專題06：三角形求角度模型之三角形內(nèi)外角平分線交角-備戰(zhàn)2022中考數(shù)學(xué)解題方法系統(tǒng)訓(xùn)練（全國通用）

1、專題06:第2章三角形求角度模型之三角形內(nèi)外角平分線交角學(xué)校:_姓名：_班級：_考號：_一、填空題1如圖，在中，如果與的平分線交于點(diǎn)，那么_ 度2如圖，在中，平分，平分，則_.3（2018育才單元考） 如圖，在ABC中，和的角平分線交于點(diǎn)，得，和的角平分線交于點(diǎn)，得，和的角平分線交于點(diǎn)，得（1）若，則_，_，_（2）若，則_4如圖，在ABC中，A=60°，BD、CD分別平分ABC、ACB，M、N、Q分別在DB、DC、BC的延長線上，BE、CE分別平分MBC、BCN，BF、CF分別平分EBC、ECQ，則F=_二、解答題5在ABC中，若存在一個(gè)內(nèi)角角度是另外一個(gè)內(nèi)角角度的n倍（n為大于1

2、的正整數(shù)），則稱ABC為n倍角三角形例如，在ABC中，A80°，B75°，C25°，可知B3C，所以ABC為3倍角三角形（1）在ABC中，A80°，B60°，則ABC為 倍角三角形；（2）若銳角三角形MNP是3倍角三角形，且最小內(nèi)角為，請直接寫出的取值范圍為 （3）如圖，直線MN與直線PQ垂直相交于點(diǎn)O，點(diǎn)A在射線OP上運(yùn)動（點(diǎn)A不與點(diǎn)O重合），點(diǎn)B在射線OM上運(yùn)動（點(diǎn)B不與點(diǎn)O重合）延長BA至G，已知BAO、OAG的角平分線與BOQ的角平分線所在的直線分別相交于E、F，若AEF為4倍角三角形，求ABO的度數(shù)6在ABC中，已知A（1）如圖1，A

3、BC、ACB的平分線相交于點(diǎn)D求BDC的大小（用含的代數(shù)式表示）；（2）如圖2，若ABC的平分線與ACE的平分線交于點(diǎn)F，求BFC的大小（用含的代數(shù)式表示）；（3）在（2）的條件下，將FBC以直線BC為對稱軸翻折得到GBC，GBC的平分線與GCB的平分線交于點(diǎn)M（如圖3），求BMC的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）7如圖1，ABC的外角平分線交于點(diǎn)F（1）若A40°，則F的度數(shù)為 ；（2）如圖2，過點(diǎn)F作直線MNBC，交AB，AC延長線于點(diǎn)M，N，若設(shè)MFB，NFC，則A與+的數(shù)量關(guān)系是 ；（3）在（2）的條件下，將直線MN繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動如圖3，當(dāng)直線MN與線段BC沒有交點(diǎn)時(shí)，試探索A與，之間的

4、數(shù)量關(guān)系，并說明理由；當(dāng)直線MN與線段BC有交點(diǎn)時(shí)，試問中A與，之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請給出三者之間的數(shù)量關(guān)系8（1） 如圖1所示，BD，CD分別是ABC的內(nèi)角ABC，ACB的平分線，試說明：D=90°+A（2）探究，請直接寫出下列兩種情況的結(jié)果，并任選一種情況說明理由：如圖2所示，BD，CD分別是ABC兩個(gè)外角EBC和FCB的平分線，試探究A與D之間的等量關(guān)系；如圖3所示，BD，CD分別是ABC一個(gè)內(nèi)角ABC和一個(gè)外角ACE的平分線，試探究A與D之間的等量關(guān)系9如圖，在ABC中，ABC與ACB的平分線相交于點(diǎn)P（1）如果A80°，求BP

5、C的度數(shù)；（2）如圖，作ABC外角MBC、NCB的平分線交于點(diǎn)Q，試探索Q、A之間的數(shù)量關(guān)系（3）如圖，延長線段BP、QC交于點(diǎn)E，BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍，請直接寫出A的度數(shù)10（問題背景）（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說明A+B=C+D；（簡單應(yīng)用）（2）如圖2， AP、CP分別平分BAD BCD，若ABC=46°，ADC=26°，求P的度數(shù)；（問題探究）（3）如圖3，直線AP平分BAD的外角FAD，CP平分BCD的外角BCE，若ABC=36°，ADC=16°，請猜想P的度數(shù)，并說明理由（拓展延伸）（4） 在圖4中，若

