力加速度為g0，行星的質(zhì)量 M與衛(wèi)星的質(zhì)量 m之比 M/ m=81，行星的半徑 R0 與衛(wèi)星的半徑 R之比 R0/ R3.6 ，行星與衛(wèi)星之間的距離 r 與行星的半徑 R0 之比 r / R060。設(shè)衛(wèi)星表面的重力加速度

8、為 g，則在衛(wèi)星表面有 GMmmg r 2經(jīng)過計(jì)算得出：衛(wèi)星表面的重力加速度為行星表面的重力加速度的1/3600 。上述結(jié)果是否正確？若正確，列式證明；若有錯(cuò)誤，求出正確結(jié)果。解析：題中所列關(guān)于 g 的表達(dá)式并不是衛(wèi)星表面的重力加速度，而是衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度。正確的解法是衛(wèi)星表面Gm g行星表面GM=0即(R0)2 m =g 即g=0.160。R 2R02gRMg0g模型 2： 已知地球半徑為，地球表面重力加速度為，不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響。（1）推導(dǎo)第一宇宙速度的表達(dá)式；（2）若衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行軌道距離地面高度為，求衛(wèi)星的運(yùn)行周期。答案設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為 m，地球的質(zhì)

9、量為 M在地球表面附近滿足得衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力等于它受到的萬有引力式代入式，得到（2）考慮式，衛(wèi)星受到的萬有引力為。4歡迎下載精品文檔由牛頓第二定律：、式聯(lián)立解得3、人造衛(wèi)星、宇宙速度：宇宙速度：（弄清第一宇宙速度與衛(wèi)星發(fā)射速度的區(qū)別）【例 3】將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1（如圖所示），然后再次點(diǎn)火，將衛(wèi)星送入同步軌道 3。軌道 1、2 相切于 Q點(diǎn)，2、3 相切于 P 點(diǎn)，則當(dāng)衛(wèi)星分別在1、2、3 軌道上正常運(yùn)行時(shí)，以下說法正確的是：A衛(wèi)星在軌道 3上的速率大于軌道 1 上的速率。B衛(wèi)星在軌道 3上的角速度大于在軌道 1 上的角速度。P?32C衛(wèi)星在軌道 1上經(jīng)過 Q點(diǎn)時(shí)的加速度大于它在軌道

10、 21上經(jīng)過 Q點(diǎn)時(shí)的加速度。?D衛(wèi)星在軌道 2 上經(jīng)過 P點(diǎn)的加速度等于它在軌道3 上Q經(jīng)過 P 點(diǎn)時(shí)的加速度。解：由 GMmmv2GM2得 v，rrr而vGM，rr3軌道 3 的半徑比1 的大，故 A 錯(cuò) B 對，“相切” 隱含著切點(diǎn)彎曲程度相同，即衛(wèi)星在切點(diǎn)時(shí)兩軌道瞬時(shí)運(yùn)行GM半徑相同，又a2 ，故 C錯(cuò) D對。r模型 2：如圖所示，同步衛(wèi)星與地心的距離為，運(yùn)行速率為，向心加速度為；地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度為，第一宇宙速度為，地球半徑為，則下列比值正確的是（）。5歡迎下載精品文檔A:B:C:D:選項(xiàng)分析： A、B 項(xiàng)，同步衛(wèi)星與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同，故 A 項(xiàng)正確， B 項(xiàng)

11、錯(cuò)誤。 C、 D 項(xiàng)，同步衛(wèi)星：，對于近地衛(wèi)星：，故 C 項(xiàng)錯(cuò)誤， D 項(xiàng)正確。綜上所述，本題正確答案為 AD。模型 3：如圖所示， a、b 是兩顆繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星，它們距地面的高度分別是和（為地球半徑）。下列說法中正確的是（）。A: a 、b 的線速度大小之比是B: a、 b 的周期之比是C: a 、b 的角速度大小之比是D: a、 b 的向心加速度大小之比是選項(xiàng)分析：A 項(xiàng)，根據(jù)萬有引力與行星線速度的關(guān)系得，所以 a、b的線速度大小之比，故 A 項(xiàng)錯(cuò)誤。6歡迎下載精品文檔B 項(xiàng)，根據(jù)萬有引力與行星繞轉(zhuǎn)周期的關(guān)系得，所以 a、 b 的周期之比為，故 B 項(xiàng)錯(cuò)誤。C 項(xiàng)，根據(jù)萬有

12、引力與行星角速度的關(guān)系得，所以 a、 b的角速度之比為，故C 項(xiàng)正確。D 項(xiàng)，根據(jù)萬有引力與行星加速度的關(guān)系得，所以 a、b 的加速度之比為，故 D 項(xiàng)正確。綜上所述，本題正確答案為CD。4、雙星問題：【例 4】兩個(gè)星球組成雙星，它們在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上某點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。 現(xiàn)測得兩星中心距離為R，其運(yùn)動(dòng)周期為 T，求兩星的總質(zhì)量。解析：設(shè)兩星質(zhì)量分別為1 和2，都繞連線上O點(diǎn)作周期為T的圓周運(yùn)動(dòng)，星球 1 和星球 2 到 的距離分MMO別為 l 1 和 l2。由萬有引力定律和牛頓第二定律及幾何條件可得對 M1：GM 1M 2 M1（ 2 ） 2 l 1 M2 4 2

