本科生畢業(yè)論文(matlab實(shí)際應(yīng)用)

1、天津*大學(xué)本科生畢業(yè)論文應(yīng)用MATLAB求解經(jīng)典物理若干典型問題The application of MATLAB in solving some classical physics questions 專業(yè)班級(jí)：物理0701學(xué)生姓名：*指導(dǎo)教師：*學(xué) 院：理學(xué)院2011年5月摘 要MATLAB是 MathWorks公司推出的一套科學(xué)計(jì)算軟件，MATLAB的意思是矩陣實(shí)驗(yàn)室。MATLAB具有起點(diǎn)低、功能強(qiáng)大、易學(xué)易用以及兼有數(shù)值運(yùn)算和符號(hào)運(yùn)算功能的優(yōu)點(diǎn)。利用MATLAB，繪圖十分方便，它既可以繪制各種圖形，包括二維圖形和三維圖形，還可以對(duì)圖形進(jìn)行修飾和控制。本文通過在MATLAB環(huán)境下編寫通過

2、科學(xué)計(jì)算解決經(jīng)典物理問題，如力學(xué)、熱學(xué)、電磁學(xué)中的一些常見問題。本文的思路主要是，先介紹經(jīng)典物理習(xí)題，然后對(duì)習(xí)題進(jìn)行分析，解答，再通過MATLAB軟件進(jìn)行編程，模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果。通過多次驗(yàn)證。得到所需答案。再通過圖形繪制，形象的描繪出圖形，與預(yù)期結(jié)果進(jìn)行比較、驗(yàn)證。作出總結(jié)。本文展示的MATLAB軟件在解決物理問題中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：力學(xué)；熱學(xué)；電磁學(xué)；MATLAB程序ABSTRACT.MathWorks MATLAB is introduced in a scientific computing software, MATLAB means Matrix Laboratory . MATLAB h

3、as a low starting point, powerful, easy to use, and both numerical calculation and symbolic operation advantages. Using MATLAB, the drawing is very convenient, both to draw various graphics, including the two-dimensional graphics and three-dimensional graphics, graphics can also be modified and cont

4、rolled. This article written by the MATLAB environment to solve by classical physics scientific computing problems, such as mechanical, thermal, electromagnetics some common problems. The main idea of this paper is to introduce classical physics problems, and then exercises to analyze, answer, and t

5、hen programmed by MATLAB software to simulate the experimental results. Through multiple authentication. Get the answers you need. And through graphics rendering, the image depicts the graphics, compared with the expected results to verify. Conclusion. This article presents the MATLAB software to so

6、lve the problem of physics.Key Words：Mechanics;heat;electromagnetism,;MATLAB 目 錄引言11 力學(xué)問題31.1質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)31.1.1已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程求其速度和加速度31.1.2已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程求質(zhì)點(diǎn)的軌跡41.1.3考慮空氣阻力的拋射體運(yùn)動(dòng)51.1.4已知加速度求速度、運(yùn)動(dòng)方程和軌跡71.2盧瑟福散射（Rutherford scattering)研究92 熱學(xué)問題122.1理想氣體物態(tài)方程122.2范德瓦耳斯方程132.2.1范德瓦耳斯氣體等溫線132.2.2臨界參數(shù)153電磁學(xué)問題163.1求電偶極子在其所在平面

7、產(chǎn)生的電場(chǎng)中任一點(diǎn)P的電位163.2由電位的表示式計(jì)算電場(chǎng)并畫出等電位線和電場(chǎng)方向173.3帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)19結(jié)論21參考文獻(xiàn)22致謝2321天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)2011屆本科生畢業(yè)論文引言近幾十年來，計(jì)算機(jī)技術(shù)的廣泛應(yīng)用已經(jīng)深入地影響到社會(huì)的各個(gè)方面，大大加快了社會(huì)的變革進(jìn)程，計(jì)算機(jī)的應(yīng)用離不開計(jì)算語(yǔ)言，而計(jì)算語(yǔ)言本身也處于不斷的發(fā)展之中。MATLAB是MATrix LABoratory （矩陣實(shí)驗(yàn)室）的縮寫，它自從1984年由美國(guó)MathWorks 公司推出以來，經(jīng)過不斷改進(jìn)和發(fā)展，現(xiàn)已經(jīng)成為國(guó)際公認(rèn)的優(yōu)秀的工程應(yīng)用開發(fā)環(huán)境。MATLAB是一種廣泛應(yīng)用于工程計(jì)算及數(shù)值分析領(lǐng)域的新

