專題13 二次函數(shù)含參型2020-2021學年九年級數(shù)學重點題型通關訓練解析版_第1頁
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文檔簡介

1、專題13 二次函數(shù)含參型【導入】1. 拋物線y=x2+mx-34m2(m0)與x軸的兩個交點分別為A,B(點A在點B的左側).(1)求證:拋物線與x軸必有2個交點;(2)拋物線的對稱軸為_,與y軸的交點坐標為_,與x軸的交點坐標為_(用含m的代數(shù)式).【解析】(1)證明:當拋物線與x軸相交時,即x2+mx-34m2=0,=m2-4×1×(-34m2)=4m20,故拋物線與x軸必有2個交點.(2)-m2 (0,-34m2) (-32m,0),(12m,0).【方法技巧】遇到含參型的二次函數(shù)題目,我們往往需要自己去畫出草圖.對于如何畫出一個二次函數(shù)的草圖,我們通常的關注點有:開

2、口方向,對稱軸;與坐標軸的交點.由于系數(shù)的不同,我們可能可以得出定點或確定的對稱軸,也有可能得出帶著參數(shù)的點和對稱軸,此時我們應該根據(jù)題意,結合二次函數(shù)的性質去求解.注意分類討論的情況,做到不重不漏.【例1】在平面直角坐標系中,設二次函數(shù)yx2xa2a,其中a0(1)若函數(shù)y的圖象經(jīng)過點(1,2),求函數(shù)y的解析式;(2)若拋物線與x軸的兩交點坐標為A,B(A點在B點的左側),與y軸的交點為C,滿足OC2OB時,求a的值(3)已知點P(x0,m)和Q(1,n)在函數(shù)y的圖象上,若mn,求x0的取值范圍【解析】(1)函數(shù)y1的圖象經(jīng)過點(1,2),得a2a2,整理,得(a+1)(a)2,解得a1

3、2,a21,函數(shù)y1的表達式y(tǒng)(x2)(x+21),化簡,得yx2x2;函數(shù)y1的表達式y(tǒng)(x+1)(x2)化簡,得yx2x2,綜上所述:函數(shù)y的表達式y(tǒng)x2x2;(2)當y0時x2xa2a0整理,得(x+a)(xa1)0,解得x1a,x2a+1,y的圖象與x軸的交點是A(a,0),B(a+1,0),當x0時,ya2a即C(0,a2a)OC2OB,|a2a|2|a+1|a0,a2+a2a+2,整理,得a2a20,(a2)(a+1)0,解得a12,a21(舍去)(3)當P在對稱軸的左側(含頂點)時,y隨x的增大而減小,(1,n)與(0,n)關于對稱軸對稱,由mn,得0x012;當時P在對稱軸的右

4、側時,y隨x的增大而增大,由mn,得12x01,綜上所述:mn,所求x0的取值范圍0x01【例2】已知拋物線yx2+kx+k1(1)當k3時,求拋物線與x軸的兩個交點坐標;(2)無論k取任何實數(shù),拋物線過x軸上一定點,求定點坐標;(3)點E(1,1),點F(2,2),拋物線與線段EF只有一個交點,求k的取值范圍.【解析】(1)解:yx2+kx+k1,當k3時,yx2+3x+2,令y0,得x2+3x+20,解得x11,x22,拋物線與x軸的交點坐標是(1,0),(2,0)(2)證明:方法一:yx2+kx+k1,當y0時,x2+kx+k10,解得x11,x21k,無論k取任何實數(shù),拋物線過x軸上一

5、定點(1,0)方法二:y=x2+k(x+1)-1.當x=-1時,無論k取何值,都有y=0.故無論k取任何實數(shù),拋物線過x軸上一定點(1,0).(3)如圖中,觀察圖象可知,當x2時,y2即可滿足條件,42k+k12,k1,k1時,拋物線與線段EF只有一個交點【專題過關】1. 在平面直角坐標系中,將函數(shù)yx22ax+a(x0,a為常數(shù))的圖象記為G,圖象G的最高點為P(x0,y0)(1)當a2時,求y0的值(2)當a0時,點P的坐標為(用含a的代數(shù)式表示)(3)若點P到x軸的距離為1,求a的值【解析】由拋物線的表達式知,拋物線的對稱軸為xa,頂點坐標為(a,a2+a);(1)當a2時,yx22ax

