向量及向量加減法

1、學(xué)習(xí)目的：1. 理解向量、零向量、單位向量、向量的模的意義；2. 理解向量的幾何表示，會用字母表示向量；3. 了解平行向量、共線向量和相等向量的意義，并會判斷向量間平行（共線）、相等的關(guān)系；4. 通過對向量的學(xué)習(xí)，使學(xué)生對現(xiàn)實生活的向量和數(shù)量有一個清楚的認識，培養(yǎng)學(xué)生的唯物 辯證思想和分析辨別能力 .5掌握向量的加法的定義，會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向 量；6掌握向量加法的交換律和結(jié)合律，并會用它們進行向量計算； 7明確相反向量的意義，掌握向量的減法，會作兩個向量的差向量； 8在正確掌握向量加法減法運算法則的基礎(chǔ)上能結(jié)合圖形進行向量的計算，將數(shù)和形有機結(jié) 合，并能利

2、用向量運算完成簡單的幾何證明；9通過闡述向量的減法運算可以轉(zhuǎn)化為向量加法運算及多個向量的加法運算可以轉(zhuǎn)化成兩個 向量的加法運算， 可以滲透化歸的數(shù)學(xué)思想， 使學(xué)生理解事物之間相互轉(zhuǎn)化， 相互聯(lián)系的辨證思 想，同時由于向量的運算能反映出一些物理規(guī)律，從而加強了數(shù)學(xué)學(xué)科與物理學(xué)科之間的聯(lián)系， 提高學(xué)生的應(yīng)用意識學(xué)習(xí)內(nèi)容 :向量這部分知識是新內(nèi)容， 但我們已經(jīng)接觸過了 . 同學(xué)們在物理的課程學(xué)習(xí)過矢量的概念， 它與我們要 學(xué)的向量是一致的（知識是相通的），即使在數(shù)學(xué)中，前一段我們學(xué)習(xí)三角函數(shù)線時講過有向線段，實際 上向量就是用有向線段表示的學(xué)習(xí)難點向量的加法運算一、向量的概念、向量：既有大小又有方向

3、的量.通常用有向線段存表示，其中A為起點，B為終點，顯然表示不同的向量；有向線段 屈的長度表示向量的大小，用I屈I表示，顯然既有向線段的起、終點決定向量的方向，有向線段的長度決定向量的大小注意：向量一_的長度II又稱為向量的模；長度為 0的向量叫做零向量，長度為 1的向量叫做單位向量.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，規(guī)定零向量與任一向量平行.平行向量可通過平移到同一條直線上，因此平行向量也叫共線向量長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量與零向量相等，任意兩個相等的非零向量可經(jīng)過平移的過程重合在一起，既可用一個有向線段表示，而與起點無關(guān)二、向量的加法1 向量加法的平行四邊形法則TT

4、-= T平行四邊形 ABCD中，向量的和為一二.記作：丄廠亠 亠.2 向量加法的三角形法則 _T_T根據(jù)向量相等的定義有：.E I-.'，既在 ADC中，一匸|，首尾相連的兩個向量的和是以第一個向量的起點指向第二個向量的終點規(guī)定:零向量與向量的和等于-.三、向量的減法T TT_ _T T.T _T向量/：.：,與向量'.I叫做相反向量.記作：.I-'.則_ _ _，既用加法法則來解決減法問題.例題選講第一階梯例1判斷下列命題的真假： 直角坐標系中坐標軸的非負軸都是向量； 兩個向量平行是兩個向量相等的必要條件； 向量F與是共線向量J 、二 必在同一直線上； 向量必與向量b

5、平行，則W與5的方向相同或相反； 四邊形 ABCD 是平行四邊形的充要條件是 丄.分析：判斷上述五個命題的真假性，需細心辨別才能識其真面目.解： 直角坐標系中坐標軸的非負半軸，雖有方向之別，但無大小之分，故命題是錯誤的. 由于兩個向量相等，必知這兩個向量的方向與長度均一致，故這兩個向量一定平行， 所以,此命題正確； 不正確.與上 共線，可以有_i_ 與二 平行； 不正確.如果其中有一個是零向量，則其方向就不確定； 正確此命題相當于平面幾何中的命題：四邊形ABCD 是平行四邊形的充要條件是有 一組對邊平行且相等. 例2下列各量中是向量的有 .A、動能 B、重量C、質(zhì)量 D、長度E、作用力與反作用