8、型高級(jí)語(yǔ)言。它以矩陣作為數(shù)據(jù)操作的基本單位，使得矩陣運(yùn)算變得非常簡(jiǎn)捷、方便、高效。MATLAB提供了十分豐富的數(shù)值計(jì)算函數(shù)，而且MATLAB和著名的符號(hào)計(jì)算語(yǔ)言Maple相結(jié)合，使得MATLAB具有符號(hào)計(jì)算功能。MATLAB的繪圖功能也很強(qiáng)，它既可以繪制各種二維、三維圖形，還可以對(duì)圖形進(jìn)行修飾和控制，以增強(qiáng)圖形的表現(xiàn)效果。MATLAB具有編程語(yǔ)言的基本特征，使用MATLAB也可以像使用BASIC、FORTRAN、C等傳統(tǒng)編程語(yǔ)言一樣，進(jìn)行程序設(shè)計(jì)，而且簡(jiǎn)單易學(xué)、編程效率高。MATLAB包含基本部分和各種可選的工具箱，其基本部分構(gòu)成了MATLAB的核心內(nèi)容，而MATLAB工具箱擴(kuò)充了其功能。應(yīng)用

9、范圍也越來越廣。物理模型的建立及其數(shù)學(xué)處理在物理學(xué)的教學(xué)中占有重要地位，而MATLAB在這方面具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。因此，利用MATLAB這一先進(jìn)的科學(xué)計(jì)算語(yǔ)言來輔助物理學(xué)的教學(xué)工作必將大大提高教學(xué)效率。另外，MATLAB起點(diǎn)低、功能強(qiáng)、易學(xué)易用以及兼有數(shù)值運(yùn)算和符號(hào)運(yùn)算功能的優(yōu)點(diǎn)，可以初步掌握這門科學(xué)計(jì)算語(yǔ)言，并在整個(gè)物理學(xué)習(xí)過程中不斷反復(fù)使用是完全必要和可行的。運(yùn)動(dòng)學(xué)的任務(wù)是描述隨時(shí)間的推移物體空間位置的變動(dòng)，不涉及物體間相互作用與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系。本文在力學(xué)中主要討論如何使用MATLAB描述質(zhì)點(diǎn)理想模型的運(yùn)動(dòng)，最后引入伽利略變換，它和物理學(xué)一條基本原理即相對(duì)性原理密切相關(guān)。質(zhì)點(diǎn)平面運(yùn)動(dòng)指質(zhì)點(diǎn)在平面上

10、的曲線運(yùn)動(dòng)。這時(shí)，質(zhì)點(diǎn)經(jīng)常改變運(yùn)動(dòng)方向，速度、加速度等物理量的矢量性更突出。如何選擇坐標(biāo)系的問題更加重要。本文在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方面，主要討論拋體運(yùn)動(dòng)，在理想情況下，受空氣阻力、斜拋等得運(yùn)動(dòng)軌跡如何在MATLAB中體現(xiàn)出來。以及，已知速度、如何求加速度等。本文在熱學(xué)方面主要處理了理想氣體物態(tài)方程、范德瓦耳斯方程如何用MATLAB描述出來。理想氣體，只要在足夠?qū)拸V的溫度、壓強(qiáng)變化范圍內(nèi)進(jìn)行比較精細(xì)的研究，就可發(fā)現(xiàn)，氣體的物態(tài)方程相當(dāng)復(fù)雜，而且不同氣體所遵循的規(guī)律也有所不同。但在壓強(qiáng)趨于零，其溫度不太高也不太低的情況下，不同種類氣體在物態(tài)方程上的差異可趨于消失，氣體所遵從的規(guī)律也趨于簡(jiǎn)單。這種壓強(qiáng)趨于零的

