月上柳梢頭,人約黃昏后

1、月上柳梢頭問題摘要本文圍繞北宋詞人歐陽修生查子·元夕中“月上柳梢頭，人約黃昏后”月亮在空中的角度及黃昏后時(shí)間的定義展開論述，結(jié)合詞人創(chuàng)作該詞的寫作時(shí)間、地點(diǎn)及背景進(jìn)行分析，在較合理的假設(shè)下，參照天文歷的資料，建立模型并進(jìn)行求解及驗(yàn)證，得到了較理想的結(jié)果。針對(duì)問題一：為定義出“月上柳梢頭”時(shí)月亮在空中的角度和“黃昏后”的時(shí)間，本問分三步對(duì)該問題進(jìn)行模型的建立。第一，通過搜集資料，確定“月上柳梢頭，人約黃昏后”的時(shí)間為公元1035年2月25日，地點(diǎn)為開封；第二，根據(jù)天文學(xué)的基本知識(shí)，繪制出“月上柳梢頭，人約黃昏后”的示意圖，運(yùn)用相似三角形的公式，定義出“月上柳梢頭”時(shí)月亮在空中的角度為；

2、第三，搜集資料查找出古代對(duì)黃昏的記載及定義，求算出月亮轉(zhuǎn)到指定位置的時(shí)間為50分鐘，結(jié)合天文歷，得出詞中“月上柳梢頭，人約黃昏后”的日落時(shí)間為18:20:29，定義出“人約黃昏后”的時(shí)間為；根據(jù)天文資料，將同一時(shí)刻開封與北京的月出月沒時(shí)間進(jìn)行比較，得到同一時(shí)刻開封與北京月出月落時(shí)間相差15分鐘，驗(yàn)證了所建模型的合理性。針對(duì)問題二：在問題一的基礎(chǔ)上，根據(jù)問題一建立的模型，結(jié)合相關(guān)天文資料，可知2016年北京地區(qū)發(fā)生“月上柳梢頭，人約黃昏后”的時(shí)期為元宵節(jié)，通過查找北京的經(jīng)緯度，參照天文歷的信息，查找出當(dāng)?shù)厝粘鋈章鋾r(shí)間、月出月落時(shí)間，將上述天文參數(shù)代入問題一所建立的模型中，確定出2016年北京地區(qū)

3、“月上柳梢頭”的日期與時(shí)間為2016年2月22日20:53:10，“人約黃昏后”的日期與時(shí)間為2016年2月22日22:04:06；用模型判斷出哈爾濱、上海、廣州、昆明、成都、烏魯木齊能發(fā)生“月上柳梢頭，人約黃昏后”的情景；通過查閱上述六個(gè)城市的經(jīng)緯度，結(jié)合天文歷的資料，查找出六個(gè)城市的日出日落時(shí)間、月出月落時(shí)間，運(yùn)用模型求解出2016年上述六個(gè)城市發(fā)生“月上柳梢頭，人約黃昏后”的日期都是2月22日；六個(gè)城市發(fā)生“月上柳梢頭”的時(shí)間分別為：20:09:33、21:08:24、21:29:02、21:56:43、21:48:54、22:35:12；六個(gè)城市發(fā)生“人約黃昏后”的時(shí)間分別為：21:2

4、2:42、22:18:47、22:39:01、23:05:12、22:57:38、22:50:27。關(guān)鍵詞：月上柳梢頭；天文歷；相似三角形；經(jīng)緯度一、問題重述1.1背景分析“月上柳梢頭，人約黃昏后”一句出自北宋著名詞人歐陽修的生查子.元夕，詞人通過將月亮、柳梢、佳人、黃昏結(jié)合起來，描繪了一幅與佳人相約在月上柳梢、黃昏后的唯美畫卷，詞句言盡而意無窮，給人以無限的想象空間，成為了流傳至今的千古絕唱。詞句中所描繪情景是元宵節(jié)的盛況，在天文學(xué)中，確定“月上柳梢頭”和“人約黃昏后”發(fā)生的日期與時(shí)間具有特殊意義，成為探討求證的熱點(diǎn)。1.2問題的提出“月上柳梢頭，人約黃昏后”是北宋學(xué)者歐陽修的名句，寫的是與