6、+ax2+4x2,該拋物線的對稱軸為xa2,當x2時,yx2+4x22y0,即y02;(2)當a0時,拋物線的對稱軸在y軸左側,則在y軸右側y隨x的增大而減小,故x0時,y取得最大值,當x0時,ya,故點P的坐標為(0,a),故答案為(0,a);(3)當a0時,由(2)知,點P(0,a),故a1;當a0時,拋物線在頂點處取得最大值,即a2+a1,解得a1±52(舍去正值),故a=152或a1.2. 在平面直角坐標系中,已知拋物線yax24ax+3(a0)(1)當點A(1,0)在這個函數(shù)圖象上時,求拋物線的函數(shù)關系式拋物線上有一點P到x軸的距離為1,求點P坐標(2)當a0時,函數(shù)圖象上

7、只有兩個點到x軸的距離等于2,求a的取值范圍(3)在平面直角坐標系中,點M(1,1),點N(3,1),連結MN直接寫出拋物線yax24ax+3(a0)與線段MN只有一個公共點時a的取值范圍【解答】解:(1)將點A的坐標代入yax24ax+3得:0a4a+3,解得a1,故拋物線的表達式為yx24x+3;由題意得:yx24x+3±1,解得x2±2或2,故點P的坐標為(2+2,1)或(22,1)或(2,1);(2)由拋物線的表達式知,拋物線的對稱軸為x2,當x2時,yax24ax+334a,故頂點坐標為(2,34a),則|34a|2,即234a2,解得14a54;(3)當a0時,

8、當拋物線與直線y1相切時,符合條件,則頂點(2,34a)在直線y1上,即34a1,解得a12;當拋物線過點N時,MN與拋物線有兩個交點,將點N的坐標代入yax24ax+3并解得a23,故拋物線與MN只有一個交點時,a23或a12;當a0時,根據(jù)函數(shù)的對稱性,只要x1時,y1,即符合條件,當x1時,yax24ax+35a+31,解得a25;綜上,a的取值范圍為:a23或a12或a253. 拋物線yax2+bx6a與x軸交于A,B兩點,且A(2,0),拋物線的頂點為P(1)求點P的坐標;(用只含a的代數(shù)式表示)(2)若8a5,求ABP面積的最大值;(3)當a1時,把拋物線yax2+bx6a位于x軸

9、下方的部分沿x軸向上翻折,其余部分保持不動,得到新的函數(shù)圖象若直線yx+t與新的函數(shù)圖象至少有3個不同的交點,求t的取值范圍【解答】解:(1)點A(2,0),在拋物線 yax2+bx6a上,4a2b6a0,ba,y=ax2-ax-6a=a(x-12)2-25a4點P坐標為(12,-25a4)(2)由(1)可知,拋物線的對稱軸為直線x=12,點B與點A關于直線x=12對稱,B(3,0),AB5,點P坐標為(12,-25a4),設ABP面積為S,則S=12×5×|25a4|=1258|a|8a5S=-1258a,S隨a的增大而減小a8時,ABP面積的最大值為125(3)a1,b

10、a,yx2x6,yx2x6與x軸交于A(2,0),B(3,0)新函數(shù)為 y=x2x6(x3或x2)x2+x+6(2x3)當直線yx+t過點B(3,0)時,直線與新函數(shù)圖象有3個不同的交點即3+t0,解得t3;當直線yx+t與拋物線yx2+x+6(2x3)有唯一公共點時,直線與新函數(shù)的圖象有3個不同的交點即方程x2+x+6x+t有兩個相等的實數(shù)根整理,得x22x+t6044(t6)0,解得t7,t的取值范圍為3t74. 在平面直角坐標系xOy中,拋物線ymx22mx+m3與x軸交于點A、B(1)求m的取值范圍;當拋物線經(jīng)過原點時,求拋物線的解析式;求拋物線的頂點坐標;(2)若線段AB上有且只有5

