高中數(shù)學(xué)競賽平面幾何中的幾個(gè)重要定理

1、平面幾何中幾個(gè)重要定理及其證明塞瓦定理1 .塞瓦定理及其證明定理：在 ABC內(nèi)一點(diǎn)P,該點(diǎn)與 ABC勺三個(gè)頂點(diǎn)相連所在的三條直線分別交 ABC三邊AB BC CA于點(diǎn)D、E、F,且D E、F三點(diǎn)均不是 ABC的頂點(diǎn)，那么有AD BE CF 1 DB EC FA證明：運(yùn)用面積比可得AD S adpS ADCDBS BDPS BDC根據(jù)等比定理有S ADPS ADCS BDPS BDCADS APC所以：同理可得DBS BPCS ADCS ADPS APCS BDCS BDPS BPC 'BE SAPBCFS BPCEC SAPCFAS APB三式相乘得AD BE CFDB EC FA注：

2、在運(yùn)用三角形的面積比時(shí)，要把握住兩個(gè)三角形是“等高還 是“等底，這樣就可以產(chǎn)生出“邊之比.2.塞瓦定理的逆定理及其證明不是占八、定理：在 ABC三邊AB BC CA上各有一點(diǎn) D、E、F,且D E、F均ABC的頂點(diǎn)，假設(shè)AD BEDB ECCFFA1，那么直線CD AE BF三線共證明：設(shè)直線AE與直線BF交于點(diǎn)P,直線CP交AB于點(diǎn)D，那么據(jù)塞瓦定理有ADZ BE CFDZB EC FA因?yàn)锳D BE CFDB EC FA1，所以有ADDBADZDZB 由于點(diǎn)D、D都在線段AB上，所以點(diǎn)D與D重合.即得D、E、F三點(diǎn)共線.注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命題順利獲證.梅涅勞斯定理A

3、3 梅涅勞斯定理及其證明定理：一條直線與 ABC勺三邊AB BC CA所在直線分別交于點(diǎn) D E、F,且D、E、F均不是 ABC的頂點(diǎn)，那么有AD BE CF ,1 DB EC FA證明：如圖，過點(diǎn)C作AB的平行線，交EF于點(diǎn)G.CG 因?yàn)镃G兀CF CGFA DBEC DBBE ADBE CF AD BE CF / 1EC FA DB EC FAADBECF1AD：BECFiDBECFA D BECFABEADBECF 1AD ad'AD DEAD BC AC DEAB BEAC cdabcd acbeAC DEACEABDAC EBAAEABADAC DAECABEBADCABCC

4、D / /AZBZ B/ BDBCaCA/D 4/AD BC AB CDACCD 'AB 欲證 -DCAEAB即BCCABDAEACDACCBE AC BA B A DDBA DCA AB BD八 AB AZD BC CZDC另一方面,AC ADCDBDAZD BC CZD AC AZD，即證BDCD CZD (AC BDCDAB CD)AZD .即證CDBC CD C/D AD BC A/D ,C/DAD A/D，這是顯然的.所以，A/B/ BCfA/C/，即A、B、C共線.所以A/B/B 與BB/C/互補(bǔ)由于A/B/BDAB， BB/C/DCB，所以DAB據(jù)條件有AC BD AB

5、CDAD BC ,所以需證與 DCB互補(bǔ)，即A、B C D四點(diǎn)共圓.7.托勒密定理的推廣及其證明X CD + BCX AD > ACX BD得 EAB DAC,EAB s DAC .證明：如圖，在凸四邊形可得 ABX CD = BEX AC(1)AE AB 且 AD AC(2)那么由 DAE CAB及(2)可得 DAE sCAB .于是ADX BC = DEX AC(3)由(1) + (3)可得 ABX CD + BCX AD = ACX ( BE + DE )因?yàn)锳、B、C D四點(diǎn)不共圓，據(jù)托勒密定理的逆定理可知ABX CD + BCX AD ACX BD所以BE + DE BD,即得

6、點(diǎn)E不在線段BD上，那么據(jù)三角形的性質(zhì)有 BE+ DE > BD .所以 ABX CD + BCX AD > ACX BD三、西姆松定理8西姆松定理及其證明定理：從 ABC外接圓上任意一點(diǎn) P向BC CA AB或其延長線引垂線，垂足分別為 D E、F,那么D E、F三點(diǎn)共線.p、所以,cDp + CEP = 1800。而CEP = 90°，所以 CDP = 900，即證明：如圖示，連接PC連接EF交BC于點(diǎn)D，連接PD.因?yàn)?PE AE, PF AF,所以 A、F E四點(diǎn)共圓，可得FAE = FEP.因?yàn)锳 B、P、C四點(diǎn)共圓，所以=BCP 即 FAE = BCP所以，

