桿件的內力截面法

1、桿件的內力截面法一、基本要求1. 了解軸向拉伸與壓縮、扭轉、彎曲的概念；2. 掌握用截面法計算基本變形桿件截面上的內力;3. 熟練掌握基本變形桿件內力圖的繪制方法。二、內容提要1 .軸向拉伸和壓縮1）軸向拉伸或壓縮的概念受力特點：外力或合外力與軸線重合；變形特點：桿件產生沿軸線方向的伸長或縮短。計算簡圖為：圖2-12）軸力軸向拉壓時，桿件截面上分布內力系的合力的作用線與桿件軸線重合，稱為 軸力。一般用Fn表示，單位為牛頓（N）。軸力的正負號規(guī)定：拉為正，壓為負。3）軸力圖表示軸力沿桿件軸線變化規(guī)律的圖線。該圖一般以平行丁桿件軸線的橫坐標x軸表示橫截面位置，縱軸表示對應橫截面上軸力的大小。正的軸

2、力畫在x軸上方，負的軸力畫在x軸下方。2. 扭轉1）扭轉的概念受力特點：在桿件兩端垂直丁桿軸線的平面內作用一對大小相等，方向相反 的外力偶。變形特點：橫截面形狀大小未變，只是繞軸線發(fā)生相對轉動。軸：以扭轉為主要變形的桿件稱為軸。a -th-2）外力偶矩傳動軸所受的外力偶矩通常不是直接給出，而是根據軸的轉速n與傳遞的功 率P來計算。當功率P單位為千瓦（kW），轉速為n （r/min）時，外力偶矩為PM e = 9549 （N .m）n當功率P單位為馬力（PS）,轉速為n （r/min）時，外力偶矩為PM e =7024 （N .m） n3）扭矩、扭矩圖當外力偶矩已知，利用截面法可求任一橫截面上的

3、內力偶矩一扭矩，用T表示。扭矩的正負號規(guī)定：按右手螺旋法則，T欠量背離截面為正，指向截面為負 （或欠量與截面外法線方向一致為正，反之為負）。表示扭矩隨桿件軸線變化規(guī)律的圖線稱為扭矩圖。扭矩圖作法與軸力圖相 似。正的扭矩畫在x軸上方，負的扭矩畫在x軸下方。3. 彎曲內力1）基本概念彎曲變形：桿件在垂直丁其軸線的載荷作用 下，使原為直線的軸線變?yōu)榍€的變形稱為彎曲變 形。以彎曲變形為主要變形的桿件稱為 梁。對稱彎曲：工程中最常見的梁，其橫截面一般 至少有一根對稱軸，因而整個桿件有一個包含軸線 的縱向對稱面。若所有外力都作用在該縱向對稱面內時，梁彎曲變形后的軸線將是位丁該平面內的一條曲線，這種彎曲形

4、式稱為 對：H： A1 稱彎曲。其力學模型如圖2-3所示。2）梁的計算簡圖 靜定梁：所有支座反力均可由 靜力平衡方程確定的梁。A Si圖2-4靜定梁的基本形式有簡支梁、懸臂梁、外伸梁C 計算簡圖分別如圖2-4 （a）、（b）、（c）所示。3）剪 力和彎矩剪力：受彎構件任意橫截面上與橫截面相切的分 布內力系的合力，稱為剪力，用FS表示。彎矩：受彎構件任意橫截面上與橫截面垂直的分布內力系的合力偶矩，稱為彎矩，用M表小。剪力和彎矩的正負號規(guī)定：從梁中取出長為 dx的微段，若橫截面上的剪力 使dx微段有左端向上而右端向下的相對錯動趨勢時，此剪力Fs規(guī)定為正，反之為負（或使梁產生順時針轉動的剪力規(guī)定為正

5、，反之為負），如圖2-5 （a）、（b） 所示；若彎矩使dx微段的彎曲變形凸向下時，截面上的彎矩 M規(guī)定為正，反之 為負（或使梁下部受拉而上部受壓的彎矩為正，反之為負），如圖2-5 （c）、（d）“0卜們y aDzg)ib皿點所示。圖2-5根據內力與外力的平衡關系，若外力對截面形心取矩為順時針力矩， 則該力 在截面上產生正的剪力，反之為負的剪力(順為正，逆為負) ；固定截面，若外 力或外力偶使梁產生上挑的變形，則該力或力偶在截面上產生正的彎矩， 反之為 負的彎矩(上挑為正，下壓為負)。4)剪力方程和彎矩方程一般情況下，梁橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置不同而變化。若以坐標x表示橫截面在梁軸線上的

