非線性規(guī)劃例題

1、1、用梯度法（最速下降法）求下述函數(shù)的極小點(diǎn)：解：取初始點(diǎn)。，故為極小點(diǎn)。其極小值。2、用梯度法（最速下降法）求函數(shù)的極小點(diǎn)，取允許誤差。解：取初始點(diǎn)。故以為近似極小點(diǎn)，此時(shí)的函數(shù)值。該問題的精確解是。例 9 用牛頓法求例8的極小點(diǎn)。解 任取初始點(diǎn)。算出。在本例中， ，可知確實(shí)是極小值點(diǎn)。1、試用共軛梯度法求下述二次函數(shù)的極小點(diǎn)：解：將化成標(biāo)準(zhǔn)式得現(xiàn)從開始，由于故于是故例10 用DFP法求下述函數(shù)的極小值點(diǎn)：解 為了和例8及例9進(jìn)行比較，仍取初始點(diǎn)。此外，如通常所作的那樣，取初始尺度矩陣。 令得 令得 ，可知為極小值點(diǎn)。其函數(shù)值為。例 11 用庫恩塔克條件解非線性規(guī)劃 解 先將其變?yōu)閱栴}（11

2、.60）的形式設(shè)K-T點(diǎn)為，各函數(shù)的梯度為對第一個(gè)和第二個(gè)約束條件分別引入廣義拉格朗日乘子，則得該問題的K-T條件如下：為解該方程組，需考慮以下幾種情況：（1）：無解。（2）：。（3）：。（4）：對應(yīng)與上述（2）、（3）和（4）三種情形，我們得到了三個(gè)K-T點(diǎn)，其中和為極大值點(diǎn)，而為最大值點(diǎn)，最大值；為可行域的內(nèi)點(diǎn)，它不是該問題的極大值點(diǎn)，而是極小點(diǎn)。例 13 用可行方案法解解 取初始可行點(diǎn)，。，由于，故它不是的起作用約束。取搜索方向，從而 令，解得。 由得 。故取。，。，構(gòu)成線性規(guī)劃問題為便于用單純形法求解，令 ，從而得引入松弛變量和人工變量，得如下線性規(guī)劃問題： 用單純形法求解，可得最優(yōu)解如下：。還原到原來的問題，得，搜索方向現(xiàn)先進(jìn)行一維搜索，再檢查所得的點(diǎn)是否為可行點(diǎn)。由，得 因?yàn)?，說明是可行點(diǎn)。 繼續(xù)做下去，可得該問題（為凸規(guī)劃）的最優(yōu)解，例 14 用罰函數(shù)法求解解 構(gòu)造罰函數(shù)對于固定的M，令對于不滿足約束條件的點(diǎn)，有從而求得其最小值點(diǎn)如下： 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，說明原約束問題的極小點(diǎn)是。例 15 用罰函數(shù)法求解： 解 構(gòu)造罰函數(shù) 現(xiàn)考慮第一象限中的點(diǎn)，可令 ，為求極值點(diǎn)，令，得到 再令 ，并代入上述結(jié)果，得 令，得。即該問題的最優(yōu)點(diǎn)是。例 16 用障礙函數(shù)法求解 解 構(gòu)造如下形式的障礙函數(shù) 對某一固定的，由，得 。令，