現(xiàn)代控制工程中文PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)12第1頁(yè)/共213頁(yè)3第2頁(yè)/共213頁(yè)4基本要求9-1 狀態(tài)空間方法基礎(chǔ)9-2 線性系統(tǒng)的可控性和可觀性9-3 狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測(cè)器9-4 有界輸入、有界輸出的穩(wěn)定性9-5 李雅普諾夫第二方法返回主目錄第3頁(yè)/共213頁(yè)5：前面幾章所學(xué)的內(nèi)容稱為經(jīng)典控制理論；下面要學(xué)的內(nèi)容稱為現(xiàn)代控制理論。兩者作一簡(jiǎn)單比較。經(jīng)典控制理論(50年代前)現(xiàn)代控制理論(50年代后)研究對(duì)象單輸入單輸出的線性定常系統(tǒng)可以比較復(fù)雜數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)(輸入、輸出描述)狀態(tài)方程(可描述內(nèi)部行為)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)運(yùn)算微積、復(fù)變函數(shù)線性代數(shù)、矩陣?yán)碚撛O(shè)計(jì)方法的特點(diǎn)非唯一性、試湊成份多, 經(jīng)驗(yàn)起很大作用。主要在復(fù)數(shù)域進(jìn)行。設(shè)計(jì)的

2、解析性，與計(jì)算機(jī)結(jié)合，主要在時(shí)間域進(jìn)行。第4頁(yè)/共213頁(yè)6返回子目錄返回子目錄第5頁(yè)/共213頁(yè)7第6頁(yè)/共213頁(yè)8第7頁(yè)/共213頁(yè)9返回子目錄返回子目錄第8頁(yè)/共213頁(yè)10狀態(tài)：狀態(tài)：動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)可以定義為信息的集合。動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)可以定義為信息的集合。已知已知 時(shí)狀態(tài)，時(shí)狀態(tài)， 時(shí)的輸入，可確定時(shí)的輸入，可確定 時(shí)任一變量的運(yùn)動(dòng)狀況。時(shí)任一變量的運(yùn)動(dòng)狀況。0t0tt 0tt 狀態(tài)變量狀態(tài)變量：確定動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)狀態(tài)的最小一組變確定動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)狀態(tài)的最小一組變量量 。)(,),(1txtxn第9頁(yè)/共213頁(yè)11 12nx txtX txt 狀態(tài)空間：由 張成的n維向量空間。)(tX

3、狀態(tài)向量狀態(tài)向量： 如果完全描述一個(gè)給定系統(tǒng)的動(dòng)如果完全描述一個(gè)給定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為需要態(tài)行為需要n n個(gè)狀態(tài)變量，那么狀態(tài)個(gè)狀態(tài)變量，那么狀態(tài)向量定義為向量定義為X(t)X(t)對(duì)于確定的某個(gè)時(shí)刻，狀態(tài)表示為狀態(tài)空間中一個(gè)點(diǎn)，狀態(tài)隨時(shí)間的變化過(guò)程，構(gòu)成了狀態(tài)空間中的一條軌跡。第10頁(yè)/共213頁(yè)12( )1( )( )( )di te tRi tLi t dtdtC圖9-2 RLC網(wǎng)絡(luò)第11頁(yè)/共213頁(yè)132( )( )x ti t dt)()(1titx選擇狀態(tài)變量11211RxxxeLLCL 則有21xx11010RuLCLLxx寫(xiě)成21)()(xCtcty10Cx輸出第12頁(yè)/共213

4、頁(yè)1411100RLLuLCxx寫(xiě)成)()(1titx21( )( )x ti t dtC若選另一組狀態(tài)變量11211( )Rxxxe tLLL 121xcx 則有第13頁(yè)/共213頁(yè)15 uyayayaynnnnn 02211 若給出 (t=0) 時(shí)的初值 、 、 、 和 時(shí)就可確定系統(tǒng)的行為。 0,ttu)0(y)0(y )0()1( ny121, nnyxyxyx單輸入單輸入- -單輸出線性定常系統(tǒng)單輸出線性定常系統(tǒng)選取狀態(tài)變量二、系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式第14頁(yè)/共213頁(yè)1612231nnxxxxxx（9-17）0 11 21nnnxa xa xaxu第15頁(yè)/共213頁(yè)17xAxBx1

5、2012101000001000,00010nnxxxaaaa xAB（9-19）第16頁(yè)/共213頁(yè)18第17頁(yè)/共213頁(yè)19222yyyu輸入為輸入為 u u ，輸出為，輸出為y y 。試求系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。試求系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程?？紤]用下列常微分方程描述的系統(tǒng)考慮用下列常微分方程描述的系統(tǒng)第18頁(yè)/共213頁(yè)2012222122xxxxxu1122220102xxuxx狀態(tài)方程為寫(xiě)成取狀態(tài)變量12,xy xy 第19頁(yè)/共213頁(yè)211210 xyx圖9-4 例9-3系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖第20頁(yè)/共213頁(yè)22第21頁(yè)/共213頁(yè)23ppnnububxaxaxax11111212

6、1111 ppnnububxaxaxax212122221212 pnpnnnnnnnububxaxaxax 112211nxxx,21 為狀態(tài)變量；puuu,21 為輸入量；qyyy,21 為輸出變量。第22頁(yè)/共213頁(yè)24xAxu111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA111212122212ppnnnpbbbbbbbbbB式中第23頁(yè)/共213頁(yè)25ppnnududxcxcxcy111112121111 ppnnududxcxcxcy212122221212 .pqpqnqnqqqududxcxcxcy 112211第24頁(yè)/共213頁(yè)26111212122212nnq

7、qqncccccccccC111212122212ppqqqpdddddddddDyC xD u第25頁(yè)/共213頁(yè)27圖9-7 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖第26頁(yè)/共213頁(yè)28式中式中 均為列向量。均為列向量。)2 , 1 , 0(ibixAx（9-28）齊次向量微分方程齊次向量微分方程kktbtbtbbtx2210)(（9-29）方程的解為方程的解為1、齊次狀態(tài)方程的解第27頁(yè)/共213頁(yè)29)(210121kkkktbtbbAtkbtbb可得( ) txxAx代入方程 將方程兩邊系數(shù)必相等方程兩邊系數(shù)必相等, , 即即1022103320011221133 21kkbAbbAbA bbAbA bbA

