復(fù)變函數(shù)積分與級(jí)數(shù)習(xí)題課

1、復(fù)變函數(shù)積分與級(jí)數(shù)復(fù)變函數(shù)積分與級(jí)數(shù)習(xí)題課習(xí)題課 一、復(fù)積分重點(diǎn)與難點(diǎn)一、復(fù)積分重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：重點(diǎn)：難點(diǎn)：難點(diǎn)：1. 復(fù)積分的基本定理；復(fù)積分的基本定理；2. 柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式 復(fù)合閉路定理與復(fù)積分的計(jì)算復(fù)合閉路定理與復(fù)積分的計(jì)算（1 1）. .積分的定義積分的定義1、復(fù)積分基本定理、復(fù)積分基本定理oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 .)(limd)(1knkknCzfzzf （2 2）. .積分存在的條件及線積分的計(jì)算積分存在的條件及線積分的計(jì)算（a a）化成線積分）化成線積分且且存在存在則積分則積分連續(xù)連續(xù)沿逐段光滑的曲線沿逐段光滑的曲

2、線設(shè)設(shè),d)(,),(),()( CzzfCyxivyxuzf CCCyyxuxyxviyyxvxyxuzzf.d),(d),(d),(d),(d)(（b b）用參數(shù)方程將積分化成定積分）用參數(shù)方程將積分化成定積分的參數(shù)方程是的參數(shù)方程是設(shè)簡(jiǎn)單光滑曲線設(shè)簡(jiǎn)單光滑曲線 C)()()()(btatiytxtzz .d)()(d)(ttztzfzzfCba 則則(3).(3).積分的性質(zhì)積分的性質(zhì);d)(d)()1( CCzzfzzf )(;d)(d)()2(為常數(shù)為常數(shù)kzzfkzzkfCC ;d)(d)(d)()()3( CCCzzgzzfzzgzf.)(),(連續(xù)連續(xù)沿曲線沿曲線設(shè)設(shè)Czgzf

3、 CCCzzfzzfzzfCCC12;d)(d)(d)(,)4(21則則連結(jié)而成連結(jié)而成由由設(shè)設(shè) CCMLszfzzfMzfCzfLC.d)(d)( ,)( )( , )5(那末那末上滿足上滿足在在函數(shù)函數(shù)的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為設(shè)曲線設(shè)曲線(4) (4) 柯西定理柯西定理 . d)( , )( 無關(guān)無關(guān)線線與連結(jié)起點(diǎn)及終點(diǎn)的路與連結(jié)起點(diǎn)及終點(diǎn)的路那末積分那末積分析析內(nèi)處處解內(nèi)處處解在單連通域在單連通域如果函數(shù)如果函數(shù)定理1定理1CzzfBzfC . 0d)( : )( , )( czzfCBzfBzf的積分為零的積分為零內(nèi)的任何一條封閉曲線內(nèi)的任何一條封閉曲線沿沿那末函數(shù)那末函數(shù)內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析

4、在單連通域在單連通域如果函數(shù)如果函數(shù)).()( , d)()( , )( 0zfzFBfzFBzfzz 并且并且解析函數(shù)解析函數(shù)內(nèi)的一個(gè)內(nèi)的一個(gè)必為必為那末函數(shù)那末函數(shù)析析內(nèi)處處解內(nèi)處處解在單連通域在單連通域如果函數(shù)如果函數(shù) 定理2定理2由定理得由定理得 21d)(d)(CCzzfzzf 10d)(zzzzfBB 0z1z 0z1z 1C2C1C2C(5).(5).原函數(shù)的定義原函數(shù)的定義. )( )( , )()( , )( )( 的原函數(shù)的原函數(shù)內(nèi)內(nèi)在區(qū)域在區(qū)域?yàn)闉槟悄┓Q那末稱即即內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為在區(qū)域在區(qū)域如果函數(shù)如果函數(shù)BzfzzfzzfBz .)( d)()( 0的一個(gè)原函數(shù)的一

