專題13 二次函數(shù)含參型2020-2021學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)重點(diǎn)題型通關(guān)訓(xùn)練解析版

1、專題13 二次函數(shù)含參型【導(dǎo)入】1. 拋物線y=x2+mx-34m2（m0）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）.（1）求證：拋物線與x軸必有2個(gè)交點(diǎn)；（2）拋物線的對(duì)稱軸為_，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為_，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為_（用含m的代數(shù)式）.【解析】（1）證明：當(dāng)拋物線與x軸相交時(shí)，即x2+mx-34m2=0，=m2-4×1×（-34m2）=4m20，故拋物線與x軸必有2個(gè)交點(diǎn).（2）-m2 （0，-34m2） （-32m，0），（12m，0）.【方法技巧】遇到含參型的二次函數(shù)題目，我們往往需要自己去畫出草圖.對(duì)于如何畫出一個(gè)二次函數(shù)的草圖，我們通常的關(guān)注點(diǎn)有：開

2、口方向，對(duì)稱軸；與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).由于系數(shù)的不同，我們可能可以得出定點(diǎn)或確定的對(duì)稱軸，也有可能得出帶著參數(shù)的點(diǎn)和對(duì)稱軸，此時(shí)我們應(yīng)該根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)去求解.注意分類討論的情況，做到不重不漏.【例1】在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)yx2xa2a，其中a0（1）若函數(shù)y的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，2），求函數(shù)y的解析式；（2）若拋物線與x軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)為A，B（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)），與y軸的交點(diǎn)為C，滿足OC2OB時(shí)，求a的值（3）已知點(diǎn)P（x0，m）和Q（1，n）在函數(shù)y的圖象上，若mn，求x0的取值范圍【解析】（1）函數(shù)y1的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，2），得a2a2，整理，得（a+1）（a）2，解得a1

3、2，a21，函數(shù)y1的表達(dá)式y(tǒng)（x2）（x+21），化簡(jiǎn)，得yx2x2；函數(shù)y1的表達(dá)式y(tǒng)（x+1）（x2）化簡(jiǎn)，得yx2x2，綜上所述：函數(shù)y的表達(dá)式y(tǒng)x2x2；（2）當(dāng)y0時(shí)x2xa2a0整理，得（x+a）（xa1）0，解得x1a，x2a+1，y的圖象與x軸的交點(diǎn)是A（a，0），B（a+1，0），當(dāng)x0時(shí)，ya2a即C（0，a2a）OC2OB，|a2a|2|a+1|a0，a2+a2a+2，整理，得a2a20，（a2）（a+1）0，解得a12，a21（舍去）（3）當(dāng)P在對(duì)稱軸的左側(cè)（含頂點(diǎn)）時(shí)，y隨x的增大而減小，（1，n）與（0，n）關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，由mn，得0x012；當(dāng)時(shí)P在對(duì)稱軸的右

4、側(cè)時(shí)，y隨x的增大而增大，由mn，得12x01，綜上所述：mn，所求x0的取值范圍0x01【例2】已知拋物線yx2+kx+k1（1）當(dāng)k3時(shí)，求拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）無論k取任何實(shí)數(shù)，拋物線過x軸上一定點(diǎn)，求定點(diǎn)坐標(biāo)；（3）點(diǎn)E（1，1），點(diǎn)F（2，2），拋物線與線段EF只有一個(gè)交點(diǎn)，求k的取值范圍.【解析】（1）解：yx2+kx+k1，當(dāng)k3時(shí)，yx2+3x+2，令y0，得x2+3x+20，解得x11，x22，拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（1，0），（2，0）（2）證明：方法一：yx2+kx+k1，當(dāng)y0時(shí)，x2+kx+k10，解得x11，x21k，無論k取任何實(shí)數(shù)，拋物線過x軸上一

5、定點(diǎn)（1，0）方法二：y=x2+k（x+1）-1.當(dāng)x=-1時(shí)，無論k取何值，都有y=0.故無論k取任何實(shí)數(shù)，拋物線過x軸上一定點(diǎn)（1，0）.（3）如圖中，觀察圖象可知，當(dāng)x2時(shí)，y2即可滿足條件，42k+k12，k1，k1時(shí)，拋物線與線段EF只有一個(gè)交點(diǎn)【專題過關(guān)】1. 在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)yx22ax+a（x0，a為常數(shù)）的圖象記為G，圖象G的最高點(diǎn)為P（x0，y0）（1）當(dāng)a2時(shí)，求y0的值（2）當(dāng)a0時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（用含a的代數(shù)式表示）（3）若點(diǎn)P到x軸的距離為1，求a的值【解析】由拋物線的表達(dá)式知，拋物線的對(duì)稱軸為xa，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（a，a2+a）；（1）當(dāng)a2時(shí)，yx22ax