5、佳人相約的情景。請(qǐng)用天文學(xué)的觀點(diǎn)賞析該名句，解決以下兩個(gè)問題： 問題一：（1）定義“月上柳梢頭”時(shí)月亮在空中的角度和什么時(shí)間稱為“黃昏后”。（2）根據(jù)天文學(xué)的基本知識(shí)，在適當(dāng)簡化的基礎(chǔ)上，建立數(shù)學(xué)模型，分別確定“月上柳梢頭”和“人約黃昏后”發(fā)生的日期與時(shí)間。（3）根據(jù)已有的天文資料（如太陽和月亮在天空中的位置、日出日沒時(shí)刻、月出月沒時(shí)刻）驗(yàn)證所建模型的合理性。問題二：根據(jù)所建立的模型，分析2016年北京地區(qū)“月上柳梢頭，人約黃昏后”發(fā)生的日期與時(shí)間。根據(jù)模型判斷2016年在哈爾濱、上海、廣州、昆明、成都、烏魯木齊是否能發(fā)生這一情景？如果能，請(qǐng)給出相應(yīng)的日期與時(shí)間；如果不能，請(qǐng)給出原因。二、問題

6、分析本文提供了北宋學(xué)者歐陽修的一句詞句：“月上柳梢頭，人約黃昏后”，該問題的關(guān)鍵是分析詞句中的含義，了解詞句的寫作背景及查找出隱藏的信息，得到“月上柳梢頭”時(shí)月亮在空中的角度和時(shí)間以及分別確定“月上柳梢頭”和“人約黃昏后”發(fā)生的日期與時(shí)間的關(guān)系式，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型及求解。問題一的分析：對(duì)于問題一，我們分三步對(duì)該問題進(jìn)行模型建立。首先，要達(dá)到定義“月上柳梢頭”時(shí)月亮在空中的角度和時(shí)間稱為“黃昏后”的目的，要了解歐陽修寫此詩的地點(diǎn)、時(shí)間及寫作背景，查找相應(yīng)的天文學(xué)信息；第二，在定義月亮在空中角度的過程中，運(yùn)用相似三角行的思想，建立模型，求解月亮在空中的角度，搜集資料查找古代對(duì)黃昏的記載及定義，求

7、算月亮轉(zhuǎn)到指定位置的時(shí)間，結(jié)合天文歷中的日落時(shí)間，定義黃昏后的時(shí)間；第三，根據(jù)現(xiàn)有的天文資料（日出日落時(shí)間和月出月出月落時(shí)間等）對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)，由此來驗(yàn)證模型的合理性。問題二的分析：在問題一的基礎(chǔ)上，根據(jù)問題一建立的模型，分析歐陽修寫詞的背景，假定2016年北京地區(qū)發(fā)生“月上柳梢頭，人約黃昏后”的時(shí)期為元宵節(jié)，查找北京地區(qū)經(jīng)度緯度，參照壽星天文歷的信息，查找有關(guān)日落時(shí)間、月出時(shí)間和月落時(shí)間的信息，確定2016年北京地區(qū)“月上柳梢頭，人約黃昏后”發(fā)生的日期與時(shí)間；同理，用模型求解出2016年哈爾濱、上海、廣州、昆明、成都、烏魯木齊“月上柳梢頭，人約黃昏后”發(fā)生的日期與時(shí)間。三、模型假設(shè)1.假設(shè)詞

8、人看滿月時(shí)柳樹的高度和身高以及詞人和柳樹的距離都是一個(gè)定量；2.假設(shè)月球和地球之間的運(yùn)行軌跡不受其它星球的運(yùn)動(dòng)影響，排除日全食之類的天文現(xiàn)象出現(xiàn)；3.不考慮中國各地時(shí)差的影響，且不會(huì)對(duì)本文造成干擾。四、符號(hào)說明符號(hào)符號(hào)說明符號(hào)符號(hào)說明人的身高黃昏后的時(shí)間樹的高度日落時(shí)間人的影子長度月出時(shí)間人與樹的距離月落時(shí)間地球的自轉(zhuǎn)周期月落與月出時(shí)間和月亮每小時(shí)轉(zhuǎn)的度數(shù)月亮轉(zhuǎn)動(dòng)到空中角度的用時(shí)月亮每分鐘轉(zhuǎn)的度數(shù)“月上柳梢頭”的時(shí)間月亮轉(zhuǎn)動(dòng)單位小時(shí)內(nèi)的度數(shù)“人約黃昏后”的時(shí)間月亮轉(zhuǎn)動(dòng)單位分鐘內(nèi)的度數(shù)月亮轉(zhuǎn)到指定位置的時(shí)間月亮與水平線的夾角兩地的經(jīng)度差五、模型的建立與求解5.1問題一的模型建立與求解5.1.1時(shí)