8、bk ！第28頁(yè)/共213頁(yè)300)0(bx我們定義022)121()(xtAktAAtItxkk?。?-31）kKAttAktAAtIe！12122（9-32）因此，齊次狀態(tài)方程的解為將 t=0 代入（9-29）中得第29頁(yè)/共213頁(yè)310)(xetxAt（9-33）( )( )x tAx t（9-34）)()(0sAxxssx（9-35）Ate為nn矩陣，稱矩陣指數(shù)。于是齊次狀態(tài)方程的解為于是齊次狀態(tài)方程的解為用拉氏變換法求解用拉氏變換法求解第30頁(yè)/共213頁(yè)3201)()(xAsIsx011)()(xAsILtx)(11AsILeAt122311()AtkkkksIAL eL IAt

9、A tkIAAAssss！拉氏反變換后得到（9-37）（9-38）第31頁(yè)/共213頁(yè)33 AtetAtexp式中( )(0)( ) (0)Atx te xt x （9-41）第32頁(yè)/共213頁(yè)34狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣具有以下性質(zhì)：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣具有以下性質(zhì)：I)0(, 1)()(, 21tt)()()(, 3020112tttttt)()(, 4kttk第33頁(yè)/共213頁(yè)35圖9-8 狀態(tài)轉(zhuǎn)移特性第34頁(yè)/共213頁(yè)3611220100 xxxx設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。試求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。第35頁(yè)/共213頁(yè)372 211( )2!Atk kteIAtA tA tk23

10、0100,00001001( )010001nAAAAttt11221( )(0)01( )(0)txtxxtx求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為其中可以寫(xiě)出方程解為第36頁(yè)/共213頁(yè)38x3210 x設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為試求狀態(tài)方程的解。試求狀態(tài)方程的解。第37頁(yè)/共213頁(yè)392s21s12s21s22s11s12s11s2)2s)(1s (s)2s)(1s (2)2s)(1s (1)2s)(1s (3ss213s)2s)(1s (1AsI)AsI(adj)AsI(3s21s)AsI(1用拉氏變換求解。先求出矩陣指數(shù)用拉氏變換求解。先求出矩陣指數(shù) 第38頁(yè)/共213頁(yè)40t2tt2tt2tt2

11、t11Ate2ee2e2eeee2)AsI(Le)0(x)0(xe2ee2e2eeee2)0(xe) t (x21t2tt2tt2tt2tAt將上式進(jìn)行拉氏反變換將上式進(jìn)行拉氏反變換第39頁(yè)/共213頁(yè)41第40頁(yè)/共213頁(yè)42改寫(xiě)為 )()()(tButAxtx用 左乘等式兩邊 Ate2 2 非齊次狀態(tài)方程的解非齊次狀態(tài)方程的解非齊次方程)()()(tButAxtx（9-53）)()()()(tBuetxedtdtAxtxeAtAtAt（9-54）第41頁(yè)/共213頁(yè)43dBuextxetAAt)()0()(0dBuexetxttAAt)()0()(0)(用 左乘上式兩邊Ate（9-54）

12、0( )( ) (0)()( )tx tt xtBud 則式（9-54）可以寫(xiě)成（9-55）積分上式得第42頁(yè)/共213頁(yè)44 sBusAxxssx)()(0 sBuAsIxAsIsx101)()()()()()0()()(1111sBuAsILxAsILtx拉氏反變換得拉氏反變換得)(11AsILeAt由于由于 ttAdBuesBuAsIL0)(11)()(由卷積定理有由卷積定理有第43頁(yè)/共213頁(yè)45 ttAdBuesBuAsIL0)(11)()(tAAtdtBuexetx0)()0()(ttAAtdBuexetx0)()()0()(因此由于由于最后得到第44頁(yè)/共213頁(yè)46uxx10

13、3210求下述系統(tǒng)狀態(tài)的時(shí)間響應(yīng)求下述系統(tǒng)狀態(tài)的時(shí)間響應(yīng)控制量控制量u u為單位階躍函數(shù)。為單位階躍函數(shù)。第45頁(yè)/共213頁(yè)47112222( )2222tttttttttLsIAeeeeeeee)2)(1()2)(1(2)2)(1(1)2)(1(31ssssssssssAsI由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣第46頁(yè)/共213頁(yè)48tttttAeeeedtBue0225.05.0)(tttteeeexttx225 . 05 . 0)0()()(220.50.5( )tttteex tee若初始狀態(tài)為零狀態(tài)，則若初始狀態(tài)為零狀態(tài)，則第47頁(yè)/共213頁(yè)49)()()(sBUsAXssX)()()(sDUsCXs

14、YBuAxx（9-58）系統(tǒng)狀態(tài)方程系統(tǒng)狀態(tài)方程DuCxy（9-59）輸出方程輸出方程拉氏變換為拉氏變換為第48頁(yè)/共213頁(yè)50)()()(1sBUAsIsX)()()(1sUDBAsICsYAsIAsIadjAsI)()(1DBAsICsG1)()(（9-63）第49頁(yè)/共213頁(yè)51AsIDAsIBAsICadjDBAsIAsIadjCsG)()()(0| AsI第50頁(yè)/共213頁(yè)521112221122011002011001xxuxxuyxyx第51頁(yè)/共213頁(yè)53011010,0020101ABCD已已知知11111(2)()2102sss ssIAoss故故第52頁(yè)/共213

15、頁(yè)541( )()111010(2)010110211(2)102G sC sIABss ssss ss第53頁(yè)/共213頁(yè)550100001061161Ab 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試求系統(tǒng)的特征方程和特征值。試求系統(tǒng)的特征方程和特征值。第54頁(yè)/共213頁(yè)563210| det 01611606 116| (1)(2)(3)0ssIAssssssIAsss 系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為特征方程的根為-1、-2和-3。矩陣A的特征值也為-1、-2和-3。兩者是一樣的。第55頁(yè)/共213頁(yè)57DuCxyBuAxxuDxCyuBxAxxPx1Pxx 其中 P 是nn 矩陣1 PA

16、PA1CPCBPB第56頁(yè)/共213頁(yè)58AsIAsIPPAsIPPPAsIPPAsIPPAPsPPPAPsIAsI1111111)(特征多項(xiàng)式?jīng)]有改變。第57頁(yè)/共213頁(yè)59DBAsICDPBPAsIPCPDPBPAsIPCPDPBPAPsPPCPDPBPAPsICPDBAsIC111111111111111)()()()()()(傳遞函數(shù)陣傳遞函數(shù)陣傳遞函數(shù)陣沒(méi)有改變傳遞函數(shù)陣沒(méi)有改變第58頁(yè)/共213頁(yè)60112233111123149xxxxxx 第59頁(yè)/共213頁(yè)6111111132.50.5123 ,34114911.50.5PPxPAPxP bu 代入第60頁(yè)/共213頁(yè)62

