信號(hào)與系統(tǒng)_連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析

1、信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)通信與電子工程學(xué)院第第第2-2-2-1 1 1頁頁頁第二章第二章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng) 一、微分方程的經(jīng)典解一、微分方程的經(jīng)典解 二、關(guān)于二、關(guān)于0-0-和和0+0+初始值初始值 三、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)三、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)2.2 2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 一、沖激響應(yīng)一、沖激響應(yīng) 二、階躍響應(yīng)二、階躍響應(yīng)2.3 2.3 卷積積分卷積積分 一、信號(hào)時(shí)域分解與卷積一、信號(hào)時(shí)域分解與卷積 二、卷積的圖解二、卷積的圖解2.4 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì) 一、卷積代數(shù)一、卷

2、積代數(shù) 二、奇異函數(shù)的卷積特性二、奇異函數(shù)的卷積特性 三、卷積的微積分性質(zhì)三、卷積的微積分性質(zhì) 四、卷積的時(shí)移特性四、卷積的時(shí)移特性信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)通信與電子工程學(xué)院第第第2-2-2-2 2 2頁頁頁 LTI連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析，歸結(jié)為：連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析，歸結(jié)為：建立并求解線性建立并求解線性微分方程微分方程。 由于在其分析過程涉及的函數(shù)變量均為時(shí)間由于在其分析過程涉及的函數(shù)變量均為時(shí)間t，故稱為，故稱為時(shí)域分析法時(shí)域分析法。第二章第二章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析第二章第二章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)通信與電子工程學(xué)院第第第2-2-2-3 3 3頁

3、頁頁2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)一、微分方程的經(jīng)典解一、微分方程的經(jīng)典解1 微分方程的建立微分方程的建立 1）寫出各元件的元件特性（）寫出各元件的元件特性（VAR）；）； 2）根據(jù)電路列）根據(jù)電路列KVL,KCL方程；方程； 3）整理方程，化為微分方程。）整理方程，化為微分方程。信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)通信與電子工程學(xué)院第第第2-2-2-4 4 4頁頁頁2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)uS(t)uC(t)LRC)(0)0(dddd22CCSCCCuuuutuRCtuLC，信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)

4、通信與電子工程學(xué)院第第第2-2-2-5 5 5頁頁頁2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)2、微分方程的經(jīng)典解、微分方程的經(jīng)典解y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)通信與電子工程學(xué)院第第第2-2-2-6 6 6頁頁頁2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)y(t)(完全解完全解) = yh(t)(齊次解齊次解) + yp(t)(特解特解）齊次解齊次解 y(n)+an-1y(n-

5、1)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 yh(t)的函數(shù)形式的函數(shù)形式由由特征根特征根確定。確定。特解特解的函數(shù)形式與激勵(lì)函數(shù)的形式有關(guān)。的函數(shù)形式與激勵(lì)函數(shù)的形式有關(guān)。P43表表2-1、2-2齊次解齊次解的函數(shù)形式僅與系統(tǒng)本身的特性有關(guān)，而與激勵(lì)的函數(shù)形式僅與系統(tǒng)本身的特性有關(guān)，而與激勵(lì)f(t)的函數(shù)形式無關(guān)，稱為系統(tǒng)的的函數(shù)形式無關(guān)，稱為系統(tǒng)的固有響應(yīng)固有響應(yīng)或或自由響應(yīng)自由響應(yīng)；特解特解的函數(shù)形式由激勵(lì)確定，稱為的函數(shù)形式由激勵(lì)確定，稱為強(qiáng)迫響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)。信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)通信與電子工程學(xué)院第第第2-2-2-7 7 7頁頁頁2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)例

6、例 描述某系統(tǒng)的微分方程為描述某系統(tǒng)的微分方程為 y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t)求（求（1）當(dāng)）當(dāng)f(t) = 2e- -t，t0；y(0)=2，y(0)= - -1時(shí)的全解；時(shí)的全解； （2）當(dāng)）當(dāng)f(t) = e- -2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0時(shí)的全解。時(shí)的全解。 解解: (1) 齊次解：齊次解：特征方程：特征方程：2 + 5+ 6 = 0 特征根：特征根：1= 2，2= 3齊次解為齊次解為 yh(t) = C1e 2t + C2e 3t信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)通信與電子工程學(xué)院第第第2-2-2-8 8 8頁頁頁2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)

