多元函數(shù)的極值及其求法201348PPT學習教案

1、會計學1多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法201348回憶一元函數(shù)的極值回憶一元函數(shù)的極值設 f x0U x在內有定義，如果0 xU x 0f xf x 0f xf x有或則稱0f x f x是的一個極大值或極小值必要條件：必要條件：定義：定義： f x在0 x處可導，且在0 x處取得極值，那么00fx最值最值第1頁/共28頁定義定義: 若函數(shù)則稱函數(shù)在該點取得極大值例如例如 :在點 (0,0) 有極小值;在點 (0,0) 有極大值;在點 (0,0) 無極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.00( , )(,)f x yf xy00( , )(,)f x yf

2、 xy或2243yxz22yxzyxz ),(),(00yxyxfz在點的某去心鄰域內有xyzOxyzOxzyO(極小值).第2頁/共28頁說明說明: 使偏導數(shù)都為 0 的點稱為駐點 . 例如,函數(shù)偏導數(shù),證證:據一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結論成立.0000(,)0 ,(,)0 xyfxyfxy取得極值 ,取得極值取得極值 但駐點不一定是極值點.有駐點( 0, 0 ), 但在該點不取極值.且在該點取得極值 ,則有),(),(00yxyxfz在點存在),(),(00yxyxfz在點因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 第3頁/共28頁從幾何上看，若曲面 z=f

3、(x,y) 在點 處有切平面，),(000zyx0000000(,)()(,)()xyzzfxyxxfxyyy成為平行于xoy坐標面的平面00zz則切平面第4頁/共28頁時, 具有極值的某鄰域內具有一階和二階連續(xù)偏導數(shù), 令則: 1) 當A0 時取極小值.2) 當3) 當時, 沒有極值.時, 不能確定 , 需另行討論.若函數(shù)的在點),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC且第5頁/共28頁求函數(shù)解解: 第一步第一步 求駐點求駐點. .得駐點: (1, 0)

4、 , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判別判別.在點(1,0) 處為極小值;解方程組ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的極值.求二階偏導數(shù),66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(22331, 3x 0,2y 第6頁/共28頁在點(3,0) 處不是極值;在點(3,2) 處為極大值.,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA

5、31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在點(1,2) 處不是極值;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC第7頁/共28頁極值的概念和必要條件可推廣到多元函數(shù)定義：定義：設 n 元函數(shù) uf P,D的定義域是0PD是的內點，若0P0U PD的某鄰域使得該鄰域內異于0P的任何點,P都有 0f Pf P 0f Pf P或則稱 f P0P在取得極大值（或極小值）。必要條件：必要條件：三元函數(shù), ,uf x y z000,xy z在有偏導數(shù)，且取得極值，則000000000,0,0,0 xyzfxy zfxy zfxy z第8頁/共28頁函數(shù) f 在閉域上連續(xù)函數(shù) f

6、 在閉域上可達到最值 最值可疑點 極值點邊界上的最值點特別特別, 當區(qū)域內部最值存在, 且只有一個只有一個極值點P 時, )(Pf為極小值)(Pf為最小值( (大大) )( (大大) )依據第9頁/共28頁解解: 設水箱長,寬分別為 x , y m ,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點某廠要用鐵板做一個體積為2根據實際問題可知最小值在定義域內應存在,的有蓋長方體水箱,問當長、寬、高各取怎樣的尺寸時, 才能使用料最省?,m2yx2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA因此可斷定此唯一駐點就是最小值點.即當長、寬均為高為時, 水箱所用材料最省.3m)

7、2,2(33323222233第10頁/共28頁把它折起來做成解解: 設折起來的邊長為 x cm,則斷面面積x24一個斷面為等腰梯形的水槽,傾角為 ,Acos2224xx x224(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224x積最大. )0,120:(2 xD為問怎樣折法才能使斷面面第11頁/共28頁cos24xcos22x0)sin(cos222x令xAsin24sin4x0cossin2xA解得:由題意知,最大值在定義域D 內達到,而在域D 內只有一個駐點,故此點即為所求.,0sin0 xsincossin2sin2422xxxA)0,120:(2 xD0cos212