17、11223332.50.501011134100112311.50.5611614932.50.50341011.50.51xxxxxxu 132|(1)(2)(3)61160sIPAPssssss特征方程為特征值為-1，-2，-3，與例9-9結(jié)果相同?？傻玫?1頁(yè)/共213頁(yè)63可控性和可觀測(cè)性的概念，就是回答可控性和可觀測(cè)性的概念，就是回答“系統(tǒng)的輸入是系統(tǒng)的輸入是否能控制狀態(tài)的變化否能控制狀態(tài)的變化和和“狀態(tài)的變化能否由輸出狀態(tài)的變化能否由輸出反映出來(lái)反映出來(lái)這樣兩個(gè)問(wèn)題。這樣兩個(gè)問(wèn)題。返回子目錄返回子目錄第62頁(yè)/共213頁(yè)64設(shè)設(shè)A A 是 nn 矩陣, x x 是 n1 向量,齊次

18、方程組若 |A|=0, （9-70）式存在非零解；若|A|0, （9-70）式只有零解。Ax=0（9-70）1 1、齊次方程組的非零解、齊次方程組的非零解第63頁(yè)/共213頁(yè)65則A滿足1110( )nnnfIAaaa（9-71）0)(0111IaAaAaAAfnnn（9-72）A的特征多項(xiàng)式第64頁(yè)/共213頁(yè)66)(0111IaAaAaAnnn10)(nkkkAtAte（9-78）120,nnAAA AI,Ate)( ,nkAk對(duì)于矩陣指數(shù) 可以用來(lái)表示。第65頁(yè)/共213頁(yè)67解：矩陣A的特征多項(xiàng)式22| (1)21IA1201A100?A要求計(jì)算矩陣 的第66頁(yè)/共213頁(yè)682324

19、323243(1)nAAIAAAAIAA AAIAnAnI10012001009901AAI本題中n=100，故有第67頁(yè)/共213頁(yè)69nbAbAAbbrankn12的充分必要條件是：的充分必要條件是：存在存在 使使01t101),0(ttATAtdtebbetWT（9-80）非奇異。這里非奇異。這里A :nA :nn, b: nn, b: n1.1.第68頁(yè)/共213頁(yè)70若對(duì)任意狀態(tài)若對(duì)任意狀態(tài) ，存在一個(gè)有限時(shí)刻，存在一個(gè)有限時(shí)刻 和控制和控制量量 ，能在，能在 時(shí)刻將狀態(tài)時(shí)刻將狀態(tài) 轉(zhuǎn)移到轉(zhuǎn)移到0 0，則稱此系，則稱此系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控。統(tǒng)的狀態(tài)完全可控。)(0tx0ttf)(tuf

20、t)(0tx1 定義對(duì)于任意時(shí)刻對(duì)于任意時(shí)刻 和和 ，若存在控制向量，若存在控制向量 ，能將，能將 的的每個(gè)初始狀態(tài)每個(gè)初始狀態(tài) 轉(zhuǎn)移到轉(zhuǎn)移到 時(shí)刻的另一任意狀態(tài)時(shí)刻的另一任意狀態(tài) , ,則稱此系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控。則稱此系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控。 )(tu0tft0tt ftt )(0tx()fx t等價(jià)的定義第69頁(yè)/共213頁(yè)71圖9-10 二維系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程如圖所示二維系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程如圖所示系統(tǒng)可控。系統(tǒng)可控。第70頁(yè)/共213頁(yè)72其中 A (nn),b (n1), c (1n),d (11) 系統(tǒng)可控的充分必要條件是ducxybuAxx（9-84）（9-85）nbAAbbrankn 1

21、（9-86）單變量線性定常系統(tǒng)第71頁(yè)/共213頁(yè)73將u(t) 代入式(9-54)，可得xex)t , 0(Web) t (u1At0f1tATfT（9-87）若式若式(9-86)(9-86)成立，由前面準(zhǔn)備知識(shí)的引理，存在成立，由前面準(zhǔn)備知識(shí)的引理，存在t t1 100，使，使得得(1-30)(1-30)式定義的式定義的W(0, tW(0, t1 1) )矩陣非奇異，取矩陣非奇異，取t t1 1為可控性定為可控性定義中的義中的t tf f ，且在，且在0, t0, tf f 上定義上定義第72頁(yè)/共213頁(yè)74ffTfft01At0f1AT)t (A0Atfdxex)t , 0(Webbe

22、xe)t (x11AtAt0At0At1Att0f1ATAAt0t0f1ATAAt0Atxxeexexedxe)t ,0(Webbeedx)t ,0(WebbeexeffffffTffTff第73頁(yè)/共213頁(yè)75根據(jù)凱萊哈密爾頓定理 d)(bue)0(xft0A（9-88）1n0mmmAA)(e（9-89）假定系統(tǒng)由任意初始狀態(tài)被控制到零狀態(tài)，即 x(tf)=0 。根據(jù)(9-54)式，則有第74頁(yè)/共213頁(yè)76d)(u )(bA)0(xft0m1n0mm0( ) ( )(0,1,2,1)ftmmudumnm1n0mmubA)0(x這時(shí)0111(0)nnuuxbAbAbu（9-90）第75頁(yè)

23、/共213頁(yè)77n)bAbAAbb(rank1n2由上述可控性判據(jù)可知，系統(tǒng)的可控性只取決于由上述可控性判據(jù)可知，系統(tǒng)的可控性只取決于(9-84) (9-84) 式中的式中的A A陣和陣和b b陣。今后為了方便起見(jiàn)，將可控性矩陣記陣。今后為了方便起見(jiàn)，將可控性矩陣記為為S S，這樣，可控的充要條件就寫(xiě)成：，這樣，可控的充要條件就寫(xiě)成：rankS=n rankS=n 或或 detS0detS0。第76頁(yè)/共213頁(yè)78圖9-11 不可控系統(tǒng)第77頁(yè)/共213頁(yè)79uxx1100410201229414212102bAAbbPc01detcP系統(tǒng)第78頁(yè)/共213頁(yè)80111111001由前面討論

24、可知，等價(jià)變換不改變可控性。第79頁(yè)/共213頁(yè)81第80頁(yè)/共213頁(yè)82ubbbbx11x43212211系統(tǒng)狀態(tài)方程為系統(tǒng)狀態(tài)方程為i21b,試確定系統(tǒng)可控時(shí)，試確定系統(tǒng)可控時(shí)， 應(yīng)滿足的條件。應(yīng)滿足的條件。第81頁(yè)/共213頁(yè)830bb)(4221 如果用直接計(jì)算可控性矩陣的方法也可得到同樣結(jié)果 .因?yàn)橐驗(yàn)锳 A陣有兩個(gè)若當(dāng)塊，根據(jù)判據(jù)的陣有兩個(gè)若當(dāng)塊，根據(jù)判據(jù)的(1)(1)應(yīng)應(yīng)有有 ，由判據(jù)的，由判據(jù)的(2)(2)，A A的第二行所對(duì)的第二行所對(duì)應(yīng)的應(yīng)的b b中的元素中的元素b2 2, ,b4 4均不為零，因此系統(tǒng)可控均不為零，因此系統(tǒng)可控的充要條件為的充要條件為21第82頁(yè)/共21

