九年級弧長和扇形面積計算講義

1、弧長和扇形面積計算 內(nèi)容基本要求略高要求較高要求弧長會計算弧長能利用弧長解決有關(guān)問題扇形會計算扇形面積能利用扇形面積解決有關(guān)的簡單問題圓錐的側(cè)面積和全面積會求圓錐的側(cè)面積和全面積能解決與圓錐有關(guān)的簡單實際問題自檢自查必考點一、弧長公式由于圓周角課看做的圓弧，而的圓心角所對的弧長就是圓周長 ，所以在半徑為的圓中，的圓心角所對的弧長的計算公式：【注意】1. 圓心角的單位若不全是“度”，一定要化為“度”再代入公式；2. 公式中的三個未知量只要知道兩個就可以求出第三個，從而可以推得圓心角的計算公式為：二、多邊形滾動問題解決多邊形滾動問題，要明確旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)半徑、旋轉(zhuǎn)方向以及旋轉(zhuǎn)角度常見的多邊形滾動問

2、題有：1. 正三角形沿水平線翻滾；2. 正方形沿水平線翻滾；3. 各內(nèi)角相等的非正多邊形沿水平線翻滾；4. 各內(nèi)角不相等的多邊形沿水平線翻滾三、扇形1. 扇形的定義：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形2. 扇形的周長：在半徑為，圓心角的度數(shù)為的扇形中，周長的公式為：3. 扇形面積的計算公式： （為扇形的弧長） 【注意】扇形的面積有兩個計算公式，根據(jù)題目的不同可以選擇不同的公式進行計算四、弓形面積的計算方法1. 弓形的定義：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形2. 弓形的面積計算：弓形的面積問題可以轉(zhuǎn)化成扇形面積和三角形面積來計算根據(jù)弧的情況不同，有以下三種情況： 當弓形所

3、含的弧是劣弧時， 當弓形所含的弧是優(yōu)弧時， 當弓形所含的弧是半圓時， 五、圓錐1. 圓錐的概念：圓錐可以看做是由一個直角三角形繞一條直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)而成的圖形這條直線叫做圓錐的軸垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的底面，底面是一個圓面斜邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的側(cè)面從圓錐的頂點到底面的距離叫做圓錐的高連接圓錐的頂點和底面周長的任意一點的線段叫做圓錐的母線2. 圓錐的側(cè)面積：圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，設(shè)圓錐的母線長為，底面圓的半徑為，那么這個扇形的半徑就是圓錐的母線，扇形的弧長就是圓錐的底面周長，因此圓錐的側(cè)面積公式為：3. 圓錐的全面積：圓錐的測面積與底面積之和稱為圓錐的全面積公式為：【注意

4、】圓錐面積計算公式中的與扇形面積計算公式中的表示的含義是不一樣的，應(yīng)用時不要用混淆4. 推論：已知扇形的半徑為，圓心角為， 扇形圍成的圓錐的底面半徑為，則可以三者之間的關(guān)系為： 例題精講一、弧長的計算【例1】 在半徑為3的圓中，150°的圓心角所對的弧長為（ ）A B C D【例2】 如果中標的軸心到分針針端的長為5，那么經(jīng)過40分鐘，鐘表的分針針端轉(zhuǎn)過的弧長是_【例3】 一條弧的長度為，所對的圓心角為108°，那么這段弧的半徑為_【例4】 （2012年漳州）如圖，一枚直徑為4cm的圓形古錢幣沿著直線滾動一周，圓心移動的距離是（）A B C D【例5】 （2013年玉林）如

5、圖，實線部分是半徑為 的兩條等弧組成的游泳池，若每條弧所在的圓都經(jīng)過另一個圓的圓心，則游泳池的周長是_m【例6】 （2013年宜賓）如圖，是正三角形，曲線叫做正三角形的漸開線，其中弧、弧、弧的圓心依次是，如果，那么曲線的長是_【例7】 （2013年揚州）如圖，在扇形中，半徑，將扇形沿過點的直線折疊，點恰好落在弧上的點處，折痕交于點，則弧的長為 _二、多邊形滾動問題【例8】 （2013年遵義）如圖，將邊長為的等邊三角形沿直線向右翻動（不滑動），點從開始到結(jié)束，所經(jīng)過路徑的長度為（ ） A B C D3【例9】 （2011年蘭州）已知一個半圓形工件，未搬動前如圖所示，直徑平行于地面放置，搬動時為了