7、連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)（2）特解）特解 yp(t) = Pe t 代入微分方程得代入微分方程得 Pe t + 5( Pe t) + 6Pe t = 2e t 得得 ：P=1 得得 特解：特解：yp(t) = e t全解：全解： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e 2t + C2e 3t + e t其中其中 待定常數(shù)待定常數(shù)C1,C2由初始條件確定。由初始條件確定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y(0) = 2C1 3C2 1= 1 解得解得 C1 = 3 ，C2 = 2 最后得全解最后得全解 y(t) = 3e 2t 2e 3t + e t , t0 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)

8、通信與電子工程學(xué)院第第第2-2-2-9 9 9頁頁頁（3）當(dāng)激勵(lì)）當(dāng)激勵(lì)f(t)=e2t時(shí)，時(shí)， 特解：特解： yp(t) = (P1t + P0)e2t 代入微分方程可得代入微分方程可得 P1e-2t = e2t 得：得： P1= 1全解：全解：y(t)= C1e2t + C2e3t + te2t + P0e2t = (C1+P0)e2t +C2e3t + te2t將初始條件代入，將初始條件代入， y(0) = (C1+P0) + C2=1 ，y(0)= 2(C1+P0) 3C2+1=0解得解得 C1 + P0 = 2 ,C2= 1 全解：全解： y(t) = 2e2t e3t + te2t

9、 , t0系數(shù)系數(shù)C1+P0= 2，不能區(qū)分，不能區(qū)分C1和和P0，因而也不能區(qū)分自，因而也不能區(qū)分自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)。由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)。 2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)通信與電子工程學(xué)院第第第2-2-2-101010頁頁頁2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)二、關(guān)于二、關(guān)于0-和和0+初始值初始值 若輸入若輸入f(t)是在是在t=0時(shí)接入系統(tǒng)，則確定待定系數(shù)時(shí)接入系統(tǒng)，則確定待定系數(shù)Ci時(shí)用時(shí)用t = 0+時(shí)刻的時(shí)刻的初始值初始值，即，即y(j)(0+) (j=0,1,2，n-1)。 而而y(j)(0+)包含了輸入信號(hào)的作用，

10、不便于描述系統(tǒng)包含了輸入信號(hào)的作用，不便于描述系統(tǒng)的歷史信息。的歷史信息。 在在t=0-時(shí)，激勵(lì)尚未接入，該時(shí)刻的值時(shí)，激勵(lì)尚未接入，該時(shí)刻的值y(j)(0-)反映反映了了系統(tǒng)的歷史情況系統(tǒng)的歷史情況而與激勵(lì)無關(guān)。稱這些值為而與激勵(lì)無關(guān)。稱這些值為初始初始狀態(tài)狀態(tài)或或起始值起始值。 通常，對(duì)于具體的系統(tǒng)，初始狀態(tài)一般容易求得。通常，對(duì)于具體的系統(tǒng)，初始狀態(tài)一般容易求得。這樣為求解微分方程，就需要從已知的初始狀態(tài)這樣為求解微分方程，就需要從已知的初始狀態(tài)y(j)(0-)設(shè)法求得設(shè)法求得y(j)(0+)。信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)通信與電子工程學(xué)院第第第2-2-2-111111頁頁頁2.1 LTI2.1

11、 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)當(dāng)系統(tǒng)用微分方程表示時(shí)，系統(tǒng)從當(dāng)系統(tǒng)用微分方程表示時(shí)，系統(tǒng)從 狀態(tài)有沒狀態(tài)有沒有跳變?nèi)Q于微分方程右端自由項(xiàng)是否包含有跳變?nèi)Q于微分方程右端自由項(xiàng)是否包含 及其及其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。 一般情況下?lián)Q路期間電容兩端的電壓和流過電感中的一般情況下?lián)Q路期間電容兩端的電壓和流過電感中的電流不會(huì)發(fā)生突變。這就是在電路分析中的換路定則：電流不會(huì)發(fā)生突變。這就是在電路分析中的換路定則：對(duì)于一個(gè)具體的電網(wǎng)絡(luò)，系統(tǒng)的對(duì)于一個(gè)具體的電網(wǎng)絡(luò)，系統(tǒng)的 狀態(tài)就是系統(tǒng)中狀態(tài)就是系統(tǒng)中儲(chǔ)能元件的儲(chǔ)能情況儲(chǔ)能元件的儲(chǔ)能情況; ;但是當(dāng)有沖激電流強(qiáng)迫作用于電容或有沖激電壓強(qiáng)迫但是當(dāng)有沖激