25、3頁(yè)84uxxn100010000010000101210（9-92）則系統(tǒng)一定可控。一個(gè)單輸入系統(tǒng)，如果具有如下形式第83頁(yè)/共213頁(yè)85buAxx第84頁(yè)/共213頁(yè)861S21nhhAPhAhAPxx 1S1 PAPAPBB 1CPCDD 即可求出變換后的系統(tǒng)狀態(tài)方程。即可求出變換后的系統(tǒng)狀態(tài)方程。第85頁(yè)/共213頁(yè)87u110 x041020122x第86頁(yè)/共213頁(yè)880Sdet941421210bAAbbS2第87頁(yè)/共213頁(yè)89112h112225012S1102121012P324223112P1第88頁(yè)/共213頁(yè)901211221210322020121423140

26、201010001254APAP 100110324223112Pbb第89頁(yè)/共213頁(yè)91nnbAAbbrank11n下面的結(jié)果被稱為系統(tǒng)按可控性進(jìn)行分解的定理 第90頁(yè)/共213頁(yè)92121114221122(9 104)00(9 105)AAxbxuAxxxyccdux 111n1111nbAbAbrank1db)AsI(cdb)AsI( c111n111（9-106）（9-107）1x2x第91頁(yè)/共213頁(yè)93duxcyubxAx111111（9-108）（9-109）第92頁(yè)/共213頁(yè)94nnbAbAbAAbbrank11nn1n11（9-110）考察考察(9-103)(9-1

27、03)式，并將它重新寫(xiě)出如下式，并將它重新寫(xiě)出如下11nnbAAbbrank1進(jìn)而可以證明進(jìn)而可以證明1nn21q,q,q補(bǔ)充選取線性無(wú)關(guān)的向量補(bǔ)充選取線性無(wú)關(guān)的向量11,211nnnqqqbAAbb并使得向量組并使得向量組 線性無(wú)關(guān)。線性無(wú)關(guān)。第93頁(yè)/共213頁(yè)95q,q,q, bA,Ab, bP11nn211n1若將若將(9-104(9-104，105)105)式所表示的系統(tǒng)用方框圖表示，可式所表示的系統(tǒng)用方框圖表示，可控性分解的意義就能更直觀地體現(xiàn)出來(lái)，控性分解的意義就能更直觀地體現(xiàn)出來(lái)，(9-104(9-104，105)105)式的系統(tǒng)方塊圖如圖式的系統(tǒng)方塊圖如圖9-129-12所示

28、。所示。Pbb,PAPA1即可證明 具有定理所要求的(9-104)的形式。第94頁(yè)/共213頁(yè)96圖9-12 系統(tǒng)按可控性分解第95頁(yè)/共213頁(yè)971x2x2x第96頁(yè)/共213頁(yè)98x001yu010 x110010011x2) 1s (1) s (g第97頁(yè)/共213頁(yè)99210111210bAAbbS2系統(tǒng)的可控性矩陣系統(tǒng)的可控性矩陣由于由于S S的第的第3 3列是第列是第1 1列與第列與第2 2列的線性組合，列的線性組合，系統(tǒng)不可控系統(tǒng)不可控 。1(001)Tq選取選取第98頁(yè)/共213頁(yè)1001010110011PbAbq010cPc,001Pbb,100021010PAPA11構(gòu)

29、成構(gòu)成110100101P第99頁(yè)/共213頁(yè)10110c01b2110A11121001rankbAbrank111) s (g) 1s (1012s11s10b)AsI(c211111第100頁(yè)/共213頁(yè)102三、線性系統(tǒng)的可觀測(cè)性設(shè)n維單變量線性定常系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為cxy,buAxx(9-113,114) 如果在有限時(shí)間間隔0, t1 內(nèi)，根據(jù)輸出值y(t)和輸入值u(t)，能夠唯一確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0)的每一個(gè)分量，則稱此系統(tǒng)是完全可觀測(cè)的，簡(jiǎn)稱可觀的。式中A,b,c分別為 矩陣。1 1、 可觀測(cè)性的定義,1,1n n nn第101頁(yè)/共213頁(yè)103圖9-13 不可觀測(cè)系統(tǒng)第1

30、02頁(yè)/共213頁(yè)104 分析(9-117)式，當(dāng)知道某一時(shí)刻的輸出時(shí)， (9-117)式是n個(gè)未知量x(0)的(一個(gè))方程，顯然不能唯一確定初值，要解出x(0) ，必須要利用一段時(shí)間上的輸入和輸出的值。將(9-117)式左乘一個(gè)列向量，再?gòu)?到t1積分就可得到n個(gè)未知數(shù)x(0)的n個(gè)方程。就可利用線性方程組存在唯一解的條件來(lái)研究。()0( )( )(0)( )tAtA tg tcx tce xcebud(9-117)我們考慮沒(méi)有外作用的系統(tǒng)，可求出第103頁(yè)/共213頁(yè)105ncAcAcrank1n(9-118)(9-118)式中的矩陣稱為可觀性矩陣可觀性矩陣。并記為V。第104頁(yè)/共213

31、頁(yè)106det0V nc)A(c)A(cAc rankT1nTT2TTTT取x(0)= ，這一非零的初始狀態(tài)引起的輸出為AtAtce)0(xce) t (y（9-120）0dtcecedet)t , 0(VdetAtt0TtA11T根據(jù)準(zhǔn)備知識(shí)中的引理，存在第105頁(yè)/共213頁(yè)1071n0kkkAtA) t (e100111( )( )(0)( )( )( )0nkkknny tct A xccAtttcA第106頁(yè)/共213頁(yè)1082030111 0 xxuyx 試判斷系統(tǒng)的可觀測(cè)性。設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為例題9-15第107頁(yè)/共213頁(yè)1090201cAcV系統(tǒng)可觀性矩陣的秩，在對(duì)系統(tǒng)作可逆