6、位置，則橫截面上的剪力和彎矩可以表示為x的函數，即 FS =Fs(x)M = M (x)上述函數表達式稱為梁的剪力方程和彎矩方程。5)剪力圖和彎矩圖為了直觀地表達剪力Fs和彎矩M沿梁軸線的變化規(guī)律，以平行丁梁軸線的 橫坐標x表示橫截面的位置，以縱坐標按適當的比例表示響應橫截面上的剪力和 彎矩，所繪出的圖形分別稱為剪力圖和彎矩圖。剪力圖和彎矩圖的繪制方法有以下兩種：(1) 剪力、彎矩方程法：即根據剪力方程和彎矩方程作圖。其步驟為：第求支座反力。第二，根據截荷情況分段歹0出FS(x)和M(x)。在集中力(包括支座反力)、集中力偶和分布載荷的起止點處，剪力方程和 彎矩方程可能發(fā)生變化，所以這些點均為

7、剪力方程和彎矩方程的分段點。第三，求控制截面內力，作 Fs、M圖。一般每段的兩個端點截面為控制截面。在有均布載荷的段內，Fs=0的截面處彎矩為極值，也作為控制截面求出其彎矩值。將控制截面的內力值標在的相應位置處。 分段點之間的圖形可根據剪力方程和彎矩方程繪出。并注明Fs|max、M |max的數值。(2) 微分關系法：即利用載荷集度、剪力與彎矩之間的關系繪制剪力圖和 彎矩圖。載荷集度q (x)、剪力Fs (x)與彎矩M (x)之間的關系為：3*)dxdM (x)=Fs(x)dxd 2M (x) dF s(x)2 = q( x)dxdx根據上述微分關系，由梁上載荷的變化即可推知剪力圖和彎矩圖的形

8、狀。(a)若某段梁上無分布載荷，即q(x)=0，貝U該段梁的剪力Fs (x)為常量, 剪力圖為平行丁 x軸的直線；而彎矩M (x)為x的一次函數，彎矩圖為斜直線。（b）若某段梁上的分布載荷q（x）=q （常量），貝U該段梁的剪力Fs（X）為x的 一次函數，剪力圖為斜直線；而M （x）為x的二次函數，彎矩圖為拋物線。當q0（q向上）時，彎矩圖為向下凸的曲線；當q<0 （q向下）時，彎矩圖為向上凸 的曲線。（c）若某截面的剪力Fs （x） =0,根據 竺也=0，該截面的彎矩為極值。dx利用以上各點，除可以校核已作出的剪力圖和彎矩圖是否正確外，還可以利 用微分關系直接繪制剪力圖和彎矩圖， 而不

9、必再建立剪力方程和彎矩方程， 其步 驟如下：第一，求支座反力（對懸臂梁，若從自由端畫起，可省去求支反力）；第二，分段確定剪力圖和彎矩圖的形狀；第三，求控制截面內力，根據微分關系繪剪力圖和彎矩圖；第四，確定Fs 和M 。7S maxmaxFs max可能出現的地方：集中力F作用處；支座處。M max可能出現的地方：剪力Fs=0的截面；集中力F作用處；集中力偶M作用處6）平面剛架和平面曲桿的彎曲內力剛架：桿系結構若在節(jié)點處為剛性連接，則這種結構稱為 剛架。平面剛架：由在同一平面內、不同取向的桿件，通過桿端相互剛性連接而組 成的結構。各桿連接處稱為剛節(jié)點。剛架變形時，剛節(jié)點處各桿軸線之間的火角保持不

10、變。靜定剛架：凡未知反 力和內力能由靜力學平衡條件確定的剛架。平面剛架各桿的內力，除了剪力和彎矩外，一般還有軸力。作剛架內力圖的 方法和步驟與梁相同，但因剛架是由不同取向的桿件組成，習慣上按下列約定： 彎矩圖畫在各桿的受壓一側，且不注明正、負號。剪力圖及軸力圖可畫在剛架軸 線的任一側（通常正值畫在剛架外側），且必須注明正負號；剪力正負號的規(guī)定與梁相同，軸力仍以拉伸為正，壓縮為負 平面曲桿：軸線為一平面曲線的桿。圖的繪制方法，與剛架相類似。三、典型例題分析例2-1 在圖2-6 （a）中，沿桿件 軸線作用 Fi、F2、F3、F4。已知:Fi=6kN , F2=18kN , F3=8kN , F4=

