大學(xué)物理第一章第二節(jié)圓周運(yùn)動(dòng)和一般曲線運(yùn)動(dòng)

1、上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 設(shè)質(zhì)點(diǎn)繞圓心作變速圓周運(yùn)動(dòng)，在設(shè)質(zhì)點(diǎn)繞圓心作變速圓周運(yùn)動(dòng)，在質(zhì)點(diǎn)軌跡上任選一點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)軌跡上任選一點(diǎn) P ，以該點(diǎn)沿軌，以該點(diǎn)沿軌跡切線方向作為一根坐標(biāo)軸，方向用跡切線方向作為一根坐標(biāo)軸，方向用單位矢量單位矢量 et t 表示；另一坐標(biāo)軸沿該點(diǎn)表示；另一坐標(biāo)軸沿該點(diǎn)軌跡的法線并指向曲線凹側(cè)，相應(yīng)單軌跡的法線并指向曲線凹側(cè)，相應(yīng)單位矢量用位矢量用en 表示，這就叫表示，這就叫自然坐標(biāo)系。自然坐標(biāo)系。 tenetene 顯然，沿軌跡上各點(diǎn)，自然坐標(biāo)軸的方位是不斷變顯然，沿軌跡上各點(diǎn)，自然坐標(biāo)軸的方位是不斷變化著的。化著的。1

2、.1.自然坐標(biāo)系自然坐標(biāo)系P上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出BRd Avdvv 為單位矢量，為單位矢量， 大小不變，但方向改變大小不變，但方向改變te2.2.圓周運(yùn)動(dòng)的加速度圓周運(yùn)動(dòng)的加速度ttddddrsvevetttddrse因?yàn)橐驗(yàn)閠dd( )ddvav t ett所以所以t時(shí)刻時(shí)刻：A點(diǎn)點(diǎn)t+dt時(shí)刻時(shí)刻：B點(diǎn)點(diǎn) dt時(shí)間內(nèi)經(jīng)過弧長時(shí)間內(nèi)經(jīng)過弧長dsds對(duì)應(yīng)圓心角角度對(duì)應(yīng)圓心角角度d dvvv上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出tdd( )ddvav t etttnnnddddddddesveeetts

3、tR2tnddvvaeetRtdetetedttdd()ddevaevtt 即與即與 同向同向neBRd Avdvvttdee因?yàn)橐驗(yàn)閠nddee所以所以上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出圓周運(yùn)動(dòng)中的圓周運(yùn)動(dòng)中的切向加速度切向加速度at和和法向加速度法向加速度an2tnddvvaeetRtddvat2nvaR22tn,aaa 切向加速度改變速度的大小，法向加速度改變速切向加速度改變速度的大小，法向加速度改變速度的方向。度的方向。2tnttnnddvvaeea ea etR上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出OxR

4、 1v2vs ABt A角位移角位移沿沿逆時(shí)針逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，角位移取轉(zhuǎn)動(dòng)，角位移取正正值值沿沿順時(shí)針順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，角位移取轉(zhuǎn)動(dòng)，角位移取負(fù)負(fù)值值角位置角位置角速度角速度角加速度角加速度 0dlimdttt 單位：?jiǎn)挝唬簉ad/s220ddlimddtttt 單位：?jiǎn)挝唬簉ad/s2ttB上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出勻角加速圓周運(yùn)動(dòng)勻角加速圓周運(yùn)動(dòng)是恒量是恒量0t20012tt00ddtt00dtt一般圓周運(yùn)動(dòng)一般圓周運(yùn)動(dòng)22002() 勻速圓周運(yùn)動(dòng)勻速圓周運(yùn)動(dòng) 是恒量是恒量ddt00ddttt 0討論：討論：上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁

5、上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出ROx 圓周運(yùn)動(dòng)既可以用速度、加速度描述，也可以用圓周運(yùn)動(dòng)既可以用速度、加速度描述，也可以用角速度、角加速度描述，二者應(yīng)有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。角速度、角加速度描述，二者應(yīng)有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 + 0 0+ t+ tBtA 如如圖圖所所示，一質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)：示，一質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)：在在 t 時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)的角位時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)的角位移為移為 ，則則A、B間的有向間的有向線段線段與弧將滿足下面的關(guān)系與弧將滿足下面的關(guān)系兩邊同除以兩邊同除以 t，得到速度與角速度之間的關(guān)系：得到速度與角速度之間的關(guān)系：Rv 00limlimttABAB 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上

6、頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 將上式兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得到切向加速度與角將上式兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得到切向加速度與角加速度之間的關(guān)系：加速度之間的關(guān)系：taR 將速度與角速度的關(guān)系代入法向加速度的定義將速度與角速度的關(guān)系代入法向加速度的定義式，得到法向加速度與角速度之間的關(guān)系：式，得到法向加速度與角速度之間的關(guān)系：2nvaR2R線量線量速度、加速度速度、加速度角量角量角速度、角加速度角速度、角加速度t2nvRaRaR上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出tn1.0 , 0aa勻速直線運(yùn)動(dòng)勻速直線運(yùn)動(dòng)勻變速直線運(yùn)動(dòng)勻變速直線運(yùn)動(dòng)勻速率圓周運(yùn)動(dòng)勻速率圓周運(yùn)動(dòng)變速

7、曲線運(yùn)動(dòng)變速曲線運(yùn)動(dòng)tn2. , 0acatn3.0 , aactn4.0 , 0aa討論：討論：上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出例題例題1-3 計(jì)算地球自轉(zhuǎn)時(shí)地面上各點(diǎn)的速度和加速度。計(jì)算地球自轉(zhuǎn)時(shí)地面上各點(diǎn)的速度和加速度。解：解：地球自轉(zhuǎn)周期地球自轉(zhuǎn)周期T=24 60 60 s，角速度大小為角速度大小為2T=517.27 10 s 如圖，地面上緯度為如圖，地面上緯度為 的的P點(diǎn)，在與赤道平行的平面內(nèi)點(diǎn)，在與赤道平行的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)作圓周運(yùn)動(dòng), , cosRRR 赤道赤道Rp 其軌道的半徑為其軌道的半徑為上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁

8、上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出rvcosR24.65 10 cosm/sran2cos2RP點(diǎn)速度的大小為點(diǎn)速度的大小為P點(diǎn)只有運(yùn)動(dòng)平面上的向心加速度，其大小為點(diǎn)只有運(yùn)動(dòng)平面上的向心加速度，其大小為P點(diǎn)速度的方向與過點(diǎn)速度的方向與過P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)平面上半徑為點(diǎn)運(yùn)動(dòng)平面上半徑為R的圓相切。的圓相切。223.37 10cosm/sP點(diǎn)加速度的方向在運(yùn)動(dòng)平面上由點(diǎn)加速度的方向在運(yùn)動(dòng)平面上由P指向地軸。指向地軸。上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出已知北京、上海和廣州三地的緯度分別是北緯已知北京、上海和廣州三地的緯度分別是北緯39 57 、31 12 和和 23

9、00 ，可算出三地的可算出三地的v 和和 an分別為分別為北京：北京：356m/s,v 22n2.58 10 m/sa上海：上海：398m/s,v 22n2.89 10 m/sa廣州：廣州：428m/s,v 22n3.10 10 m/sa上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出解：解：由題意，可得該點(diǎn)的速率為：由題意，可得該點(diǎn)的速率為： 例題例題1-4 一飛輪邊緣上一點(diǎn)所經(jīng)過的路程與時(shí)間的一飛輪邊緣上一點(diǎn)所經(jīng)過的路程與時(shí)間的關(guān)系為關(guān)系為 ，v0、b都是正的常量。都是正的常量。（1 1）求該點(diǎn)在時(shí)刻）求該點(diǎn)在時(shí)刻 t 的加速度；的加速度；（2）t 為何值時(shí)，為