11、極限狀態(tài)下的氣體稱為理想氣體。荷蘭物理學(xué)家范德瓦耳斯在克勞修斯的論文的啟發(fā)下，對(duì)理想氣體的兩條基本假定即忽略分子固有體積、忽略除碰撞外分子間相互作用力作出了兩條重要修正，得出了能描述真實(shí)氣體行為的范德瓦耳斯方程。在發(fā)現(xiàn)電現(xiàn)象2000多年之后，人們才開始對(duì)電現(xiàn)象進(jìn)行定量的研究。1785年，庫(kù)倫通過扭秤實(shí)驗(yàn)總結(jié)出兩個(gè)靜止電荷之間電相互作用的定量規(guī)律，通常稱之為庫(kù)侖定律。實(shí)驗(yàn)表明，靜電力具有疊加性。原則上，庫(kù)侖定律加上靜電力的疊加原理可以求解任意帶電體之間的靜電力。實(shí)驗(yàn)也指出，試探電荷在場(chǎng)中所受的靜電力與試探電荷電量之比反映了電場(chǎng)本身的性質(zhì)，該比值被稱為電場(chǎng)強(qiáng)度。電場(chǎng)強(qiáng)度也具有疊加性，由場(chǎng)強(qiáng)的定義加

12、上場(chǎng)的疊加原理可以求解任意帶電體的場(chǎng)強(qiáng)分布。本文在電磁學(xué)中，主要研究如何用MATLAB求解電偶極子，帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題。本文在物理題目的選取上，主要是普遍、常見的問題，意在將計(jì)算語(yǔ)言和物理課程的學(xué)習(xí)結(jié)合起來，起到相輔相成的作用。在程序的編寫中，也力求簡(jiǎn)潔。1 力學(xué)問題1.1質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)在一些問題中，若物體的形狀和大小可以忽略，則可以把該物體視為具有一定質(zhì)量的幾何點(diǎn)，這就是所謂的質(zhì)點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本問題是；已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求質(zhì)點(diǎn)的軌跡、速度和加速度；已知質(zhì)點(diǎn)的速度或加速度求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程和軌跡。下面，結(jié)合大家熟悉的幾個(gè)具體例子來說明如何用MATLAB處理上述問題1.1.1已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)

13、動(dòng)方程求其速度和加速度例：某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為（單位：m，s），求t=1s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度矢量。解題分析質(zhì)點(diǎn)的位置矢量為，質(zhì)點(diǎn)的速度矢量為，質(zhì)點(diǎn)速度大小和方向余弦分別為程序syms tr=-10,15*t,5*t3; %用數(shù)組表示位置矢量V=diff(r,t); %求速度v=sqrt(sum(V.2) %求速度矢量長(zhǎng)度，即速度矢量的大小alpha=acos(V(1)/v); beta=acos(V(2)/v); gamma=acos(V(3)/v);%求速度矢量的方向角v1=subs(v,t,1), alpha=subs(alpha,t,1),beta=subs(beta,t,1),gamma=s

14、ubs(gamma,t,1)%求t=1s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速率和方向角，使用了置換命令的函數(shù)subs運(yùn)行結(jié)果：v1=21.2132alpha=1.5708beta=0.7854gamma=0.78541.1.2已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程求質(zhì)點(diǎn)的軌跡例：設(shè)一物體以拋射角，速度拋出，落點(diǎn)與射點(diǎn)在同一水平面，且不計(jì)空氣阻力。求物體在空氣中飛行的時(shí)間、落點(diǎn)距離和飛行的最大高度。解題分析：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)，有 解出t，它就是落點(diǎn)時(shí)間.有兩個(gè)解，只取其中的一個(gè)有效解，然后求最大飛行距離。MATLAB程序：clear all y0=0;x0=5; %取初始位置，為了畫出豎拋運(yùn)動(dòng)，未將x0取在原點(diǎn)。v0=input('v0=