32、線性變換下系統(tǒng)可觀性矩陣的秩，在對(duì)系統(tǒng)作可逆線性變換下保持不變，因而可逆線性變換不改變系統(tǒng)的可觀測(cè)性保持不變，因而可逆線性變換不改變系統(tǒng)的可觀測(cè)性。 第108頁(yè)/共213頁(yè)110111n1n111111nVPPcAcAc)PAP(cPPAPcPcPAcAccV1P第109頁(yè)/共213頁(yè)111cxy,buAxxzbw, vczAzTTT系統(tǒng)系統(tǒng) 第110頁(yè)/共213頁(yè)112第111頁(yè)/共213頁(yè)113n上述條件就是約當(dāng)形動(dòng)態(tài)方程的可觀測(cè)性判據(jù)。它可以由對(duì)偶系統(tǒng)的可控性判據(jù)得到。第112頁(yè)/共213頁(yè)114iic,xccccyu2010 x11x43212211第113頁(yè)/共213頁(yè)115x201

33、0yuccccx1010 x43212211由對(duì)偶系統(tǒng)的可控性判據(jù)可知，其可控的充要條件為. 0c, 0c,3121這也就是原系統(tǒng)可觀測(cè)的條件。構(gòu)造原系統(tǒng)的對(duì)偶系統(tǒng)如下：第114頁(yè)/共213頁(yè)116（9-122）式稱為單輸出系統(tǒng)的可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形。 0121000010001000001000001nAc（9-122）第115頁(yè)/共213頁(yè)117xcy,ubxAxcxy,buAxx)xMx(xMx1（9-123）若有等價(jià)變換若有等價(jià)變換將其化為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形將其化為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形式中式中 具有具有(9-122)(9-122)的形式。的形式。Ac和第116頁(yè)/共213頁(yè)118zbw,uczAzTTTPz

34、z 化為下列的可控標(biāo)準(zhǔn)形，其變換矩陣為P.zcw,ubzAz11111111PbcPcbPPAATTT，第117頁(yè)/共213頁(yè)119TT11TT1T1TT1cPbb)P(cAP)P(AcMcbMbAMMA11TPM （9-134）比較上面兩組式子，可知欲求之線性變換矩陣比較上面兩組式子，可知欲求之線性變換矩陣它可將系統(tǒng)方程化為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形。它可將系統(tǒng)方程化為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形。第118頁(yè)/共213頁(yè)120 x11y,u11x1111x第119頁(yè)/共213頁(yè)12111b,1111A根據(jù)根據(jù)A,bA,b陣，按化可控標(biāo)準(zhǔn)形求變換陣的陣，按化可控標(biāo)準(zhǔn)形求變換陣的步驟求出步驟求出P P陣：陣：第120頁(yè)/共2

35、13頁(yè)1220121AbbS5 . 05 . 0h5 . 05 . 0100121S11015 . 05 . 0hAhP由由(9-128)(9-128)式求出式求出P P陣陣1120M,05 . 015 . 0015 . 05 . 0PM1TT由由(1-60)(1-60)式求出式求出M M陣陣第121頁(yè)/共213頁(yè)1231005 . 015 . 011cMc02111120bMb212005 . 015 . 011111120AMMA11第122頁(yè)/共213頁(yè)124若(9-113，114)的系統(tǒng)不可觀測(cè)，且nncAcAcrank21n第123頁(yè)/共213頁(yè)125式中 是n2維向量, 是n-n2

36、維向量，并且1x2xnnAcAccrank21n111112（9-137）211212143121xx0cyubbxxAA0Axx（9-135）（9-136）第124頁(yè)/共213頁(yè)126 這可以用前面證明可觀標(biāo)準(zhǔn)形的方法論證。這可以用前面證明可觀標(biāo)準(zhǔn)形的方法論證。 (9-137)式表明n2維的子系統(tǒng) (A1 b1 c1 )是可觀的； 這部分狀態(tài)變量是不可觀的； (9-138)式表明傳遞函數(shù)未能反映系統(tǒng)的不可觀部分。2x11111)()(1bAsIcbAsIcn系統(tǒng)按可觀性分解的系統(tǒng)按可觀性分解的結(jié)果結(jié)果(9-138)第125頁(yè)/共213頁(yè)127由圖上可以看出傳遞函數(shù)完全由圖中虛線以上的部分所決

37、定，即傳遞函數(shù)未能反映系統(tǒng)中不可觀測(cè)的部分。第126頁(yè)/共213頁(yè)128) s (D) s (NAsIb)AsI(cadjb)AsI( c) s (g1（9-141）對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)為cxy,buAxx（9-140）考慮單變量系統(tǒng)，其動(dòng)態(tài)方程為1 1、可控性、可觀測(cè)性與零、極點(diǎn)對(duì)消問(wèn)題第127頁(yè)/共213頁(yè)129AsI) s (Db)AsI(cadj) s (N N(s)=0的根稱為傳遞函數(shù)g(s)的零點(diǎn)， D(s)=0的根稱為傳遞函數(shù)g(s)的極點(diǎn)。下面是本段的主要結(jié)果。 動(dòng)態(tài)方程式(9-140)可控、可觀測(cè)的充分必要條件是g(s) 無(wú)零、極點(diǎn)對(duì)消，即D(s)和N(s)無(wú)非常數(shù)的公因式。第12

38、8頁(yè)/共213頁(yè)130首先用反證法證明條件的必要性，若有s=s0既使N(s0)=0，又使D(s0)=0，由(9-141)式即得0b)AIs(cadj,0AIs00(9-143)利用恒等式IAsIb )AsI(cadj)AsI()AsI)(AsI(1I )s(D)AsI(adj)AsI(可得(9-144)第129頁(yè)/共213頁(yè)131將s= s0代入(9-144)式，并利用(9-143)式，可得)AIs(Aadj)AIs(adjs000(9-145)將上式前乘c、后乘b后即有0)s(Nsb )AIs(cadjsb )AIs(cAadj00000（9-146）將(9-145)式前乘cA、后乘b后即有

39、0b )AIs(cAadjsb )AIs(adjcA0002（9-147）第130頁(yè)/共213頁(yè)132依次類推可得0b )AIs(adjcA0b )AIs(adjcA0b )AIs(cAadj0b )AIs(cadj)s(N01n0200這組式子又可寫(xiě)成0b )AIs(adjcAcAc01n第131頁(yè)/共213頁(yè)133因?yàn)閯?dòng)態(tài)方程可觀測(cè)，故上式中前面的可觀性矩陣是可逆矩陣，故有0b )AIs(adj00ss1b)AIs(adj1n000又由于系統(tǒng)可控，不妨假定A、b具有可控標(biāo)準(zhǔn)形(9-92)的形式，直接計(jì)算可知（9-148）第132頁(yè)/共213頁(yè)134101010146411210 xxuyx

