二次函數(shù)典型例題解析與習(xí)題訓(xùn)練.

1、二次函數(shù)一、知識(shí)點(diǎn)梳理1.定義：一般地， 如果 yax2bxc(a, b, c 是常數(shù)， a 0) ，那么 y 叫做 x 的二次函數(shù) .2.二次函數(shù) y ax2bxc 的圖像是對(duì)稱軸平行于（包括重合）y 軸的拋物線 .二次函數(shù)yax2(,是常數(shù)，a0)bx c a b ca>0a<0yy0x0x（1）拋物線開口向上，并向上無限延伸；（1）拋物線開口向下，并向下無限延伸；（2）對(duì)稱軸是 x=b ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（b ， （2）對(duì)稱軸是 x=b ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（b，2a2a2a2a4ac b24ac b24a）；4a）；（3）在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)b時(shí)， y（ 3）在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)b時(shí)，

2、yx<x<2a2a隨 x 的增大而減??；在對(duì)稱軸的右側(cè)，隨 x 的增大而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng) x>b時(shí)， y 隨 x 的增大而增大即當(dāng) x>b時(shí)， y 隨 x 的增大而減小2a2a（4）拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng) x=b 時(shí)， y 有（4）拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)x=b 時(shí)， y有2a2a4acb24acb2最小值，y最小值最大值，y最大值4a4a3. 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（ 1）一般式： y ax2 bx c . 已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì) x 、 y 的值，通常選擇一般式 .（ 2）頂點(diǎn)式： ya xh2k . 已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸以及最值，通常選擇頂點(diǎn)式.b24ac

3、b 2求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法：yax2bxca x，2a4a頂點(diǎn)是（b4ac b2）xb，.2a4a，對(duì)稱軸是直線2a（ 3）交點(diǎn)式：已知圖像與 x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)x1、，通常選用交點(diǎn)式：y a x x1 x x2x2拋 物 線 與 x 軸 兩 交 點(diǎn) 之 間 的 距 離 ： 若 拋 物 線 yax2bx c 與 x 軸 兩 交 點(diǎn) 為A x ， B x ， ，由于x1、 x2是方程 ax2bxc0 的兩個(gè)根，故1020x1x2b , x1 x2caab2b24acAB x1x2x12x1x224x1 x24cx2aaaa4. 拋物線 yax 2bxc 中， a,b, c 的作用（1） a

4、決定開口方向及開口大?。篴 >0 ，開口向上；a <0 ，開口向下；越大，開口越?。?2） b 和 a 決定拋物線對(duì)稱軸（左同右異 ） b0 時(shí)，對(duì)稱軸為y 軸； b0 （即a 、 b 同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在y 軸左側(cè)；a b0 （即a 、 b 異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在y 軸右側(cè).a（ 3） c 決定拋物線與 y 軸交點(diǎn)的位置 . c 0 ，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)； c 0 , 與 y 軸交于正半軸； c 0 , 與 y 軸交于負(fù)半軸 .（ 4）b24ac 決定拋物線與x 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù) 0，有 2個(gè)交點(diǎn)0, 有1個(gè)交點(diǎn)； 0 ，無交點(diǎn)二、例題解析例 1 已知：二次函數(shù)為 y=x2 x+m（ 1）寫出

5、它的圖像的開口方向，對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2） m 為何值時(shí)，頂點(diǎn)在x 軸上方（3）若拋物線與y 軸交于 A，過 A 作 AB x 軸交拋物線于另一點(diǎn)B，當(dāng)SAOB =4 時(shí)，求此二次函數(shù)的解析式【分析】（ 1）用配方法可以達(dá)到目的；（2）頂點(diǎn)在 x 軸的上方，即頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正；（3） AB x 軸， A ， B 兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)是相等的，從而可求出m 的值【解答】（ 1）由已知 y=x 2 x+m 中，二次項(xiàng)系數(shù)a=1>0，開口向上，又 y=x 2 x+m=x 2x+ （ 1 ） 21+m= （ x1 ）2+4m 12424對(duì)稱軸是直線 x=1 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1 ， 4m1 ）224（ 2

