復變函數(shù)留數(shù)的一般理論PPT學習教案

1、會計學1復變函數(shù)留數(shù)的一般理論復變函數(shù)留數(shù)的一般理論課件2一。引例001 zzcdzecz的去心鄰域內(nèi)圍繞為其中計算積分,曲線。的任意一條正向簡單閉數(shù)為：的去心鄰域內(nèi)的羅朗級在解：01 zeznnzzne)1(!101dzzzdzzndzecncncz! 2111)1(!1201 i25.2 留數(shù)的一般理論5.2.1 留數(shù)的定義及計算第1頁/共28頁課件3留數(shù)定義二.曲線的任意一條正向簡單閉內(nèi)圍繞去心鄰域為，其中計算積分（一般情形）00zzcdzzfc )(鄰域內(nèi)處處解析，則在）若（01zzf)(去心鄰域內(nèi)解析），則不解析，在在的一個孤立奇點為）若（0002zzzfz()(一般不等于零。 cd

2、zzf)(內(nèi)的羅朗級數(shù)為：的去心鄰域在 000zzzzf:)(0)(cdzzf（柯西定理）第2頁/共28頁課件41010)()()(zzczzczfmmnnzzczzcc)()(00101210)(10micmdzzzccmm（例3.6的結論）00)(0ndzzzccnn（柯西定理）12)(icdzzfc第3頁/共28頁課件5 cdzzfi)(21),(Res01zzfc 負冪項去心鄰域上羅朗級數(shù)中在0zzf)(的系數(shù)。101 )(zzc,)(Res11112 zz計算：例解：內(nèi)羅朗級數(shù)為：的去心鄰域在 101zzzzzz1111122 )()() 1(1) 1(1) 1(12zzz11 ,)

3、1(1Res2zz定義5.3的孤立奇點，稱為內(nèi)解析，在設)()(zfzRzzzf000 的留數(shù)，在孤立奇點為0zzf)(),(Res0zzf記作RrzzC 0:其中， 022111111111nnnzzzz)()()()()(第4頁/共28頁課件601 ,)1(1Res2zz345) 1(1) 1(1) 1(1zzz11 z1111111111111322 zzzzzz)()()()(內(nèi)的羅朗級數(shù)在11112 zzz)()(錯誤解法第5頁/共28頁課件7為：的去心鄰域內(nèi)羅朗級數(shù)在解：03 zzez23203! 33!233)3(!1zzzznzzennz! 230 ,Res23zze處留數(shù)；在

4、計算：例023 zzezfz)(留數(shù)計算有何簡便方法？第6頁/共28頁課件8三、留數(shù)的計算方法110101 czzczzf項的系數(shù)式，去心鄰域上的羅朗展開在定義)()(:.的可去奇點時是特別：)( zfz000 ),(Reszzf項）羅朗展開式中不含負冪(的項找出來就可以了。，所以只要把包含其余系數(shù)可以不必理會只需求出系數(shù)在計算羅朗展開式時，作為計算留數(shù)的方法，注：101 )(.zzc531)(sin)(zzzf 例：為孤立奇點0 z數(shù)為的去心鄰域上的羅朗級0 z00 ),(Reszf5335313111)!()(sin)( zzzzzzf項不存在1 z第7頁/共28頁課件91010 mmmm

5、zzczzczf)()()(證 )()(010101zzcczzc )()(010zzcczzzfmmm 10100101mmmzzczzczzc)()()()(mmmzzzfdzd011 于是 21001mzzcmc)()!()(lim)!(mmmzzzzzfdzdmc0111011 極點處留數(shù)的計算. 2)(lim)!1(1),(Res01100mmmzzzzzfdzdmzzf階極點，的是如果mzfz)(0則規(guī)則I第8頁/共28頁課件10的一階極點時，則是若特別：)( )zfz01)(lim),(Res000zzzfzzfzz 則都解析，且在及若,)(,)(,)()()(,)()()()0

6、0020000 zQzQzPzzQzPzQzPzf)()(),(Res000zQzPzzf 的一階極點，而為)(zfz0)( )(,)()(Res)()()(0000zQzPzzQzPzQzPzfz 的一階極點，則為設證明：階零點的是的一階零點，是00)()(zPzQz的一階極點。是)(zfz0)(lim),(Res000zzzfzzfzz 00000zzzQzQzPzzzQzPzzzz )()()(lim)()()(lim)()(00zQzP 規(guī)則II規(guī)則III第9頁/共28頁課件11處的留數(shù)求下列函數(shù)在孤立奇點例5zzfcos1)()1 的一階零點是zkzkcos2 解,)(,的一階極點為