11、4kN。試求各 段橫截面上的軸力，并作軸力圖。解：1.計算各段軸力AC段：以截面1-1將桿分為兩段， 取左段部分（圖（b）。平面曲桿橫截面上的內力情況及其內力圖2-6由£ f x =0得Fni = Fl =6 kN （拉力）CD段：以截面2-2將桿分為兩段，取左段部分（圖（c）。由£ f x = 0得Fn2 = Fi F2 = 12 kN （壓力）Fn2的方向與圖中所示方向相反。DB段：以截面3-3將桿分為兩段，取右段部分（圖（d）。由£ f x =。得f N 3 = f 4 = 4 kN （壓力）Fn3的方向與圖中所示方向相反。2.繪軸力圖以橫坐標x表示橫截面位

12、置，縱軸表示對應橫截面上的軸力 Fn ,選取適當 比例，繪出軸力圖（圖（e）。在軸力圖中正的軸力（拉力）畫在 x軸上側，負 的軸力（壓力）畫在x軸下側。例2-2 傳動軸在圖2-7 （a）所示。主動輪A輸入功率為Pa= 36kW,從動 輪B、C、D輸出功率分別為 Pb= Pc= 11kW, Pd= 14kW，軸的轉速為n = 300r/min。 試作軸的扭矩圖。段，取左段部分（圖（b）。由平衡方程T1M B =0T - -M B 一 -350 N m負號說明Ti所假定的方向與實際扭矩相反同理，在CA段內，T2 ，M c ' M B = 02CBT2 = M C - M B = -700

13、N m在AD段內，T3 - M D 0T3 = M D =446 N m3.以橫坐標x表示橫截面位置，縱軸表示對應橫截面上的扭矩大小，選取 適當比例，繪出扭矩圖。正的扭矩畫在 x軸上側，負的扭矩畫在x軸下側。例2-3圖示簡支梁受集中力F作用，試利用剪力方程和 彎矩方程繪出該梁的剪力圖和彎矩圖。解：1.求支反力。由 £ Fy =0,£ Ma(F)=0,得FbF A =, F Bl2.列剪力、彎矩方程在AC段內，FalFs(x)=FAM (x)Fb,0 ： x ： alFbx, 0 _ x _ al在BC段內Fs(x)=-F BM (x)Fa，a ： x : llFax )=

14、-(l x ,(a M x壬l )3.求控制截面內力，作男力圖、彎矩圖。Fs圖：在AC、CB段內，剪力方程均為常數，因此兩段剪力圖均為平行丁 x軸的直線。在集中力F作用處，Fsc左=-旦，Fsc右=企，左、右兩側截面的 S CS Cll剪力值發(fā)生突變，突變量=旦(旦)=F ； m圖：在AC、CB段內，彎矩方ll程M (x)均是x的一次函數，因此兩段彎矩圖均為斜直線。求出控制截面彎矩FabM A = M B =。，M C =,標在M -x坐標系中，并分別連成直線，即得該梁的l彎矩圖。顯然在集中力F作用處左、右兩側截面上彎矩值不變，但在該截面處彎 矩圖斜率發(fā)生突變，因此在集中力 F作用處彎矩圖上為

15、折角點。例2-4 受均布載荷作用的簡支梁，如圖2-9 所示，試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：1.求支反力F Ay = FBy = ql 22.列剪力、彎矩方程qlM 0) =FAyx qxx ql22圖2-9Fs(x) = FAy -qx = 2 -qx，0 : x : l3.求控制截面內力，作剪力圖、彎矩圖M 0 = 0, M l = 0, MqlFSx = ,M 皿 S m axm ax2在某一段上作用分布載荷,2ql8剪力圖為一斜直線,彎矩圖為一拋物線。且在Fs=0處彎矩M取得極值。例2-5 如圖2-10所示簡支梁，在C點處受矩為 梁的剪力圖和彎矩圖。Me的集中力偶作用，試作解：1.求支反力