12、電流強(qiáng)迫作用于電容或有沖激電壓強(qiáng)迫作用于電感，作用于電感， 狀態(tài)就會(huì)發(fā)生跳變。狀態(tài)就會(huì)發(fā)生跳變。 說明0.00 ,00LLCCiivv00 到00 到 t 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)通信與電子工程學(xué)院第第第2-2-2-121212頁頁頁2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)由伏安關(guān)系由伏安關(guān)系, 0d)(00 Ci)0()0( CCvv此時(shí)此時(shí)例：電容電壓的突變C)(tvC)(tiC tCCiCtv d)(1)( tCCCiCiCiC0000d)(1d)(1d)(1 tCCCiCiCv000d)(1d)(1)0( 0d)(1)0()0(,000 CCCiCvvt令令CvvCC1)0

13、()0( 此時(shí)此時(shí)，CiCC1d)(100 為有限值為有限值如果如果)(tic, 0d)(00 Ci)0()0( CCvv此時(shí)此時(shí) ttic 為為如如果果)(信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)通信與電子工程學(xué)院第第第2-2-2-131313頁頁頁例例：描述某系統(tǒng)的微分方程為描述某系統(tǒng)的微分方程為 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)已知已知y(0-)=2，y(0-)= 0，f(t)=(t)，求，求y(0+)和和y(0+)。 解解：將將f(t)=(t)代入方程代入方程 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6(t) （1）在在0-t 0 信號(hào)與系統(tǒng)

14、信號(hào)與系統(tǒng)通信與電子工程學(xué)院第第第2-2-2-171717頁頁頁2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)（2）零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)yf(t) 滿足滿足 yf”(t) + 3yf(t) + 2yf(t) = 2(t) + 6(t) 并有并有 yf(0-) = yf(0-) = 0由于上式等號(hào)右端含有由于上式等號(hào)右端含有(t)，故，故yf”(t)含有含有(t)，從而，從而yf(t)躍變，即躍變，即yf(0+)yf(0-)，而，而yf(t)在在t = 0連續(xù)，即連續(xù)，即yf(0+) = yf(0-) = 0，積分得，積分得 yf(0+)- yf(0-)+ 3yf(0+)- yf(0-

15、)+2 0000d)(62d)(ttttyf因此，因此，yf(0+)= 2 yf(0-)=2 對(duì)對(duì)t0時(shí)，有時(shí)，有 yf”(t) + 3yf(t) + 2yf(t) = 6不難求得其齊次解為不難求得其齊次解為Cf1e-t + Cf2e-2t，其特解為常數(shù)，其特解為常數(shù)3，于是有于是有 yf(t)=Cf1e-t + Cf2e-2t + 3代入初始值求得代入初始值求得 yf(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)通信與電子工程學(xué)院第第第2-2-2-181818頁頁頁2.2 2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)2.2 2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)

16、一、沖激響應(yīng)一、沖激響應(yīng) 由單位沖激函數(shù)由單位沖激函數(shù)(t)所引起的所引起的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)稱為稱為單位沖單位沖激響應(yīng)激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，記為，簡稱沖激響應(yīng)，記為h(t)。h(t)=T0,(t) 例例1 描述某系統(tǒng)的微分方程為描述某系統(tǒng)的微分方程為 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求其沖激響應(yīng)求其沖激響應(yīng)h(t)。 解解 根據(jù)根據(jù)h(t)的定義的定義 有有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = (t) h(0-) = h(0-) = 0 先求先求h(0+)和和h(0+)。 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)通信與電子工程學(xué)院第第第2-2-2-191919頁頁頁2.2 2.2 沖激

17、響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)因方程右端有因方程右端有(t)，故利用系數(shù)平衡法。，故利用系數(shù)平衡法。h”(t)中含中含(t)，h(t)含含(t)，h(0+)h(0-)，h(t)在在t=0連續(xù)，即連續(xù)，即h(0+)=h(0-)。積分得。積分得 h(0+) - h(0-) + 5h(0+) - h(0-) + 6 = 100)( dtth考慮考慮h(0+)= h(0-)，由上式可得，由上式可得 h(0+)=h(0-)=0 , h(0+) =1 + h(0-) = 1對(duì)對(duì)t0時(shí)，有時(shí)，有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為一齊次解。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為一齊次解。 微