6、+ax2+4x2，該拋物線的對(duì)稱軸為xa2，當(dāng)x2時(shí)，yx2+4x22y0，即y02；（2）當(dāng)a0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，則在y軸右側(cè)y隨x的增大而減小，故x0時(shí)，y取得最大值，當(dāng)x0時(shí)，ya，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，a），故答案為（0，a）；（3）當(dāng)a0時(shí)，由（2）知，點(diǎn)P（0，a），故a1；當(dāng)a0時(shí)，拋物線在頂點(diǎn)處取得最大值，即a2+a1，解得a1±52（舍去正值），故a=152或a1.2. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線yax24ax+3（a0）（1）當(dāng)點(diǎn)A（1，0）在這個(gè)函數(shù)圖象上時(shí)，求拋物線的函數(shù)關(guān)系式拋物線上有一點(diǎn)P到x軸的距離為1，求點(diǎn)P坐標(biāo)（2）當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)圖象上

7、只有兩個(gè)點(diǎn)到x軸的距離等于2，求a的取值范圍（3）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M（1，1），點(diǎn)N（3，1），連結(jié)MN直接寫出拋物線yax24ax+3（a0）與線段MN只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)a的取值范圍【解答】解：（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入yax24ax+3得：0a4a+3，解得a1，故拋物線的表達(dá)式為yx24x+3；由題意得：yx24x+3±1，解得x2±2或2，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2+2，1）或（22，1）或（2，1）；（2）由拋物線的表達(dá)式知，拋物線的對(duì)稱軸為x2，當(dāng)x2時(shí)，yax24ax+334a，故頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，34a），則|34a|2，即234a2，解得14a54；（3）當(dāng)a0時(shí)，

8、當(dāng)拋物線與直線y1相切時(shí)，符合條件，則頂點(diǎn)（2，34a）在直線y1上，即34a1，解得a12；當(dāng)拋物線過點(diǎn)N時(shí)，MN與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入yax24ax+3并解得a23，故拋物線與MN只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，a23或a12；當(dāng)a0時(shí)，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，只要x1時(shí)，y1，即符合條件，當(dāng)x1時(shí)，yax24ax+35a+31，解得a25；綜上，a的取值范圍為：a23或a12或a253. 拋物線yax2+bx6a與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且A（2，0），拋物線的頂點(diǎn)為P（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（用只含a的代數(shù)式表示）（2）若8a5，求ABP面積的最大值；（3）當(dāng)a1時(shí)，把拋物線yax2+bx6a位于x軸

9、下方的部分沿x軸向上翻折，其余部分保持不動(dòng)，得到新的函數(shù)圖象若直線yx+t與新的函數(shù)圖象至少有3個(gè)不同的交點(diǎn)，求t的取值范圍【解答】解：（1）點(diǎn)A（2，0），在拋物線 yax2+bx6a上，4a2b6a0，ba，y=ax2-ax-6a=a（x-12）2-25a4點(diǎn)P坐標(biāo)為（12，-25a4）（2）由（1）可知，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=12，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于直線x=12對(duì)稱，B（3，0），AB5，點(diǎn)P坐標(biāo)為（12，-25a4），設(shè)ABP面積為S，則S=12×5×|25a4|=1258|a|8a5S=-1258a，S隨a的增大而減小a8時(shí)，ABP面積的最大值為125（3）a1，b

10、a，yx2x6，yx2x6與x軸交于A（2，0），B（3，0）新函數(shù)為 y=x2x6（x3或x2）x2+x+6（2x3）當(dāng)直線yx+t過點(diǎn)B（3，0）時(shí)，直線與新函數(shù)圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)即3+t0，解得t3；當(dāng)直線yx+t與拋物線yx2+x+6（2x3）有唯一公共點(diǎn)時(shí)，直線與新函數(shù)的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)即方程x2+x+6x+t有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根整理，得x22x+t6044（t6）0，解得t7，t的取值范圍為3t74. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線ymx22mx+m3與x軸交于點(diǎn)A、B（1）求m的取值范圍；當(dāng)拋物線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，求拋物線的解析式；求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若線段AB上有且只有5