5、個(gè)原函數(shù)是是因此因此zffzFzz . )(一個(gè)常數(shù)一個(gè)常數(shù)的任何兩個(gè)原函數(shù)相差的任何兩個(gè)原函數(shù)相差zf. , )()(d)( , )( )( , )( 100110內(nèi)內(nèi)的的兩兩點(diǎn)點(diǎn)為為域域這這里里那那末末的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)為為內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析在在單單連連通通域域如如果果函函數(shù)數(shù)定定理理BzzzGzGzzfzfzGBzfzz ( (牛頓牛頓- -萊布尼茲公式萊布尼茲公式) )(6).(6).閉路變形原理閉路變形原理 , , , , , , , , , , , 2121DCCCCCCCCDCnn為邊界的區(qū)域全含于為邊界的區(qū)域全含于并且以并且以互不包含也互不相交互不包含也互不相交它們它們

6、內(nèi)部的簡(jiǎn)單閉曲線內(nèi)部的簡(jiǎn)單閉曲線是在是在內(nèi)的一條簡(jiǎn)單閉曲線內(nèi)的一條簡(jiǎn)單閉曲線多連通域多連通域?yàn)闉樵O(shè)設(shè) , )( 內(nèi)解析內(nèi)解析在在如果如果DzfDC1C2C3C (7). (7).復(fù)合閉路定理復(fù)合閉路定理 一個(gè)解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲一個(gè)解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值.那末那末). , , , , :( , , , , 2121順時(shí)針進(jìn)行順時(shí)針進(jìn)行按按按逆時(shí)針進(jìn)行按逆時(shí)針進(jìn)行其方向是其方向是組成的復(fù)合閉路組成的復(fù)合閉路為由為由這里這里nnCCCCCCCC . 0d)()2( zzf ; 均取正方向均取正方向及及其中其中kC

7、C,d)(d)()1(1 nkCCkzzfzzf(7).(7).柯西積分公式柯西積分公式 CzzzzfizfCzDDCDzf.d)(21)( , , , , )( 000那末那末內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn)為為于于它的內(nèi)部完全含它的內(nèi)部完全含閉曲線閉曲線內(nèi)的任何一條正向簡(jiǎn)單內(nèi)的任何一條正向簡(jiǎn)單為為內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析在區(qū)域在區(qū)域如果函數(shù)如果函數(shù)一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值平均值.則有則有是圓周是圓周如果如果,0 ieRzzC .d)(21)(2000 ieRzfzf (8). (8).高階導(dǎo)數(shù)公式高階導(dǎo)數(shù)公式. , )( ), 2 , 1(d)()

8、(2!)( : , )( 0100)(DzDzfCnzzzzfinzfnzfCnn而且它的內(nèi)部全含于而且它的內(nèi)部全含于線線任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲的的內(nèi)圍繞內(nèi)圍繞的解析區(qū)域的解析區(qū)域?yàn)樵诤瘮?shù)為在函數(shù)其中其中導(dǎo)數(shù)為導(dǎo)數(shù)為階階它的它的的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)解析函數(shù)解析函數(shù) 二、復(fù)積分典型例題二、復(fù)積分典型例題例例1 1 計(jì)算計(jì)算 的值，其中的值，其中C為為1）沿從）沿從 到到 的線段：的線段：2）沿從）沿從 到到 的線段：的線段： 與從與從 到到 的線段的線段 所接成的折線所接成的折線. czzd)0 , 0()1 ,1(; 10 , ttytx)0 , 0()0 ,

9、 1(, 10 , 0,:1 tytxC)0 , 1()1 , 1(10 , 1:2 ttyxC解解 10)(d)(dittittzzc 10d)1)(tiitt 10d2tt)1 , 1()0 , 1(C1C2COxy; 1 zzzzzzcccddd)221 1010d)1 (dtiittt i2121.1i 解解.d42)1cos(21001zzzzzz 例例2 2 計(jì)算計(jì)算故由柯西定理得. 0d42)1cos(21001 zzzzzz被積函數(shù)奇點(diǎn)不在積分區(qū)域內(nèi)，計(jì)算以下積分沿指定路徑23: izC例例3 3 CCzzzzezzz.d)1()2(;d)1(1)1(22解解由復(fù)合閉路定理有由

