專題13 二次函數(shù)含參型2020-2021學年九年級數(shù)學重點題型通關訓練解析版

1、專題13 二次函數(shù)含參型【導入】1. 拋物線y=x2+mx-34m2（m0）與x軸的兩個交點分別為A，B（點A在點B的左側）.（1）求證：拋物線與x軸必有2個交點；（2）拋物線的對稱軸為_，與y軸的交點坐標為_，與x軸的交點坐標為_（用含m的代數(shù)式）.【解析】（1）證明：當拋物線與x軸相交時，即x2+mx-34m2=0，=m2-4×1×（-34m2）=4m20，故拋物線與x軸必有2個交點.（2）-m2 （0，-34m2） （-32m，0），（12m，0）.【方法技巧】遇到含參型的二次函數(shù)題目，我們往往需要自己去畫出草圖.對于如何畫出一個二次函數(shù)的草圖，我們通常的關注點有：開

2、口方向，對稱軸；與坐標軸的交點.由于系數(shù)的不同，我們可能可以得出定點或確定的對稱軸，也有可能得出帶著參數(shù)的點和對稱軸，此時我們應該根據(jù)題意，結合二次函數(shù)的性質去求解.注意分類討論的情況，做到不重不漏.【例1】在平面直角坐標系中，設二次函數(shù)yx2xa2a，其中a0（1）若函數(shù)y的圖象經(jīng)過點（1，2），求函數(shù)y的解析式；（2）若拋物線與x軸的兩交點坐標為A，B（A點在B點的左側），與y軸的交點為C，滿足OC2OB時，求a的值（3）已知點P（x0，m）和Q（1，n）在函數(shù)y的圖象上，若mn，求x0的取值范圍【解析】（1）函數(shù)y1的圖象經(jīng)過點（1，2），得a2a2，整理，得（a+1）（a）2，解得a1

3、2，a21，函數(shù)y1的表達式y(tǒng)（x2）（x+21），化簡，得yx2x2；函數(shù)y1的表達式y(tǒng)（x+1）（x2）化簡，得yx2x2，綜上所述：函數(shù)y的表達式y(tǒng)x2x2；（2）當y0時x2xa2a0整理，得（x+a）（xa1）0，解得x1a，x2a+1，y的圖象與x軸的交點是A（a，0），B（a+1，0），當x0時，ya2a即C（0，a2a）OC2OB，|a2a|2|a+1|a0，a2+a2a+2，整理，得a2a20，（a2）（a+1）0，解得a12，a21（舍去）（3）當P在對稱軸的左側（含頂點）時，y隨x的增大而減小，（1，n）與（0，n）關于對稱軸對稱，由mn，得0x012；當時P在對稱軸的右

4、側時，y隨x的增大而增大，由mn，得12x01，綜上所述：mn，所求x0的取值范圍0x01【例2】已知拋物線yx2+kx+k1（1）當k3時，求拋物線與x軸的兩個交點坐標；（2）無論k取任何實數(shù)，拋物線過x軸上一定點，求定點坐標；（3）點E（1，1），點F（2，2），拋物線與線段EF只有一個交點，求k的取值范圍.【解析】（1）解：yx2+kx+k1，當k3時，yx2+3x+2，令y0，得x2+3x+20，解得x11，x22，拋物線與x軸的交點坐標是（1，0），（2，0）（2）證明：方法一：yx2+kx+k1，當y0時，x2+kx+k10，解得x11，x21k，無論k取任何實數(shù)，拋物線過x軸上一

5、定點（1，0）方法二：y=x2+k（x+1）-1.當x=-1時，無論k取何值，都有y=0.故無論k取任何實數(shù)，拋物線過x軸上一定點（1，0）.（3）如圖中，觀察圖象可知，當x2時，y2即可滿足條件，42k+k12，k1，k1時，拋物線與線段EF只有一個交點【專題過關】1. 在平面直角坐標系中，將函數(shù)yx22ax+a（x0，a為常數(shù)）的圖象記為G，圖象G的最高點為P（x0，y0）（1）當a2時，求y0的值（2）當a0時，點P的坐標為（用含a的代數(shù)式表示）（3）若點P到x軸的距離為1，求a的值【解析】由拋物線的表達式知，拋物線的對稱軸為xa，頂點坐標為（a，a2+a）；（1）當a2時，yx22ax