9、間地點(diǎn)的確定根據(jù)問題一的分析，我們分三步對(duì)問題一進(jìn)行模型建立，首先先定義“月上柳梢頭”時(shí)月亮在空中的角度和什么時(shí)間稱為“黃昏后”。 根據(jù)本文的問題，結(jié)合資料可知 “月上柳梢頭，人約黃昏后”出自生查子·元夕，這首詩是由北宋學(xué)者歐陽修于公元1036年創(chuàng)作，主要寫的是去年元宵夜之時(shí)，花市上燈光明亮如同白晝，與佳人相約在月上柳梢頭之時(shí)、黃昏之后。在對(duì)詩句的理解中可得知，“月上柳梢頭，人約黃昏后”說到“元夜”那就是十五月圓，滿月之時(shí)，由此我們知道的時(shí)間就是公元1035年的農(nóng)歷正月十五日元宵節(jié)，陰歷在天文學(xué)中主要指按月亮的月相周期來安排的歷法,月亮的月相周期時(shí)間圖見圖一。圖1 月亮的月相周期時(shí)間

10、圖月球繞行地球一周，以太陽為參照物，實(shí)際月球運(yùn)行超過一周為一個(gè)月，即把朔望月作為確定歷月的基礎(chǔ)的一種歷法。農(nóng)業(yè)氣象學(xué)中，陰歷俗稱農(nóng)歷、殷歷、古歷、舊歷，就是指中國傳統(tǒng)上使用的夏歷，而農(nóng)歷正月十五為2月25日所以可以確定“月上柳梢頭，人約黃昏后”的時(shí)間就是公元1035年2月25日。綜上所述，當(dāng)時(shí)詞人所作“月上柳梢頭，人約黃昏后”的地點(diǎn)就是北宋帝都(今河南省開封市)，所在地理經(jīng)緯度為(,)。5.1.2定義月亮在空中角度根據(jù)天文學(xué)的基本知識(shí)，月亮在天球上運(yùn)行到太陽的正對(duì)面，日、月相距180°，即地球位于太陽和月亮之間，從地球上看去，月亮的整個(gè)光亮面對(duì)著地球，這時(shí)的月相叫“望月”或“滿月”。

11、根據(jù)題意可知，已知題中月相為望月，則我們假設(shè)月亮與水平線的夾角為,人的高度為,樹的高度,人影為,柳樹與人的距離為，則“月上柳梢頭，人約黃昏后”的情況如圖2所示：圖2“月上柳梢頭，人約黃昏后”示意圖由圖2知道，出現(xiàn)“月上柳梢頭”時(shí)月亮與水平線的夾角和以人眼為水平線向上仰視月亮的夾角是相同的角度，由人的高度與柳樹的高度，從圖中清晰的看出是相似三角形，再根據(jù)相似三角形的相關(guān)公式：，從而形成下列相似三角形的等式： 在北宋時(shí)期古代人的身高以1尺為31.2（cm）計(jì)算，當(dāng)時(shí)詞人歐陽修在公元1035年時(shí)為28歲，此時(shí)的身高為6尺，以現(xiàn)在的身高單位換算，則可以得到歐陽修的具體身高為：在月亮不斷的自轉(zhuǎn)中，望月時(shí)

12、期人影在慢慢的拉長，為了便于計(jì)算，我們定人影的長度為，則可以得到：在北宋時(shí)期了解到了柳樹的平均高度為：,為了更具有科學(xué)合理性，選取柳樹平均高度的中間值：現(xiàn)在已知，將他們代入下列式子中，則：故此，定義“月上柳梢頭”時(shí)月亮在空中的角度為。5.1.3定義“黃昏后”的時(shí)間在天文學(xué)中，對(duì)古代黃昏時(shí)間是這樣記載的: 黃昏，又名日夕、日暮、日晚等：此時(shí)太陽已經(jīng)落山，天將黑未黑。天地昏黃，萬物朦朧，故稱黃昏。（北京時(shí)間19時(shí)至21時(shí)）。黃昏后的定義就是天黑后，天文學(xué)上關(guān)于天黑有明確定義，即太陽低于地平線下12.5度為天黑，因此天黑后的時(shí)間就是黃昏后的起始時(shí)間。根據(jù)所掌握的天文和地理知識(shí)，可以得到地球自轉(zhuǎn)的周期