18、分方程的特征根為微分方程的特征根為-2，-3。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)(t)代入初始條件求得代入初始條件求得C1=1,C2=-1, 所以所以 h(t)=( e-2t - e-3t)(t) 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)通信與電子工程學(xué)院第第第2-2-2-202020頁頁頁2.2 2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 例例2 描述某系統(tǒng)的微分方程為描述某系統(tǒng)的微分方程為 y”(t)+5y(t)+6y(t)= f”(t) + 2f(t) + 3f(t)求其沖激響應(yīng)求其沖激響應(yīng)h(t)。 解解 根據(jù)根據(jù)h(t)的定義的定義 有有 h”(t)

19、+ 5h(t) + 6h(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t) (1) h(0-) = h(0-) = 0 先求先求h(0+)和和h(0+)。由方程可知，由方程可知， h(t) 中含中含(t)故令故令 h(t) = a(t) + p1(t) pi(t) 為不含為不含(t) 的某函數(shù)的某函數(shù) h(t) = a(t) + b(t) + p2(t) h”(t) = a”(t) + b(t) + c(t)+ p3(t)代入式代入式(1)，有，有信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)通信與電子工程學(xué)院第第第2-2-2-212121頁頁頁2.2 2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)a”(t) + b(t)+ c

20、(t) + p3(t) + 5a(t) + b(t) + p2(t) + 6a(t) + p1(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t)整理得整理得a”(t)+(b+5a)(t)+(c +5b+6a)(t) + p3(t)+5 p2(t)+6 p1(t) = ”(t) + 2(t) + 3(t) 利用利用(t) 系數(shù)匹配，得系數(shù)匹配，得 a =1 ，b = - 3，c = 12所以所以 h(t) = (t) + p1(t) （2） h(t) = (t) - 3(t) + p2(t) （3） h”(t) = ”(t) - 3 (t) + 12(t)+ p3(t) （4）對(duì)式對(duì)式(3)從從0-到到

21、0+積分得積分得 h(0+) h(0-) = 3對(duì)式對(duì)式(4)從從0-到到0+積分得積分得 h(0+) h(0-) =12故故 h(0+) = 3， h(0+) =12信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)通信與電子工程學(xué)院第第第2-2-2-222222頁頁頁2.2 2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)微分方程的特征根為微分方程的特征根為 2， 3。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 h(t)= C1e2t + C2e3t ， t0代入初始條件代入初始條件h(0+) = 3， h(0+) =12求得求得C1=3，C2= 6, 所以所以 h(t)= 3e2t 6e3t , t 0結(jié)合式結(jié)合式(2)得得

22、 h(t)= (t) + (3e2t 6e3t)(t)對(duì)對(duì)t0時(shí)，有時(shí)，有 h”(t) + 6h(t) + 5h(t) = 0二、階躍響應(yīng)二、階躍響應(yīng)g(t)= T (t) ，0ttgthhtgtd)(d)(,d)()(由于由于(t) 與與(t) 為微積分關(guān)系，故為微積分關(guān)系，故信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)通信與電子工程學(xué)院第第第2-2-2-232323頁頁頁2.3 2.3 卷積積分卷積積分2.3 2.3 卷積積分卷積積分一、信號(hào)的時(shí)域分解與卷積積分一、信號(hào)的時(shí)域分解與卷積積分1 . .信號(hào)的時(shí)域分解信號(hào)的時(shí)域分解(1) (1) 預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)p(t)1t022(a)f1(t)At022(b)問問

23、f1(t) = ? p(t)直觀看出直觀看出)(A)(1tptf信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)通信與電子工程學(xué)院第第第2-2-2-242424頁頁頁2.3 2.3 卷積積分卷積積分(2) (2) 任意信號(hào)分解任意信號(hào)分解22f(t)t023-1 0 1 2)(tff(0)(f)( f“0”號(hào)脈沖高度號(hào)脈沖高度f(0) ,寬度為，寬度為，用用p(t)表示為表示為：f(0) p(t)“1”號(hào)脈沖高度號(hào)脈沖高度f() ,寬度為寬度為，用，用p(t - - )表示為：表示為： f() p(t - - )“- -1”號(hào)脈沖高度號(hào)脈沖高度f(- -) 、寬度為，用、寬度為，用p(t + +)表示為表示為： f (