6、+ax2+4x2，該拋物線的對稱軸為xa2，當x2時，yx2+4x22y0，即y02；（2）當a0時，拋物線的對稱軸在y軸左側，則在y軸右側y隨x的增大而減小，故x0時，y取得最大值，當x0時，ya，故點P的坐標為（0，a），故答案為（0，a）；（3）當a0時，由（2）知，點P（0，a），故a1；當a0時，拋物線在頂點處取得最大值，即a2+a1，解得a1±52（舍去正值），故a=152或a1.2. 在平面直角坐標系中，已知拋物線yax24ax+3（a0）（1）當點A（1，0）在這個函數(shù)圖象上時，求拋物線的函數(shù)關系式拋物線上有一點P到x軸的距離為1，求點P坐標（2）當a0時，函數(shù)圖象上

7、只有兩個點到x軸的距離等于2，求a的取值范圍（3）在平面直角坐標系中，點M（1，1），點N（3，1），連結MN直接寫出拋物線yax24ax+3（a0）與線段MN只有一個公共點時a的取值范圍【解答】解：（1）將點A的坐標代入yax24ax+3得：0a4a+3，解得a1，故拋物線的表達式為yx24x+3；由題意得：yx24x+3±1，解得x2±2或2，故點P的坐標為（2+2，1）或（22，1）或（2，1）；（2）由拋物線的表達式知，拋物線的對稱軸為x2，當x2時，yax24ax+334a，故頂點坐標為（2，34a），則|34a|2，即234a2，解得14a54；（3）當a0時，

8、當拋物線與直線y1相切時，符合條件，則頂點（2，34a）在直線y1上，即34a1，解得a12；當拋物線過點N時，MN與拋物線有兩個交點，將點N的坐標代入yax24ax+3并解得a23，故拋物線與MN只有一個交點時，a23或a12；當a0時，根據(jù)函數(shù)的對稱性，只要x1時，y1，即符合條件，當x1時，yax24ax+35a+31，解得a25；綜上，a的取值范圍為：a23或a12或a253. 拋物線yax2+bx6a與x軸交于A，B兩點，且A（2，0），拋物線的頂點為P（1）求點P的坐標；（用只含a的代數(shù)式表示）（2）若8a5，求ABP面積的最大值；（3）當a1時，把拋物線yax2+bx6a位于x軸

9、下方的部分沿x軸向上翻折，其余部分保持不動，得到新的函數(shù)圖象若直線yx+t與新的函數(shù)圖象至少有3個不同的交點，求t的取值范圍【解答】解：（1）點A（2，0），在拋物線 yax2+bx6a上，4a2b6a0，ba，y=ax2-ax-6a=a（x-12）2-25a4點P坐標為（12，-25a4）（2）由（1）可知，拋物線的對稱軸為直線x=12，點B與點A關于直線x=12對稱，B（3，0），AB5，點P坐標為（12，-25a4），設ABP面積為S，則S=12×5×|25a4|=1258|a|8a5S=-1258a，S隨a的增大而減小a8時，ABP面積的最大值為125（3）a1，b

10、a，yx2x6，yx2x6與x軸交于A（2，0），B（3，0）新函數(shù)為 y=x2x6（x3或x2）x2+x+6（2x3）當直線yx+t過點B（3，0）時，直線與新函數(shù)圖象有3個不同的交點即3+t0，解得t3；當直線yx+t與拋物線yx2+x+6（2x3）有唯一公共點時，直線與新函數(shù)的圖象有3個不同的交點即方程x2+x+6x+t有兩個相等的實數(shù)根整理，得x22x+t6044（t6）0，解得t7，t的取值范圍為3t74. 在平面直角坐標系xOy中，拋物線ymx22mx+m3與x軸交于點A、B（1）求m的取值范圍；當拋物線經(jīng)過原點時，求拋物線的解析式；求拋物線的頂點坐標；（2）若線段AB上有且只有5