13、為一晝夜，則可以得到:設(shè)黃昏后的時(shí)間，當(dāng)?shù)氐娜章鋾r(shí)間，當(dāng)?shù)氐脑鲁鰰r(shí)間，當(dāng)?shù)氐脑侣鋾r(shí)間分別為、黃昏后的時(shí)間：根據(jù)天文歷可以得到詞中“月上柳梢頭，人約黃昏后”當(dāng)天的日落時(shí)間，具體時(shí)間見表1：表1 開封日出日落時(shí)間地點(diǎn)日期日出時(shí)間日落時(shí)間開封1035-2-2506:52:1418:20:29由上表可知日落時(shí)間為因此，定義“人約黃昏后的時(shí)間為。綜上所述，“月上柳梢頭”時(shí)月亮在空中的角度和時(shí)間（稱為“黃昏后”）的定義是和。5.2確定發(fā)生日期和時(shí)間5.2.1確定“月上柳梢頭”日期和時(shí)間根據(jù)天文學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，結(jié)合“月上柳梢頭”時(shí)月亮在空中的角度和 “黃昏后”的時(shí)間的定義，得出：和根據(jù)天文歷得到詩人所在地區(qū)，得

14、出河南省開封市的日出日落時(shí)間和月出月落時(shí)間，具體數(shù)值見表2:表2 開封月出月落時(shí)間地點(diǎn)日期月出時(shí)間月落時(shí)間開封1035-2-2518:33:1007:13:12設(shè)當(dāng)?shù)氐脑鲁鰰r(shí)間與月落時(shí)間和為，當(dāng)?shù)卦铝赁D(zhuǎn)動(dòng)到空中角度的用時(shí)為,當(dāng)?shù)亍霸律狭翌^”時(shí)間為,當(dāng)?shù)卦铝赁D(zhuǎn)動(dòng)單位小時(shí)內(nèi)的度數(shù)為, 當(dāng)?shù)卦铝赁D(zhuǎn)動(dòng)單位分鐘內(nèi)的度數(shù)為。則建立以下模型:由上文可知,，代入到上述模型，可以得到如下數(shù)據(jù)：=綜上所述，可得知“月上柳梢頭，人約黃昏后”說到“元夜”那就是十五月圓，滿月之時(shí)，由此我們知道的時(shí)間就是公元1035年的農(nóng)歷正月十五日元宵節(jié)，而農(nóng)歷正月十五為2月25日，所以“月上柳梢頭”確定為1035年2月25日，又得

15、到，最后確定“月上柳梢頭”日期和時(shí)間為公元1035年2月25日21：57：50。5.2.2確定“人約黃昏后”日期與時(shí)間天文學(xué)上關(guān)于天黑有明確的定義，即太陽低于地平線下12.5度為天黑，天黑即黃昏，此時(shí)太陽已經(jīng)落山，天將黑未黑，天地昏黃，（北京時(shí)間19時(shí)至21時(shí)）。因此天黑后的時(shí)間就是黃昏后的起始時(shí)間，定義黃昏后的時(shí)間為19:10:29之后。則設(shè)“人約黃昏后”時(shí)間為已知,可以計(jì)算出當(dāng)?shù)卦铝赁D(zhuǎn)動(dòng)單位小時(shí)內(nèi)的度數(shù)為及當(dāng)?shù)卦铝赁D(zhuǎn)動(dòng)單位分鐘內(nèi)的度數(shù)為，即：=根據(jù)可計(jì)算出月亮轉(zhuǎn)動(dòng)到空中角度的用時(shí)，即：=則。綜上所述，所以“人約黃昏后”就是1035年2月25日，又得到最后確定“人約黃昏后”日期和時(shí)間為公元1