15、');theta=input('theta='); %輸入拋射速率和岀射角度v0x=v0*cosd(theta);v0y=v0*sind(theta); %輸入初速度的x分量和y分量ay=-9.81;ax=0; %加速度的y分量和x分量tf=roots(ay/2,v0y,y0); %解出方程的根，求飛行時(shí)間。有兩個(gè)解，只取有效解tf=max(tf); %落點(diǎn)時(shí)間t=0:0.1:tf; %為了畫圖，取時(shí)間數(shù)組y=y0+v0y*t+ay*t.2/2;x=x0+v0x*t+ax*t.2/2; %t時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)的位置xf=max(x), %飛行達(dá)到的最遠(yuǎn)距離，即射程yf=max(

16、y), %飛行中達(dá)到的最大高度grid on, hold on %畫網(wǎng)格，保持圖形plot(x,y), %畫圖，xlabel('x'),ylabel('y') %坐標(biāo)標(biāo)注hold off仿真結(jié)果與討論：運(yùn)行該程序，例如，取初速度=30，岀射角分別取35,45,55,65，75,85，90，則可畫出圖1.1所示曲線，并在命令窗口中給出相應(yīng)的射程、飛行時(shí)間和最大高度。圖 1.1拋體的運(yùn)動(dòng)軌跡在上述程序中，我們?cè)O(shè)定了目標(biāo)高度為零。我們還可對(duì)上述程序進(jìn)行修改，使其能預(yù)先設(shè)定目標(biāo)高度。1.1.3考慮空氣阻力的拋射體運(yùn)動(dòng)例：一物體在有阻力的空氣中作拋體運(yùn)動(dòng)，設(shè)拋體質(zhì)量為m，

17、初速度為（可設(shè)），受到的空氣阻力大小與速率v的一次方成正比，b是比例系數(shù)。求拋體的運(yùn)動(dòng)軌跡和速度的x、y分量以及速率v隨時(shí)間的變化。解題分析：以地面為參考系，以拋出點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系。質(zhì)點(diǎn)受重力和空氣阻力的作用，其運(yùn)動(dòng)微分方程為令y(1)=x, y(2)=dx/dt, y(3)=y, y(4)=dy/dt, 將方程寫成一階微分方程組的形式再用命令函數(shù)ode45解此常微分方程組。MATLAB程序m=1; %為簡(jiǎn)單起見，取m=1.b=input('b='); %輸入b值，例如，b=0.3.t,y=ode45('ex1',0:0.01:5,0,5,0,19,b,m

18、);%使用了數(shù)值法解微分方程的命令函數(shù)ode45v=sqrt(y(:,2).2+y(:,4).2);subplot(2,1,1) %繪制子圖plot(y(:,1),y(:,3) %繪制運(yùn)動(dòng)軌跡，即x-y曲線，注意：y(1)=x,y(3)=y.subplot(2,1,2)plot(t,y(:,2),t,y(:,4),t,v) %繪制速度的x，y分量以及速率v時(shí)間t的變化曲線。函數(shù)文件function ydot=ex1(t,y,flag,b,m)ydot=y(2); -b./m.*y(2).*sqrt(y(2).2+y(4).2); y(4);-9.8-b./m.*y(4).*sqrt(y(2).