40、 不難驗(yàn)證系統(tǒng)是可控、可觀測(cè)的。不難驗(yàn)證系統(tǒng)是可控、可觀測(cè)的。第133頁(yè)/共213頁(yè)135顯然顯然N(s)N(s)和和D(s)D(s)無(wú)非常數(shù)的公因式，這時(shí)無(wú)非常數(shù)的公因式，這時(shí)傳遞函數(shù)沒(méi)有零、極點(diǎn)相消。事實(shí)上傳遞函數(shù)沒(méi)有零、極點(diǎn)相消。事實(shí)上422342)1s()1s(1s4s6s4s1s2s)s(g1s4s6s4sAsI)s(D1s2sb)AsI(cadj)s(N2342分別計(jì)算分別計(jì)算 第134頁(yè)/共213頁(yè)136 已知?jiǎng)討B(tài)方程，可以用(9-64)式計(jì)算出傳遞函數(shù)。如果給出傳遞函數(shù)如何找出它所對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)方程？這一問(wèn)題稱為傳遞函數(shù)的實(shí)現(xiàn)問(wèn)題。 如果又要求所找出的動(dòng)態(tài)方程階數(shù)最低，就稱為傳遞函

41、數(shù)的最小實(shí)現(xiàn)問(wèn)題。第135頁(yè)/共213頁(yè)137設(shè)給定有理函數(shù)設(shè)給定有理函數(shù)011n1nn011n1n011n1nn011n1nn0asasasbsbsbdasasasdsdsdds)s(g(9-149)(9-149)式中的d 就是下列動(dòng)態(tài)方程中的直接傳遞部分ducxy,buAxx(9-150)所以只需討論(9-149)式中的嚴(yán)格真有理分式部分。第136頁(yè)/共213頁(yè)138011n1nn011n1nasasasbsbsb) s ( g(9-151)要求尋找 A,b,c，使得) s ( gb)AsI( c1(9-152)并且在所有滿足(9-152)式的A,b,c中，要求 A 的維數(shù)盡可能的小。下面

42、分兩種情況討論第137頁(yè)/共213頁(yè)139 可控標(biāo)準(zhǔn)形的最小階實(shí)現(xiàn)式(9-153) 對(duì)(9-151)式，可構(gòu)造出如下的實(shí)現(xiàn) (A ,b,c)1n101n210bbbc1000b1000001000010A(9-153)（1 1）g(s)g(s)的分子和分母的分子和分母無(wú)非常數(shù)公因式的情況無(wú)非常數(shù)公因式的情況第138頁(yè)/共213頁(yè)1401000cbbbb10001001000A1n101n210(9-154) 可觀標(biāo)準(zhǔn)形的最小階實(shí)現(xiàn) (9-153)式給出的(A, b, c)具有可控標(biāo)準(zhǔn)形，故一定是可控的?？芍苯佑?jì)算它對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)就是(9-151)的傳遞函數(shù)。由于g(s)無(wú)零、極點(diǎn)對(duì)消，故可知(

43、9-153)式對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)方程也一定可觀。同樣可以說(shuō)明(9-154)式是(9-151)的可觀標(biāo)準(zhǔn)形的最小實(shí)現(xiàn)。第139頁(yè)/共213頁(yè)141 若g(s)的分母已經(jīng)分解成一次因式的乘積，通過(guò)部分分式分解，容易得到約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的最小階實(shí)現(xiàn)?，F(xiàn)用例子說(shuō)明,設(shè)g(s)有以下的形式)s(c)s(c)s(c)s(c)s()s(bsbsbsb)s(g)s(u)s(y4413212311431012233(9-155) 約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的最小階實(shí)現(xiàn)約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的最小階實(shí)現(xiàn) 因?yàn)間(s)無(wú)零、極點(diǎn)對(duì)消，故可知上式中c1c4均不為零。第140頁(yè)/共213頁(yè)142)s(us1)s(x)s(xs1)s(u)s(1)s(x)s(xs

44、1)s(u)s(1)s(x)s(us1)s(x44213113121213uxxxxxxxxuxx44421113212313分別對(duì)應(yīng)于第141頁(yè)/共213頁(yè)143而44332211xcxcxcxcy綜合上面各式并令 x=x1 x2 x3 x4T可得xccccyu1100 x001001x43214111由若當(dāng)形方程的可控性判據(jù)和可觀測(cè)性判據(jù)可知上式是可控、可觀測(cè)的，因而它是g(s)一個(gè)最小階實(shí)現(xiàn)。第142頁(yè)/共213頁(yè)144 若g(s)的分母是n階多項(xiàng)式，但分子和分母有相消的公因式時(shí),這時(shí)n 階的動(dòng)態(tài)方程實(shí)現(xiàn)就不是最小階實(shí)現(xiàn)，而是非最小實(shí)現(xiàn)，(或是不可控的，或是不可觀的，或是既不可控也不可觀

45、的)。 g(s)的最小實(shí)現(xiàn)的維數(shù)一定小于n。（2 2）g(s)的分子和分母有相消因式的情況第143頁(yè)/共213頁(yè)145設(shè)g(s)的分子N(s)=s+1,而分母D(s)= ，分子與分母有公因子(s+1) 。1s2s2s23仿照(9-153)式，可寫(xiě)出g(s)的一個(gè)三維的可控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)x011yu100 x221100010 x無(wú)須驗(yàn)證這個(gè)實(shí)現(xiàn)是可控的第144頁(yè)/共213頁(yè)146x100yu011x210201100 x因此這一實(shí)現(xiàn)是不可觀的。同理，如果按(9-154)式構(gòu)造如下的可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形的三維實(shí)現(xiàn)，它一定是不可控的。2rankV121110011V計(jì)算可觀測(cè)性矩陣第145頁(yè)/共213頁(yè)147

46、 當(dāng)然也可以構(gòu)造出g(s)的既不可控又不可觀測(cè)的三維實(shí)現(xiàn)?，F(xiàn)在將分子和分母中的公因式消去，可得1ss11s2s2s1s)s(g223 如果用上式中最后的式子，仿照(9-153)式或(9-154)式，構(gòu)造出二維的動(dòng)態(tài)方程實(shí)現(xiàn)，它是g(s)的最小實(shí)現(xiàn)。第146頁(yè)/共213頁(yè)148本節(jié)首先研究用狀態(tài)變量作反饋的控制方式。系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程如下cxy,buAxx(9-157)令kxvu(9-158)一、一、狀態(tài)反饋和極點(diǎn)配置問(wèn)題式中的v 是參考輸入，k稱為狀態(tài)反饋增益矩陣，這里它是1n 的向量。返回子目錄返回子目錄第147頁(yè)/共213頁(yè)149圖9-15cxy,bvx)bkA(x(9-159)圖9-15所示