6、）頂點(diǎn)在 x 軸上方，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于4m10，即>041 m>4 m> 1 時(shí)，頂點(diǎn)在x 軸上方4（ 3）令 x=0 ，則 y=m 即拋物線y=x 2 x+m 與 y 軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是A （0， m） AB x 軸 B 點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m當(dāng) x2 x+m=m 時(shí)，解得 x1=0， x2=1 A （ 0， m）， B（ 1， m）在 RtBAO 中， AB=1 ，OA= m1 S AOB = OA ·AB=4 2 1 m· 1=4 ， m=±82故所求二次函數(shù)的解析式為y=x 2 x+8 或 y=x 2 x 8【點(diǎn)評(píng)】正確理解并掌握二次函數(shù)中常數(shù)a，b

7、，c 的符號(hào)與函數(shù)性質(zhì)及位置的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵之處2m<n，拋物線2例 2 已知： m， n 是方程 x 6x+5=0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且y= x +bx+c 的圖像經(jīng)過點(diǎn) A （ m， 0）， B （ 0， n），如圖所示（1）求這個(gè)拋物線的解析式；（2）設(shè)（ 1）中的拋物線與 x 軸的另一交點(diǎn)為 C，拋物線的頂點(diǎn)為D，試求出點(diǎn) C， D 的坐標(biāo)和 BCD 的面積；（ 3）P 是線段 OC 上的一點(diǎn)，過點(diǎn) P 作 PH x 軸，與拋物線交于 H 點(diǎn)，若直線 BC 把 PCH 分成面積之比為 2： 3 的兩部分，請(qǐng)求出 P 點(diǎn)的坐標(biāo)【分析】（ 1）解方程求出 m， n 的值用待定系數(shù)法

8、求出b， c 的值（ 2）過 D 作 x 軸的垂線交x 軸于點(diǎn) M ，可求出 DMC ，梯形 BDBO ， BOC 的面積，用割補(bǔ)法可求出BCD 的面積（ 3） PH 與 BC 的交點(diǎn)設(shè)為 E 點(diǎn)，則點(diǎn) E 有兩種可能： EH=32EP， EH=EP23【解答】（ 1）解方程x2 6x+5=0 ，得 x1=5， x2=1由 m<n，有 m=1， n=5 所以點(diǎn) A ，B 的坐標(biāo)分別為A （ 1，0）， B（ 0，5）將A （ 1， 0）， B （0， 5）的坐標(biāo)分別代入 y= x2+bx+c ，1bc0,b4,得解這個(gè)方程組，得c5c5所以拋物線的解析式為y= x2 4x+5 （ 2）由

9、 y= x2 4x+5 ，令 y=0，得 x2 4x+5=0 解這個(gè)方程，得 x1 = 5， x2=1 所以點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（ 5， 0），由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算，得點(diǎn)D （ 2， 9）過 D 作 x 軸的垂線交 x 軸于 M ，如圖所示則 SDMC = 1 ×9×（ 52） = 27 22S 梯形 MDBO =1× 2×（ 9+5） =14 ，21 ×5×5= 25SBDC=22所以 S BCD =S 梯形 MDBO +S DMC S BOC =14+ 27 25 =15 22（ 3）設(shè) P 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ a， 0）因?yàn)榫€段 BC 過

10、B， C 兩點(diǎn)，所以BC 所在的直線方程為y=x+5 2那么， PH 與直線 BC 的交點(diǎn)坐標(biāo)為E（ a，a+5）， PH 與拋物線y= x +4x+5 ?的交點(diǎn)坐標(biāo)為 H （a， a2 4a+5）3由題意，得EH=EP，即2（ a2 4a+5）（ a+5） = 3 （ a+5）2解這個(gè)方程，得a= 3 或 a=5（舍去）22 EH= EP，得323（ a+5）（ a 4a+5）（ a+5） =2解這個(gè)方程，得a=2 或 a=5（舍去）3P 點(diǎn)的坐標(biāo)為（3 ， 0）或（ 2 ， 0）23例 3 已知關(guān)于2m2 12m22x 的二次函數(shù) y=x mx+2與 y=xmx ，這兩個(gè)二次函數(shù)的2圖像中的一條與x 軸交于 A ， B 兩個(gè)不同的點(diǎn)（1）試判斷哪個(gè)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過A ，B 兩點(diǎn)；（2）若 A 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1， 0），試求 B 點(diǎn)坐標(biāo)；（3）在（ 2）的條件下，對(duì)于