函數(shù)及其表示.

1、函數(shù)及其表示基礎(chǔ)知識1、函數(shù)與映射的概念函數(shù)映射兩集合設(shè) A、 B 是兩個非空數(shù)集設(shè) A、 B 是兩個非空集合對應(yīng)關(guān)系如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)f : A B系 f ，使對于集合A 中的任系 f ，使對于集合A 中的任意一個數(shù)x ，在集合 B 中都意一個元素x ，在集合 B 中有唯一確定的數(shù)f (x) 和它都有唯一確定的元素y 與之對應(yīng)。對應(yīng)。名稱稱 f : AB 為從集合 A到稱 f : AB為從集合 A到集合 B 的一個函數(shù)集合 B 的一個映射記法y f ( x) ， x A對應(yīng) f : AB 是一個映射注：函數(shù)與映射的區(qū)別： 函數(shù)是特殊的映射， 二者區(qū)別在于映射定義

2、中的兩個集合是非空集合，可以不是數(shù)集，而函數(shù)中的兩個集合必須是非空數(shù)集。2. 函數(shù)的定義域與值域在函數(shù) yf ( x), xA中， x 叫做自變量，x 的取值范圍 A 叫做 yf ( x) 的定義域；與 x 的值相對應(yīng)的y 值叫做函數(shù)值， 函數(shù)值的集合f (x) xA 稱為函數(shù) yf (x) 的值域 .顯然，值域是集合B 的子集。溫馨提示：(1) A、B 都是非空數(shù)集，因此定義域 ( 或值域 ) 為空集的函數(shù)不存在(2) 函數(shù)關(guān)系的判斷要注意“每一個” 、“都有”、“唯一”等關(guān)鍵詞(3) 注意 f ( x) 與 f ( a) 的區(qū)別，f ( a) 表示當(dāng) x a 時的函數(shù)值，是一個常量；而 f

3、 ( x )是關(guān)于 x 的函數(shù)，一般情況下是一個變量，f ( a) 是 f ( x) 的一個特殊值（ 4） y=f ( x) 僅僅是函數(shù)符號。3、函數(shù)的構(gòu)成要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域4、區(qū)間的概念及表示法設(shè) a, b 是兩個實數(shù)，且ab ，滿足 axb 的實數(shù) x 的集合叫做閉區(qū)間，記做 a,b ；滿足 axb 的實數(shù) x 的集合叫做開區(qū)間，記做(a,b) ；滿足 axb ，或 axb 的實數(shù) x 的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做 a,b) ， ( a, b ；滿足xa, xa, xb, xb 的實數(shù)x 的集合分別記做a,),( a,),(, b,(, b)。注意： 對于集合 x | axb

4、與區(qū)間( a, b)，前者a 可以大于或等于b ，而后者必須ab 。5、相等函數(shù)：由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且 對應(yīng)關(guān)系 完全一致，我們就稱這兩個函數(shù) 相等注：若兩個函數(shù)的定義域與值域相同，是否為相等函數(shù)？（不一定。如果函數(shù)y=x 和y=x+1,其定義域與值域完全相同，但不是相等函數(shù)；再如y=sinx與 y=cosx ，其定義域為R，值域都為-1， 1 ，顯然不是相等函數(shù)。因此湊數(shù)兩個函數(shù)是否相等，關(guān)鍵是看定義域和對應(yīng)關(guān)系 ）6、函數(shù)的表示法有：解析法、 列表法、 圖像法7、分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上， 因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子

5、來表示， 這種函數(shù)稱為分段函數(shù)。分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù) 。例題精講：考點一：函數(shù)與映射概念考查例 1判斷下列圖象能表示函數(shù)圖象的是（）yyyy0x0x0x0x(A)(B)(C)(D)：函數(shù) yf ( x) 的圖象與直線x = a的交點個數(shù)（）練習(xí) 1A. 只有一個B. 至多有一個C.至少有一個D.0個練習(xí) 2：下述兩個個對應(yīng)是 A 到 B 的映射嗎？（1）A R，B y | y 0 ， f : xy | x |；（ 2） A x | x0 ， B y | yR ， f : xyx 練習(xí) 3：下列

6、是映射的是（）aaaeaeaeebebbfbffcccgcfbg圖 1圖 2圖 3圖 4圖 5(A) 圖 1、2、 3 (B)圖 1、2、5(C)圖 1、3、5 (D)圖 1、2、3、5函數(shù)相等： 如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致.例 2指出下列各函數(shù)中，哪個與函數(shù)yx 是同一個函數(shù)：（ 1） yx2（ ）2； （ 3） s t ；2 yxx練習(xí) 1：判定下列各組函數(shù)是否為同一個函數(shù)：（ 1） f (x)x ， f ( x)3 x3 ；（ 2） f ( x)x 1， f (x)x21x1練習(xí) 2：試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？（1） f ( x)x2 ， g ( x)3 x

7、3 ；（2） f ( x)x1x0,， g( x)1x0;x（3） f ( x)xx1 ， g( x)x 2x ；（4） f ( x)x 22x1， g(t )t 22t1（5）2 n 12n 12n12n 1*）；f ( x)x，g( x) (x)（ Nn考點二：函數(shù)定義域題型 1：求有解析式的函數(shù)的定義域（ 1）若 f(x)為整式，則其定義域為實數(shù)集R（ 2）若 f(x)是分式，則其定義域是使分母不等于0 的實數(shù)的集合（ 3）若 f(x)是偶次根式，則其定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于0 的實數(shù)的集合。（ 4）若 f(x) 是由幾個部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的， 那么函數(shù)定義域是使各部分都有意義的

8、實數(shù)的集合，即交集。（ 5）f (x)x0的定義域是 xR x0例求下列函數(shù)的定義域：（） f x1；（）f x1 2 x x1例 2設(shè) f x2 x 1 ，求 f 0 ， f 2， f5 ， f b 3練習(xí) 1：函數(shù) f xx241的定義域為（）x3A2， 22,33，BC， 22,33，D ， 2練習(xí) 2：函數(shù) f ( x)( x1)0的定義域是（）xxA. x | x 0B.x | x 0C.x | x 0且 x1D. x | x 0且 x1題型 2：求復(fù)合函數(shù)和抽象函數(shù)的定義域1、復(fù)合函數(shù)的定義如果 y 是 u 的函數(shù)， u 又是 x 的函數(shù)，即 yf (u) ，ug (x) ，那么 y 關(guān)于 x 的 函數(shù) yf ( g( x) 叫做函數(shù) yf (u) （外函數(shù)）和 ug