6、力F、溫度分析：用向量的兩個基本要素作為判斷的依據(jù)注意對物理量實際意義的認識解：A, C, D, F只有大小，沒有方向，而B和F既有大小又有方向，故為向量. 例3命題“若芒b，:，則匚廠.”（）A.總成立B.當.時成立C.當,. 時成立D.當-.時成立分析：這里要作岀正確選擇，就是要探求題中命題成立的條件.零向量與其他任何非零向量都平行，當兩非零向量不平行而£ 一 .時，有，& ,，但這時命題不成立，故不能選 擇A,也不能選擇 B與D,故只能選擇 C.答案：C第二階梯例1如圖i所示，已知向量，試求作和向量 b <-.分析：求作三個向量的和的問題，首先求作其中任兩個向量的

7、和，因為這兩個向量的和仍為一個向 量，然后再求這個向量與另一個向量的和即先作圖1解：如圖2所示，首先在平面內(nèi)任取一點_，作向量 OA = a ，再作向量上：c，則得向量UL o. -，然后作向量b，則向量丿 I b I -即為所求.例2化簡下列各式-二 / ;(2)上'_： 一 丄.分析：化簡含有向量的關(guān)系式一般有兩種方法是利用幾何方法通過作圖實現(xiàn)化簡；是利用代數(shù)方法通過向量加法的交換律，使各向量"首尾相連”，通過向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序，有時也需將一個向量拆分成兩個或多個向量.解：原式丄/.-!一匚工n原式亠ABC 例3用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形是平行

8、四邊形.分析：要證明四邊形是平行四邊形只要證明某一組對邊平行且相等.由相等向量的意義可知， 只需證明其一組對邊對應(yīng)的向量是相等向量.(需首先將命題改造為數(shù)學(xué)符號語言)已知：如圖3 , ABCD是四邊形，對角線 AC與BD交于0,且A0=0C D0=0B求證：四邊形ABCD是平行四邊形.證明：由已知得'：AD = A0 + 0D = 0CB0 = B0WC = BC ，且A, D, B, C不在同一直線上，故四邊形ABCD是平行四邊形.第三階梯例1 下列命題(1)單位向量都相等;(2)若丄丄，則也二1上二；(3 )若ABCD為平行四邊形，則 一;T=T T_T T = T(4)若丄一i

9、' 一汀U 一上二.其中真命題的個數(shù)是()A、 0B、 1C、2D、3T弓T解：(1)不正確.單位向量的長度相等，但方向不一定相同；(2)不正確.可能T =T _ >在同一條直線上；(3)不正確.平行四邊形 ABCD中，止 丄一- 11- ;( 4)正確.滿足等量的傳遞性.選B.例2若0為正三角形 ABC的中心，則向量T T TA、有相同起點的向量B平行向量C、模相等的向量等的向量.由正三角形的性質(zhì).選T i=fT T解：的起點不同，不平行也不相等C.i/5+2mi=媯例3.某人向東走 3km,又向北走3km,求此人所走路程和位移解:此人所走路程：|AB|+|BC|=6km.此人

10、的位移例4求證對角線互相平分的平面四邊形是平行四邊形T _T T _T已知：丄 _i； 工 亠，求證:ABCD為平行四邊形=£T防+=T朋證明：由加法法則T=7時線共TBC與T屈(1) 2->c-c< >一IJ7 _7丄 !,即線段AB與DC平行且相等, ABCD為平行四邊形例5.非零向量一二_"中，試比較 l/t "ic同諂 的大小.T與TT=T(2)'不共線時，匚 丄，T_T 二T T =T丄二亠二,綜上: 1x5總胡課外練習(xí).若兩個向量不相等，則這兩個向量(A、不共線C、不可能均為單位向量B、長度不相等D、不可能均為零向量2 四邊形

