概率論和數(shù)理統(tǒng)計復(fù)旦大學(xué)課后題答案5

1、5習(xí)題五1.一顆骰子連續(xù)擲 4次，點數(shù)總和記為 X.估計P10<X<18.【解】設(shè)Xi表每次擲的點數(shù)，貝U X =£ Xii 41111117 E(Xi )=12 A 45-6,666666221/1/121-21/191E(Xi )=123456=,6666666222 91 535從而D(Xi) = E(X：) -E(Xi)2 =甘-& J =袒又Xi,X2,X3,X4獨立同分布.447從而 E(X) =E(t Xj) = L E(Xj) =4 =14, rj23534435D(X) =D(' XJ = D(XJ =4 i4J1235/3 所以 P10

2、 ：X ：18 = P| X 14 | ： 4 _1 一 一0.271,422.假設(shè)一條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率是0.8.要使一批產(chǎn)品的合格率達到在76%與84%之間的概率不小于90%,問這批產(chǎn)品至少要生產(chǎn)多少件？【解】令X；1,若第i個產(chǎn)品是合格品 。，其他情形.而至少要生產(chǎn)n件，貝U i=1,2, ,且X1, X2,，Xn 獨立同分布，p=PXi=1=0.8.現(xiàn)要求n,使得n' XiP0.76 一 一 0.84 一 0.9.nn'、'Xi -0.8nP軍空絲m戶 < n-OE 湛n 0.8 0.2、n 0.8 0.2 n 0.8 0.2由中心極限定理得不 i0.

3、84n0.8n ' 木0.76n 0.8n 八八中，)中，/芝 0.9,I J0.16nJ I V0.16n整理得中 >0.95，查表 安 芝1.64, 00 ,10n> 268.96,故取 n=269.3.某車間有同型號機床 200部，每部機床開動的概率為 0.7,假定各機床開動與否互不影響， 開動時每部機床消耗電能15個單位.問至少供應(yīng)多少單位電能才可以95%的概率保證不致因供電不足而影響生產(chǎn).【解】要確定最低的供應(yīng)的電能量，應(yīng)先確定此車間同時開動的機床數(shù)目最大值m,而m要滿足200部機床中同時開動的機床數(shù)目不超過m的概率為95%，于是我們只要供應(yīng)15m單位電能就可滿足

4、要求.令X表同時開動機床數(shù)目，貝UXB (200, 0.7),。.42E(X) =140,D(X) =42,0.95 = P0 £ X 三 m = P（X 三 m）=查表知m -1401.64,m=151.- 42所以供電能151X15=2265 (單位)4. 一加法器問時收到20個噪聲電壓Vk (k=1, 2,，20),設(shè)匕們是相互獨立的隨機變量,20且都在區(qū)間(0, 10)上服從均勻分布.記V=£ Vk，求PV> 105的近似值.【解】 易知:E(Vk)=5,D(Vk)=100,k=1,2, - ,2012由中心極限定理知，隨機變量20'、Vk -20 5

5、Z ="10020 12V -20 51002012近似的 N（0,1）.V -20 5于是 PV 105 = P10020，121105-20 510.12=P v-100二 3A0.387 *1中（0.387） =0.348,即有PV>105 Q 0.3485. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的長度不小于 3m.現(xiàn)從這批木柱中隨機地取出100根，問其中至少有 30根短于3m的概率是多少？【解】設(shè)100根中有X根短于3m,則XB (100, 0.2從而30-100 0.2PX _30 =1-PX :：: 30 1.100 0.2 0.8=1(2.5) =1 -0.9938