16、035年2月25日22:35:09。5.3 驗(yàn)證模型的合理性為了驗(yàn)證我們計(jì)算方法的正確性，我們將計(jì)算結(jié)果與天文歷的月出月沒時(shí)間進(jìn)行了比較，得到了北京1035年2月25日的月出月落時(shí)間與計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。計(jì)算結(jié)果見表3，我們的計(jì)算結(jié)果與天文年歷中月出月落最多相差15分鐘，證明了我們計(jì)算結(jié)果的正確性。表3 同一時(shí)期開封與北京月出月落時(shí)間序號(hào)地點(diǎn)經(jīng)度緯度月出時(shí)刻月落時(shí)刻1北京18：18：3207:11:422開封18：33：1007：13：02由表3可知，同一時(shí)期月出月沒時(shí)刻有一點(diǎn)差距，但時(shí)間相差不大，故檢驗(yàn)?zāi)Ｐ途哂泻侠硇浴?.4問題二的求解5.4.1問題二第一問的求解根據(jù)問題一可知，結(jié)合歐陽修寫詩

17、的北京分析，“月上柳梢頭，人約黃昏后”的情景是發(fā)生在“元夜”即元宵節(jié)，則2016年北京地區(qū)發(fā)生“月上柳梢頭，人約黃昏后”的情景為元宵節(jié)那天，也就是農(nóng)歷正月十五那天。要確定2016年北京地區(qū)“月上柳梢頭，人約黃昏后”發(fā)生的日期與時(shí)間，首先查找到北京地區(qū)的經(jīng)緯度為（），通過天文歷可以得到北京地區(qū)出現(xiàn)”望月“的日期為2月22日，具體天文參數(shù)詳見表4。表4 2016年北京”望月“天文參數(shù)一覽表地點(diǎn)日期經(jīng)度緯度 日出 時(shí)間日落時(shí)間月出時(shí)間月落時(shí)間北京2016-2-2206:59:1117:57:2117:36:2506:26:32從上表可以得到2016年北京的經(jīng)緯度，從而根據(jù)天文歷知道日落時(shí)間、月出時(shí)間

18、和月落時(shí)間，它們分別為，即，。將上述數(shù)值代人到我們問題一的模型中去，得到2016年北京地區(qū)“月上柳梢頭，人約黃昏后”發(fā)生的日期與時(shí)間，具體計(jì)算過程如下： =(24:00:00-17:36:25)+ 06:26:32=12:50:07由日期轉(zhuǎn)換為小時(shí)制，則 將196.75轉(zhuǎn)換為時(shí)間制，則 因此，我們確定2016年北京地區(qū)“月上柳梢頭”發(fā)生的日期與時(shí)間為2016年2月22日20:53:10，“人約黃昏后”發(fā)生的日期與時(shí)間為2016年2月22日22:04:06。5.4.2問題二第二問的求解根據(jù)問題一中的綜合模型，我們通過求出2016年在哈爾濱、上海、廣州、昆明、成都、烏魯木齊六個(gè)城市中月亮在“月上柳

19、梢頭”固定角度的時(shí)間，并和北京時(shí)間相比較，如果差距不大，則“月上柳梢頭，人約黃昏后”這個(gè)情景能夠發(fā)生；反之不能。將哈爾濱、上海、廣州、昆明、成都、烏魯木齊六個(gè)城市的天文參數(shù)匯總為一個(gè)表格（表5），具體參數(shù)見下表：表5 六個(gè)城市天文參數(shù)地點(diǎn)日期經(jīng)度緯度日出時(shí)間日落時(shí)間月出時(shí)間月落時(shí)間哈爾濱2016-2-22上海2016-2-22廣州2016-2-22昆明2016-2-22成都2016-2-22烏魯木齊2016-2-22根據(jù)模型求得參考依據(jù)月亮在“月上柳梢頭”固定角度的時(shí)間，得到六個(gè)城市月亮在“月上柳梢頭”固定角度的時(shí)間一覽表（表6），進(jìn)而去判斷“月上柳梢頭，人約黃昏后”這個(gè)情景能夠發(fā)生，得到表6

