正弦定理余弦定理知識點總結及最全證明

1、正弦定理、余弦定理知識點總結及證明方法1 .掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一 些簡單的三角形度量問題.2 .能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和 方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問 題.主要考查有關定理的應用、三角包等變換 的能力、運算能力及轉化的數(shù)學思想.解三角 形常常作為解題工具用于立體幾何中的計算或 證明，或與三角函數(shù)聯(lián)系在一起求距離、高度 以及角度等問題，且多以應用題的形式出現(xiàn).1 .正弦定理(1)正弦定理：在一個三角形中，各邊和它 所對角的正弦的比相等，即.其 中R是三角形外接圓的半徑.(2)正弦定理的其他形式：a = 2Rsin A, b =, c =；sin A=素 sin

2、 B=,王彥文青銅峽一中sin C=;a ： b ： c=.2 .余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一邊的平方等 于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的火 角的余弦的積的兩倍.即a2=, b2=,c2=.若C= 90° ,則c2=,即為勾 股定理.2 2) 余弦定理的變形：cosA =, cos B=, cos C=.若C為銳角,則cosC>0,即a2+ b2 c2;若C為鈍角，貝U cosC<0,即a2+ b2 c2.故由a2 + b2與c2值的大小比較，可以判斷C為銳 角、鈍角或直角.(3)正、余弦定理的一個重要作用是實現(xiàn)邊 角,余弦定理亦可以寫成sin 2A=si

3、n 2B+ sin 2C 2sin Bsin CcosA,類似地， sin 2B = ；sin 2C 二.注意式中隱含條件 A+ B + C=冗.3 .解斜三角形的類型(1)已知三角形的任意兩個角與一邊，用 定理.只有一解.(2)已知三角形的任意兩邊與其中一邊的 對角，用 定理，可能有L如在 ABC中，已知a, b和A時，解的情況如表：A為銳角A為鈍角 或直角圖 形關 系 式a =bsin Absin A<a<ba>ba>b解 的 個 數(shù)【自查自糾】a b c1(1)r=-='s sin A sin B sin2 Rsin B 2Rsin CC= 2Rb c而2

4、Rsin A ： sin B ： sin C2. (1) b* 2+ c2 2bccosA a2+ b2 2abcosC a2+ b2c22+ a 2ca cosBb2+c2 a2 2bcc2 + a2- b22caa + b c >2ab(3)已知三邊，用定理.有解時，只有一解.1八4. (1) 2absin C2bcsin A 2acsinabc1r(4)已知兩邊及夾角，用 定理，必有一解.4 .三角形中的常用公式或變式(1)三角形面積公式$=互化sin A+ B+ C=兀，則 A=,A-= , 從而 sin A =C+ sin 2A 2sin Csin AcosBsin 2A+ s

5、in 2B 2sin Asin BcosC3. (1)正弦(2)正弦 一解、兩解或無解 一解二解一解一解余弦 (4)余弦1-、2(a+b+c)r(2)九一(B+ C)冗B+ C2-2-cosA = , tan A 二sin( B+ C) cos(B+ C).AAsin 2: cos2=, A , tan 2= + tan B+ tan C=.(3)若三角形三邊a, b, c成等差數(shù)列，則2b =? 2sin B =?c.BA- CA C A C A2sin 2=cos2？ 2cos2- = cos2-? tan2B Ctan( B + C) cos 21-B+C tan2sinB+ C2tan

6、 Atan Btan C (3) a+ c sin A+ sin CC 1 tan 2 = 3.在 ABC中，已知 b=6, c=10, B= 30° ,則 解此三角形的結果有（）A.無解B.一解C兩解D.一解或兩解c- sin B 5解：由正弦止理知sin C=b 又由c>b>csinB知，C有兩解.也可依已知條件，畫 出AABC由圖知有兩解.故選 C.在 ABC中,A>B是 sin A>sin 8的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解：因為在同一三角形中，角大則邊大， 邊大則正弦大，反之也成立，故是充要條件.故 選