11、RSPQ為菱形，則下列可用一條有向線段表示的兩個向量是（）T 1=>T i=jTA 二一,B、SRPQT與TT耳TC 鳥 - ,DSRSP3“兩個向量共線”是“這兩個向量相等”的（)A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充要條件D既不充分也不必要條件T T =T T4. O是四邊形ABCD對角線的交點，若_、工- '，則四邊形ABCD>（）A、等腰梯形B、平行四邊形C、菱形 D、矩形5.若0是厶ABC內(nèi)一點,OA 0Bj 'C ''，則 0是 ABC 的().A、內(nèi)心B、外心C垂心D、重心T6. ABC 中，=().T T->A、BC CAB

12、、%）C丄_JD、BC->7. 平行四邊形 ABCD中，E、F為AB, CD中點，圖中7個向量中，與屈 相等的向量是 TTT與相等的向量是；與屈 平行的向量是；與 D4平行的向量是.T T T T8 已知：首尾相接的四個向量一上'丄一 _求證:.S參考答案：1. D2.B3.B4.B5.D6.BT T T T T T T7. FC1 飴 E即FD，紀,阿CE二T8. 證明：丄 _ _，DA：-.i ：TADTDA=0測試選擇題1 已知向量a=（3,m）的長度是5,則m的值為（）.A、4 B、-4 C、士 4 D、162 .下面有四個命題：（1）向量*丄的長度與向量丄二的長度相等.

13、（2）任何一個非零向量其終點必相同都可以平行移動.（3）所有的單位向量都相等.（4）兩個有共同起點的相等向量, 其中真命題的個數(shù)是（）A、4 B、33 在下列命題中，正確的是（）-> T-> TT->A、若|L>|，則L£ >B、I L= |.： | ，貝U L/ =-> TTT ->C、若“ =，則a與.：共線D、若 Lt，貝ULt 定不與共線4 下列說法中錯誤的是（）A、零向量是沒有方向的B、零向量的長度為 0C、零向量與任一向量平行D、零向量的方向是任意的5 .如圖，設(shè)O是正六邊形 ABCDE啲中心，則和相等的向量的個數(shù)是（）C、3個答

14、案與解析答案：1、C 2、B 3、C 4、A 5、B解析：1.答案:C.因為|a|=4* H-jy 二所以.'=1.2 .答案:B. (1)對.因為丄與丄幺是指同一條線段，因此長度相等.對.這是由相等向量推導(dǎo)岀的結(jié)論.(3)錯.因為單位向量只要求模長等于1,方向不作要求，因此不一定相等.(4)對因為相等向量可以經(jīng)過平移至完全重合解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識B錯相等向量不僅D錯因為向量不相等,3 .答案：C. A錯.因為向量有大小和方向兩個要素.無法比較大小.要模長相等，方向也要相同.C對相等向量方向一定相同，因此共線.可能僅由于模長不等，方向仍可能是相同的，所以'有共線

15、的可能.4 .答案：A.零向量是規(guī)定了模長為 0的向量.零向量的方向沒有規(guī)定，是任意的，可以看作和任一向量共線.零向量絕不是沒有方向.5 答案：B.根據(jù)向量相等的條件向量重點難點了解向量可以根據(jù)需要自由平移的特點是今后運用向量方法解決問題的前提條件之一，也因此，平行 向量也叫共線向量要根據(jù)向量的有關(guān)概念從圖形中找岀相等的向量和共線的向量因此，要加強訓(xùn)練觀 察一些常見圖形.以下三個問題上常岀現(xiàn)錯誤：一是用表示向量的有向線段的起點和終點的字母表示向量時，一定注意搞清字母順序，起點在前，終點在后，例如二-與丄二是大小相同，方向相反的兩個向量，二是零向量T ->的方向是任意的，而不是沒有方向，因