10、何值時(shí)，該點(diǎn)的切向加速度與法向加速度的大小相等？已知該點(diǎn)的切向加速度與法向加速度的大小相等？已知飛輪的半徑為飛輪的半徑為R。 2/20bttvs200dd1()dd2svv tb tvb ttt 上式表明，速率隨時(shí)間上式表明，速率隨時(shí)間t而變化，該點(diǎn)做勻變速而變化，該點(diǎn)做勻變速圓周運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)。上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出tnaa22tnaaa20()arctanvbtRb （1）t 時(shí)刻切向加速度、法向加速度及加速度大小時(shí)刻切向加速度、法向加速度及加速度大小: :tvddRv222ddtsbRbtv20)(420()()vbtbRR加速度方向由

11、它和速度的夾角確定為加速度方向由它和速度的夾角確定為Rovnataa上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 （2）令令at= an，即即20()vbtbR0bRvbt得得0() /tvbRb上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出例題例題1-5 如圖如圖a所示為一曲柄連桿機(jī)構(gòu)，曲柄所示為一曲柄連桿機(jī)構(gòu)，曲柄OA長為長為r，連桿，連桿AB長為長為l，AB的一段用銷子在的一段用銷子在A處與曲處與曲柄柄OA相連，另一端以銷子在相連，另一端以銷子在B處與活塞相連。當(dāng)曲處與活塞相連。當(dāng)曲柄以勻角速柄以勻角速繞軸繞軸O旋轉(zhuǎn)時(shí)，通過連

12、桿將帶動(dòng)旋轉(zhuǎn)時(shí)，通過連桿將帶動(dòng)B處活處活塞在汽缸內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)，試求活塞的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。塞在汽缸內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)，試求活塞的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。解：解：取取O為原點(diǎn)，為原點(diǎn)，Ox軸水平向左，如圖軸水平向左，如圖b所示；并設(shè)所示；并設(shè)開始時(shí)，曲柄開始時(shí)，曲柄A在在Ox軸上的點(diǎn)軸上的點(diǎn)P處。當(dāng)處。當(dāng)曲柄以勻角速曲柄以勻角速上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，在t時(shí)刻曲柄轉(zhuǎn)角為時(shí)刻曲柄轉(zhuǎn)角為= =t以，這時(shí)以，這時(shí)B處活塞處活塞的位置為的位置為x=OR+RB，即，即222221sin1sin2rlrtltl222cossinxrtlrt這就是活塞的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程這就

13、是活塞的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程我們把上式右端第二項(xiàng)按二項(xiàng)式定理展開為級(jí)數(shù)：我們把上式右端第二項(xiàng)按二項(xiàng)式定理展開為級(jí)數(shù)：221cos1sin2rxrtltl一般一般r/l1/3.5,因此高階小量可以略去，于是的活塞因此高階小量可以略去，于是的活塞的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可寫為的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可寫為上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出Oxy0v maxymaxx0000cossinxyvvvv gaayx0而而 拋體運(yùn)動(dòng)拋體運(yùn)動(dòng)：從地面上某點(diǎn)向空中拋出的物體在從地面上某點(diǎn)向空中拋出的物體在空中所做的運(yùn)動(dòng)?？罩兴龅倪\(yùn)動(dòng)。 以拋射點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，水平方向?yàn)橐話伾潼c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐

14、標(biāo)系，水平方向?yàn)閤 x軸，豎直方向?yàn)檩S，豎直方向?yàn)閥軸。設(shè)拋出時(shí)刻軸。設(shè)拋出時(shí)刻t=0的速率為的速率為v0，拋拋射角為射角為 ，則初速度分量分別為則初速度分量分別為上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出020cos1sin2xvtyvtgt00dcosddsindxyxvvtyvvgtt故任意時(shí)刻的速度為故任意時(shí)刻的速度為將上式積分，得運(yùn)動(dòng)方程為將上式積分，得運(yùn)動(dòng)方程為上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 物體在空中飛行回落到拋出點(diǎn)高度時(shí)所用的時(shí)物體在空中飛行回落到拋出點(diǎn)高度時(shí)所用的時(shí)間為間為 gvT sin20 飛

