2016年競(jìng)賽與自主招生專題第十五講解析幾何一

1、2016 年競(jìng)賽與自主招生專題第十五講 解析幾何一 從2015年開始自主招生考試時(shí)間推后到高考后，政策剛出時(shí)，很多人認(rèn)為，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意義。自主招生考察了這么多年，使用的題目的難度其實(shí)已經(jīng)很穩(wěn)定，這個(gè)題目只有出到高考以上，競(jìng)賽以下，才能在這么多省份間拉開差距. 所以，筆試難度基本穩(wěn)定，維持原自主招生難度，原來(lái)自主招生的真題競(jìng)賽真題等，具有參考價(jià)值。 在近年自主招生試題中，解析幾何是高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的一個(gè)重要組成部分，也是高考與自主招生常見新穎題的板塊，各種解題方法在解析幾何這里得到了充分的展示，尤其是平面向量與解析幾何的融合，提高了綜合性，

2、形成了題目多變、解法靈活的特色。一、知識(shí)精講1. 點(diǎn)到直線的距離 ：(點(diǎn),直線：).2.圓的四種方程（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 .（2）圓的一般方程 (0).（3）圓的參數(shù)方程 .（4）圓的直徑式方程 (圓的直徑的端點(diǎn)是、).3.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種若，則點(diǎn)在圓外;點(diǎn)在圓上;點(diǎn)在圓內(nèi).4.直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系有三種:;. 其中.5.橢圓的參數(shù)方程是.6.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系(1）若雙曲線方程為漸近線方程：.(2)若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為.(3)若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上， 焦點(diǎn)在軸上）.7.直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式或（1. 三角形四心

3、的坐標(biāo) 設(shè)三邊的長(zhǎng)度分別為a,b,c，三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別記為、，則重心G、內(nèi)心I、垂心H、外心O坐標(biāo)分別為、。2. 直線系 若直線與直線相交于P，則它們的線性組合（，且不全為0）（*）表示過(guò)P點(diǎn)的直線系。當(dāng)參數(shù)為一組確定的值時(shí)，（*）表示一條過(guò)P點(diǎn)的直線。特別的，當(dāng)時(shí)，（*）式即；當(dāng)時(shí)，（*）式即為。對(duì)于以外的直線，我們往往只在（*）式中保留一個(gè)參數(shù)，而使另一個(gè)為1.又若與平行，這時(shí)（*）式表示所有與平行的直線。3.圓冪定理：過(guò)一定點(diǎn)作兩條直線與圓相交，則定點(diǎn)到每條直線與圓的交點(diǎn)的兩條線段的積相等，即它們的積為定值.備注：切線可以看作割線的特殊情形，切點(diǎn)看作是兩個(gè)重合的交點(diǎn).若定點(diǎn)到

4、圓心的距離為，圓半徑為，則這個(gè)定值為.當(dāng)定點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，等于過(guò)定點(diǎn)的最小弦的一半的平方；當(dāng)定點(diǎn)在圓上時(shí)，；當(dāng)定點(diǎn)在圓外時(shí)，等于從定點(diǎn)向圓所引切線長(zhǎng)的平方.特別地，我們把稱為定點(diǎn)對(duì)于圓的冪.4.兩圓的“根軸”：到兩圓等冪的點(diǎn)的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一條直線；如果此二圓相交，那么該軌跡是此二圓的公共弦所在直線這條直線稱為兩圓的“根軸”對(duì)于根軸我們有如下結(jié)論：三個(gè)圓兩兩的根軸如果不互相平行，那么它們交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)稱為三圓的“根心”三個(gè)圓的根心對(duì)于三個(gè)圓等冪當(dāng)三個(gè)圓兩兩相交時(shí)，三條公共弦(就是兩兩的根軸)所在直線交于一點(diǎn)5.各曲線的定義：（1）橢圓：；（2）雙曲線：；（3）拋物線：6.圓錐曲線的