6、 =0.0062.6. 某藥廠斷言，該廠生產(chǎn)的某種藥品對于醫(yī)治一種疑難的血液病的治愈率為0.8.醫(yī)院檢驗員任意抽查100個服用此藥品的病人，如果其中多于 75人治愈，就接受這一斷言，否則就 拒絕這一斷言.(1) 若實際上此藥品對這種疾病的治愈率是0.8,問接受這一斷言的概率是多少？(2) 若實際上此藥品對這種疾病的治愈率是0.7,問接受這一斷言的概率是多少？,心11,第i人治愈，【解】Xii =1,2, ,100.0,其他.100令 X Xi.i 4 XB(100,0.8),75-100 0.83100x0.8x0.2./100P、Xj 75=1 PX £75 ： 1-，i日=1 -

7、 ：，(-1.25)(1.25) =0.8944.(2) XB(100,0.7),°°，75-100 0.7P' Xi 75 = 1 - PX 立 75 1 -，.=j100 0.7 0.3=1 如=1 5(1.09) =0.1379.107.用Laplace中心極限定理近似計算從一批廢品率為 0.05的產(chǎn)品中，任取1000件，其中有 20件廢品的概率.【解】令1000件中廢品數(shù)X,貝Up=0.05,n=1000,XB(1000,0.05),E(X)=50, D(X)=47.5.30故PX =20=1: 20-50 一 1:,47.547.56.895 . 6.89

8、56.895地6.895_ -6= 4.5 10 .8.設(shè)有30個電子器件.它們的使用壽命 T1,，T30服從參數(shù) 仁0.1單位：(小時)-1的指數(shù)分布，其使用情況是第一個損壞第二個立即使用，以此類推.令T為30個器件使用的總計時間，求T超過350小時的概率.111【解】E(Ti)= =10, D(T)=r=10。，0.1 2E(T)=10 30 =300,D(T)= 3000.；0=1 -n (0.913) = 0.1814.350-300)PT >350 5 中l(wèi) 一V V3000 )9. 上題中的電子器件若每件為a元，那么在年計劃中一年至少需多少元才能以95%的概率保證夠用(假定一

9、年有 306個工作日，每個工作日為 8小時).【解】設(shè)至少需n件才夠用.則E(Ti)=10, D(Ti)=100,E(T)=10n, D(T)=100n.從而 PZ L 芝 3068 =0.95,即 0.05 財中 l306><810ni 注I 1Wn )故n- 244.81.64 =n ： 272.10n - 24480.95,.10n所以需272a元.10. 對于一個學(xué)生而言，來參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機變量，設(shè)一個學(xué)生無家長、1名家長、2名家長來參加會議的概率分別為0.05,0.8,0.15.若學(xué)校共有400名學(xué)生，設(shè)各學(xué)生參加會議的家長數(shù)相與獨立，且服從同一分布(1)

10、求參加會議的家長數(shù) X超過450的概率？(2) 求有1名家長來參加會議的學(xué)生數(shù)不多于340的概率.于是400' Xi -400 1.1-400 0.19X 400X1.1近似地, 4 19 N(0,1).PX 450 =1-PX £450 1-450二400_1.1.4 19【解】(1)以Xi(i=1,2, - ,40叩第i個學(xué)生來參加會議的家長數(shù).則Xi的分布律為Xi012P0.050.80.15易知 E (Xi=1.1) ,D(Xi)=0.19,i=1,2,- ,400.400而X =Xi，由中心極限定理得=1 - ：(1. 1 4 7,0. 1 3(2)以Y記有一名家長

11、來參加會議的學(xué)生數(shù).則YB(400,0.8)r340-400 0.8PY<340 全 1 =中（2.5）= 0.9938.400 0.8 0.211.設(shè)男孩出生率為 0.515,求在10000個新生嬰兒中女孩不少于男孩的概率?【解】用X表10000個嬰兒中男孩的個數(shù)，貝U XB ( 10000, 0.515男孩個數(shù)的概率，即求P(X< 5000.由中心極限定理有5000-10000x0.515 ）=?。?） = 1中（3） = 0.00135.P X £ 500010000 0.515 0.48512.設(shè)有1000個人獨立行動，每個人能夠按時進入掩蔽體的概率為在一次行動中