11、個點的橫坐標為整數(shù),求m的取值范圍;(3)若拋物線在3x0這一段位于x軸下方,在5x6這一段位于x軸上方,求m的值【解答】解:(1)拋物線ymx22mx+m3與x軸交于點A、B,(2m)24m(m3)0,m0;將(0,0)代入拋物線ymx22mx+m3中,得0m3,m3,拋物線的解析式為y3x26x;ymx22mx+m3m(x22x+1)3m(m1)23,拋物線的頂點坐標為(1,3);(2)由(1)知,拋物線的對稱軸為直線為x1,線段AB上有且只有5個點的橫坐標為整數(shù),這些整數(shù)為1,0,1,2,3,m0,當x3時,y9m6m+m30,m34,當x4時,y16m8m+m30,m13,13m34;

12、(3)由(1)知,拋物線的對稱軸為直線為x1,且m0,拋物線在5x6這一段位于x軸上方,根據(jù)拋物線的對稱性得,拋物線在4x3這一段位于x軸上方,拋物線在3x0這一段位于x軸下方,當x3時,y9m+6m+m30,m3165. 已知直線l:y1x1,拋物線c:y2(xh)2+k(1)若h0,k1,求直線l與拋物線c的交點坐標;(2)若k1時,求當x(可用含h的代數(shù)式表示)為何值時,y2y1;(3)若kh2+1,設直線l與x,y軸分別交于點A,B,拋物線c的頂點為P,當點A,B,P三點構成的三角形是直角三角形時,請直接寫出點P的坐標【解答】解:(1)若h0,k1,則y2x21聯(lián)立兩個函數(shù)表達式并整理

13、得:x2x0,解得x0或1,故交點坐標為(0,1)和(1,0);(2)聯(lián)立y1x1和y2(xh)21并整理得:x2(2h+1)x+h20,解得x2h+1±4h+12,由拋物線的表達式知,拋物線開口向上,則當x2h+14h+12或x2h+1+4h+12時,y2y1;(3)由拋物線的表達式知,拋物線的頂點坐標為P(h,h2+1),即點P在拋物線yx2+1上,如下圖,畫出過點A、B、O的圓和拋物線的圖象,當PAB為直角時,從圖象看,點P的坐標為(0,1);當ABP為直角時,從圖象看,直線PB不可能與yx2+1相交,故點P不存在;當ABP為直角時,則ABOP四點共圓,則點P是拋物線與圓的交點

14、,從圖象看,拋物線和圓不可能相交,故點P不存在,故點P的坐標為(0,1)6. 拋物線yax2+bx+c(a0)與x軸交于點A,B兩點,與y軸交于點P已知點A(1,0),點P(0,p)(1)當a2p時,求點B的坐標;(2)直線yx+m與拋物線交于P,N兩點,拋物線的對稱軸為直線x1,且OAOPOB求p,a所滿足的數(shù)量關系式;求線段PN長度的取值范圍【解答】解:(1)點A(1,0),點P(0,p)在拋物線上,ab+c=0,c=pbap,a2p,bp,拋物線解析式為y2px2+pxp,令y0,得2px2+pxp0,解得x11,x212;點B的坐標(12,0);(2)由(1)bap,拋物線的對稱軸為直

15、線x1,-b2a=1,b2a,2aap,p3a;直線yx+m經(jīng)過P(0,p),mp3a,直線解析式為yx3a,由得,拋物線為yax22ax3a,由y=ax22ax3a,y=x3a解得x10,x21a+2,即xN1a+2,把xN1a+2代入yx3a,解得y1a+2-3a,N(1a+2,1a+23),由勾股定理可得PN22(1a+2)2,依題意可知,點N在點P右側,則有1a+20,PN2(1a+2)且a12,由拋物線對稱性可得點B(3,0),OAOPOB,1|p|3,即1|3a|3當a0時,13a1;當a0時,-1a-13.當13a1時,由反比例函數(shù)的性質可得11a3,32PN52;當-1a-13