6、設(shè)C=，B=，CAP=CAB，CDP=CDB，試問P與C、B之間的數(shù)量關(guān)系為： （用、表示P）； 在圖5中，AP平分BAD，CP平分BCD的外角BCE， 猜想P與B、D的關(guān)系，直接寫出結(jié)論 參考答案1125【解析】【分析】先利用三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，進(jìn)而可求的度數(shù)，最后再利用三角形內(nèi)角和定理即可求出答案【詳解】 ， BD平分，CD平分 ，故答案為：125【點(diǎn)評】本題主要考查與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題，掌握角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵2【解析】【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求解.【詳解】解：平分，平分，.【點(diǎn)評】本題考查了角平分線的

7、性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理.熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.340° 20° 10° 【解析】【分析】（1）利用角平分線的定義和三角形外角性質(zhì)，易證A1=A，進(jìn)而可求A1，同理易證A2=A1，A3=A2，進(jìn)而可求A2和A3；（2）利用角平分線的定義和三角形外角性質(zhì)，易證A1=A，進(jìn)而可求A1，同理易證A2=A1，A3=A2，以此類推可知A2015即可求得【詳解】解：（1）A=ACDABC，A1=A1CDA1BC和的角平分線交于點(diǎn)，A1CD=ACD，A1BC=ABCA1=A1CDA1BC=ACDABC=（ACDABC）=A=40°同理可證：A2=A1=2

8、0°，A3=A2=10°故答案為：40°；20°；10°（2）A=ACDABC，A1=A1CDA1BC和的角平分線交于點(diǎn)，A1CD=ACD，A1BC=ABCA1=A1CDA1BC=ACDABC=（ACDABC）=A=°同理可證：A2=A1=°，A3=A2=°A2015=°故答案為：°【點(diǎn)評】本題考查了角平分線定義和三角形外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是推導(dǎo)出A1=A，并依此找出規(guī)律415°【解析】【分析】先由BD、CD分別平分ABC、ACB得到DBC=ABC，DCB=ACB，在ABC中根據(jù)三角形

9、內(nèi)角和定理得DBC+DCB=（ABC+ACB）=（180°-A）=60°，則根據(jù)平角定理得到MBC+NCB=300°；再由BE、CE分別平分MBC、BCN得5+6=MBC，1=NCB，兩式相加得到5+6+1=（NCB+NCB）=150°，在BCE中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出E=30°；再由BF、CF分別平分EBC、ECQ得到5=6，2=3+4，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到3+4=5+F，2+3+4=5+6+E，利用等量代換得到2=5+F，22=25+E，再進(jìn)行等量代換可得到F=E【詳解】解：BD、CD分別平分ABC、ACB，A=60°，

10、DBC=ABC，DCB=ACB，DBC+DCB=（ABC+ACB）=（180°-A）=×（180°-60°）=60°，MBC+NCB=360°-60°=300°，BE、CE分別平分MBC、BCN，5+6=MBC，1=NCB，5+6+1=（NCB+NCB）=150°，E=180°-（5+6+1）=180°-150°=30°，BF、CF分別平分EBC、ECQ，5=6，2=3+4，3+4=5+F，2+3+4=5+6+E，即2=5+F，22=25+E，2F=E，F(xiàn)=E=&#

11、215;30°=15°故答案為：15°【點(diǎn)評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°也考查了三角形外角性質(zhì)5（1）2；（2）22.5°30°；（3）45°或36°【解析】【分析】（1）由A80°，B60°，可求C的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角之間的倍數(shù)關(guān)系，得出答案，（2）DEF是3倍角三角形，必定有一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的3倍，然后根據(jù)這兩個(gè)角之間的關(guān)系，分情況進(jìn)行解答，（3）首先證明EAF90°，分兩種情形分別求出即可【詳解】解：（1）A80°，B60°，C180&

