奧數(shù)新定義運算

1、奧數(shù)定義新運算則運現(xiàn)在曰我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過加、減、乘、除運算，這些運算，即四算是數(shù)學(xué)中最基本的運算，它們的意義、符號及運算律已同學(xué)們熟知。除此之外，還會有什么別的運算嗎？ 我們就來研究這個問題。這些新的運算及其符號，在中、小學(xué)課本中沒有統(tǒng)一的定 義及運算符號，但學(xué)習(xí)討論這些新運算，對于開拓思路及今后的學(xué)習(xí)都大有益處一、定義1、定義新運算是指運用某種特殊的符號表示的一種特定運算形式。注意：（1）解決此類問題，關(guān)鍵是要正確理解新定義的算式含義，嚴格按照新 定義的計算順序，將數(shù)值代入算式中，再把它轉(zhuǎn)化為一般的四則運 算，然后進行計算。（2）我們還要知道，這是一種人為的運算形式。它是使用特殊的運算符號，如

2、：*、等來表示的一種運算（3）新定義的算式中，有括號的，要先算括號里面的。2、一般的解題步驟是：一是認真審題，深刻理解新定義的內(nèi)容；二是排除干擾，按新定義關(guān)系去掉新運算符號；三是化新為舊，轉(zhuǎn)化成已有知識做舊運算。例1、對于任意數(shù)a，b，定義運算a*b=a xb-a-b二、初步例題詮釋求12*4的值分析與解：根據(jù)題目定義的運算要求，直接代入后用四則運算即可12*4=12 “-12-4=48-12-4=32例 2、假設(shè) a b = ( a + b )寧 b。求 8 5。分析與解：該題的新運算被定義為：a b等于兩數(shù)之和除以后一個數(shù)的商。這里要先算括號里面的和，再算后面的商。這里a代表數(shù)字8, b代

3、表數(shù)字58 5 =(8 + 5) - 5 = 2.6例 3、如果 a©b=a xb-(a+b)。求 6©( 9© 2)。分析與解：根據(jù)定義，要先算括號里面的。這里的符號“”就是一種新的運算符號6 (9©2)=6 9 X2- (9+2 )=6 7=6 X7 - (6+7)=42-13 =29例 4、如果 1A3=1+11+111 ; 2 苗=2+22+222+2222+22222 ; 8 位=8+88。求6苗。分析與解：仔細觀察發(fā)現(xiàn)“”前面的數(shù)字是加數(shù)每個數(shù)位上的數(shù)字，而加數(shù)分別是一 位數(shù)，二位數(shù)，三位數(shù)，“”后面的數(shù)字是幾，就有幾個加數(shù)。因此 可以按照這

4、個規(guī)律進行解答。6苗=6+66+666+6666+66666=74070例 5、如果規(guī)定 2=1 X2X3，3=2 X3X4，4=3 MX5，1 12計算（-）X。233分析與解：該題看上去比較復(fù)雜，但仔細觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)，該題被定義為X=（X-1）XXX（X+1 ）。由于把數(shù)代入算式中計算比較麻煩，我們可以先化簡算式后，再計算。V丄X233七）X23丄X33（1）31 2 3）2 3 4吒）3丄X3321X（1-2 3 4X2 3 4x32 3 44丄321例6、規(guī)定b=5a+ ab-3b。求(8 5) X=264中的未知數(shù)。2分析與解：根據(jù)新定義，應(yīng)該先計算括號里面的，再計算括號外面的，

5、然后解方程即可。(85) X=2641(5X8 + - X8 X5-3 X5)X=264245 X=26415 X45+ X45 XX-3X=264245 6X ” 225+X- =2642 239225+X=264239 X=392X=2三、邊學(xué)邊試【例1】A, B表示兩個數(shù)，定義AA B表示(A+B) 2,求(1)(3A 17) 29;(2)(仏9) 9 6。【分析與解】定義新運算符號“”表示X B=(A+B)弋，即兩個數(shù)做“”運算就是求這兩個數(shù)的平均值.如:3A 17=(3+17) -H2=10，再用10與29做運算，10 29=(10+29) -2=19.5(1) 原式=(3+17)

6、-2 29原式=(1+9) -2 9A6=20 吃 29=5 9 6=10 29=(5+9) 2 6=(10+29)乜=7 6=39 -H2=19.5=(7+6) -H2=6.5【試一試】1、A, B表示兩個數(shù)，定義 A*B=2 必-B.試求：(1)(8.56.9)*5(2)(119.8-29.8)*(13.65+12.35)2、設(shè) 頁b=a xb+a-2b，按此規(guī)定計算:(1)8 1.25(2)(42.5) 7【例 2】已知 2*3=2+22+222=246，3*4=3+33+333+3333=3702.求:(1)3*3； (2)4*5； (3)若 1*x=123，求 x. 前邊的數(shù)，且后一