47、的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為式中A-bk為閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣。第148頁(yè)/共213頁(yè)150計(jì)算(9-159)式閉環(huán)系統(tǒng)的可控性矩陣，因?yàn)?bA,bA,Ab,b(bAb)bkA()bA,Ab,b(bA)Ab,b(bA)(bkA(b)bkA()Ab,b(bA)bdAb)(bkA(b)bkA(bdAbbkbAbb )bkA(2n21n1n232322的線性組合的線性組合的線性組合的線性組合1 1 狀態(tài)反饋不影響可控性第149頁(yè)/共213AAbbb)bkA(b)bkA(b1n1n上式中最后一個(gè)矩陣顯然是非奇異矩陣，因此有bAAbbrankb)bkA(b )bkA(brank1

48、n1n(9-160)因此有第150頁(yè)/共213頁(yè)152式(9-160)表明，若原來(lái)系統(tǒng)可控，加上任意的狀態(tài)反饋后，所得到的閉環(huán)系統(tǒng)也可控。若原來(lái)系統(tǒng)不可控，不論用什么k 陣作狀態(tài)反饋，所得到的閉環(huán)系統(tǒng)仍然不可控。這一性質(zhì)稱為 狀態(tài)反饋可能改變系統(tǒng)的可觀測(cè)性狀態(tài)反饋可能改變系統(tǒng)的可觀測(cè)性。即原來(lái)可觀的系統(tǒng)在某些狀態(tài)反饋下，閉環(huán)可以是不可觀的。同樣，原來(lái)不可觀的系統(tǒng)在某些狀態(tài)反饋下，閉環(huán)可以是可觀的。狀態(tài)反饋是否改變系統(tǒng)的可觀測(cè)性，要進(jìn)行具體分析。第151頁(yè)/共213頁(yè)153xccy,u10 x1011x21下表列出了系統(tǒng) c 陣參數(shù)、狀態(tài)增益向量 k 和系統(tǒng)可觀測(cè)性的關(guān)系。第152頁(yè)/共213頁(yè)

49、154 可觀 任意 可觀01 可觀 1 111 不可觀 1 2 可觀11 不可觀 0 110 可觀 1 1 不可觀10閉環(huán)系統(tǒng) k 原系統(tǒng) c2 c1 可觀性的變化可以從閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)變化、是否發(fā)生零極點(diǎn)對(duì)消來(lái)說(shuō)明。第153頁(yè)/共213頁(yè)155 閉環(huán)方程(9-159)中的系統(tǒng)矩陣A-bk的特征值，一般稱為閉環(huán)的極點(diǎn)。閉環(huán)系統(tǒng)的品質(zhì)主要由閉環(huán)的極點(diǎn)所決定，而穩(wěn)定性則完全由閉環(huán)極點(diǎn)所決定。 通過(guò)選取反饋增益陣來(lái)改變閉環(huán)特征值在復(fù)平面上的位置，稱為狀態(tài)反饋進(jìn)行極點(diǎn)配置問(wèn)題狀態(tài)反饋進(jìn)行極點(diǎn)配置問(wèn)題。第154頁(yè)/共213頁(yè)156定理：定理： 閉環(huán)方程(9-159) 的系統(tǒng)矩陣A-bk 的特征值可以由

50、狀態(tài)反饋增益陣 k 配置到復(fù)平面的任意位置，其充分必要條件是(9-157)式的系統(tǒng)可控。先證充分性 因?yàn)?9-157)式的系統(tǒng)可控,則存在可逆矩陣P，將(9-157)式的系統(tǒng)通過(guò) 的變換化為可控標(biāo)準(zhǔn)形。Pxx 第155頁(yè)/共213頁(yè)1571n101n10cccc100baaa1010AxcyubxAx式中(9-161)現(xiàn)引入1n10kkkk（9-162）第156頁(yè)/共213頁(yè)158xkvxkPvkxvu11kkPkkP)ka ()ka ()ka (1110kbA1n1n1100（9-163）第157頁(yè)/共213頁(yè)159)kbA(sIdet)ka (s )ka (s )ka (s00111n1n

51、1nn)PbkPPAP(sIdet)kbA(sIdet11)bkA(sIdetP)kbA(sIPdet1故 的特征式即是 的特征式，所以 和 有相同的特征值。bkA kbA bkA kbA 第158頁(yè)/共213頁(yè)160設(shè)任意給定的閉環(huán)極點(diǎn)為 , 且n21,011n1nnn21sss)s()s)(s(9-166)式中 完全由 所決定。比較 (9-165a)式和(9-166)式可知，若要(9-166)的根為 ，需有)1n,2 ,1i(iiiiiiiiiak)1n , 1 , 0i (ka(9-167)這說(shuō)明任意給定閉環(huán)n個(gè)極點(diǎn)，均可通過(guò)(9-167) 、(9-163)式確定，使A-bk具有給定的n

52、個(gè)特征值，充分性證畢。kkP而第159頁(yè)/共213頁(yè)161 若系統(tǒng)(9-157)可任意配置閉環(huán)特征值，要證明系統(tǒng)(9-157)可控。用反證法，若系統(tǒng)(9-157)不可控，則存在一個(gè)可逆矩陣，通過(guò)等價(jià)變換后，可將(9-157)式轉(zhuǎn)換為(9-104，105)的可控分解形式。4212111211421A0kbAkbAkk0bA0AAkbAkA4的特征值不受 的影響，即A-bk中的一部分特征值不受k 的影響，這與可任意配置A-bk的特征值相矛盾。矛盾表明系統(tǒng)(9-157)可控。121114221122(9 104)00(9 105)AAxbxuAxxxyccdux 第160頁(yè)/共213頁(yè)162 計(jì)算A

53、的特征式011n1nnasasas)AsIdet( 由所給的n 個(gè)期望特征值 ， 計(jì)算期望的多項(xiàng)式n21,011n1nnn21sss)s()s)(s(第161頁(yè)/共213頁(yè)163 根據(jù)(9-94) 式，計(jì)算化可控標(biāo)準(zhǔn)形的坐標(biāo)變換陣PPkk 求出反饋增益陣 上述步驟中有化可控標(biāo)準(zhǔn)形這一步。如果不經(jīng)過(guò)這步，也可直接求k。)aaa(k1n1n1100 求k21nhhAPhAhA第162頁(yè)/共213頁(yè)164u1010 x01100100001000010 x系統(tǒng)狀態(tài)方程為若加狀態(tài)反饋使閉環(huán)特征值分布為-1,-2,-1+j,-1-j，試求狀態(tài)反饋增益陣k。例9-21第163頁(yè)/共213頁(yè)165方法一、通