11、個點的橫坐標為整數(shù)，求m的取值范圍；（3）若拋物線在3x0這一段位于x軸下方，在5x6這一段位于x軸上方，求m的值【解答】解：（1）拋物線ymx22mx+m3與x軸交于點A、B，（2m）24m（m3）0，m0；將（0，0）代入拋物線ymx22mx+m3中，得0m3，m3，拋物線的解析式為y3x26x；ymx22mx+m3m（x22x+1）3m（m1）23，拋物線的頂點坐標為（1，3）；（2）由（1）知，拋物線的對稱軸為直線為x1，線段AB上有且只有5個點的橫坐標為整數(shù)，這些整數(shù)為1，0，1，2，3，m0，當x3時，y9m6m+m30，m34，當x4時，y16m8m+m30，m13，13m34；

12、（3）由（1）知，拋物線的對稱軸為直線為x1，且m0，拋物線在5x6這一段位于x軸上方，根據(jù)拋物線的對稱性得，拋物線在4x3這一段位于x軸上方，拋物線在3x0這一段位于x軸下方，當x3時，y9m+6m+m30，m3165. 已知直線l：y1x1，拋物線c：y2（xh）2+k（1）若h0，k1，求直線l與拋物線c的交點坐標；（2）若k1時，求當x（可用含h的代數(shù)式表示）為何值時，y2y1；（3）若kh2+1，設直線l與x，y軸分別交于點A，B，拋物線c的頂點為P，當點A，B，P三點構成的三角形是直角三角形時，請直接寫出點P的坐標【解答】解：（1）若h0，k1，則y2x21聯(lián)立兩個函數(shù)表達式并整理

13、得：x2x0，解得x0或1，故交點坐標為（0，1）和（1，0）；（2）聯(lián)立y1x1和y2（xh）21并整理得：x2（2h+1）x+h20，解得x2h+1±4h+12，由拋物線的表達式知，拋物線開口向上，則當x2h+14h+12或x2h+1+4h+12時，y2y1；（3）由拋物線的表達式知，拋物線的頂點坐標為P（h，h2+1），即點P在拋物線yx2+1上，如下圖，畫出過點A、B、O的圓和拋物線的圖象，當PAB為直角時，從圖象看，點P的坐標為（0，1）；當ABP為直角時，從圖象看，直線PB不可能與yx2+1相交，故點P不存在；當ABP為直角時，則ABOP四點共圓，則點P是拋物線與圓的交點

14、，從圖象看，拋物線和圓不可能相交，故點P不存在，故點P的坐標為（0，1）6. 拋物線yax2+bx+c（a0）與x軸交于點A，B兩點，與y軸交于點P已知點A（1，0），點P（0，p）（1）當a2p時，求點B的坐標；（2）直線yx+m與拋物線交于P，N兩點，拋物線的對稱軸為直線x1，且OAOPOB求p，a所滿足的數(shù)量關系式；求線段PN長度的取值范圍【解答】解：（1）點A（1，0），點P（0，p）在拋物線上，ab+c=0，c=pbap，a2p，bp，拋物線解析式為y2px2+pxp，令y0，得2px2+pxp0，解得x11，x212；點B的坐標（12，0）；（2）由（1）bap，拋物線的對稱軸為直

15、線x1，-b2a=1，b2a，2aap，p3a；直線yx+m經(jīng)過P（0，p），mp3a，直線解析式為yx3a，由得，拋物線為yax22ax3a，由y=ax22ax3a，y=x3a解得x10，x21a+2，即xN1a+2，把xN1a+2代入yx3a，解得y1a+2-3a，N（1a+2，1a+23），由勾股定理可得PN22（1a+2）2，依題意可知，點N在點P右側，則有1a+20，PN2（1a+2）且a12，由拋物線對稱性可得點B（3，0），OAOPOB，1|p|3，即1|3a|3當a0時，13a1；當a0時，-1a-13.當13a1時，由反比例函數(shù)的性質可得11a3，32PN52；當-1a-13