8、xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x第12頁/共28頁極值問題無條件極值:條 件 極 值 :條件極值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其他條件限制例如 ,轉化,0),(下在條件yx的極值求函數(shù)),(yxfz )(0),(xyyx 中解出從條件)(,(xxfz第13頁/共28頁,0),(下在條件yx.),(的極值求函數(shù)yxfz 例如例如,引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F 稱為拉格朗日( Lagrange )函數(shù).0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格則極值點滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘

9、數(shù)法.),(),(yxyxfF第14頁/共28頁拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形. 設解方程組可得到條件極值的可疑點 . 例如例如, 求函數(shù)下的極值.在條件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F20F第15頁/共28頁要設計一個容量為0V則問題為求x , y ,令解方程組解解: 設 x , y , z 分別表示長、寬、高,下水箱表面積最小.z 使在條件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyxF00Vzyx水箱長、寬、高等于多少時所用材料最??？的長方體

10、開口水箱, 0VzyxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz試問第16頁/共28頁得唯一駐點,2230Vzyx3024V由題意可知合理的設計是存在的,長、寬為高的 2 倍時，所用材料最省.因此 , 當高為,340Vxyz思考思考:1) 當水箱封閉時, 長、寬、高的尺寸如何?提示提示: 利用對稱性可知,30Vzyx2) 當開口水箱底部的造價為側面的二倍時, 欲使造價 應如何設拉格朗日函數(shù)? 長、寬、高尺寸如何? 提示提示:)()(20VzyxyxzyzxF2長、寬、高尺寸相等 .最省,第17頁/共28頁1. 函數(shù)的極值問題函數(shù)的極值問題第一步 利用必要條件在定義域內找駐點.

11、即解方程組第二步 利用充分條件 判別駐點是否為極值點 .2. 函數(shù)的條件極值問題函數(shù)的條件極值問題(1) 簡單問題用代入法, ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如對二元函數(shù)(2) 一般問題用拉格朗日乘數(shù)法第18頁/共28頁第二步 判別 比較駐點及邊界點上函數(shù)值的大小 根據問題的實際意義確定最值第一步 找目標函數(shù), 確定定義域 ( 及約束條件)第19頁/共28頁已知平面上兩定點 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),試在橢圓圓周上求一點 C, 使ABC 面積 S最大.解答提示解答提示:設 C 點坐標為 (x , y), 21031013yxkji)103, 0,0(21yx

12、)0, 0(14922yxyx則 ACABS2110321yxCBAyxEDO第20頁/共28頁設拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點對應面積而比較可知, 點 C 與 E 重合時, 三角形面積最大.)491 ()103(222yxyxF092)103(2xyx042)103(6yyx049122yx646. 1S,54,53yx,5 . 3,2EDSS點擊圖中任意點動畫開始或暫停第21頁/共28頁注 解解: 設內接三角形各邊所對的圓心角為 x, y, z, ,2zyxzyx它們所對應的三個三角形面積分別為,sin2211xRS ,sin2212yRS zRSsin22130,0,0zyx設拉氏函數(shù))2(

13、sinsinsinzyxzyxF解方程組0cosx, 得32zyx故圓內接正三角形面積最大 , 最大面積為 32sin322maxRS.4332R0cosy0cosz02zyx注則 第22頁/共28頁因此前者不可能為圓內接三角形中面積最大者. BCA1A若ABC 位于半圓內(如圖) , 則其BC 邊上的高小于A1BC 同邊上的高,故前者的面積小于后者， 第23頁/共28頁為邊的面積最大的四邊形 ,試列出其目標函數(shù)和約束條件 ?提示提示: sin21sin21dcbaS)0,0(目標函數(shù)目標函數(shù) :cos2cos22222dcdcbaba約束條件約束條件 :dcba,abcd答案答案:,即四邊形內接于圓時面積最大 .第24頁/共28頁電視機的銷售價格為p, 銷售量為x, 假設該廠的生產處于平衡狀態(tài), 即生產量等于銷售量.根據市場預測, x 與p 滿 足關系:(0,0)eapxMMa其中M是最大市場需求量, a是價格系數(shù).又據對生產環(huán)節(jié)的分析, 預測每臺電視機的生產成本滿足:) 1, 0(ln0 xkxkcc其中c0是生產一臺電視機的成本, k是規(guī)模系數(shù).問應如何確定每臺電視機的售價 p , 才能使該廠獲得最大利潤？解解: 生產x臺獲得利潤xcpu)(問題化為在條件, 下求xcpu)(的最大值點.第25