11、個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為整數(shù)，求m的取值范圍；（3）若拋物線在3x0這一段位于x軸下方，在5x6這一段位于x軸上方，求m的值【解答】解：（1）拋物線ymx22mx+m3與x軸交于點(diǎn)A、B，（2m）24m（m3）0，m0；將（0，0）代入拋物線ymx22mx+m3中，得0m3，m3，拋物線的解析式為y3x26x；ymx22mx+m3m（x22x+1）3m（m1）23，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）；（2）由（1）知，拋物線的對(duì)稱軸為直線為x1，線段AB上有且只有5個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為整數(shù)，這些整數(shù)為1，0，1，2，3，m0，當(dāng)x3時(shí)，y9m6m+m30，m34，當(dāng)x4時(shí)，y16m8m+m30，m13，13m34；

12、（3）由（1）知，拋物線的對(duì)稱軸為直線為x1，且m0，拋物線在5x6這一段位于x軸上方，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得，拋物線在4x3這一段位于x軸上方，拋物線在3x0這一段位于x軸下方，當(dāng)x3時(shí)，y9m+6m+m30，m3165. 已知直線l：y1x1，拋物線c：y2（xh）2+k（1）若h0，k1，求直線l與拋物線c的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若k1時(shí)，求當(dāng)x（可用含h的代數(shù)式表示）為何值時(shí)，y2y1；（3）若kh2+1，設(shè)直線l與x，y軸分別交于點(diǎn)A，B，拋物線c的頂點(diǎn)為P，當(dāng)點(diǎn)A，B，P三點(diǎn)構(gòu)成的三角形是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)【解答】解：（1）若h0，k1，則y2x21聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式并整理

13、得：x2x0，解得x0或1，故交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）和（1，0）；（2）聯(lián)立y1x1和y2（xh）21并整理得：x2（2h+1）x+h20，解得x2h+1±4h+12，由拋物線的表達(dá)式知，拋物線開口向上，則當(dāng)x2h+14h+12或x2h+1+4h+12時(shí)，y2y1；（3）由拋物線的表達(dá)式知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（h，h2+1），即點(diǎn)P在拋物線yx2+1上，如下圖，畫出過點(diǎn)A、B、O的圓和拋物線的圖象，當(dāng)PAB為直角時(shí)，從圖象看，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）；當(dāng)ABP為直角時(shí)，從圖象看，直線PB不可能與yx2+1相交，故點(diǎn)P不存在；當(dāng)ABP為直角時(shí)，則ABOP四點(diǎn)共圓，則點(diǎn)P是拋物線與圓的交點(diǎn)

14、，從圖象看，拋物線和圓不可能相交，故點(diǎn)P不存在，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）6. 拋物線yax2+bx+c（a0）與x軸交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)P已知點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)P（0，p）（1）當(dāng)a2p時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）直線yx+m與拋物線交于P，N兩點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為直線x1，且OAOPOB求p，a所滿足的數(shù)量關(guān)系式；求線段PN長(zhǎng)度的取值范圍【解答】解：（1）點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)P（0，p）在拋物線上，ab+c=0，c=pbap，a2p，bp，拋物線解析式為y2px2+pxp，令y0，得2px2+pxp0，解得x11，x212；點(diǎn)B的坐標(biāo)（12，0）；（2）由（1）bap，拋物線的對(duì)稱軸為直

15、線x1，-b2a=1，b2a，2aap，p3a；直線yx+m經(jīng)過P（0，p），mp3a，直線解析式為yx3a，由得，拋物線為yax22ax3a，由y=ax22ax3a，y=x3a解得x10，x21a+2，即xN1a+2，把xN1a+2代入yx3a，解得y1a+2-3a，N（1a+2，1a+23），由勾股定理可得PN22（1a+2）2，依題意可知，點(diǎn)N在點(diǎn)P右側(cè)，則有1a+20，PN2（1a+2）且a12，由拋物線對(duì)稱性可得點(diǎn)B（3，0），OAOPOB，1|p|3，即1|3a|3當(dāng)a0時(shí)，13a1；當(dāng)a0時(shí)，-1a-13.當(dāng)13a1時(shí)，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可得11a3，32PN52；當(dāng)-1a-13