7、C（2013 陜西）設4ABC的內(nèi)角A, B, C 所對的邊分別為 a, b, c, 若 bcosC+ ccosB= asin A, 則ABC勺形X犬為（）A銳角三角形B.直角三角形C鈍角三角形D.不確定解：由已知和正弦定理可得sin CcosB = sin A - sin A , 即sin( B + C)sin BcosC+sin Asin A,亦即 sin A= sin Asin A 因為 0<A< 九, 一一. 一一. 九 一一. * 所以sinA= 1,所以A=5.所以三角形為直角三角形.故選B.的大小為.解：. sin B+ cosB=木,.,欣sin B+ 4- =/2

8、,即 sin B+ 4 =1._ 冗 冗 _ 冗又Be （0,兀），.B+ 7=萬，B=-.一-、一 a b 一1根據(jù)正弦定理可得sinA=sin A sin Basin B 1b =2,/a<b, . . A< B.A= .故填石.（2012陜西）在zABC中，角A, B, C所對的 邊分別為 a, b, c.若2= 2, B=T c = 2a/3, 貝 U b=.解：由余弦定理知 b2 = a2+ c22accosB= 2*2的 2X2X2 3/X cos g 4, b 2. 故填2.在AABC中，角A, B, C所對的邊分別為a, b,c,若 a=也，b = 2, sin B

9、+ cosB=也，則角 A類型一正弦定理的應用ABC的內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a, b, c, 已知 A C= 90° , a+c = 2b,求 C.解：由a+c = /b及正弦定理可得sin A+ sin C= 2sin B.又由于 A C= 90° , B= 180° (A+ C), 故 cosC+ sin C= sin A+ sin C= 2sin( A+ C)= V2sin(90 0 + 2C)=V2sin2(45 ° + Q.啦 sin(45 0 + C) = 2 / sin(45 ° +C)cos(45 ° + C)

10、,(2012 江西)在 ABC中，A A, B, C的對邊 ,冗冗 _分別為 a, b, c.已知 A= , bsin + C -兀 ccsin v+ B =a.4,、_ _ 九(1)求證：B-C= -2；(2)若a = J2,求ABC勺面積.解：(1)證明：對 bsin _4 + C csin - + B = a 應用正弦止理得sin Bsin + C sin Csin -4 + B =sin A,c 22sin B_2 sin C+ gcosC1即 cos(45 + C)=.又O。<C< 90° , a 45O +C= 60° , C = 15°

11、.【評析】利用正弦定理將邊邊關系轉化為 角角關系，這是解此題的關鍵.類型二余弦定理的應用一 sin CcosB= 1,即 sin (B C) = 1.由于b, ce7t0，4"，: B C= "2".sin C 2sin B+ #cosB =乎，整理得 sin BcosCB C在ABC, a, b, c分別是角A, B, C的對邊,a=q2, A= "4, .,由正弦定理知c cosB b且.cosC 2a+casin B 5n sin A = 2sin_8",asin C7tc=/=2sing求B的大小；若b=，i3, a+c = 4,求4A

12、BC的面積.S»A ABC=-bcsin A= - x 2sin227trx2sin7解： 由余弦定理知，cosB=a2 3+ c2-b2X，2a2+ b2 c2cosC=2ab,將上式代入cosB： cosCb2a+ c_3 九 一. ,(2)B+ C= n A= 4-,又由(1)知冗=/-5九 - 九B=C=8 '8.=V2sinsin = V2cossin =申88882Tt 1sin 1 = 2.a2+ c2-b22ac- 2ab a2+b2 c2a+c'整理得 a(2)將 b = V13, a+c=4, B=z兀 + c2 b2= ac., a2+c2-b2

13、 _ ac 1 2ac 2ac 2_ ,2 2.B為三角形的內(nèi)角，；B=鼻冗.代入b23=a +c 2accosB,彳等 13=422ac一 2accos&3冗，解得ac=3.類型三 正、余弦定理的綜合應用, Sa abc1，acsin B=3,34【評析】根據(jù)所給等式的結構特點利用 余弦定理將角化邊進行變形是迅速解答本題的 關鍵.熟練運用余弦定理及其推論，同時還 要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運 用.若AABC的內(nèi)角A, B, C所對白邊a, b, c滿 足（a+b）2 c2= 4,且 C= 60° ,則 ab 的值為 （）B. 8-473C. 1解：由余弦定理得