19、2+y(4).2);運(yùn)行結(jié)果如圖1.2所示。可以改變b值（例如b分別取0.3和0）來觀察運(yùn)動(dòng)軌跡和速度的x分量、y分量 及速率v隨時(shí)間的變化。（a)b=0.3(b)b=0圖1.2有空氣阻力時(shí)拋射體的運(yùn)動(dòng)軌跡及速度隨時(shí)間的變化1.1.4已知加速度求速度、運(yùn)動(dòng)方程和軌跡例：一質(zhì)點(diǎn)平面運(yùn)動(dòng)的加速度為。初始條件為。求質(zhì)點(diǎn)軌跡。解題分析：將加速度對(duì)時(shí)間求積分可得速度，將速度對(duì)時(shí)間求積分可得位置坐標(biāo)。在得到參數(shù)方程后，給定時(shí)間數(shù)組，就可以畫出運(yùn)動(dòng)軌跡。MATLAB程序clear allsyms t A B v0x v0y x0 y0 vx vy ax ay t t1 t2;v0x=0;v0y=B; x0=

20、A; y0=0; %初始條件ax=-A*cos(t); ay=-B*sin(t); %加速度的x分量和y分量。vx=v0x+int(ax,t,0,t1),vy=v0y+int(ay,t,0,t1), %速度的x分量和y分量x=A+int(vx,t1,0,t2); y=int(vy,t1,0,t2); %求參數(shù)方程x=vpa(subs(x,A,B,1,0.5),3)%使用了vpa計(jì)算數(shù)值；使用subs用數(shù)據(jù)替換A和B。y=vpa(subs(y,A,B,1,0.5),3)運(yùn)行結(jié)果：vx=-A*sin(t1)vy=-B*cos(t1)x=cos(t2)y=500*sin(t2)%下面 繪制質(zhì)點(diǎn)的軌跡

21、 cleart2=0:0.1:2*pi;x=cos(t2);y=.500*sin(t2);plot(x,y),xlabel('x'),ylabel('y')從圖1.3給出了程序的運(yùn)行結(jié)果，可知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是橢圓。圖1.3：質(zhì)點(diǎn)的軌跡1.2盧瑟福散射（Rutherford scattering)研究例：盧瑟福等人發(fā)現(xiàn)用粒子轟擊金箔時(shí)有些入射粒子散射偏轉(zhuǎn)角很大，甚至超過。盧瑟福于1911年提出原子必有以帶正電的核心，即原子核；此即原子結(jié)構(gòu)的行星模型。已知粒子的質(zhì)量為，以速度接近電荷為Ze的重原子核，瞄準(zhǔn)距離為b，如圖所示。設(shè)原子核質(zhì)量比粒子大很多，可以近似看作靜止

22、。1 求粒子接近重原子核最近距離d。2 畫出粒子在不同初始條件下的軌道，并通過改變初始條件來研究影響散射角的因素。解題分析1 粒子受靜電力始終指向重核中心，粒子在一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。設(shè)z軸垂直于此平面且通過重核中心，則粒子所受靜電力對(duì)z軸的力矩為零，即對(duì)z軸的角動(dòng)量守恒。粒子以速度運(yùn)動(dòng)，對(duì)z軸的角動(dòng)量是，粒子最接近重核（距離為d）時(shí)，速度應(yīng)與粒子至核的連線垂直，角動(dòng)量為。于是或（1）在散射過程中，只有庫(kù)侖斥力作用，故能量守恒。（2）其中，左邊第二項(xiàng)是庫(kù)侖斥力勢(shì)能。聯(lián)解（1）、（2）式，可得d的表達(dá)式。2 選擇在直角坐標(biāo)系，原點(diǎn)位于力心重核處。根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，粒子的運(yùn)動(dòng)方程在直角坐標(biāo)中的投影方程為令

23、，則上述方程組可寫為令粒子沿Ox方向入射，入射速率為，初始條件為。為了能得到多粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，程序中采用input函數(shù)給出不同初始條件。MATLAB程序1 求粒子接近重原子核最近距離d。syms v v0 b k Z e m d;d,v=solve('v=v0*b/d','m*v2/2+k*Z*e2/d=m*v02/2',d,v)運(yùn)行結(jié)果：d=1/2/m/v02*(2*k*Z*e2+2*(k2*Z2*e4+m2*v04*b2)(1/2)v=2*v03*b*m/(2*k*Z*e2+2*(k2*Z2*e4+m2*v04*b2)(1/2)即2 畫出粒子在不同初始條件下