12、#176;AB40°，A2C，ABC為2倍角三角形，故答案為：2；（2）最小內(nèi)角為，3倍角為3，由題意可得：390°，且180°490°，最小內(nèi)角的取值范圍是22.5°30°故答案為22.5°30°（3）AE平分BAO，AF平分AOG，EABEAO，OAFFAG，EAFEAO+OAF（BAO+OAG）90°，EAF是4倍角三角形，E×90°或×90°，AE平分BAO，OE平分BOQ，EABO，ABO2E，ABO45°或36°【點(diǎn)評】本題考查了三角

13、形的內(nèi)角和定理，余角的意義，不等式組的解法和應(yīng)用等知識，讀懂新定義n倍角三角形的意義和分類討論是解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵6（1）BDC90°+；（2）BFC；（3）BMC90°+【解析】【分析】（1）由三角形內(nèi)角和可求ABC+ACB180°，由角平分線的性質(zhì)可求DBC+BCD（ABC+ACB）90°，由三角形的內(nèi)角和定理可求解；（2）由角平分線的性質(zhì)可得FBCABC，F(xiàn)CEACE，由三角形的外角性質(zhì)可求解；（3）由折疊的性質(zhì)可得GBFC，方法同（1）可求BMC90°+，即可求解.【詳解】解：（1）A，ABC+ACB180°，BD平分ABC，C

14、D平分ACB，DBCABC，BCDACB， DBC+BCD（ABC+ACB）90°，BDC180°（DBC+BCD）90°+；（2）ABC的平分線與ACE的平分線交于點(diǎn)F，F(xiàn)BCABC，F(xiàn)CEACE，ACEA+ABC，F(xiàn)CEBFC+FBC，BFCA；（3）GBC的平分線與GCB的平分線交于點(diǎn)M，方法同（1）可得BMC90°+， 將FBC以直線BC為對稱軸翻折得到GBC，GBFC，BMC90°+.【點(diǎn)評】此題考查三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，角平分線的性質(zhì)定理，折疊的性質(zhì).7（1）70°（2） （3）見解

15、析 不成立；或【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，即可得到F的度數(shù)；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，即可得到BFC的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到A與+的數(shù)量關(guān)系；（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論BFC90°A，以及平角的定義，即可得到A與，之間的數(shù)量關(guān)系；分兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)（2）中的結(jié)論BFC90°A，以及平角的定義，即可得到A與，之間的數(shù)量關(guān)系【詳解】解：（1）如圖1，A40°，ABC+ACB140°，DBC+ECB360°140°220°，又ABC的外角平分線交于點(diǎn)F，F(xiàn)BC+

16、FCB（DBC+ECB）×220°110°，BCF中，F(xiàn)180°110°70°，故答案為：70°；（2）如圖2，ABC+ACB180°A，DBC+ECB360°（180°A）180°+A，又ABC的外角平分線交于點(diǎn)F，F(xiàn)BC+FCB（DBC+ECB）×（180°+A）90°+A ，BCF中，BFC180°（90°+A ）90°A，又MFB，NFC，MNBC，F(xiàn)BC，F(xiàn)CB，BCF中，F(xiàn)BC+FCB+BFC180°，+

17、90°A180°，即+A90°，故答案為：+A90°；（3）+A90°，理由如下：如圖3，由（2）可得，BFC90°A，MFB+NFC+BFC180°，+90°A180°，即+A90°，當(dāng)直線MN與線段BC有交點(diǎn)時(shí)，中A與，之間的數(shù)量關(guān)系不成立分兩種情況：如圖4，當(dāng)M在線段AB上，N在AC延長線上時(shí)，由（2）可得，BFC90°A，BFCMFB+NFC180°，90°A+180°，即A90°；如圖5，當(dāng)M在AB的延長線上，N在線段AC上時(shí)，由（2）