16、此有關(guān)零向量的方向問題一般要注意規(guī)定，例如命題： _與.tT T -> T->->共線， _與二共線，L£與二 共線，是錯誤的，因為零向量的方向是任意的，故L£與二 的方向沒有任何關(guān)系，因此也無法判斷是否共線，三是注意區(qū)別平行向量與平面幾何中直線平行的概念，前者相當于兩直線位置關(guān)系中的平行和重合兩種情況，例如錯誤地認為平行向量不可能是共線向量，其實這兩個概念是同一個概念.典型題目例i下列說法中正確的是（）A向量7與向量共線，向量與向量共線，則向量7與向量共線B、任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四個頂點C、向量7.'不共 線，則LC

17、與T門所在直線的夾角為銳角D始點相同的兩個非零向量不平行答案：A點評：向量共線即方向相同或相反,故非零向量間的共線關(guān)系是可以傳遞的.共線向量等同于平行向量，既可平行也可在同一直線上 .而相等向量是共線的， 故B中四點可能在同一直線上， 向量不共線，僅指其所在直線不平行或不重合， 夾角可能是直角，而選項D中向量是否共線與始 點位置無關(guān).例2 “兩個向量共線”是“這兩個向量方向相反”的（）條件A.充分不必要B.必要不充分C. 充要D.既不充分也不必要答案：B點評：向量共線即向量方向相同或相反，故后者推岀前者，而反之不成立.例3下面有四個命題：（1）向量的模是一個正實數(shù).（2）兩個向量平行是兩個向量

18、相等的必要條件.（3）若兩個單位向量互相平行，則這兩個單位向量相等.（4）溫度含有零上溫度和零下溫度,所以溫度是向量，其中真命題的個數(shù)為A. 0B. 1 C. 2 D. 3答案：B點評：只有（2）是正確的，因為兩個向量平行只是指這兩個向量在方向上是相同或相反的.方向相反則不可能是相等向量.即使方向相同，對于大小也沒有要求，依然無法判定兩個向量是否相等.而兩個相等向量的方向一定相同，必是平行向量.（1）錯在向量的模是表示向量的有向線段的長度，零向量的模為零因此向量的模是一個非負實數(shù).（3）錯在兩個單位向量互相平行，方向可能相同也可能相反，因此這兩個向量不一定相等.（4）錯在溫度的零上零下也只是表

19、示數(shù)量向量既要有大小又要有方向常見的向量有力、速度、位移、加速度等正確解答本題的關(guān) 鍵是把握住向量的兩個要素，并從這兩個要素人手區(qū)分其它有關(guān)概念.例4 一輛汽車從A點岀發(fā)向西行駛了 100公里到達B點，然后又改變方向向西偏北50 °走了 200公里到達C點，最后又改變方向，向東行駛了100公里到達D點.（1）作岀向量-、丄丄（2）求| :丄|.答案： 見圖. 由題意，易知方向相反，故-與二 共線，又/ 在四邊形ABCD中, AB _CD,四邊形ABCD為平行四邊形，二二，點評：準確畫岀向量的方法是先確定向量的起點，再確定向量的方向， 最后根據(jù)向量的大小確定向量的終點.例5 一個人從A

20、點岀發(fā)沿東北方向走了 100米到達B點后改變方向沿南偏東15 °又走了100米到達C點，求此人從C點走回A點的位移.T解：如圖，根據(jù)題意知 ABC為等邊三角形，故/a=15°, |厶|=100 ,二 此人從C點走回A點的位移一，大小為100米，方向為西偏北 15 ° .檢測題1.在下列各命題中，為真命題的有()(1) 物理學(xué)中的作用力與反作用力是一對共線向量(2) 溫度有零上溫度和零下溫度因此溫度也是向量(3) 方向為南偏西 60°的向量與方向為北偏東60 °的向量是共線向量(4) 坐標平面上的 x軸和y軸都是向量A. 1個 B . 2個 C . 3個 D . 4個2. 已知a、b、c是三個非零向量，則|a+b+c|=|a|+|b|+|c| 的充要條件是()A. a、b同方向 Bb、c同方向 Ca、c同方向 D . a、b、