八上等腰三角形精品提高題系列

1、1.如圖，ABC是正三角形，BDC是頂角BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角兩邊分別交AB，AC邊于M，N兩點(diǎn)，連接MN（ I）探究：線段BM，MN，NC之間的關(guān)系，并加以證明（）若點(diǎn)M是AB的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，N是CA的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其它條件不變，請(qǐng)你再探線段BM，MN，NC之間的關(guān)系，在圖中畫(huà)出圖形，并說(shuō)明理由2.如圖，點(diǎn)P為ABC內(nèi)部一點(diǎn)，使得PBC=30°，PBA=8°，且PAB=PAC=22°，求APC的度數(shù).3.如圖，已知P是ABC邊BC上一點(diǎn)，且PC=2PB，若ABC=45°，APC=60°

2、，求ACB的大小.5.在ABC中，BD平分ABC（ABC60°）（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在AC邊上時(shí)，若ABC=42°，ACB=32°，直接寫(xiě)出AB，DC和BC之間的數(shù)量關(guān)系（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在ABC內(nèi)部，且ACD=30°時(shí)， 若BDC=150°，直接寫(xiě)出AB，AD和BC之間的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出結(jié)論成立的思路 若ABC=2，ACB=60°-，請(qǐng)直接寫(xiě)出ADB的度數(shù)（用含的式子表示）6.如圖，已知ABC中，AB=AC，D是ABC外一點(diǎn)且ABD=60°，求證：AC=BD+CD.在RtABC中，ACB=90°，A=30

3、76;，BD是ABC的角平分線，DEAB于E（1）如圖1，連接CE，求證：BCE是等邊三角形；（2）如圖2，點(diǎn)M為CE上一點(diǎn)，連結(jié)BM，作等邊BMN，連接EN，求證：ENBC；（3）如圖3，點(diǎn)P為線段AD上一點(diǎn)，連結(jié)BP，作BPQ=60°，PQ交DE延長(zhǎng)線于Q，探究線段PD，DQ與AD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明如圖，過(guò)ABC的邊BC的中點(diǎn)M作直線垂直于A的平分線AA，且分別交直線AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，已知：如圖在ABC中，BD，CE為兩條高線，F(xiàn)為BD上一點(diǎn)，G為CE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BF=AC，CG=AB（1）請(qǐng)你判斷AFG的形狀并證明（2）當(dāng)F為BD反向延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，G為CE反向延線上一

4、點(diǎn)，其它條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)你畫(huà)出圖形，并證明你的結(jié)論如圖，在RtABC中，ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)E，F(xiàn)為線段BC上的兩點(diǎn)，且CE=BF，連接AF，過(guò)點(diǎn)C作CDAF于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)D，連接DE，交AF于點(diǎn)M（1）求證：ACD=AFC；（2）求證：ME=MF在ABC中，BD為ABC的平分線（1）如圖1，C=2DBC，A=60°，求證：ABC為等邊三角形；（2）如圖2，若A=2C，BC=8，AB=4.8，求AD的長(zhǎng)度；（3）如圖3，若ABC=2ACB，ACB的平分線OC與BD相交于點(diǎn)O，且OC=AB，求A的度數(shù)1.如圖，已知AMBN，AC平分MAB

5、，BC平分NBA（1）過(guò)點(diǎn)C作直線DE，分別交AM、BN于點(diǎn)D、E，則AB、AD、BE三條線的長(zhǎng)度之間存在何種等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出關(guān)系式_（2）如圖，若將直線DE繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)，使DE與AM交于點(diǎn)D，與NB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，則AB、AD、BE三條線的長(zhǎng)度之間存在何種等量關(guān)系？請(qǐng)你給出結(jié)論并加以證明2.如圖1，點(diǎn)P、Q分別是邊長(zhǎng)為4cm的等邊ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，（1）連接AQ、CP交于點(diǎn)M，則在P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，CMQ變化嗎？若變化，則說(shuō)明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；（2）何時(shí)PBQ是直角三角形？（3）如圖2，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)