10、復(fù)合閉路定理有則則及及為半徑作圓為半徑作圓以以為圓心為圓心及及以以分別分別及及內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)在在,41,00)1(1)1(212CCizzizzCzz CCCzzzzzzzzz12d)1(1d)1(1d)1(1222 解法一解法一 利用柯西定理及重要公式利用柯西定理及重要公式izizzzz 1211211)1(12由柯西定理有由柯西定理有, 0d1211 zizC, 0d1211 zizC, 0d12 zzC, 0d1212 zizCyxOi i C2C1C 21d)(21d1d)1(12CCCzizzzzzzii 2212. i 解法二解法二 利用柯西積分公式利用柯西積分公式,11

11、)(121內(nèi)解析內(nèi)解析在在Czzf ,)(1)(22內(nèi)解析內(nèi)解析在在Cizzzf CCCzzzzzzzzz12d)1(1d)1(1d)1(1222 21d)(1d)1(12CCzizizzzzz)(2)0(221iiffi 2122ii. i 由復(fù)合閉路定理有由復(fù)合閉路定理有則則及及為半徑作圓為半徑作圓以以為圓心為圓心及及以以分別分別及及內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)在在,41,00)1()2(212CCizzizzCzzez CCCzzzzzzezzzezzze12d)1(d)1(d)1(222,1)(121內(nèi)解析內(nèi)解析在在Czezfz ,)()(22內(nèi)解析內(nèi)解析在在Cizzezfz 因此由柯西積

12、分公式得因此由柯西積分公式得 CCCzzzzzzezzzezzze12d)1(d)1(d)1(222 21d)(d)1(2CzCzzizizzezzze)(2)0(221iiffi 222ieii).1cos2(1sin i)2(iei .10,d)1 (3光滑曲線的閉與是不經(jīng)過其中計(jì)算CzzzeCz例4例4解解分以下四種情況討論：分以下四種情況討論：則則也不包含也不包含既不包含既不包含若封閉曲線若封閉曲線, 10)1C,)1()(3內(nèi)解析內(nèi)解析在在Czzezfz . 0d)1(3 Czzzze由柯西定理得則則而不包含而不包含包含包含若封閉曲線若封閉曲線, 10)2C由柯西積分公式得由柯西積分

13、公式得內(nèi)解析內(nèi)解析在在,)1()(3Czezfz xyOC 1zzzezzzeCCzzd)1(d)1(33 03)1(2 zzzei.2 i 則則而不包含而不包含包含包含若封閉曲線若封閉曲線, 01)3C,)(內(nèi)解析內(nèi)解析在在Czezfz 由高階導(dǎo)數(shù)公式得由高階導(dǎo)數(shù)公式得zzzezzzeCCzzd)1(d)1(33 zzzeCzd)1(3 )1(! 22fi 132)22( zzzezzi. ie , 01)4又包含又包含既包含既包含若封閉曲線若封閉曲線C,0,1 , 0212121互不包含互不包含互不相交互不相交與與且且內(nèi)內(nèi)也在也在和和使使為半徑作圓為半徑作圓以以為圓心為圓心則分別以則分別以

14、CCCCCCC 據(jù)復(fù)合閉路定理有據(jù)復(fù)合閉路定理有 Czzzzed)1(3 21d)1(d)1(33CzCzzzzezzzexyOC 11C2C Cziezzze.)2(d)1(3所以所以,)3d)1(23iezzzeCz 的結(jié)果的結(jié)果即為即為而積分而積分,2)2d)1(13izzzeCz 的結(jié)果的結(jié)果即為即為而積分而積分解解0)1(1)1()!1(2d)1( znznnizz; 0 0)1(1)()!1(2d)2( znzznzenizze0)!1(2 zzeni.)!1(2 ni.d)2(,d)1(11zzezzznzzn 為大于為大于1的自然數(shù)的自然數(shù).n 例例5 5 計(jì)算下列積分計(jì)算下列