15、行的射程（即回落到與拋出點(diǎn)的高度相同時(shí)所飛行的射程（即回落到與拋出點(diǎn)的高度相同時(shí)所經(jīng)過的水平距離）為經(jīng)過的水平距離）為 gvx 2sin20max 運(yùn)動(dòng)方程消去時(shí)間參數(shù)運(yùn)動(dòng)方程消去時(shí)間參數(shù)t，得到拋體運(yùn)動(dòng)的軌得到拋體運(yùn)動(dòng)的軌跡方程為跡方程為 2202cos21tanvgxxy 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出若若 ，則，則 ， 此時(shí)為平拋運(yùn)動(dòng)；此時(shí)為平拋運(yùn)動(dòng)； 0 0max y若若 ，則，則 ，此時(shí)射程最大；，此時(shí)射程最大； 4gvx20max 若若 ，則，則 ，此時(shí)為豎直拋體運(yùn)動(dòng)，此時(shí)為豎直拋體運(yùn)動(dòng)。 20max x飛行的射高飛行的射高（即高出拋射

16、點(diǎn)的最大高度即高出拋射點(diǎn)的最大高度）為為 gvy2sin220max 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出例題例題1-6 在距離我方前沿陣地在距離我方前沿陣地10001000m處有一座高處有一座高5050m的山丘，山上建有敵方一座碉堡。求我方的大炮的山丘，山上建有敵方一座碉堡。求我方的大炮在什么角度下以最小的速度發(fā)射炮彈就能摧毀敵軍在什么角度下以最小的速度發(fā)射炮彈就能摧毀敵軍的這座碉堡？的這座碉堡？解：解：由前面分析可知，拋體運(yùn)動(dòng)的軌跡方程是由前面分析可知，拋體運(yùn)動(dòng)的軌跡方程是2220tan2cosgxyxv由此可解出發(fā)射速度由此可解出發(fā)射速度v0與發(fā)射

17、與發(fā)射角度角度 的關(guān)系為的關(guān)系為012 costangvxxy上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 由上式不難分析出，當(dāng)由上式不難分析出，當(dāng)tan=y/x，以及，以及=/2時(shí)，時(shí)，v0都將趨于無窮大，所以在這中間必存在一個(gè)使都將趨于無窮大，所以在這中間必存在一個(gè)使v0為極小值的角度，令為極小值的角度，令dv0/d=0，將目標(biāo)位置，將目標(biāo)位置x=1000m，y=50m，代入方程求解，原則上可以求，代入方程求解，原則上可以求出擊中目標(biāo)炮彈的最小速度，但由此產(chǎn)生的超越方出擊中目標(biāo)炮彈的最小速度，但由此產(chǎn)生的超越方程難以得出解析解。為此，我們可以編寫程難以得出解

18、析解。為此，我們可以編寫Matlab程程序，利用計(jì)算機(jī)的數(shù)值解，繪出為了擊中目標(biāo)所發(fā)序，利用計(jì)算機(jī)的數(shù)值解，繪出為了擊中目標(biāo)所發(fā)射炮彈的初速度與發(fā)射角度的關(guān)系曲線，并得到在射炮彈的初速度與發(fā)射角度的關(guān)系曲線，并得到在=46.4時(shí)，可以最小速度時(shí)，可以最小速度v0=101.5m/s發(fā)射炮彈摧發(fā)射炮彈摧毀敵軍碉堡。毀敵軍碉堡。上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出v0/(m.s_1)上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出例題例題1-7 有一學(xué)生在體育館陽臺(tái)上以投射角有一學(xué)生在體育館陽臺(tái)上以投射角=30=30和速率和速率v0=20=20m/s向臺(tái)前操場(chǎng)投出一壘球。球離開手時(shí)向臺(tái)前操場(chǎng)