6、動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng)，直線AQ、CP交點(diǎn)為M，則CMQ變化嗎？若變化，則說(shuō)明理由，若不變，則求出它的度數(shù)3.已知ABC，BAC=45°，以AB、AC為邊在ABC外作等腰ABD和ACE，AD=AB、AE=AC，且BAD=CAE，連CD、BE交于F，連AF（1）如圖1，若BAD=60°，則AFE=_度；如圖2，若BAD=90°，則AFE=_度；（2）如圖3，若BAD=a°，猜想AFE的度數(shù)（用a表示），并予以證明4.如圖，等腰直角三角形ABC中，BAC=90°，D、E分別為AB、AC邊上的點(diǎn)，AD=AE，AFBE交BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F

7、作FGCD交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)M（1）求證：ADCAEB；（2）判斷EGM是什么三角形，并證明你的結(jié)論；（3）判斷線段BG、AF與FG的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論1.如圖，點(diǎn)D是ABC三條角平分線的交點(diǎn)，ABC=68°（1）求證：ADC=124°；（2）若AB+BD=AC，求ACB的度數(shù)2.已知：在ABC中，AB=3AC，AD平分BAC，BEAD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E設(shè)ACD的面積是S（1）求ABD的面積；（2）求證：AD=DE；（3）探究BE-AC和BD-CD之間的大小關(guān)系并證明你的結(jié)論3.在ABC中，BAC=90°，射線AMBC，點(diǎn)D在射線AM上（不與點(diǎn)

8、A重合），連接BD，過(guò)點(diǎn)D作BD的垂線交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P（1）如圖，若C=30°，且AB=DB，求APD的度數(shù)；（2）如圖，若C=45°，當(dāng)點(diǎn)D在射線AM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PD與BD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論，并加以證明；（3）如圖，在（2）的條件下，連接BP，設(shè)BP與射線AM的交點(diǎn)為Q，AQP=，APD=，當(dāng)點(diǎn)D在射線AM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論，并加以證明4.已知等邊ABC的邊長(zhǎng)為4cm，點(diǎn)P，Q分別從B，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)Q沿CA，AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x（s），

9、（1）如圖（1），當(dāng)x為何值時(shí)，PQAB；（2）如圖（2），若PQAC，求x；（3）如圖（3），當(dāng)點(diǎn)Q在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ與ABC的高AD交于點(diǎn)O，OQ與OP是否總是相等？請(qǐng)說(shuō)明理由1.在銳角三角形ABC中，AF是BC邊上的高，分別以AB、AC為一邊，向外作ABD和ACE，使得AB=AD，AC=AE，BAD=CAE=90°，連接BE、DE、DC，DE與FA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，下列結(jié)論：BE=DC；BEDC；AG是ADE的中線；DAG=ABC其中正確的結(jié)論有哪些？2.在ABC中，ABAC，分別以AB，AC為邊作等腰ABD和ACE，AD=AB，AC=AE，且ACB=BAD=CAE=，連接D

10、E，交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，求證：M為DE中點(diǎn)3.如圖，已知ABC，分別以AB、AC為邊作ABD和ACE，且AD=AB，AC=AE，DAB=CAE，連接DC與BEG、F分別是DC與BE的中點(diǎn)（1）求證：DC=BE；（2）當(dāng)DAB=80°，求AFG的度數(shù)；（3）若DAB=，求AFG與的數(shù)量關(guān)系.4.如圖，ABC中，AB=AC，BAC=90°，點(diǎn)D在CB上，連接AD，EAAD，ACE=ABD（1）求證：AD=AE；（2）若點(diǎn)F為CD中點(diǎn)，AF交BE于點(diǎn)G，求AGE的度數(shù)1.如圖ABD和ACE是ABC外兩個(gè)等腰直角三角形，BAD=CAE=90°（1）判斷CD與BE有怎樣的數(shù)

11、量關(guān)系；（2）探索DC與BE的夾角的大??；（3）求證：FA平分DFE；（4）取BC的中點(diǎn)M，連MA，探討MA與DE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系2.如圖1，已知ABC，分別以AB、AC為邊作ABD和ACE，且AD=AB，AC=AE，DAB=CAE，連接DC與BE（1）求證：DACBAE；（2）F、H分別是BE與DC的中點(diǎn)；如圖2當(dāng)DAB=CAE=90°時(shí)，求AFH的度數(shù)；請(qǐng)?zhí)骄慨?dāng)DAB等于多少度時(shí)，AF=FH？請(qǐng)說(shuō)明理由3.如圖，ABC向外側(cè)作等腰RtABD與RtACE，BAD=CAE=90°，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，連接F、A并延長(zhǎng)交DE于G點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)：AF與DE之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置