18、可得，BFC90°A，BFCNFC+MFB180°，90°A+180°，即A90°；綜上所述，A與，之間的數(shù)量關(guān)系為A90°或A90°【點(diǎn)評】此題主要考查三角形的角度求解與證明，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意分情況作圖8（1）證明見解析；（2）A=180°2D，理由見解析；A=2D，理由見解析【解析】【分析】（1）首先利用角平分線性質(zhì)得出DBC=ABC，DCB=ACB，再利用三角形內(nèi)角和定理得出A+ABC+ACB=180°以及DBC+DCB+D=180°，據(jù)此進(jìn)一步加以變形求證即可；（2）首先理由角平分線

19、性質(zhì)得出EBC=2DBC，F(xiàn)CB=2DCB，然后再利用三角形內(nèi)角和性質(zhì)進(jìn)一步整理得出A2(DBC+DCB)=-180°，據(jù)此進(jìn)一步加以分析證明即可；利用三角形外角性質(zhì)可知DCE=DBC+D，然后再利用角平分線性質(zhì)得出2DBC=ABC，2DCE=ACE，最后再結(jié)合A+ABC=ACE進(jìn)一步證明即可.【詳解】（1）BD，CD分別是ABC，ACB的平分線，DBC=ABC，DCB=ACB，A+ABC+ACB=180°，ABC+ACB=180°A，又DBC+DCB+D=180°，D=180°(DBC+DCB)=180°(ABC+ACB)=180&

20、#176;(180°A)=180°90°+A=90°+A，即：D=90°+A；（2）A=180°2D，理由如下：BD，CD分別是EBC和FCB的平分線，EBC=2DBC，F(xiàn)CB=2DCB，A+ABC+ACB=180°，ABC=180°(A+ACB)=180°2DBC，ACB=180°(A+ABC)=180°2DCB，A+180°2DBC+180°2DCB=180°，A2(DBC+DCB)=180°，又DBC+DCB+D=180°，DBC

21、+DCB=180°D，A2(DBC+DCB)=A2(180°D)=180°，即：A360°+2D=180°，2D=180°A，即：A=180°2D；A=2D，理由如下：DCE是ABC的一個(gè)外角，DCE=DBC+D，BD，CD分別是ABC和ACE的平分線，2DBC=ABC，2DCE=ACE，A+ABC=ACE，A+2DBC=2DCE，A+2DBC=2DBC+2D，A=2D.【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理與三角形外角性質(zhì)及角平分線性質(zhì)的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)方法是解題關(guān)鍵.9（1）130°；（2）；（3）60&

22、#176;或120°或45°或135°【解析】【分析】（1）運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的定義，首先求出ABC+ACB，進(jìn)而求出BPC即可解決問題；（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)分別表示出MBC與BCN，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得CBQ+BCQ，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；（3）在BQE中，由于Q90°A，求出EA，EBQ90°，所以如果BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍，那么分四種情況進(jìn)行討論：EBQ3E90°；EBQ3Q90°；Q3E；E3Q；分別列出方程，求解即可【詳解】（1）解：A80°ABC

23、+ACB100°，點(diǎn)P是ABC和ACB的平分線的交點(diǎn)，P180°（ABC+ACB）180°×100°130°，（2）外角MBC，NCB的角平分線交于點(diǎn)Q，QBC+QCB（MBC+NCB）（360°ABCACB）（180°+A）90°+AQ180°（90°+A）90°A；（3）延長BC至F，CQ為ABC的外角NCB的角平分線，CE是ABC的外角ACF的平分線，ACF2ECF，BE平分ABC，ABC2EBC，ECFEBC+E，2ECF2EBC+2E，即ACFABC+2E，又ACF

24、ABC+A，A2E，即EA；EBQEBC+CBQABC+MBC（ABC+A+ACB）90°如果BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍，那么分四種情況：EBQ3E90°，則E30°，A2E60°；EBQ3Q90°，則Q30°，E60°，A2E120°；Q3E，則E22.5°，解得A45°；E3Q，則E67.5°，解得A135°綜上所述，A的度數(shù)是60°或120°或45°或135°【點(diǎn)評】本題是三角形綜合題，考查了三角形內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)，角平分線定義等知識；靈活運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵10（1）見解析；（2）36°；（3）26°，理由見解析；（4）P=P=【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可證明；（2）直接利用（1）中的結(jié)論兩次，兩式相加，然后根據(jù)角平分線的