7、fep= bcp 即 Dep二可得C D、P、E四點(diǎn)共圓.PD BC由于過點(diǎn)P作BC的垂線，垂足只有一個(gè)，所以點(diǎn) D與D重合，即得DE、F三點(diǎn)共線.注：1采用同一法證明可以變被動為主動，以便充分地調(diào)用題設(shè) 條件.但需注意運(yùn)用同一法證明時(shí)的唯一性.2反復(fù)運(yùn)用四點(diǎn)共圓的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵，要掌握好四點(diǎn)共 圓的運(yùn)用手法.四、 歐拉定理9.歐拉定理及其證明定理：設(shè)厶ABC勺重心、外心、垂心分別用 字母G O H表示.那么有G O H三點(diǎn)共線歐 拉線，且滿足OH 3OG .證明向量法：連B0并延長交圓0于點(diǎn)D。連接CD AD HC,設(shè)E為邊BC的中點(diǎn)，連接 0E和0C貝yOH OA AH因?yàn)镃D丄BC

8、, AH丄BC,所以AH / CD .同理 CH / DA .所以，AHCD為平行四邊形.從而得AH DC .而DC2OE，所以 AH 2OE .因?yàn)?E1 OB OC2所以AH OB OC由得：OH OAOB OC另一方面，OG OAAGOA2GFOA GBGC .而 GB GO OB, GCGOOC，所以O(shè)GOA 2GOOCOBOG1 OA OBOC3由得：OH 3OG .結(jié)論得證.注：1運(yùn)用向量法證明幾何問題也是一種常用方法，而且有其獨(dú)特之處，注意掌握向量對幾何問題的表現(xiàn)手法；2此題也可用純幾何法給予證明.又證幾何法：連接OH，AE,兩線段相交于點(diǎn)G ;連BO并延長交圓O于點(diǎn)D;連接CD

9、 AD HC設(shè)E為邊BC的中點(diǎn)，連接0E和OC如圖.因?yàn)镃D丄BC, AH丄BC,所以AH / CD .同理 CH / DA .所以，AHCD為平行四邊形.可得 AH = CD.而 CD = 2OE，所以 AH = 2OE.因?yàn)?AH / CD , CD / OE，所以 AH / OE .可得 ahG eoG.所AH AGZ HGZ 2 OE GZE GZO 1 .AG/2由GE 1，及重心性質(zhì)可知點(diǎn)G就是ABC的重心，即G與點(diǎn)G重合.所以，G O H三點(diǎn)共線，且滿足 OH3OG .五、蝴蝶定理dF、QF、dQ.據(jù)圓的性質(zhì)和圖形的對稱性可知:mFQ = MFP FQm = FPM 且 fF /

10、 AB ，PM = mQ.因?yàn)镃、D U、F四點(diǎn)共圓，所以CDF + CFF = 180 0,而由 fU / AB 可得 dPF + CFF = 180 0,所以cdF = Qpf,即卩 mdF二 Qpf.又因?yàn)?Qpf = pd匚，即 Qpf = m*.所以有mdF= mQfI這說明d、D F/、M四點(diǎn)共圓，即得 MFd = dDM因?yàn)?MFd二 MFP所以 MFP = dDM 而 MFP = EDM所以EDM = dDM這說明點(diǎn) Q與點(diǎn)d重合，即得PM = Md此定理還可用解析法來證明:設(shè)直線DE CF的方程分別為x = my + ni, x = my + n 2 ；直線CD EF的方程分別為y = ki x , y = k2 x .那么經(jīng)過C D、E、F四點(diǎn)的曲線系方程為(y ki x )( y k2 x)+ (x m y - ni)( x m y n2)=0 .整理得(+kik2)x 2+(1+mm)y 2 - ( ki+k2)+(m+m)xy- (ni+n 2) x+ (n im+n2mn)y+ n 2=0.由于 C、D、E、F 四點(diǎn)在一個(gè)圓上，說明上面方程表示的是一個(gè)圓