6、保護圓弧部分不受損傷，先將半圓作如圖所示的無滑動翻轉(zhuǎn)，使它的直徑緊貼地面，再將它沿地面平移50米，半圓的直徑為4米，則圓心O所經(jīng)過的路線長是_米【例10】 （2013年貴陽）在矩形中，有一個半徑為1的硬幣與邊相切，硬幣從如圖所示的位置開始，在矩形內(nèi)沿著邊滾動到開始的位置為止，硬幣自身滾動的圈數(shù)大約是（）A1圈 B2圈 C3圈 D4圈【例11】 （2012年呼倫貝爾）如圖，在中，將繞頂點按照順時針旋轉(zhuǎn)至的位置，且三點在同一條直線上，則點經(jīng)過的路線的長度是（）A4 B C D 【例12】 （2009年黃岡）已知：矩形的邊，現(xiàn)將矩形放在直線上且沿著向右作無滑動地翻滾，當它翻滾至類似開始的位置時（如圖

7、所示），則頂點所經(jīng)過的路線長是_【例13】 （2010年臺州）如圖，菱形中，菱形在直線上向右作無滑動的翻滾，每繞著一個頂點旋轉(zhuǎn)60°叫一次操作，則經(jīng)過36次這樣的操作菱形中心所經(jīng)過的路徑總長為（結(jié)果保留）_【例14】 （2013年內(nèi)江）如圖，正六邊形硬紙片在桌面上由圖1的起始位置沿直線l不滑行地翻滾一周后到圖2位置，若正六邊形的邊長為2cm，則正六邊形的中心運動的路程為_cm【例15】 （2013年六盤水）把邊長為1的正方形紙片放在直線上，邊在直線上，然后將正方形紙片繞著頂點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，此時，點運動到了點處（即點處），點運動到了點處，點運動到了點處，又將正方形紙

8、片繞點，按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，按上述方法經(jīng)過4次旋轉(zhuǎn)后，頂點經(jīng)過的總路程為_，經(jīng)過61次旋轉(zhuǎn)后，頂點O經(jīng)過的總路程為_【例16】 如圖，邊長為2的等邊置于邊長為4的正方形內(nèi)，使點在邊上將三角形先繞點作順時針旋轉(zhuǎn)，然后再繞作順時針旋轉(zhuǎn)，如此進行，使三角形沿著正方形的邊向前轉(zhuǎn)動，直到回到原來位置這時頂點所行路程長度為_三、扇形、弓形面積的計算【例17】 （2013年資陽）鐘面上的分針的長為1，從9點到9點30分，分針在鐘面上掃過的面積是（）A B C D 【答案】A【例18】 （2013襄陽）如圖，以為直徑的半圓經(jīng)過斜邊的兩個端點，交直角邊于點是半圓弧的三等分點，弧的長為，則圖中陰影部

9、分的面積為（）A B C D 【例19】 （2013年東營）如圖，正方形中，分別以為圓心，以正方形的邊長為半徑畫弧，形成樹葉形（陰影部分）圖案，則樹葉形圖案的周長為（）A B C D 【例20】 （2013年昭通）如圖所示是某公園為迎接“中國南亞博覽會”設(shè)置的一休閑區(qū)，弧的半徑長是6米，是的中點，點在弧上，則圖中休閑區(qū)（陰影部分）的面積是？【例21】 （2012寧夏）如圖，一根5m長的繩子，一端拴在互相垂直的圍墻墻角的柱子上，另一端拴著一只小羊（羊只能在草地上活動），那么小羊在草地上的最大活動區(qū)域面積是？=【例22】 （2013年遵義）如圖，在中，為邊上的一點，以為圓心，為半徑的圓弧交于點，交