13、 R2l1R 2TGT 2M1M 224222R l 2對2：G 2（l 1）2MR2MTMGT 2兩式相加得1 242 R2（l12） 4 2R3。M MlGT 2GT 2模型 2： 經(jīng)長期觀測人們在宇宙中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了“雙星系統(tǒng) ”.“雙星系統(tǒng) ”由兩顆相距較近的恒星組成 , 每個(gè)恒星的線度遠(yuǎn)小于兩個(gè)星體之間的距離,而且雙星系統(tǒng)一般遠(yuǎn)離其他天體 .如圖 , 兩顆星球組成的雙星 , 在相互之間的萬有引力作用下, 繞連線上的 O點(diǎn)做周期相同的。7歡迎下載精品文檔勻速圓周運(yùn)動(dòng) . 現(xiàn)測得兩顆星之間的距離為L, 質(zhì)量之比為. 則可知 ()A、做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度之比為B 、做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度之比為C做圓

14、周運(yùn)動(dòng)的半徑為D做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為解: 雙星系統(tǒng)靠相互間的萬有引力提供向心力, 角速度大小相等 , 向心力大小相等 , 故有 :所以又所以可得,A、據(jù)可以知道 , 所以 A 選項(xiàng)是正確的 ;B、因?yàn)殡p星的角速度相等, 故 B 錯(cuò)誤 ;C 、因?yàn)? 所以 C 錯(cuò)誤 ;D 、因?yàn)?所以 D選項(xiàng)是正確的 . 所以 AD選項(xiàng)是正確的 .5、有關(guān)航天問題的分析：【例 5】無人飛船“神州二號”曾在離地高度為H3. 4 105m的圓軌道上運(yùn)行了47小時(shí)。求在這段時(shí)間內(nèi)它繞行地球多少圈？（地球半徑R=6.37 106m，重力加速度 g9.8m/s 2）解析：用 r 表示飛船圓軌道半徑 r =H+ R=6. 7

15、1106m 。表示地球質(zhì)量，表示飛船質(zhì)量，表示飛船繞地球運(yùn)行的角速度，G表示萬有引力常數(shù)。由萬有引力定Mm律和牛頓定律得GMmm2r 利用 G M g 得gR22 由于 2， T 表示周期。解得r 2R 2r 3TT 2 rr ，又 n=t代入數(shù)值解得繞行圈數(shù)為n=31。RgT。8歡迎下載精品文檔練習(xí)：1如圖所示， a、b 是兩顆繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星，它們距地面的高度分別是和（為地球半徑）。下列說法中正確的是（）。A: a 、b 的線速度大小之比是B: a、 b 的周期之比是C: a 、b 的角速度大小之比是D: a、 b 的向心加速度大小之比是2近地人造衛(wèi)星 1 和 2 繞地球做勻

16、速圓周運(yùn)動(dòng)的周期分別為和，設(shè)在衛(wèi)星1、衛(wèi)星 2 各自所在的高度上的重力加速度大小分別為、，則（）。A:B:C:D:3某網(wǎng)站報(bào)道，美科學(xué)家發(fā)現(xiàn)太陽系外第一顆 “全宜居”行星，其質(zhì)量約為地球質(zhì)量的 6.4 倍如果某一天發(fā)射一顆載人航天器到該行星上去， 測得一個(gè)在地球表面質(zhì)量為 50kg 的人在該行星表面的重力約為 800N，而地球表面處的重力加速度為 10 m/s 2. 根據(jù)上述信息，你認(rèn)為下列說法中正確的是()A載人航天器的發(fā)射速度約為7.9km/sB載人航天器的發(fā)射速度小于11.2km/sC該行星的半徑與地球的半徑之比約為2D該行星的半徑與地球的半徑之比約為34“嫦娥一號 ”于 2009 年

17、3 月 1 日下午 4 時(shí) 13 分成功撞月 , 從發(fā)射到撞月歷時(shí)433 天, 標(biāo)志我國一期探月工程圓滿結(jié)束. 其中 , 衛(wèi)星發(fā)射過程先在近地圓軌道繞行3 周 , 再長途跋涉進(jìn)入近月圓軌道繞月飛行. 若月球表面的重力加速度為地球表面重力加速度的, 月球半徑為地球半徑的, 根據(jù)以上信息得 ()。9歡迎下載精品文檔A繞月與繞地飛行周期之比為B 繞月與繞地飛行周期之比為C繞月與繞地飛行向心加速度之比為D 月球與地球質(zhì)量之比為5嫦娥二號衛(wèi)星已成功發(fā)射, 這次發(fā)射后衛(wèi)星直接進(jìn)入近地點(diǎn)高度200 公里、遠(yuǎn)地點(diǎn)高度約 38 萬公里的地月轉(zhuǎn)移軌道直接奔月. 當(dāng)衛(wèi)星到達(dá)月球附近的特定位置時(shí), 衛(wèi)星就必須“急剎車 ”,也就是近月制動(dòng) , 以確保衛(wèi)星既能被月球準(zhǔn)確捕獲 , 又不會(huì)撞上月球 , 并由此進(jìn)入近月點(diǎn) 100 公里、周期