12、關(guān)系? 4.已知ABC，分別以AB、AC為邊作ABD和ACE，且AD=AB，AC=AE，DAB=CAE，連接DC與BE，G、F分別是DC與BE的中點(diǎn)（1）如圖1，若DAB=60°，則AFG=_；如圖2，若DAB=90°，則AFG=_.（2）如圖3，若DAB=，試探究AFG與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（3）如果ACB為銳角，ABAC，BAC90°，點(diǎn)M在線段BC上運(yùn)動(dòng)，連接AM，以AM為一邊以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，且在AM的右側(cè)作等腰直角AMN，連接NC；試探究：若NCBC（點(diǎn)C、M重合除外），則ACB等于多少度？畫(huà)出相應(yīng)圖形，并說(shuō)明理由（畫(huà)圖不寫(xiě)作法）5.在等腰ABC中，

13、BAC=90°，AB=AC，直線MN過(guò)點(diǎn)A且MNBC，過(guò)B點(diǎn)作BDE=90°，且點(diǎn)D在直線MN上（不與點(diǎn)A重合）（1）如圖，當(dāng)DE與AC交于P時(shí)，求證：BD=DP；（2）如圖，當(dāng)DE與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由（3）如圖，當(dāng)DE與CA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出DB與PD的數(shù)量關(guān)系，此時(shí)過(guò)D作DFAB于F，求證：AP+AB=2AF6.在等腰直角三角形ABC中，BAC=90°，AB=AC，直線MN過(guò)點(diǎn)A且MNBC，過(guò)點(diǎn)B為一銳角頂點(diǎn)作RtBDE，BDE=90°，且點(diǎn)D在直線MN上（不與點(diǎn)A重合），如圖1，DE與AC交于點(diǎn)P

14、，易證：BD=DP（無(wú)需寫(xiě)證明過(guò)程）（1）在圖2中，DE與CA延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，BD=DP是否成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）在圖3中，DE與AC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，BD與DP是否相等？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論，無(wú)需證明1.已知：在ABC中，AC=BC，ACB=90°，過(guò)點(diǎn)C作CDAB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)A、B），連接CE，過(guò)點(diǎn)B作CE的垂線交直線CE于點(diǎn)F，交直線CD于點(diǎn)G（如圖）（1）求證：AE=CG；（2）若點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到線段BD上時(shí)（如圖），試猜想AE、CG的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)A作AH垂直于直線CE，垂足為點(diǎn)H，并

15、交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M（如圖），找出圖中與BE相等的線段，并證明2.如圖，已知在ABC中，AB=AC，P是BC邊上的-點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P引直線分別交AB于點(diǎn)M，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，且PM=PN（1）寫(xiě)出圖中除AB和AC，PM和PN外的其他相等的線段 （2）證明你的結(jié)論3.在RtABC中，BAC=90°，AB=AC，D，E為邊AC上的兩動(dòng)點(diǎn)，以相同的速度D從A向C，E從C向A運(yùn)動(dòng)，AMBD交BC于N，連NE并延長(zhǎng)交BD延長(zhǎng)線于F說(shuō)明ABD=NAC當(dāng)D，E運(yùn)動(dòng)到如圖2所示的位置時(shí)，試作出圖形，并判斷FD與FE的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論（不要求證明）對(duì)圖1證明FED為等腰三角形4.已知：ABC和A

16、DE是兩個(gè)不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，連接EC，取EC的中點(diǎn)M，連接BM和DM（1）如圖1，如果點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上，那么BM、DM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系是_（2）將圖1中的ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由5.如圖，ABD與ACE中，AB=AC，ACE+ABD=180°，BD=CE，BC延長(zhǎng)線交ED于F（1）求證：DBF=ECF；（2）圖中是否存在與DF相等的線段？若存在，請(qǐng)找出，并加以證明；若不存在，說(shuō)明理由6.如圖，在ABC中，ACB=90°，AC=BC，E為AC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作ADAB交BE的延