15、積分所以所以的奇點(diǎn)的奇點(diǎn)和和是是因?yàn)橐驗(yàn)?10nznzezz 高階導(dǎo)數(shù)公式應(yīng)用高階導(dǎo)數(shù)公式應(yīng)用三、復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)重點(diǎn)與難點(diǎn)三、復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：重點(diǎn)：難點(diǎn)：難點(diǎn)：1、冪級(jí)數(shù)收斂半徑、冪級(jí)數(shù)收斂半徑2、函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)與洛朗級(jí)數(shù)、函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)與洛朗級(jí)數(shù)函數(shù)展開成洛朗級(jí)數(shù)函數(shù)展開成洛朗級(jí)數(shù))()()()(21zfzfzfzsnn 稱為這級(jí)數(shù)的部分和稱為這級(jí)數(shù)的部分和. . 級(jí)數(shù)最前面級(jí)數(shù)最前面項(xiàng)的和項(xiàng)的和n1.復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) , ), 2 , 1()( 為為一一復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)序序列列設(shè)設(shè) nzfn )()()()(211zfzfzfzfnnn其中各項(xiàng)在區(qū)域其中各項(xiàng)在

16、區(qū)域 D內(nèi)有定義內(nèi)有定義. .表達(dá)式表達(dá)式稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), 記作記作 . )(1 nnzf四、內(nèi)容提要四、內(nèi)容提要2. 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 1) 在復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中在復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中, 形如形如.zczczcczcnnnnn 22101的級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)的級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù).,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) a 22100)()()(azcazccazcnnn nnazc)(-阿貝爾阿貝爾Abel定理定理如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) 0nnnzc)0(0 zz0zz 0zz 0zz , z在在收斂收斂, z那末對(duì)那末對(duì)的的級(jí)數(shù)必絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)必絕對(duì)收斂, 如果如果在在級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散, 那末對(duì)滿足那末對(duì)滿足的的級(jí)數(shù)必

17、發(fā)散級(jí)數(shù)必發(fā)散.滿足滿足3.收斂定理收斂定理方法方法1 1: 比值法比值法方法方法2: 根值法根值法4. 收斂半徑的求法收斂半徑的求法, 0lim 1 nnncc如果如果那末收斂半徑那末收斂半徑.1 R ., 0; 0,;0,1 R即即, 0lim nnnc如果如果那末收斂半徑那末收斂半徑.1 R5.5.復(fù)變冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的解析性復(fù)變冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的解析性 00)(nnnzzc設(shè)冪級(jí)數(shù)設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑的收斂半徑為為,R那末那末是收斂圓是收斂圓Raz 內(nèi)的解析函數(shù)內(nèi)的解析函數(shù) .它的和函數(shù)它的和函數(shù) 00)()(nnnzzczf, )(zf即即(1)(2)(zf在收斂圓在收斂圓Raz 內(nèi)的

18、導(dǎo)數(shù)可將其冪內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到, 即即.)()(110 nnnzznczf(3)(zf在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分, 即即 0.,d)(d )(ncnncRazczazczzf或或 01.)(1d)(nnnzaazncf 6. 泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù), 2, 1 , 0),(!10)( nzfncnn其中其中泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù) 1)定理定理設(shè)設(shè))(zf在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析內(nèi)解析,0z為為D 內(nèi)的一內(nèi)的一d為為0z到到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離的邊界上各點(diǎn)的最短距離, 那末那末點(diǎn)點(diǎn),dzz 0時(shí)時(shí), 00)()(nnnzzczf成立成立,當(dāng)當(dāng),! 21)1(0

19、2 nnnznznzzze,111)2(02 nnnzzzzz,)!12()1(! 5! 3sin)4(1253 nzzzzznn2)常見函數(shù)的泰勒展開式常見函數(shù)的泰勒展開式)1( z)1( z)( z)( z,) 1() 1(111)3(02 nnnnnzzzzz,)!2()1(! 4! 21cos)5(242 nzzzznn7. 洛朗級(jí)數(shù)洛朗級(jí)數(shù)定理定理內(nèi)內(nèi)可可展展開開成成洛洛朗朗級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在那那末末析析內(nèi)內(nèi)處處處處解解在在圓圓環(huán)環(huán)域域設(shè)設(shè)DzfRzzRzf )( , )( 201 ,)()(0nnnzzczf Cnnzfic d)()(21 10其中其中),1,0( nC為圓環(huán)域內(nèi)繞為圓