16、時，由反比例函數(shù)的性質可得-31a-1，PN0，0PN2，綜上所述：0PN2或32PN527. 已知拋物線yx22xm2+1，直線yx2與x軸交于點M，與y軸交于點N（1）求證：拋物線與x軸必有公共點；（2）若拋物線與x軸交于A、B兩點，且拋物線的頂點C落在此直線上，求ABC的面積；（3）若線段MN與拋物線有且只有一個公共點，求m的取值范圍【解答】解：（1）（2）24（m2+1）4m20，故拋物線與x軸必有公共點；（2）對于yx22xm2+1，令yx22xm2+10，解得x1+m或1m，則拋物線的對稱性為x1，當x1時，yx22xm2+1m2，即點C（1，m2），將點C的坐標代入yx2得：m2

17、12，解得m±1，則點C（1，1），設點A、B的坐標分別為（1m，0）、（1+m，0），則AB|2m|2，則ABC的面積12×AB|yC|12×2×11；（3）對于yx2，令yx20，解得x2，令x0，則y2，N（0，2），M（2，0），而線段MN為yx2（0x2），聯(lián)立得：x23xm2+30，令yx23xm2+3，若拋物線yx22xm2+1與線段MN只有1個公共點，即函數(shù)y在0x2范圍內(nèi)只有一個交點，當與線段相切時，（2）24×（m2+1）0，解得：m±32；當x0時，yx23xm2+33m20，解得：3m3；當x2時，yx23xm

18、2+31m20，解得：1m1，故m±32或3m1或1m3【專題提高】8. 已知拋物線yx2+4ax4a2+3a（a34），頂點為點D，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C（1）若a3時，求此時拋物線的最大值；（2）若當0x2時，拋物線函數(shù)有最大值3，求此時a的值；（3）若直線CD交x軸于點G，求AG·BGOG的值【解答】解：（1）當a3時，yx2+12x36+9x2+12x27（x6）2+9，10，當x6時，y有最大值是9；（2）yx2+4ax4a2+3a（x2a）2+3a，拋物線的對稱軸是：x2a，a34，2a32，分兩種情況：當322a2時，即

19、34a1，當0x2時，拋物線函數(shù)有最大值是3a，即3a3，a1；當2a2時，即a1，y隨x的增大而增大，當0x2時，x2時有最大值3，y（22a）2+3a3，解得：a174，a21（舍），綜上，a的值是1或74；（3）如圖，y（x2a）2+3a，D（2a，3a），C（0，4a2+3a），當y0時，（x2a）2+3a0，解得：x12a3a，x22a+3a，A（2a3a，0），B（2a+3a，0），設DC的解析式為：ykx+b，則2ak+b=3a，b=4a2+3a解得：k=2a，b=4a2+3a設DC的解析式為：y2ax4a2+3a，當y0時，2ax4a2+3a0，x2a32，OG2a32，AG&

20、#183;BGOG2a32（2a3a）2a+3a（2a32）2a32=3a32（3a+32）2a32=3a942a32=12a98a6329.已知拋物線G：yx22mx與直線l：y3x+b相交于A，B兩點（點A的橫坐標小于點B的橫坐標）（1）求拋物線yx22mx頂點的坐標（用含m的式子表示）；（2）已知點C（2，1），若直線l經(jīng)過拋物線G的頂點，求ABC面積的最小值；（3）若平移直線l，可以使A，B兩點都落在x軸的下方，求實數(shù)m的取值范圍【解析】解：（1）yx22mx（xm）2m2，頂點的坐標為（m，m2）；（2）直線l：y3x+b過點（m，m2），m23m+b，bm23m，y3xm23m解方程組y=x22mx，y=3xm23m，解得y=m，y=m2或x=m+3，y=9m2點A的橫坐標小于點B的橫坐標，A（m，m2），B（m+3，9m2）如圖，過C作CHx軸交AB于HC（2，1），直線AB的解析式為y3xm23m，H（2，6m23m），CH1（6m