24、的軌道y0=input('請(qǐng)輸入初始條件:'); %例如，可輸入：-20 1 10 0;line(0,0,'marker','.','markersize',50,'color','r');text(2,0,'靶粒子');hold ont,y=ode23('ex2f',0:.1:42,y0,3);axis(-20 20,-20 20)plot(y(:,1),y(:,3),hold on以下是獨(dú)立的函數(shù)文件，文件名為ex2f.m,其中。function ydot=ex2

25、f(t,y,flag,p)ydot=y(2);p*y(1)./sqrt(y(1).*y(1)+y(3).*y(3).3;y(4);p*y(3)./sqrt(y(1).*y(1)+y(3).*y(3).3;運(yùn)行結(jié)果如圖1.4所示。圖1.4：粒子的散射軌道2 熱學(xué)問題2.1理想氣體物態(tài)方程理想氣體是將實(shí)際氣體外推到壓強(qiáng)趨于零的極限情況下得到的一個(gè)理想模型。1857年，克勞修斯進(jìn)一步提出了理想氣體的微觀模型，并通過計(jì)算氣體的壓強(qiáng)得到了理想氣體的物態(tài)方程。而在此之前，理想氣體物態(tài)方程是由氣體三大實(shí)驗(yàn)定律外推得到的。例：編寫一個(gè)繪制帶有等高線的理想氣體狀態(tài)方程pV=RT的曲面。解題分析理想氣體的物態(tài)方程

26、為。其中，p，V，分別為氣體的壓強(qiáng)、體積和摩爾數(shù)，R為氣體普適常數(shù)，其值為R=8.31J/mol*K.圖2.1：理想氣體狀態(tài)方程曲面圖MATLAB程序clearR=8.31;p=(1:20).*1e5;v=(1:20)*1e-3;v,p=meshgrid(v,p);T=p.*v./R;meshc(v,p,T),xlabel('v'),ylabel('p'),zlabel('T'),運(yùn)行結(jié)果如圖2.1所示。實(shí)驗(yàn)指出，理想氣體狀態(tài)方程在一定程度上反映了真實(shí)氣體的性質(zhì)，但對(duì)低溫和高密度狀態(tài)下的氣體以及氣體和液體之間的相變卻無能為力，因而是一個(gè)理想的“永

27、久氣體”狀態(tài)方程。2.2范德瓦耳斯方程范德瓦耳斯方程1873年，荷蘭物理學(xué)家范德瓦耳斯（van der Waals)在克勞修斯的理想氣體模型和安德魯斯發(fā)現(xiàn)的臨界點(diǎn)現(xiàn)象的啟發(fā)下，考慮了分子體積和分子間吸引力這兩個(gè)因素，對(duì)理想氣體進(jìn)行了修正，得到了能描述真實(shí)氣體行為的范德瓦耳斯方程：其中，常數(shù)a和b分別是1mol范氏氣體的壓強(qiáng)修正系數(shù)和體積修正系數(shù)，其數(shù)值隨氣體種類的不同而異。下表1列出了幾種氣體的a，b值及臨界參量。 表1：幾種氣體的a、b值及臨界參量氣體 aTc(K)Ar0.13490.0332747.9789150.86760.09680.36060.0428072.9079304.0640

28、0.1284CO0.14560.0395434.4925132.89470.1186He0.0034140.023712.24925.19650.07110.024610.0266812.804933.28960.0800Ne0.020910.0169726.892244.4680.05090.13500.0386433.4885126.08970.11590.13630.0318449.7950154.49200.09552.2.1范德瓦耳斯氣體等溫線例:編寫一個(gè)繪制范德瓦爾斯氣體等溫線的程序，要求輸入溫度值后便可畫出相應(yīng)的等溫線。解題分析以二氧化碳為例，從表1查得，由范德瓦爾斯方程可繪制等