14、c2 = a2+ b22abcosC=a+b ab,代入（a + b） c=4 中得（a+b）-（a2+b2- ab） =4,即 3ab=4, ； ab= 4.故選3A.（2013 全國新課標H ） ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a, b, c,已知a= bcosC+ csin B.（1）求 B;（2）若b = 2,求AABC面積的最大值.解：（1）由已知及正弦定理得sinA =sin BcosC+ sin Csin B.乂九一（B+ C）,故sin A = sin（ B + C） = sin BcosC + cosBsin C.由，和CC （0 ,冗）得sin B= cosB.一一 九又

15、BC （0,冗），所以b=J.1f 2(2) ABC勺面積 S= 2acsin B=七ac.由已知及余弦定理得4 = a2 + c2 冗 2accos;4又 a2+c2>2ac,故 ac0當且僅當a = c時，等號成立.因此 ABC面積的最大值為V2+1.【評析】(1)化邊為角與和角或差角公式的正向或反向多次聯(lián)用是常用的技巧；（2）已知10 ；;227 .類型四判斷三角形的形狀邊及其對角求三角形面積最值是高考中考過 多次的問題，既可用三角函數(shù)求最值，也可 以用余弦定理化邊后用不等式求最值.解法一：由正弦定理，得a2 sin 2A sn"2B，（2013山東）設4ABC的內(nèi)角A,

16、 B, C所對的邊分別為 a, b, c,且 a+c = 6, b = 2, cosB _7 =9,在三角形ABCK 若tanA： tanB= a2 ： b2,試判 斷三角形ABC的形狀.(1)求a, c的值；(2)求 sin( A- B)的值.解：(1)由余弦定理 b2= a2+c22accosB,得 b2=(a+c)22ac(1+cosB),又 a + c =6, b = 2,tan A sin 2Atan B sin 2B'所以sin AcosB sin 2AcosAsin B sin 2B,即 sin2 A= sin2 B.所以2A= 2B,或2A+ 2B=兀，因此 A= Bc

17、osB= 9,所以 ac=9,解得 a=3, c = 3.一兀 一.或A+ B=萬，從而 ABC是等腰三角形或直角(2)在4ABC中,sin B="cos2B=4:29 ，三角形.由正弦定理得sin A= asnB= 2-2. b 3、 一 a2 sin 2A解法二：由正弦定理，得3=sn電，所以因為a= c,所以A為銳角,tanA sin 2AcosB sin AtanB= sin2B，所以cosA= sin B，再由正、示弦所以 cosA= 1 sin 2A=:3因此 sin( A B) =sin AcosB cosAsin B=a2+ c2 - b2定理，W .222r,化簡得

18、(a b)( c b + c a b-2bc-a2b2)=0,即 a2=b2或 c2= a2 + b2.從而 ABC是等腰三角形或直角三角形.【評析】由已知條件，可先將切化弦，再 結合正弦定理，將該恒等式的邊都化為角，然 后進行三角函數(shù)式的包等變形，找出角之間的 關系；或將角都化成邊，然后進行代數(shù)包等變 形，可一題多解，多角度思考問題，從而達到 對知識的熟練掌握.（2012 上海）在 ZXABC 中，若 sin 2A +sin 2氏sin 2C,則 ABC的形X犬是()A銳角三角形B.直角三角形C鈍角三角形D.不能確定解：在 ABC中，sin 2A+ sin 2B<sin 2C,由正弦定

19、理知2.22.a +b ca + b <c . . . cos C=;-r2ab<0,即/C為鈍角，ABE鈍角三角形.故選C.類型五解三角形應用舉例某港口。要將一件重要物品用小艇送到一艘正 在航行的輪船上.在小艇出發(fā)時，輪船位于港 口。北偏西30°且與該港口相距20 n mile的 A處，并以30 n mile/h 的航行速度沿正東方 向勻速行駛.假設該小艇沿直線方向以v nmile/h的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t h與輪船 相遇.(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則 小艇航行速度的大小應為多少(2)假設小艇的最高航行速度只能達到30 n mile/h，試設計航行方案(