20、環(huán)域內(nèi)繞 的任一正向簡(jiǎn)單閉曲線的任一正向簡(jiǎn)單閉曲線.0z為洛朗系數(shù)為洛朗系數(shù).1)根據(jù)正、負(fù)冪項(xiàng)組成的的級(jí)數(shù)的唯一性根據(jù)正、負(fù)冪項(xiàng)組成的的級(jí)數(shù)的唯一性, 可可用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開 .(2) 間接展開法間接展開法2)將函數(shù)展為洛朗級(jí)數(shù)的方法將函數(shù)展為洛朗級(jí)數(shù)的方法(1) 直接展開法直接展開法,d)()(2110 Cnnzfic 根據(jù)洛朗定理求出系數(shù)根據(jù)洛朗定理求出系數(shù).)()(0nnnzzczf 然后寫出然后寫出例例1 1 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑0002!)3(!)2()1(nnnnnnznnznz解解nnncc1

21、lim )1( 由由22)1(lim nnn, 1 . 1 R得得nnncc1lim )2( 由由)!1(!lim nnn, 0 . R得得nnncc1lim )3( 由由!)!1(limnnn , . 0 R得得三、典型例題三、典型例題例例2 2 展開函數(shù)展開函數(shù) 成成 的冪級(jí)數(shù)到的冪級(jí)數(shù)到 項(xiàng)項(xiàng).zeezf )(z3z解解,)(zezeezf ,)()(2zzezezeeeezf zzzezezezeeeeeezf32)()(3)( 由此得由此得,)0(ef ,)0(ef ,2)0(ef .5)0(ef 所以所以.6532 ezezezeeze解析函數(shù)展為冪級(jí)數(shù)的方法解析函數(shù)展為冪級(jí)數(shù)的方

22、法利用定義來求利用定義來求.分析：采用間接法即利用已知的展開式來求分析：采用間接法即利用已知的展開式來求.解解)(21cos izizzzeeeze 因?yàn)橐驗(yàn)?1)1()1(ziziee 00!)1 (!)1 (21nnnnnnnzinzinnnnziin)1 ()1(!1210 )( z例例3 3 求求 在在 的泰勒展式的泰勒展式.zezfzcos)( 0 z例例4 4. 1 )1(1 3內(nèi)的泰勒展開式內(nèi)的泰勒展開式在在求函數(shù)求函數(shù) zz分析：利用逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分法分析：利用逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分法.解解 )1(21)1(1 13zz因?yàn)橐驗(yàn)?1( z所以所以 0321)1(1nnzz22)1

23、(21 nnznn.)1)(2(210mmzmm )1( z例例5 5. 11的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開成展開成把把zez 解解 利用微分方程法利用微分方程法 ,)( 11zezf 因?yàn)橐驗(yàn)?11)1(1)(zezfz ,)1(1)(2zzf , 0)()()1( 2 zfzfz所以所以對(duì)上式求導(dǎo)得對(duì)上式求導(dǎo)得0)()32()()1(2 zfzzfz0)(2)()54()()1(2 zfzfzzfz由此可得由此可得,)0()0(eff ,3)0(ef ,13)0(ef 故故.! 313! 2313211 zzzeez)1( z例例6 6. 0 )1)(3(785)( 2234的泰勒展開式的泰勒展開式在點(diǎn)在點(diǎn)求求 zzzzzzzzf分析分析:利用部分分式與幾何級(jí)數(shù)結(jié)合法利用部分分式與幾何級(jí)數(shù)結(jié)合法. 即把函數(shù)即把函數(shù)分成部分分式后分成部分分式后, 應(yīng)用等比級(jí)數(shù)求和公式應(yīng)用等比級(jí)數(shù)求和公式.解解2)1(1322)( zzzzf1313131 zznnnz 0131)3( z)(1111zz nnnz 0) 1()1( z 1112)1()1(1 nnnnzz即即nnnzn)1()1