29、溫線簇，溫度選取如圖所示。MATLAB程序v=(0.06:0.001:1).*1e-3;T=input('T=');b=0.0428e-3;a=0.3606;R=8.31;p=R.*T./(v-b)-a./v.2;grid on,plot(v,p),axis(0,0.4e-3,-2e7,6e7)hold on;運(yùn)行結(jié)果如圖2.2所示圖2.2：范德瓦耳斯氣體等溫線范德瓦爾斯方程不僅對(duì)氣體性質(zhì)的描述優(yōu)于理想氣體物態(tài)方程，而且還能描述液相及氣、液兩相轉(zhuǎn)變的性質(zhì)以及臨界點(diǎn)的特征。2.2.2臨界參數(shù)范德瓦爾斯等溫線中有一個(gè)特殊的狀態(tài)臨界點(diǎn)。臨界點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的壓強(qiáng)、體積和溫度分別稱為臨界壓強(qiáng)、

30、臨界體積和臨界溫度。在臨界點(diǎn)所發(fā)生的氣液相變與在低于臨界溫度時(shí)的相變完全相同，屬于二級(jí)相變；而低于臨界點(diǎn)是的氣液相變屬于一級(jí)相變。在臨界點(diǎn)以上，氣體是不能夠通過等溫壓縮被轉(zhuǎn)變?yōu)橐合嗟?。系統(tǒng)在臨界點(diǎn)具有許多特殊性質(zhì)，稱為臨界現(xiàn)象。下面來介紹臨界點(diǎn)的確定。例:由范德瓦爾斯物態(tài)方程求臨界參量、。解題分析從圖可以看出，臨界點(diǎn)是一拐點(diǎn)，它同時(shí)滿足下列條件：，利用上述拐點(diǎn)條件，將范德瓦爾斯方程對(duì)求導(dǎo)并聯(lián)解方程，便可求得范德瓦爾斯氣體的三個(gè)臨界參量。MATLAB程序clearsyms a b R TD1=diff('(p+a/v2)*(v-b)-R*T','v');D2=di

31、ff(D1,'v');pc,vc=solve(D1,D2,'v','p')Tc=solve(pc+a/vc2)*(vc-b)-R*T,'T')運(yùn)行結(jié)果pc=1/27*a/b2vc=3*bTc=8/27*a/b/R即；，3電磁學(xué)問題3.1求電偶極子在其所在平面產(chǎn)生的電場(chǎng)中任一點(diǎn)P的電位例：已知電偶極子中兩電荷-q和+q的距離為。計(jì)算中可取。解題分析設(shè)場(chǎng)點(diǎn)P到的距離為和，則單獨(dú)存在時(shí)P點(diǎn)的電位分別為由電位疊加原理，電偶極子產(chǎn)生的電場(chǎng)在P點(diǎn)的電位為MATLAB程序clear;q=1.6e-19; %單位電荷電量C0=9e9;l=3.0;

32、 %偶極子正負(fù)電荷之間的距離lx=-5:0.5:5;y=x;X,Y=meshgrid(x,y);r1=sqrt(X-1./2).2+(Y-0).2); %電荷距離空間P（x，y）點(diǎn)的距離r2=sqrt(X+1./2).2+(Y-0).2);U=q.*C0.*(1./r1-1./r2); %求出空間任意一點(diǎn)P（x，y）的電位plot(-1/2,0,'ro',-1/2,0,'r-') %標(biāo)出負(fù)電荷hold on,plot(1/2,0,'ro',1/2,0,'r+') %標(biāo)出正電荷C=contour(X,Y,U,'k-'

33、);clabel(C); %畫等位線并標(biāo)出電位值axis('square')運(yùn)行結(jié)果如圖3.1所示 3.1電位梯度與電場(chǎng)強(qiáng)度電位是標(biāo)量，它在空間中每點(diǎn)都有一定的數(shù)值，所以電位是標(biāo)量場(chǎng)。標(biāo)量場(chǎng)在空間中沿不同方向的變化率稱為梯度，對(duì)電位場(chǎng)而言稱為電位梯度，用grad U或來表示?？梢宰C明，電位梯度和電場(chǎng)強(qiáng)度E的關(guān)系為利用上式，可從已知的電位分布求電場(chǎng)強(qiáng)度。3.2由電位的表示式計(jì)算電場(chǎng)并畫出等電位線和電場(chǎng)方向解題分析如果已知空間的電位分布則空間的電場(chǎng)強(qiáng)度為按照本題的要求，可利用讀入字符串的指令input('U'(x,y)=','s')來輸入電位