24、- - ) p(t + + )nntpnftf)()()(d)()()()(lim0tftftf信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)通信與電子工程學(xué)院第第第2-2-2-252525頁頁頁2.3 2.3 卷積積分卷積積分2 . .任意任意信號(hào)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)信號(hào)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)LTI系統(tǒng)LTI系統(tǒng)零狀態(tài)零狀態(tài)yf(t)f (t)根據(jù)根據(jù)h(t)的定義：的定義：(t) h(t) 由時(shí)不變性：由時(shí)不變性：(t - -)h(t - -)f ()(t - -)由齊次性：由齊次性：f () h(t - -)由疊加性：由疊加性：d)()(tfd)()(thff (t)yf(t)d)()()(thftyf卷積積分卷積積分

25、信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)通信與電子工程學(xué)院第第第2-2-2-262626頁頁頁2.3 2.3 卷積積分卷積積分3 . .卷積積分的定義卷積積分的定義已知定義在區(qū)間（已知定義在區(qū)間（ ，）上的兩個(gè)函數(shù)）上的兩個(gè)函數(shù)f1(t)和和f2(t)，則定義積分則定義積分 dtfftf)()()(21為為f1(t)與與f2(t)的的卷積積分卷積積分，簡稱，簡稱卷積卷積；記為；記為 f(t)= f1(t)*f2(t)注意注意：積分是在虛設(shè)的變量：積分是在虛設(shè)的變量下進(jìn)行的，下進(jìn)行的，為積分變量，為積分變量，t為參變量。結(jié)果仍為為參變量。結(jié)果仍為t 的函數(shù)。的函數(shù)。 )(*)(d)()()(thtfthftyf信號(hào)

26、與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)通信與電子工程學(xué)院第第第2-2-2-272727頁頁頁2.3 2.3 卷積積分卷積積分例例：f (t) = e t,（- -t)，h(t) = (6e- -2t 1)(t)，求求yf(t)。解解： yf(t) = f (t) * h(t)d)( 1e6e)(2tt當(dāng)當(dāng)t t時(shí)，時(shí)，(t -) = 0ttttftyd)eee6(d 1e6e)(32)(2tttttttttteeee2ee2eded)e6(e323232信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)通信與電子工程學(xué)院第第第2-2-2-282828頁頁頁2.3 2.3 卷積積分卷積積分二、卷積的圖解法二、卷積的圖解法dtfftftf)()()

27、(*)(2121卷積過程可分解為卷積過程可分解為四步四步：（1）換元換元： t換為換為得得 f1()， f2()（2）反轉(zhuǎn)平移反轉(zhuǎn)平移：由：由f2()反轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn) f2()右移右移t f2(t-)（3）乘積乘積： f1() f2(t-) （4）積分積分： 從從 到到對(duì)乘積項(xiàng)積分。對(duì)乘積項(xiàng)積分。注意：注意：t為參變量。為參變量。下面舉例說明。下面舉例說明。信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)通信與電子工程學(xué)院第第第2-2-2-292929頁頁頁2.3 2.3 卷積積分卷積積分例f (t) ,h(t) 如圖所示，求yf(t)= h(t) * f (t) 。解 采用圖形卷積 。 f ( t - -)f ()反折反折f

28、(- -)平移平移t t 0時(shí)時(shí) , f ( t - -)向左移向左移f ( t - -) h() = 0，故故 yf(t) = 0 0t 1 時(shí)時(shí), f ( t - -)向右移向右移2041d21)(ttytf 1t 2時(shí)時(shí)4121d21)(1ttyttf 3t 時(shí)時(shí)f ( t - -) h() = 0，故故 yf(t) = 0f ( t )t0211th ( t )22h(t)函數(shù)形式復(fù)雜函數(shù)形式復(fù)雜 換元為換元為h()。 f (t)換元換元 f ()f (- )f (t - )t-1 tt-1 t t-1 ttyf (t )20134143tt-1 tt-1 2t 3 時(shí)時(shí)432141d

29、21)(221tttytf0h( )f (t - )2013信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)通信與電子工程學(xué)院第第第2-2-2-303030頁頁頁2.3 2.3 卷積積分卷積積分圖解法圖解法一般比較繁瑣，但一般比較繁瑣，但若只求某一時(shí)刻卷積值時(shí)若只求某一時(shí)刻卷積值時(shí)還是比較方便的。還是比較方便的。確定積確定積分的上下限是關(guān)鍵。分的上下限是關(guān)鍵。例例：f1(t)、 f2(t)如圖所示，已知如圖所示，已知f(t) = f2(t)* f1(t)，求，求f(2) =？tf 2( t )-1131-1f 1( t )t2-22f1(- -)f1(2- -)f 1(2- - ) f 2( )22-2解解：d)2()(

