最新蘇教版八年級下冊數(shù)學第十二章二次根式知識點4頁

1、 第十二章 二次根式一、 二次根式的概念一般地，我們把形如（a0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號。 正確理解二次根式的概念，要把握以下五點：（1） 二次根式的概念是從形式上界定的，必須含有二次根號“”，“”的根指數(shù)為2，即“”，我們一般省略根指數(shù)2，寫作“”。如可以寫作。（2） 二次根式中的被開方數(shù)既可以是一個數(shù)，也可以是一個含有字母的式子。（3） 式子表示非負數(shù)a的算術平方根，因此a0，0。其中a0是有意義的前提條件。（4） 在具體問題中，如果已知二次根式，就意味著給出了a0這一隱含條件。（5） 形如b（a0）的式子也是二次根式，b與是相乘的關系。要注意當b是分數(shù)時不能寫成帶分數(shù)，例如

2、可寫成，但不能寫成2 。二、二次根式的性質：二次根式的性質符號語言文字語言應用與拓展注意（a0）的性質0（a0）一個非負數(shù)的算術平方根是非負數(shù)。（1）二次根式的非負性（0，a0）應用較多，如：+=0，則a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如+，則x的取值范圍是x-a0，a-x0，解得x=a。（2）具有非負性的性質：a20；a0；0（a0）（3）若a2+b+=0，則a=0，b=0，c=0，即若幾個非負數(shù)的和等于0，則這幾個非負數(shù)分別等于0。（a0）的最小值為0。（）2（a0）的性質（）2 = a（a0）一個非負數(shù)的算術平方根的平方等于它本身。正用公式：（）2 =5；（）2=m2+1；

3、逆用公式：若a0，則a=（）2如：2=（）2，=（）2逆用公式可以在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式，如a2-5=a2-（）2 =(a+)(a-)的性質=a=a（a0）或=a= - a（a0）一個數(shù)的平方的算術平方根等于這個數(shù)的絕對值。（1）正用公式：=3-=3- （2）逆用公式：3=3化簡形如的式子時，先轉化為a形式，再根據(jù)a的符號去掉絕對值號。（）2（a0）與的區(qū)別與聯(lián)系：（）2 區(qū) 別表示的意義不同表示非負數(shù)a的算術平方根的平方表示a2的算術平方根取值范圍不同a0a為任意實數(shù)讀法不同讀作“根號a的平方”或“a的算術平方根的平方”讀作“根號a2”或“a的平方的算術平方根”被開方數(shù)不同被開方數(shù)是a被開方數(shù)

4、是a2運算順序不同先開放后平方先平方后開方運算結果，運算依據(jù)不同（）2 =a，依據(jù)平方與開平方互為逆運算得到依據(jù)算術平方根的定義得到作用不同（）2 = a（a0），正向運用可化簡二次根式，逆向運用可以將任意一個非負數(shù)寫成一個數(shù)的平方的形式=a，正向運用可以將根號內(nèi)的非負因式取算術平方根移到根號外，逆用運用可以將根號外的非負因式平方后移到根號內(nèi)聯(lián) 系含有兩種相同的運算，都要進行平方與開方結果都是非負數(shù)；a0時，（）2=三、代數(shù)式用基本運算符號（基本運算包括加、減、乘、除、乘方和開方）把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來的式子叫代數(shù)式。例：3，x，x+y，（x0），-ab，（t0，x3都是代數(shù)式注（1）單獨

5、一個數(shù)或字母也是代數(shù)式；（2）代數(shù)式中不能含有關系符號（，=等）（1） 將兩個代數(shù)式用關系符號（，=等）連接起來的式子叫關系式，方程和不等式都是關系式。如2x+33x-5是關系式。列代數(shù)式的常用方法：（1） 直接法：根據(jù)問題的語言敘述直接寫出代數(shù)式。（2） 公式法：根據(jù)公式列出代數(shù)式。（3） 探究規(guī)律法：將蘊含在一組數(shù)或一組圖形中的排列規(guī)律用代數(shù)式表示出來。四、二次根式的乘除1、 單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。2、 單項式與單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則

6、連同它的指數(shù)作為商的一個因式。五、二次根式的乘法法則=（a0，b0）即：二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變（1） 進行二次根式的乘法運算時，一定不能忽略其被開方數(shù)a，b均為非負數(shù)這一條件。（2） 推廣=（a0，b0，c0）ac=ac乘法交換律和結合律在二次根式的乘法中任然可應用。練習：（1）；（2）；（3）4(4)6（-2）六、二次根式乘法法則的逆用=（a0，b0）即積的算術平方根等于積中各因式的算術平方根的積利用這個性質可以把二次根式化簡，在進行二次根式的化簡運算時，先將被開方數(shù)進行因式分解或因數(shù)分解，然后再將能開得盡方的因式或因數(shù)開方后移到根號外。注：（1）公式中的a，b可以是數(shù)，也