7、個加數(shù)都比前一個加數(shù)多一位，但數(shù)字相同，而 后邊的數(shù)恰好是加數(shù)的個數(shù)。(1) 3*3=3+33+333=369(2) 4*5=4+44+444+4444+44444=49380(3) 提示：因為 1* x=1+11+111+ -=123所以倒著算：123 -仁 122122-11=111111-111=0即：1+11+111=1*3=123從而可知x=3【試一試】已知 5 3=5 X6X7, 36=3 X4X56 X7X8，按此規(guī)定計算:(1) (4 3) + (6 2)(2) (32)X(43)【例 3】設(shè) A® B=2 X(A+B) -2 X(AB)，計算：(1) (12

8、4; 4) ® 13;(2) 70 ®( 18® 4 )。【分析與解】觀察已知等式可知：“®”定義表示的是兩個數(shù)和的2倍與商的2倍的差。如：12 ® 4=2 X(12+4) -2 X(12 M) =26(1)原式=2 X(12+4) -2 X(12 詔)® 13【分析與解】觀察兩個已知等式可以發(fā)現(xiàn),a定義的是連加運算，第一個加數(shù)是=2 X16-2 X3 ® 13=26 ® 13=2 X(26+13 ) -2 X(26 -13)=2 X39-2 X2=78-4=74(2)原式=70 2 X(18+4) -2 X(18

9、-4)=70 ® 2 X22-2 X4.5=70 ® 35=2 X(70+35)-2 X(70 七5)=206【試一試】1、規(guī)定a© b=(a+b) -h(a-b)，按此規(guī)定計算:(1)210 5(2)(18© 9) © 22、設(shè) a#b=5a-2b，計算：(12.5#8) #19.72【例4】小輝用電腦設(shè)計了 A, B, C, D四種裝置，將一個數(shù)輸入一種裝置后，會 輸出另一個數(shù) 裝置A：將輸入的數(shù)加上5;裝置B:將輸入的數(shù)除以2;裝置C:將輸入 的數(shù)減去4;裝置D:將輸入的數(shù)乘3.這些裝置可以連接，如果裝置 A后面連接裝置 B,就寫成A B

10、 ,輸入1后，經(jīng)過A B輸出了 3.那么，輸入9,經(jīng)過A B C D輸出幾？【分析與解】A B C D=(9+5)吃-4 X3=9所以輸出的是9【試一試】同學(xué)們在做這樣一個數(shù)字游戲：一張帶有數(shù)字的卡片在 A, B, C, D四位同學(xué)間 傳遞，當傳遞給A時，A將該數(shù)字乘5傳出，當傳遞給B時，B將該數(shù)字除以2傳 出，當傳遞給C時，C將該數(shù)字加18傳出，當傳遞給D時，D將該數(shù)字減去9后 交給主持人，如果一張卡片經(jīng)過 A傳遞給B記為A-B,那么一張帶有18的數(shù)字卡 片，經(jīng)過A - B- C- D的傳遞后交給主持人時卡片上的數(shù)字是多少 ？【理一理】 新定義運算注意的問題：(1)新定義運算一般不滿足運算定

11、律如b 處 a a (b c)卡厶 b) c(a*b) c 現(xiàn)a c)*(b c)+ ”-“ “x” “寧”仍然是通常的運算符號，完全符合四則運算順序四、練一練1、規(guī)定 a*b=4a-3b，計算:(1.5*0.8) *0.52、設(shè)a, b都表示自然數(shù)，規(guī)定ab=3a+b弋，計算:(2) 65(1) 5 6(3) 2( 3 5)(4) (2 3)53、規(guī)定 3*5=3+4+5+6+7 ，5*4=5+6+7+8，按此規(guī)定計算：11*54、如果 1=1 !, 1X2=2 ! , 1 X2X3=3 !, -1X2 X3M99X100=100 !那么 1! +2 !+3 ! +4 ! + -+100，的個位數(shù)字是幾？5、狼和羊在一起時，狼要吃掉羊，所以關(guān)于羊及狼，我們規(guī)定一種運算，用符號“” 表示：羊羊=羊；羊狼=狼；狼狼=狼。以上運算的意思是羊與羊在一起還是羊， 狼與狼在一起還是狼，但是狼與羊在一一 起便只剩下狼了，小朋友總是