5、統(tǒng)一定義：平面上，到一個(gè)定點(diǎn)的距離與到一條定直線的距離之比為一個(gè)常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）當(dāng)時(shí)，曲線是橢圓；當(dāng)時(shí)，曲線是雙曲線；當(dāng)時(shí)，曲線是拋物線這個(gè)定點(diǎn)叫做曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做曲線的準(zhǔn)線，定點(diǎn)到定直線的距離叫做焦參數(shù)7.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）橢圓：，；（2）雙曲線：，（）；（3）拋物線：，（）備注：比值叫圓錐曲線的離心率，其中。3、 典例精講例1（2011復(fù)旦）橢圓上的點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最大值是（ ）。（A）11 （B） （C） （D）分析與解答：由平面幾何知識(shí)，橢圓上的點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離最大值=橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到圓心的最大距離+圓的半徑。設(shè)圓圓心為，是橢圓上的點(diǎn)

6、，則（當(dāng)時(shí)取等號(hào)）。故所求距離最大值為11.注：或者考慮與的相交情況，用判別式法解決。例2（2012“卓越聯(lián)盟”）拋物線，為拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上兩點(diǎn)，線段的中垂線交軸于，。（1） 證明：是的等差中項(xiàng)；（2） 若，為平行于軸的直線，其被以AD為直徑的圓所截得的弦長(zhǎng)為定值，求直線的方程。分析與解答：（1）設(shè)，由拋物線定義知。又中垂線交軸于，故，因?yàn)?，所以，故，是的等差中?xiàng)。（2） 因?yàn)?，所以。設(shè)，。圓心。設(shè)直線的方程為。由于弦長(zhǎng)為定值，故為定值，這里R為圓的半徑，d為圓心到的距離。 。令，即時(shí)，為定值，故這樣的直線的方程為。例3（2006復(fù)旦）已知拋物線，直線都過(guò)點(diǎn)且互相垂直。若拋物線與直線中

7、至少有一條相交，求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析與解答：先看的情形，如圖13-8，顯然，無(wú)論在拋物線形內(nèi)，還是在形外。與始終至少有一條相交，故符合題意。若，過(guò)作拋物線的切線，設(shè)這兩條切線的張角為。若，則我們總可以找出兩條互相垂直的直線，使這兩條直線與不相交，（如圖13-9）；若，則過(guò)的兩條直線中，必有一條與相交（如圖13-10）。 圖13-8 圖13-9 圖13-10于是，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如下一個(gè)問(wèn)題：過(guò)作拋物線的切線，這兩條切線對(duì)拋物線的張角。設(shè)過(guò)的切線方程為，由，知。令。設(shè)方程兩根為，則。由韋達(dá)定理，故。綜上，的取值范圍是。例4設(shè)，常數(shù)，定義運(yùn)算“”：，定義運(yùn)算“”： ；對(duì)于兩點(diǎn)、，定義.(1)若，求動(dòng)

8、點(diǎn)的軌跡；(2)已知直線與(1)中軌跡交于、兩點(diǎn)，若，試求的值；(3)在(2)中條件下，若直線不過(guò)原點(diǎn)且與軸交于點(diǎn)S，與軸交于點(diǎn)T，并且與(1)中軌跡交于不同兩點(diǎn)P、Q , 試求的取值范圍。分析與解答：(1)設(shè) 則 又由0可得 P(,)的軌跡方程為，軌跡C為頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為的拋物線在軸上及第一象限的內(nèi)的部分 (2) 由已知可得 , 整理得,由 ,得， OxyPSTQQ1P1 , 解得或(舍) ； (3)設(shè)直線,依題意,，則,分別過(guò)P、Q作PP1y軸，QQ1y軸，垂足分別為P1、Q1，則由消去y得 、取不相等的正數(shù)，取等的條件不成立 的取值范圍是（2，+） 例5（2011“華約”）拋物線的焦點(diǎn)