16、時(shí)，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可得-31a-1，PN0，0PN2，綜上所述：0PN2或32PN527. 已知拋物線yx22xm2+1，直線yx2與x軸交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)N（1）求證：拋物線與x軸必有公共點(diǎn)；（2）若拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且拋物線的頂點(diǎn)C落在此直線上，求ABC的面積；（3）若線段MN與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求m的取值范圍【解答】解：（1）（2）24（m2+1）4m20，故拋物線與x軸必有公共點(diǎn)；（2）對(duì)于yx22xm2+1，令yx22xm2+10，解得x1+m或1m，則拋物線的對(duì)稱性為x1，當(dāng)x1時(shí)，yx22xm2+1m2，即點(diǎn)C（1，m2），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入yx2得：m2

17、12，解得m±1，則點(diǎn)C（1，1），設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1m，0）、（1+m，0），則AB|2m|2，則ABC的面積12×AB|yC|12×2×11；（3）對(duì)于yx2，令yx20，解得x2，令x0，則y2，N（0，2），M（2，0），而線段MN為yx2（0x2），聯(lián)立得：x23xm2+30，令yx23xm2+3，若拋物線yx22xm2+1與線段MN只有1個(gè)公共點(diǎn)，即函數(shù)y在0x2范圍內(nèi)只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)與線段相切時(shí)，（2）24×（m2+1）0，解得：m±32；當(dāng)x0時(shí)，yx23xm2+33m20，解得：3m3；當(dāng)x2時(shí)，yx23xm

18、2+31m20，解得：1m1，故m±32或3m1或1m3【專題提高】8. 已知拋物線yx2+4ax4a2+3a（a34），頂點(diǎn)為點(diǎn)D，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（1）若a3時(shí)，求此時(shí)拋物線的最大值；（2）若當(dāng)0x2時(shí)，拋物線函數(shù)有最大值3，求此時(shí)a的值；（3）若直線CD交x軸于點(diǎn)G，求AG·BGOG的值【解答】解：（1）當(dāng)a3時(shí)，yx2+12x36+9x2+12x27（x6）2+9，10，當(dāng)x6時(shí)，y有最大值是9；（2）yx2+4ax4a2+3a（x2a）2+3a，拋物線的對(duì)稱軸是：x2a，a34，2a32，分兩種情況：當(dāng)322a2時(shí)，即

19、34a1，當(dāng)0x2時(shí)，拋物線函數(shù)有最大值是3a，即3a3，a1；當(dāng)2a2時(shí)，即a1，y隨x的增大而增大，當(dāng)0x2時(shí)，x2時(shí)有最大值3，y（22a）2+3a3，解得：a174，a21（舍），綜上，a的值是1或74；（3）如圖，y（x2a）2+3a，D（2a，3a），C（0，4a2+3a），當(dāng)y0時(shí)，（x2a）2+3a0，解得：x12a3a，x22a+3a，A（2a3a，0），B（2a+3a，0），設(shè)DC的解析式為：ykx+b，則2ak+b=3a，b=4a2+3a解得：k=2a，b=4a2+3a設(shè)DC的解析式為：y2ax4a2+3a，當(dāng)y0時(shí)，2ax4a2+3a0，x2a32，OG2a32，AG&

20、#183;BGOG2a32（2a3a）2a+3a（2a32）2a32=3a32（3a+32）2a32=3a942a32=12a98a6329.已知拋物線G：yx22mx與直線l：y3x+b相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A的橫坐標(biāo)小于點(diǎn)B的橫坐標(biāo)）（1）求拋物線yx22mx頂點(diǎn)的坐標(biāo)（用含m的式子表示）；（2）已知點(diǎn)C（2，1），若直線l經(jīng)過拋物線G的頂點(diǎn)，求ABC面積的最小值；（3）若平移直線l，可以使A，B兩點(diǎn)都落在x軸的下方，求實(shí)數(shù)m的取值范圍【解析】解：（1）yx22mx（xm）2m2，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，m2）；（2）直線l：y3x+b過點(diǎn)（m，m2），m23m+b，bm23m，y3xm23m解方程組y=x22mx，y=3xm23m，解得y=m，y=m2或x=m+3，y=9m2點(diǎn)A的橫坐標(biāo)小于點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，A（m，m2），B（m+3，9m2）如圖，過C作CHx軸交AB于HC（2，1），直線AB的解析式為y3xm23m，H（2，6m23m），CH1（6m