16、時,由反比例函數(shù)的性質可得-31a-1,PN0,0PN2,綜上所述:0PN2或32PN527. 已知拋物線yx22xm2+1,直線yx2與x軸交于點M,與y軸交于點N(1)求證:拋物線與x軸必有公共點;(2)若拋物線與x軸交于A、B兩點,且拋物線的頂點C落在此直線上,求ABC的面積;(3)若線段MN與拋物線有且只有一個公共點,求m的取值范圍【解答】解:(1)(2)24(m2+1)4m20,故拋物線與x軸必有公共點;(2)對于yx22xm2+1,令yx22xm2+10,解得x1+m或1m,則拋物線的對稱性為x1,當x1時,yx22xm2+1m2,即點C(1,m2),將點C的坐標代入yx2得:m2

17、12,解得m±1,則點C(1,1),設點A、B的坐標分別為(1m,0)、(1+m,0),則AB|2m|2,則ABC的面積12×AB|yC|12×2×11;(3)對于yx2,令yx20,解得x2,令x0,則y2,N(0,2),M(2,0),而線段MN為yx2(0x2),聯(lián)立得:x23xm2+30,令yx23xm2+3,若拋物線yx22xm2+1與線段MN只有1個公共點,即函數(shù)y在0x2范圍內(nèi)只有一個交點,當與線段相切時,(2)24×(m2+1)0,解得:m±32;當x0時,yx23xm2+33m20,解得:3m3;當x2時,yx23xm

18、2+31m20,解得:1m1,故m±32或3m1或1m3【專題提高】8. 已知拋物線yx2+4ax4a2+3a(a34),頂點為點D,拋物線與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側),與y軸交于點C(1)若a3時,求此時拋物線的最大值;(2)若當0x2時,拋物線函數(shù)有最大值3,求此時a的值;(3)若直線CD交x軸于點G,求AG·BGOG的值【解答】解:(1)當a3時,yx2+12x36+9x2+12x27(x6)2+9,10,當x6時,y有最大值是9;(2)yx2+4ax4a2+3a(x2a)2+3a,拋物線的對稱軸是:x2a,a34,2a32,分兩種情況:當322a2時,即

19、34a1,當0x2時,拋物線函數(shù)有最大值是3a,即3a3,a1;當2a2時,即a1,y隨x的增大而增大,當0x2時,x2時有最大值3,y(22a)2+3a3,解得:a174,a21(舍),綜上,a的值是1或74;(3)如圖,y(x2a)2+3a,D(2a,3a),C(0,4a2+3a),當y0時,(x2a)2+3a0,解得:x12a3a,x22a+3a,A(2a3a,0),B(2a+3a,0),設DC的解析式為:ykx+b,則2ak+b=3a,b=4a2+3a解得:k=2a,b=4a2+3a設DC的解析式為:y2ax4a2+3a,當y0時,2ax4a2+3a0,x2a32,OG2a32,AG&

20、#183;BGOG2a32(2a3a)2a+3a(2a32)2a32=3a32(3a+32)2a32=3a942a32=12a98a6329.已知拋物線G:yx22mx與直線l:y3x+b相交于A,B兩點(點A的橫坐標小于點B的橫坐標)(1)求拋物線yx22mx頂點的坐標(用含m的式子表示);(2)已知點C(2,1),若直線l經(jīng)過拋物線G的頂點,求ABC面積的最小值;(3)若平移直線l,可以使A,B兩點都落在x軸的下方,求實數(shù)m的取值范圍【解析】解:(1)yx22mx(xm)2m2,頂點的坐標為(m,m2);(2)直線l:y3x+b過點(m,m2),m23m+b,bm23m,y3xm23m解方程組y=x22mx,y=3xm23m,解得y=m,y=m2或x=m+3,y=9m2點A的橫坐標小于點B的橫坐標,A(m,m2),B(m+3,9m2)如圖,過C作CHx軸交AB于HC(2,1),直線AB的解析式為y3xm23m,H(2,6m23m),CH1(6m

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