54、過(guò)化可控標(biāo)準(zhǔn)形求解242211)11()det(ssssAsI 計(jì)算A的特征式 由所給的4 個(gè)期望特征值，計(jì)算期望的多項(xiàng)式4s10s10s5s)2s2s)(2s)(1s(2342解：第164頁(yè)/共213頁(yè)166 求出反饋增益陣100001001 . 01 . 0001 . 001 . 0PPkk=-0.4 -1 -21.4 -6 根據(jù)(9-94) 式，計(jì)算化可控標(biāo)準(zhǔn)形的坐標(biāo)變換陣P 求52110405111001004k第165頁(yè)/共213頁(yè)167令 ，計(jì)算A-bk的特征式4321kkkkk 432241321()(11)1010sIA bkskk skksk sk比較兩個(gè)特征式的系數(shù)可得4k

55、10,10k10,1011kk, 5kk123142所以可得 k=-0.4 -1 -21.4 -6 第166頁(yè)/共213頁(yè)168)2s)(1s( s10)s(u)s(y有一系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為有一系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為要求用狀態(tài)反饋的方法，使得閉環(huán)系要求用狀態(tài)反饋的方法，使得閉環(huán)系統(tǒng)的特征值為統(tǒng)的特征值為-2,-1+j,-1-j-2,-1+j,-1-j。第167頁(yè)/共213頁(yè)169 首先要將系統(tǒng)用狀態(tài)方程寫(xiě)出，即構(gòu)造出傳遞函數(shù)的實(shí)現(xiàn)，為了計(jì)算方便，取可控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)x0010yu100 x3201010 x反饋增益向量k可寫(xiě)成210kkkk 閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為0ks )k2(s )k3(s01223第1

56、68頁(yè)/共213頁(yè)170按給定極點(diǎn)，期望多項(xiàng)式為4s6s4s)j1s)(j1s)(2s(23 比較上兩特征多項(xiàng)式，令s同次的系數(shù)相等，可得1k4k4k210或 k=4 4 1 第169頁(yè)/共213頁(yè)171第170頁(yè)/共213頁(yè)172二、狀態(tài)觀測(cè)器 為了實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋，須對(duì)狀態(tài)變量進(jìn)行測(cè)量，但在實(shí)際系統(tǒng)中，并不是所有的狀態(tài)變量都能測(cè)量到的。因此為了實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋控制律，就要設(shè)法利用巳知的信息（輸入量及輸出量），通過(guò)一個(gè)模型來(lái)對(duì)狀態(tài)變量進(jìn)行估計(jì)。狀態(tài)觀測(cè)器又稱狀態(tài)漸近估計(jì)器。第171頁(yè)/共213頁(yè)173 一個(gè)明顯的方法是利用計(jì)算機(jī)構(gòu)成一個(gè)與實(shí)際系統(tǒng)具有同樣動(dòng)態(tài)方程的模型系統(tǒng)，用模型系統(tǒng)的狀態(tài)變量作為系

57、統(tǒng)狀態(tài)變量的估計(jì)值，見(jiàn)圖。第172頁(yè)/共213頁(yè)174 由于圖9-17中未能利用系統(tǒng)的輸出信息對(duì)誤差進(jìn)行校正，所以用圖9-17得到的估計(jì)值是一個(gè)開(kāi)環(huán)估值。 一般系統(tǒng)的輸入量u和輸出量y均為已知，因此希望利用y=cx與 的偏差信號(hào)來(lái)修正 的值，這樣就形成了圖9-18的閉環(huán)估計(jì)方案。 x cy x 第173頁(yè)/共213頁(yè)175第174頁(yè)/共213頁(yè)176 根據(jù)圖9-18所表示的關(guān)系可寫(xiě)出觀測(cè)器部分的狀態(tài)方程Hybux )HcA()x cy(Hbux Ax (9-169)由(9-169)式和系統(tǒng)方程式可求出觀測(cè)誤差 應(yīng)滿足的方程式x xxx)HcA()x x)(HcA()xx (Hc)x x(AHc

58、xbux )HcA(buAxx xx(9-170)第175頁(yè)/共213頁(yè)177(9-170) 式表明，只要A-Hc的特征值均在復(fù)平面的左半部， 隨著 t 的增長(zhǎng)而趨向于零，而且趨于零的速度由A-Hc 的特征值所決定。于是有下面極點(diǎn)可任意設(shè)置的狀態(tài)觀測(cè)器定理x定理定理：若系統(tǒng)(A,b,c)可觀測(cè), 則(9-169)式給出了系統(tǒng)的一個(gè)n 維狀態(tài)觀測(cè)器，并且觀測(cè)器的極點(diǎn)可以任意配置。第176頁(yè)/共213頁(yè)178x02yu10 x3210 x第177頁(yè)/共213頁(yè)1790h20h202hhHc,hhH212121觀測(cè)器的特征方程為觀測(cè)器的特征方程為0)2h2h6(s )3h2(s3sh221h2s)H

59、cA(sI211221第178頁(yè)/共213頁(yè)180根據(jù)給定的特征值，可求出期望的多項(xiàng)式為100s20s)10s(22比較上述兩多項(xiàng)式中s的同次項(xiàng)系數(shù)得5 .23h,5 .8h21因此觀測(cè)器的方程為y5 .235 .8u10 x 349117x 第179頁(yè)/共213頁(yè)181若原系統(tǒng)(對(duì)象)方程為cxy,buAxx(9-171)現(xiàn)以狀態(tài)觀測(cè)器所得到的狀態(tài)估計(jì)值 代替原系統(tǒng)的狀態(tài)變量 x 形成狀態(tài)反饋，即x x kvu(9-172)而觀測(cè)器的方程為Hybux )HcA(x (9-173)第180頁(yè)/共213頁(yè)182 由對(duì)象、觀測(cè)器和狀態(tài)反饋組合而成的閉環(huán)系統(tǒng)的方框圖如圖9-19所示。圖9-19 帶觀

60、測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)第181頁(yè)/共213頁(yè)183將(9-172)式代入(9-171)式和(9-173)式，可分別得到buHcxx )bkHcA(x cxy,bvx bkAxx(9-174)(9-175)TTTx x取狀態(tài)變量為x x0cyvbbx xbkHcAHcbkAx x(9-176)(9-177)第182頁(yè)/共213頁(yè)184將(9-176) 、(9-177)式的動(dòng)態(tài)方程進(jìn)行如下的坐標(biāo)變換x xII0Ixx(9-178)II0IPII0IP1所得到的動(dòng)態(tài)方程為：xx0cyv0bxxHcA0bkbkAxx(9-179)(9-180)第183頁(yè)/共213頁(yè)185b)bkA(sIc)s(g1f閉環(huán)