34、方程。在MATLAB中，梯度函數(shù)的調(diào)用格式為gradient（），它是靠數(shù)值微分得到的。因此，空間觀測(cè)點(diǎn)應(yīng)取得密一些，以獲得較高的精度。MATLAB程序clear allU=input('請(qǐng)輸入電位方程，U=(x,y)=','s'); %例如，取U(x,y)=log(x.2+y.2)。xmax=5;ymax=5;Ngrid=20; %繪圖區(qū)從x=-xmax到xmax，網(wǎng)格線數(shù)為20xplot=linspace(-xmax,xmax,Ngrid); %繪圖用x的數(shù)組x,y=meshgrid(xplot); %x，y取同樣范圍，生成二維網(wǎng)格Uplot=eval(U)

35、; %執(zhí)行輸入的字符串U,計(jì)算各點(diǎn)U的值Explot,Eyplot=gradient(-Uplot); %電場(chǎng)等于電位的負(fù)梯度clf;subplot(1,2,1),meshc(Uplot); %劃分子圖；繪制含等位線的三維曲面xlabel('x');ylabel('y');zlabel('U');subplot(1,2,2),axis(-xmax,xmax,-ymax,ymax); %規(guī)定等位線的范圍cs=contour(x,y,Uplot); %畫等位線，cs是等位線值clabel(cs); %標(biāo)出等位線的值hold on;quiver(x,y

36、,Explot,Eyplot); %保持圖形，在原圖形上疊加矢量場(chǎng)圖xlabel('x');ylabel('y');hold off;圖3.2：的電位分布與電場(chǎng)分布運(yùn)行上述程序，所得結(jié)果如圖3.2所示。3.3帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)例：設(shè)質(zhì)量為m，帶電量為q的粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)微分方程為選場(chǎng)中某點(diǎn)為原點(diǎn)，以為方向，沿方向，建立坐標(biāo)系。令，上式的投影方程為令，上述方程可改寫為下列一階微分方程組：MATLAB程序%符號(hào)法求離子運(yùn)動(dòng)微分方程的特解并繪圖clearsyms w x y z t B E m q;E=input('E=');B=input(

37、'B='); %輸入E和B值x,y,z=dsolve('D2x=q*B/m*Dy','D2y=q*E/m-q*B/m*Dx','D2z=0','x(0)=0','y(0)=0','z(0)=0','Dx(0)=0.01','Dy(0)=6','Dz(0)=0.01');%初始條件取x(0)=y(0)=z(0)=0,Dx(0)=0.01,Dy(0)=0.01q=1.6e-2;m=0.02X=subs(x,y,z);x=X(1),y=X(2

38、),z=X(3),ezplot3(X(1),X(2),X(3)運(yùn)行上述程序，例如，取E=4，B=8可得下列特解并給出圖3.3x =-15/16*cos(32/5*t)-49/640*sin(32/5*t)+1/2*t+15/16y =15/16*sin(32/5*t)-49/640*cos(32/5*t)+49/640z =1/100*t(a)E=4,B=8(b)E=0.01,B=8(c)E=8,B=1圖3.3：帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)下面我們給出一段用數(shù)值方法求解該問題的程序，用以比較。q=1.6e-2;m=0.02;B=2;2;0;E=1;0;1;figurestrd1='Eneq 0,Bneq 0'strd2='E=0,Bneq 0'strd3='Eneq 0,B=0'for i=1:3t,y=ode23('ex3f',0:0.1:20,0,0.01,0,6,0,0.01,q,m,B(i),E(i);axes('unit',&#