12、：(1) 至少有多少個人能夠進入？(2) 至多有多少人能夠進入？【解】用X表第i個人能夠按時進入掩蔽體(i=1,2, -,100。.令Sn=X+X2+,，+ X1000.(1)設(shè)至少有m人能夠進入掩蔽體，要求 PmnV 1000 > 0.,9昕件, c,m-1000 0.9 s -900mgn1000 0.9 0.1900.9.以95%概率估計,由中心極限定理知:m-1000 0.9PmS=1_P§ <m號"b/1000K0.9K0.1j-0.95.從而< 0.05,m -90090='65,所以m=900-15.65=884.35 88以（2）設(shè)

13、至多有M人能進入掩蔽體，要求 P0 W 應(yīng) > 0.95.,M -900PS£M0.95.90M -900,查表知 一- =1.65, M =900+15.65=915.65916.9013.在一定保險公司里有10000人參加保險，每人每年付12元保險費，在一年內(nèi)一個人死亡的概率為0.006,死亡者其家屬可向保險公司領(lǐng)得1000元賠償費.求：(1) 保險公司沒有利潤的概率為多大；(2) 保險公司一年的利潤不少于60000元的概率為多大？【解】設(shè)X為在一年中參加保險者的死亡人數(shù)，貝UXB (10000, 0.006).(1)公司沒有利潤當且僅當“1000=10000 X 1卻 X

14、=120”于是所求概率為sc,-3 120-10000X0.006PX =120充一平一J10000x0.006x 0.994 j10000x 0.006乂 0.994 )1 f 60)11*60/、.e2=, 中. ，= g , e 2J59.64 IJ59.64 J 后 759.6430.1811=0.0517 e ：； 0 因為 公司利潤> 60000當且僅當“ CXM 60”于是所求概率為60-10000 0.0060-10000 0.006P0 三 X £ 60:匚-一10000 0.006 0.99410000 0.006 0.994=.：，(0)一、一60.5.5

15、9.6414. 設(shè)隨機變量X和Y的數(shù)學(xué)期望都是2,方差分別為1和4,而相關(guān)系數(shù)為0.5試根據(jù)契比雪夫不等式給出 P|X-Y| > 6勺估計.(2001研考)【解】令Z=X-Y,有E(Z) =0,D(Z) = D(X -丫)=D(X) D(Y) -2&p . D(X) 一W) = 3. 所以r、 r、D(X -Y) 31P| Z -E(Z)|_6 = P| X -Y|_64 =-.6236 1215. 某保險公司多年統(tǒng)計資料表明，在索賠戶中，被盜索賠戶占20%，以X表示在隨機抽查的100個索賠戶中，因被盜向保險公司索賠的戶數(shù)(1) 寫出X的概率分布；(2) 利用中心極限定理，求被盜

16、索賠戶不少于14戶且不多于30戶的概率近似值.(1988研考)【解】(1) X可看作100次重復(fù)獨立試驗中，被盜戶數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)，而在每次試驗中被盜戶出現(xiàn)的概率是 0.2,因此，XB(100,0.2),故X的概率分布是PX =k =C：000.2k0.8100*,k =1,2, ,100.(2)被盜索賠戶不少于 14戶且不多于30戶的概率即為事件14 < XV 30概率.由中心 極限定理，得14-100 0.2100 0.2 0.830-100x0.2 )P14X壬30全中IJ100X0.2X0.8 J=：."2.5) - ：，(一1.5) =0.994 -一9.33 =0.927.16. 一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機的.假設(shè)每箱平均重50千克，標準差為5千克，若用最大載重量為 5噸的汽車承運，試利用中心極限定理說明每輛車最多可 以裝多少箱，才能保障不超載的概率大于0.977.【解】設(shè)Xi (i=1,2, -n)是裝運i箱的重量(單位：千克)，n為所求的箱數(shù)，由條件知，可把Xi, X2,，X