7、可以是代數(shù)式，但必須滿足a0，b0，實際上，公式中的a，b是限制公式右邊的，對公式的左邊，只要ab0即可，如。（2）在本章中如果沒有特別說明，所有的字母都表示正數(shù)。推廣：=（a0，b0，c0，d0）三、二次根式的除法法則=（a0，b0）即：二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變。注：（1）a必須是非負數(shù)，b必須是正數(shù)，式子才成立。若a，b都是負數(shù)，雖然0，有意義，但，在實數(shù)范圍內(nèi)無意義；若b=0，則無意義。（2）如果被開方數(shù)是帶分數(shù)，應先將其化成假分數(shù)，如必須先化成，以免出現(xiàn)=×這樣的錯誤。（3）在二次根式的計算中，最后結果應不含能開得盡方的因數(shù)或因式，同時分母中不含二次根式。推廣

8、：（m）÷（n）=（m÷n）×（÷），其中a0，b0，n0。七、二次根式除法法則的逆用=（a0，b0）即商的算術平方根等于被除式的算術平方根除以除式的算術平方根。注：公式中的a，b可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，但必須滿足a0，b0。公式中的a，b是限制公式右邊的，對公式的左邊，只要0即可。例如計算，不能寫為=，而應寫為=。利用這個公式，同樣可以達到化簡二次根式的目的，在化簡被開方數(shù)是分數(shù)（或分式）的二次根式時，先將其化為（a0，b0）的形式，然后利用分式的基本性質，分子和分母同乘上一個適當?shù)囊蚴剑シ帜钢械母柤纯?。當被開方數(shù)是帶分數(shù)時，應先把它化成假分數(shù)

9、。八、最簡二次根式的概念滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式。（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。對于最簡二次根式的概念我們可作如下解釋：（1）被開方數(shù)中不含分母，因此被開方數(shù)是整數(shù)或整式；（2）被開方數(shù)中每一個因數(shù)或因式的指數(shù)都是1。拓展：分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根號的方法來進行，這種化去分母中根號的變形叫做分母有理化。分母有理化的方法是根據(jù)分式的基本性質，將分子和分母都乘上分母的有理化因式（兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含二次根式，就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式），化去分母中的根號。分母有理化因式不唯一，但以運算最簡

10、便為宜。常用的有理化因式有：與；與；與；+與-；a+c與a-c等。九、二次根式的加減1、同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同類項，例如3ab與-4ab2、合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項，合并同類項后，所得項的系數(shù)是合并前各同類項的系數(shù)和，且字母部分不變。3、整式的加減：一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項。4、平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2 5、多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加，即（a+b）（m+

11、n）=am+an+bm+bn十、可以合并的二次根式將二次根式化成最簡二次根式，如果被開方數(shù)相同，則這樣的二次根式可以合并。合并的方法與合并同類項類似，把括號外的因數(shù)（式）相加，根指數(shù)和被開方數(shù)不變，合并的依據(jù)是乘法分配律，如m+n=（m+n）練習：化簡下列二次根式，并指出哪些是可以合并的二次根式。（1）；（2）-；（3）；（4）（a0，b0）；（5）b；（6）2； （7）（a0，b0）； （8）3（a0，b0）；十一、二次根式的加減二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并。二次根式的加減法與整式的加減法類似，步驟如下：（1）將各個二次根式化成最簡二次

12、根式；（2）找出化簡后被開方數(shù)相同的二次根式；（3）合并被開方數(shù)相同的二次根式將系數(shù)相加仍作為系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)保持不變，可簡記為：化簡判斷合并。二次根式的加減法與二次根式的乘除法的區(qū)別如下：運算二次根式的乘除法二次根式的加減法系數(shù)系數(shù)相乘除系數(shù)相加減被開方數(shù)被開方數(shù)相乘除被開方數(shù)不變化簡結果化成最簡二次根式先化成最簡二次根式，再合并被開方數(shù)相同的二次根式注：（1）化成最簡二次根式后被開方數(shù)不同的二次根式不能合并，但是不能丟棄，它們也是結果的一部分；（2）整式加減運算中的交換律、結合律、去括號法則、添括號法則在二次根式運算中仍然適用；（3）根號外的因式就是這個根式的系數(shù)，二次根式的系數(shù)是帶分數(shù)的要化成假分數(shù)的形式。練習：計算：（1）+6 - 2x