30、)2(12fff（1）換元）換元（2） f1()得得f1()（3） f1()右移右移2得得f1(2)（4） f1(2)乘乘f2()（5）積分，得）積分，得f(2) = 0（面積為（面積為0）信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)通信與電子工程學(xué)院第第第2-2-2-313131頁頁頁2.4 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)2.4 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì) 卷積積分是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算，它有許多重要的性質(zhì)卷積積分是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算，它有許多重要的性質(zhì)（或運(yùn)算規(guī)則），靈活地運(yùn)用它們能簡化卷積運(yùn)算。下（或運(yùn)算規(guī)則），靈活地運(yùn)用它們能簡化卷積運(yùn)算。下面討論均設(shè)卷積積分是收斂的（或存在的）。面討論均設(shè)卷積積分是收斂的

31、（或存在的）。 一、卷積代數(shù)一、卷積代數(shù)滿足乘法的三律：滿足乘法的三律：1. 交換律交換律： f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t)2. 分配律分配律： f1(t)* f2(t)+ f3(t) =f1(t)* f2(t)+ f1(t)* f3(t)3. 結(jié)合律結(jié)合律： f1(t)* f2(t)* f3(t) =f1(t)* f2(t) * f3(t)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)通信與電子工程學(xué)院第第第2-2-2-323232頁頁頁2.4 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)二、奇異函數(shù)的卷積特性二、奇異函數(shù)的卷積特性1. f(t)*(t)=(t)*f(t) = f(t) 證：證：)(d)

32、()()(*)(tftftftf(t)*(t t0) = f(t t0)2. f(t)*(t) = f(t) 證：證：)( d)()( )(*)( tftftftf(t)*(n)(t) = f (n)(t)3. f(t)*(t)tftfd)(d)()(t) *(t) = t(t)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)通信與電子工程學(xué)院第第第2-2-2-333333頁頁頁2.4 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)三、卷積的微積分性質(zhì)三、卷積的微積分性質(zhì)1.nnnnnnttftftfttftftftd)(d*)()(*d)(d)(*)(dd212121證：上式證：上式= (n)(t) *f1(t)* f2(t)

33、= (n)(t) *f1(t) * f2(t) = f1(n)(t) * f2(t) 2.d)(*)()(*d)(d)(*)(212121tttftftffff證：上式證：上式= (t) *f1(t)* f2(t) = (t) *f1(t) * f2(t) = f1(1)(t) * f2(t) 3. 在在f1( ) = 0或或f2(1)() = 0的前提下，的前提下， f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)通信與電子工程學(xué)院第第第2-2-2-343434頁頁頁2.4 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)例例1： f1(t) = 1， f2(t) =

34、et(t)，求求f1(t)* f2(t) 解解：通常復(fù)雜函數(shù)放前面，代入定義式得：通常復(fù)雜函數(shù)放前面，代入定義式得 f2(t)* f1(t)=1eded)(e00注意：套用注意：套用 f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) = 0* f2(1)(t) = 0 顯然是錯(cuò)誤的顯然是錯(cuò)誤的。例例2：f1(t) 如圖如圖, f2(t) = et(t)，求，求f1(t)* f2(t) )()e1 ()(e)(ded)(e)(00)1(2ttttfttttf 1(t)t201解法一解法一： f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t)f1(t) = (t) (t 2)

35、 f1(t)* f2(t)=(1- et)(t) 1- e(t-2)(t-2) 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)通信與電子工程學(xué)院第第第2-2-2-353535頁頁頁2.4 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)解解： f1(t) = (t) (t 2) f1(t)* f2(t)= (t) * f2(t) (t 2) * f2(t) (t) * f2(t)= f2 (-1)(t)四、卷積的時(shí)移特性四、卷積的時(shí)移特性若若 f(t) = f1(t)* f2(t)，則則 f1(t t1)* f2(t t2) = f1(t t1 t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t t1 t2) = f(t t1 t2) 前例前例：f1(t) 如圖如圖, f2(t) = et(t)，求，求f1(t)* f2(t) f 1(t)t201利用時(shí)移特性，有利用時(shí)移特