9、為，弦過(guò)，原點(diǎn)為，拋物線準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，求。分析與解答：解法一：設(shè)，分別過(guò)A、B作x軸的垂線，垂足分別為，依拋物線定義知，所以，所以。同理，所以。解法二：AB：代入拋物線中，所以。所以又，所以。例6（2012“北約”）已知點(diǎn)，若點(diǎn)C是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求面積的最小值。分析與解答：圓的方程。設(shè)到AB：的距離為d，則。因?yàn)椤Ｋ?，所以。?dāng)C點(diǎn)的坐標(biāo)取時(shí)，的面積有最小值。例7.（2010五校聯(lián)考）如圖，在上，關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱。過(guò)點(diǎn)作切線，切線，點(diǎn)到距離分別為，。（1） 試問(wèn)：是銳角、鈍角還是直角三角形？（2） 若的面積是240，求的坐標(biāo)和的方程。分析與解答：（1）對(duì)求導(dǎo)，。設(shè)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知BC的

10、斜率。由題意知，設(shè)，則。從而。 ， ， ，再結(jié)合知，故是直角三角形。（2） 由（1），不妨設(shè)C在AD上方，AB的方程為。由得到另一個(gè)交點(diǎn)。AC方程為，由得到另一個(gè)交點(diǎn)。 ， ，所以，解得，故或。 時(shí)，BC的方程為。 時(shí)，BC的方程為。注：此題的關(guān)鍵是證明。4、 真題訓(xùn)練1.（2001復(fù)旦）拋物線的準(zhǔn)線方程為（ ）（A） （B） （C） （D）2.對(duì)于直角坐標(biāo)平面內(nèi)任意兩點(diǎn)、，定義它們之間的一種“新距離”：.給出下列三個(gè)命題：若點(diǎn)在線段上. 則 ；在中，若,則；在中，。其中的真命題為 ( ) A. B. C. D. 3.（2012復(fù)旦）極坐標(biāo)方程為常數(shù)）所表示的曲線是（ ）。（A） 圓或直線 （

11、B）拋物線或雙曲線 （C）雙曲線或橢圓 （D）拋物線或橢圓4.（2010復(fù)旦）參數(shù)方程所表示的函數(shù)是（ ）。（A） 圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 （B）圖像關(guān)于直線對(duì)稱（C）周期為的周期函數(shù) （D）周期為的周期函數(shù)5. 在平面直角坐標(biāo)系中，定義點(diǎn)之間的“直角距離”為。若到點(diǎn)的“直角距離”相等，其中實(shí)數(shù)滿足，則所有滿足條件的點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度之和為。6. 在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)。定義、兩點(diǎn)之間的“直角距離”為。已知，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)， 則的最小值為 。7.（2012“卓越聯(lián)盟”）如圖，是圓的直徑，于，且，是圓的切線，交于。（1） 求；（2） 連結(jié)，判斷與的關(guān)系。并加以證明。8.（2011“北約”）求過(guò)兩

12、拋物線交點(diǎn)的直線方程。9.（2010同濟(jì)）如圖，已知?jiǎng)又本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，交拋物線于兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)是的中點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為。（1） 證明：；（2） 當(dāng)時(shí)，是否存在垂直于x軸的直線，被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值？若存在，請(qǐng)求出直線的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。10.（2009上海交大）是圓與上的點(diǎn)，求的最小值。5、 真題訓(xùn)練答案1.【答案】B【分析與解答】：令則原拋物線方程為，其準(zhǔn)線方程為，故原拋物線的準(zhǔn)線方程為。2.【答案】C3.【答案】D【分析與解答】：由知識(shí)拓展圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標(biāo)方程知：，。故為橢圓或拋物線（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取拋物線）。4.【答案】C【分析與解答】：， ，即，故是以為周期的周期函

13、數(shù)。5.【答案】：6.【答案】：47.【分析與解答】：（1）連結(jié)AF、OF，則A、F、G、H四點(diǎn)共圓。且由EF是切線知，。所以，且（弦切角等于弦所對(duì)的圓周角）所以。所以。（2） FD與AB不平行（即相交），用反證法。如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為y軸建立一個(gè)平面直角坐標(biāo)系。若，則D點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于F點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即4.從而。又，所以EF的斜率為。而。這與是圓的切線矛盾！8.【分析與解答】：設(shè)交點(diǎn)為，則 ×5+×2有，同理：。所以都在直線上，而過(guò)兩點(diǎn)的直線方程是唯一的。所以所求直線方程為。9.【分析與解答】：（1）解法一：設(shè)。直線AQ交拋物線于，則直線AQ：，直線AB：，先將代入中。所