10、的延長于點，若圖中兩個陰影部分的面積相等，則的長為？（結(jié)果保留根號）【例23】 （2013年鹽城）如圖，在中， ，將繞頂點按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°至的位置，則線段掃過區(qū)域（圖中的陰影部分）的面積為？四、圓錐【例24】 （2013年貴港）如圖，已知圓錐的母線長為6，圓錐的高與母線所夾的角為，且 ，則該圓錐的側(cè)面積是（）A B C D 【例25】 （2013黔西南州）如圖，一扇形紙片，圓心角為120°，弦的長為，用它圍成一個圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計），則該圓錐底面圓的半徑為_【例26】 （2013年盤錦）如圖，張老師在上課前用硬紙做了一個無底的圓錐形教具，那么這個教具的用紙面積是

11、_cm2（不考慮接縫等因素，計算結(jié)果用表示）【例27】 （2013年佛山）如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，求母線與高的夾角（參考公式：圓錐的側(cè)面積，其中為底面半徑，為母線長）【例28】 （2009年永州）問題探究：（1） 如圖所示是一個半徑為，高為4的圓柱體和它的側(cè)面展開圖，是圓柱的一條母線，一只螞蟻從點出發(fā)沿圓柱的側(cè)面爬行一周到達點，求螞蟻爬行的最短路程（探究思路：將圓柱的側(cè)面沿母線剪開，它的側(cè)面展開圖如圖中的矩形，則螞蟻爬行的最短路程即為線段的長）；（2） 如圖所示是一個底面半徑為，母線長為4的圓錐和它的側(cè)面展開圖，是它的一條母線，一只螞蟻從點出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周后回到點，求螞蟻爬行

12、的最短路程；（3） 如圖所示，在的條件下，一只螞蟻從點出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周到達母線上的一點，求螞蟻爬行的最短路程【例29】 （2008年南通）鐵匠王老五要制作一個圓錐體模型，操作規(guī)則是：在一塊邊長為16cm的正方形紙片上剪出一個扇形和一個圓，使得扇形圍成圓錐的側(cè)面時，圓恰好是該圓錐的底面他們首先設(shè)計了如圖所示的方案一，發(fā)現(xiàn)這種方案不可行，于是他們調(diào)整了扇形和圓的半徑，設(shè)計了如圖所示的方案二（兩個方案的圖中，圓與正方形相鄰兩邊及扇形的弧均相切方案一中扇形的弧與正方形的兩邊相切）請你幫助他算一算可以嗎？（1） 請說明方案一不可行的理由；（2） 判斷方案二是否可行？若可行，請確定圓錐的母線長及其

13、底面圓半徑；若不可行，請說明理由【例30】 如圖：有一個半徑為的半圓，要用這個半圓做一個圓錐的側(cè)面和底面，小芳想這樣做：在圓弧上取點，使，用扇形作圓錐的側(cè)面，在扇形內(nèi)剪一個最大的作圓錐的底面，你認為小芳這樣做辦得到嗎？請你通過計算說明理由【例31】 己知圓錐的底面半徑是4cm，母線長為12cm，為母線的中點，求從到在圓錐的側(cè)面上的最短距離課后作業(yè)【題1】 （2012年北海）如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，的頂點都在格點上，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)60°，則頂點所經(jīng)過的路徑長為（）A B C D 【題2】 （2013年山西）如圖，四邊形是菱形，扇形的半徑為2，圓心角為60°，則

14、圖中陰影部分的面積是（）A B C D 【題3】 （2013年泰安）如圖，是的兩條互相垂直的直徑，點分別是的中點，若的半徑為2，則陰影部分的面積為（）A8 B4 C D 【題4】 （2013年遂寧）如圖，的三個頂點都在5×5的網(wǎng)格（每個小正方形的邊長均為1個單位長度）的格點上，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置，且點仍落在格點上，則圖中陰影部分的面積約是？（ ，結(jié)果精確到0.1）【題5】 （2013年黃岡）如圖，矩形中，邊在直線上，將矩形沿直線作無滑動翻滾，當點第一次翻滾到點位置時，則點經(jīng)過的路線長為_【題6】 （2012年遵義）如圖，將邊長為的正方形沿直線向右翻動（不滑動），當正方形連續(xù)翻動6次后，正方形的中心經(jīng)過的路線長是_cm（結(jié)果保留）【題7】 （2013年廣安）如圖，如果從半徑為5cm的圓形紙片上剪去圓周的一個扇形，將留下的扇形圍成一個圓錐（接縫處不重疊），那么這個圓錐的高是 cm【題8】 （2009年青海）如