20、即確定航行方向和航 行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船 相遇，并說明理由.解法一：(1)設相遇時小艇航行的距離為Sn mile ,則S=4900t 2 + 4002 30t 20 cos (90° 30° )=900t2-600t +400="j900 t-J+300,故當t =g時，Smin=10/3,此時丫二也步二 330 3.即小艇以30V3 n mile/h的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小.(2)設小艇與輪船在B處相遇，則v2t2=400+900t2 2 20 30t - cos(90 ° 30° ),600 400900

21、十 了.即t22600 400 V0<v<30, .900 +-t<900,3一t w0，解得t>3.又t = 3時，v = 30.故v = 30時,t取得最小值，且最小值等于2.3此時，在 OAB中，有。陣OB= AB= 20, 故可設計航行方案如下：航行方向為北偏東 30° ,航行速度為 30 n mile/h ，小艇能以最 短時間與輪船相遇.解法二：(1)若相遇時小艇的航行距離最 小，又輪船沿正東方向勻速行駛，則小艇航行 方向為正北方向.設小艇與輪船在C處相遇.在 RtzXOAC中，。生20cos30° = 10/3,AG= 20sin30&#

22、176; =10.乂心 30t ,。生 vt ,止匕時，輪船航行時間t=30=3,v=q3=330 3.即小艇以3073 n mile/h的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小.(2)假設v = 30時，小艇能以最短時間與輪 船在D處相遇，止匕時AA D830t.又/OA生 60° ,所以 AD= D0=。是 20, 解得t = 2.3據(jù)此可設計航行方案如下：航行方向為北偏東30° ,航行速度的大小為 30 n mile/h.這樣，小艇能以最短時間與輪船相 遇.證明如下：如圖，由得0G= 10V3, AG= 10,故OCAC,且對于線段AC上任意點P,有OP> OGAC

23、而小艇的最高航行速度只能達到30 nmile/h，故小艇與輪船不可能在 A, C之間（包 含C）的任意位置相遇.設/CO及 8 （0° <8 <90° ），則在 RtACOD 中， 2取得最小值，且最小值為-.3【評析】這是一道有關解三角形的實際 應用題，解題的關鍵是把實際問題抽象成純數(shù) 學問題，根據(jù)題目提供的信息，找出三角形中 的數(shù)量關系，然后利用正、余弦定理求解. 解三角形的方法在實際問題中，有廣泛的應 用.在物理學中，有關向量的計算也要用到解 三角形的方法.近年的高考中我們發(fā)現(xiàn)以解三 角形為背景的應用題開始成為熱點問題之 一.不管是什么類型的三角應用問題，

24、解決 的關鍵都是充分理解題意，將問題中的語言敘 述弄明白，畫出幫助分析問題的草圖，再將其 歸結為屬于哪類可解的三角形.本題用幾 何方法求解也較簡便.CA 10也tan 9 ,由于從出發(fā)到相遇，輪船與小艇所需要的八口10+ 10V3tanM10x/3時間分別為t=30和13，10+10仙tan 910也所以 30=vcos, 一15 :3由此可得，v = sin （0130。）.又 v030,故 sin（ 8+30° ） >3,從而, 30° < 9 <90° .由于0 =30°時，tan 0取得最小值，且最小值為33于是，當0=30。日

25、寸，=30030（2012 武漢5月模擬）如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12 海里，漁船乙以10海里/小時的速度從島嶼 A 出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從 B處出 發(fā)沿北偏東a的方向追趕漁船乙，剛好用2小 時追上.(1)求漁船甲的速度；(2)求sin民的值.解：(1)依題意，/ BA0120° , AB= 12, AC= 10X2= 20,在ABC,由余弦定理知BC = A+AC2AB- AC- cos/ BAC= 122+202- 2X12X20X cos120° = 784, BC= 28.28所以漁船甲的速度為 v =萬=14(海里/小時).(2)在ZXABC中,AB= 12, / BAG 120° , BG= 28,