20、如下：表6 六個(gè)城市的“月上柳梢頭”固定角度的時(shí)間地點(diǎn)黃昏時(shí)間月出時(shí)間與月落時(shí)間和月亮轉(zhuǎn)動(dòng)單位小時(shí)度數(shù)月亮轉(zhuǎn)動(dòng)單位分鐘度數(shù)月亮轉(zhuǎn)到固定角度時(shí)間哈爾濱17:59:0613:08:0713.760.22933:23:36上海18:36:1712:29:5512.480.2083:42:30廣州19:16:1912:13:4014.730.24553:22:42昆明19:56:5512:16:5214.660.24433:08:17成都19:46:2712:27:4614.450.24083:11:11烏魯木齊20:37:4011:59:57150.253:04:00從表6可得：哈爾濱、上海、廣州、

21、昆明、成都、烏魯木齊六個(gè)城市中月亮在“月上柳梢頭”固定角度的時(shí)間結(jié)合模型求解相差不大（具體過程見問題二第二問六個(gè)城市模型附錄），并和2016年北京時(shí)間相差也比較小，則判斷為：2016年在哈爾濱、上海、廣州、昆明、成都、烏魯木齊六個(gè)城市中會(huì)發(fā)生“月上柳梢頭，人約黃昏后”這個(gè)情景。5.4.3問題二第三問的求解本文問題二第二問中得到了2016年在哈爾濱、上海、廣州、昆明、成都、烏魯木齊六個(gè)城市中會(huì)發(fā)生“月上柳梢頭，人約黃昏后”這個(gè)情景的結(jié)論。再根據(jù)模型，求解出2016年在哈爾濱、上海、廣州、昆明、成都、烏魯木齊六個(gè)城市中“月上柳梢頭，人約黃昏后”發(fā)生的日期和時(shí)間。根據(jù)表6中個(gè)城市的“月上柳梢頭”固定

22、角度的時(shí)間的求解結(jié)果，要求得2016年在哈爾濱、上海、廣州、昆明、成都、烏魯木齊六個(gè)城市發(fā)生“月上柳梢頭，人約黃昏后”發(fā)生的日期和時(shí)間，將6中個(gè)城市的“月上柳梢頭”固定角度的時(shí)間的結(jié)果代入到下列模型中：最后求解出哈爾濱、上海、廣州、昆明、成都、烏魯木齊六個(gè)城市所對(duì)應(yīng)的，而，就是2016年在六個(gè)城市中發(fā)生“月上柳梢頭，人約黃昏后”的時(shí)間。根據(jù)模型對(duì)六個(gè)城市進(jìn)行計(jì)算，得到六個(gè)城市發(fā)生“月上柳梢頭，人約黃昏后”的時(shí)間表7（具體計(jì)算過程見問題二第三問六個(gè)城市模型時(shí)間求解附錄），如下表可得：表7 六個(gè)城市情景發(fā)生時(shí)間地點(diǎn)月亮轉(zhuǎn)到固定角度時(shí)間月上柳梢頭的時(shí)間人約黃昏后的時(shí)間哈爾濱3:23:3620:09:

23、3321:22:42上海3:42:3021:08:2422:18:47廣州3:22:4221:29:0222:39:01昆明3:08:1721:56:4323:05:12成都3:11:1121:48:5422:57:38烏魯木齊3:04:0022:35:1222:50:27因?yàn)椤霸律狭翌^，人約黃昏后”情景是發(fā)生在“元夜”即元宵節(jié)，則2016年哈爾濱、上海、廣州、昆明、成都、烏魯木齊六個(gè)城市發(fā)生“月上柳梢頭，人約黃昏后”的情景為元宵節(jié)那天，也就是農(nóng)歷正月十五那天，根據(jù)天文歷，得到2016年元宵節(jié)的日期就是2月22日。綜上所述，2016年哈爾濱、上海、廣州、昆明、成都、烏魯木齊六個(gè)城市發(fā)生“月上柳梢頭，人約黃昏后”的日期都是2月22日；六個(gè)城市時(shí)間發(fā)生“月上柳梢頭”的時(shí)間分別為：20:09:33、21:08:24、21:29:02、21:56:43、21:48:54、22:35:12；六個(gè)城市時(shí)間發(fā)生“人約黃昏后”的時(shí)間分別為：21:22:42、22:18:47、22:39:01、23:05:12、22:57:38、22:50:27。六、模型的評(píng)價(jià)與推廣6.1模型的優(yōu)點(diǎn)：1.對(duì)問題建立模型前，通過一些定理的證明及模型準(zhǔn)備為模型的建立提供了理論的支撐，避