16、由平衡方程Z Mb(F)=0和乏Ma(F)=0得FA = Fb =2. 列剪力、彎矩方程 在AC段內Fsi(x) =FAyMi(x) =FAyM elm0,0 ：: x _ alm。 八.x = x, 0 _ x ：: a圖 2-10在BC段內l , 、 lm°,Fs2(X)= FBy =- , a _ X ： M (x) =Fb(1 x) = q1 (1 8 .求控制截面內力，繪Q、M圖Fs圖：AC段內，剪力方程Fs(X)是x的一次函數，剪力圖為斜直線，求出兩，、 L ,m° ,M 2(x) - -By 1 _x - -1 x , a ： x _13. 求控制截面內力，作

17、剪力圖、彎矩圖。M eFs 0= Fs 1=M aM b_eeM(0)=M(1)=0, M 左=一,M 右=在集中力偶作用處，彎矩圖上發(fā)生突變，突變值為 A M = M，而11剪力圖無改變。解：1.求支反力。由平衡方程£Mb(F)=0和圖 2-11例2-6 如圖2-11所示簡支梁。試寫出梁的剪力方程和彎矩方程，并作剪力 圖和彎矩圖。£ M A ( F) = 0 求得F a = q1 , Fb = q1882. 列剪力、彎矩方程AC段：3 Fs(x) = Fa qx = q1 - qx81(0 ：: x _ )21 231M(x)=FAx_qx =_q1x qx2 821(0

18、 £x 土 )2CB段：1(-x : 1)21-x) (一 _ x _ 1 )21Fs(x) - -Fb = -q1831個跚截面的男力值，Fsa =-ql , Fsc = - ql ,標在Fs -x坐標系中，連接兩點 88即得該段的剪力圖。CB段內，剪力方程為常數，求出其中任一截面的內力值， 連一水平線即為該段剪力圖。梁 AB的剪力圖如圖2-11(b)所示。M圖：AC段內，彎矩方程M (x)是x的二次函數，彎矩圖為二次曲線，求出兩個端截面的彎矩，Ma=0 , Mc=Lql2,分別標在M x坐標系中。在Fs=016339-處彎矩取得極值。令男力萬程 Fs(x) =0，解得x =了，求

19、得M (板l)=瑟"ql，標 在M x坐標系中。根據上面三點繪出該段的彎矩圖。 CB段內，彎矩方程M (x) 是x的一次函數，分別求出兩個端點的彎矩，標在M _x坐標系中，并連成直線。AB梁的M圖如圖2-11(c)所示。例2-7 梁的受力如圖2-12 (a)所示，試利用微分關系作梁的Fs、M圖。 解：1.求支反力。F =3kN由平衡方程£Mb(F)=0和m=3.6kN.mq=10kN /maZ M a(F) = 0 求得Fa =10 kN , Fb =5kN2.分段確定曲線形狀由丁載荷在A、D處不連續(xù)，應將梁 分為三段繪內力圖。根據微分關系dFs(x)=q(x), dxdM

20、 (x)Fs (x)dx0.6m1.2m0.6m圖 2-12d 2M (x) dFS(x)= q(x)dx 2dx,在CA和AD段內,q = 0 ,剪力圖為水平線，彎矩圖為斜直線;DB段內，q =常數，且為負值，剪力圖為斜直線，M圖為向上凸的 拋物線。3. 求控制截面的內力值,繪fs、M圖Fs圖：Fsc右=-3 kN , Fa右=7 kN ,據此可作出CA和AD兩段Fs圖的水平' 線。Fsd右=7kN , Fsb左=-5 kN，據此作出DB段Fs圖的斜直線。M圖：Me =0 , M人左=-1.8 KN 'm，據此可以作出CA段彎矩圖的斜直線A支座的約束反力Fa只會使截面A左右兩側剪力發(fā)生突變，不改變兩側的彎矩 值，故M A左=Ma右=MA = 1.8 kN -rn , M d左=2.4 kN .m，據此可作出AD段彎 矩圖的斜直線。D處的集中力偶會使D截面左右兩側的彎矩發(fā)生突變，故需求 出M D右=-1.2 KN .m , M B =0 ；由DB段的剪力圖知在E處Fs =0，該處彎矩 為極值。根據BE段的平衡條件£ Fy =0 ,知BE