17、長(zhǎng)線于點(diǎn)D，CG平分ACB交BD于點(diǎn)G，F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn)，連接CF，且ACF=CBG求證：（1）AF=CG；（2）DG=CF；（3）直接寫(xiě)出CF與DE的數(shù)量關(guān)系1.已知等腰直角ABC和等腰直角CDE中，AB=BC，CD=DE，ABC=90°，CDE=90°，CDBC，取線段AE的中點(diǎn)M，連結(jié)BM、DM、BD（1）如圖1，當(dāng)BCCE時(shí)，連接AE，試猜想BM與MD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出答案；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)A、C、E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，其他條件不變，試探究BM與MD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由2.如圖1，ABC中，AB=AC，連B，C分別作BDAB，CDAC，

18、BD、CD相交于D點(diǎn)，P為BC上一點(diǎn)，過(guò)P的直線交AB于E，AC延長(zhǎng)線于F，且滿(mǎn)足PE=PF，連結(jié)DP（1）求證：DPEF；（2）如圖2，若P為BC延長(zhǎng)線上，其它條件不變，（1）中結(jié)論是否成立？3.（1）如圖，已知：ABC中，BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BDm于D，CEm于E，求證：DE=BD+CE；（2）拓展：如圖，將（1）中的條件改為：ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且BDA=AEC=BAC=，為任意銳角或鈍角，請(qǐng)問(wèn)結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）應(yīng)用：如圖，在ABC中，BAC是鈍角，AB=AC，BAD

19、CAE，BDA=AEC=BAC，直線m與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若BC=2CF，ABC的面積是12，求ABD與CEF的面積之和4.如圖，D是RtABC斜邊AB上一點(diǎn)，且BD=BC=AC=1，P為CD上任意一點(diǎn)，PFBC于點(diǎn)F，PEAB于點(diǎn)E，則PE+PF的值是（）ABCD5.如圖，RtACB中，ACB=90°，ABC的角平分線AD、BE相交于點(diǎn)P，過(guò)P作PFAD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)H（1）求APB度數(shù)；（2）求證：ABPFBP；（3）求證：AH+BD=AB6.已知：在ABC中，AB=AC，BAC=90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP直線BE

20、垂直于直線AP，交AP于點(diǎn)E，直線CF垂直于直線AP，交AP于點(diǎn)F（1）當(dāng)點(diǎn)P在BD上時(shí)（如圖），求證：CF=BE+EF；（2）當(dāng)點(diǎn)P在DC上時(shí)（如圖），CF=BE+EF還成立嗎？若不成立，請(qǐng)畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出CF、BE、EF之間的關(guān)系（不需要證明）（3）若直線BE的延長(zhǎng)線交直線AD于點(diǎn)M（如圖），找出圖中與CP相等的線段，并加以證明8.如圖，等腰直角三角形ABC中，BAC=90°，D、E分別為AB、AC邊上的點(diǎn)，AD=AE，AFBE交BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FGCD交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)M（1）求證：EGM為等腰三角形；（2）判斷線段BG、AF與FG的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論

21、9.在ABC中，AB=AC，D在AC上，AE=AC交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，AF平分CAE交BE于F.（1）如圖1，連CF，求證：ABE=ACF；（2）如圖2，當(dāng)ABC=60°時(shí)，且BD平分ABC，請(qǐng)寫(xiě)出AF、EF、BF的數(shù)量關(guān)系，不需證明；（3）如圖3，若BAC=90°，且BD平分ABC，求證：BD=2EF1.在ABC中，ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D為線段AC上的一點(diǎn)（不和點(diǎn)A、C重合），點(diǎn)E在線段BD的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在線段BD上，連接CE、CF、AE，且ECF=90°，CE=CF，過(guò)點(diǎn)F作FGBD分別交線段BC、線段AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P、G（1）如圖l，求證：AC=CG；（2）如圖2，延長(zhǎng)線段GF交線段AB于點(diǎn)H，連接DH，當(dāng)AH=BH時(shí)，求證：BHG=AHD2.如圖，在ABC中，AB=AC，BC=6，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BA移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段AC的延