7、zfkkzk102 為偶數(shù)為奇數(shù)kkzzzfkzzk111| )(cos),(Res)(lim),(Reskzzkzzzfzzfk )(coslimcoslimzzzzkkzzkzz1 為偶數(shù)為奇數(shù)kkzkzz111|sin（洛比塔法則）或為孤立奇點,102 kkzk第10頁/共28頁課件122212)()() zzezfiz解zzfzfz )(lim),(Res00為孤立奇點izz , 0的一階零點為)(102 zzz的二階零點為221)( zziz處不為零。在izeiz , 0的二階極點是的一階極點，是)()(zfizzfz 02201)(lim zeizz1 )()(lim!),(Res

8、211izzfdzdizfiz )(lim2izzedzdiziz e43 類似地，)()(lim!),(Res211izzfdzdizfiz e41 第11頁/共28頁課件13留數(shù)定理）定理(.55.),(Res2)(1 nkkCzzfidzzf 1z4z3z2zDC處處解析，外內(nèi)除有限個孤立奇點在區(qū)域若函數(shù) ,)(nzzzDzf21區(qū)域，是復平面上一個有界閉設D上也解析，則的邊界且它在CDnz證明：nnccczzz,2121構造小的圓周分別圍繞所圍成的區(qū)域上解析，在由nccC,czf,)(21根據(jù)定理3.2 nkcCkdzzfdzzf0)()(.),(Res nkkzzfi12第12頁/共

9、28頁課件14的積分，封閉曲線此定理的作用是把求沿注C中的各孤立奇點轉化為求被積函數(shù)在 C.處的留數(shù)第13頁/共28頁課件152162 zCdzzzez為正向圓周：計算積分例,)(C解為二階極點，為被積函數(shù)的一階極點10 zzzzzezfzz2010)(lim),(Res 1 ) 1() 1(lim)!12(1 1),(Res221 zzezdzdzfzzlim1zedzdzz 21) 1(limzzezz 0 1),(Res0),(Res2)1(2zfzfidzzzeCz ii2012 )(內(nèi)。都在且Czz10 ,根據(jù)留數(shù)定理 dzzzeCz21)(第14頁/共28頁課件16( (另一解法另

10、一解法) )210CCzz,1構造兩個小的圓周圍繞 dzzzedzzzedzzzeCzCzCz 21222)1()1()1(dzzzeCz 12)1(dzzzeCz 22)1(02| ) 1(2 zzzei 1|)(! 12 zzzei i 2 .果與第三章的結果相同注：留數(shù)定理的計算結一般情況成立么？思考題 Cdzzf)(的內(nèi)部且在階極點的為Cmzfz,)(0 留數(shù)定理高階導數(shù)公式mzzzgzf)()()(0 第15頁/共28頁課件172171 zCdzzzez為正向圓周：計算積分例,C解:的孤立奇點為被積函數(shù))(,zfzz01 ,且都在 C 的內(nèi)部),(Re),(ReC10211zfszf

11、sidzzzez 的本性奇點，為)(zfz0 ）不存在且不為（ )(limzfz0zzezzzzezf11111 )(上的羅朗級數(shù)的去心鄰域在 zzzf00)()(!()(nnnnznzz1100 )(!()(nnnnznz11001 )!)( 323213112111zzzzzz11 cz 的系數(shù) !413121210 nn!210 znnnz)!(2 e第16頁/共28頁課件18201 eczfs),(Re的一階極點是zzezfzz 111)(階零點）的的一階零點，是，是0111zzezz)( )(lim)(lim),(Rezzzzezzfzfs11111 e ),(Re),(ReC102

12、11zfszfsidzzzez i4 第17頁/共28頁課件19四、無窮遠點)()(R)(zfdzzfizzfC為內(nèi)解析，稱在設 21點的留數(shù)，記為在 Cdzzfizf)(21),(Res RrzzRC 內(nèi)的圓周為圓環(huán)域其中，的閉曲線的正方向。的反方向正好是包含注： C(對于C上任意一點P沿此方向在C上前進時, 始終在點P的左方.) 內(nèi)的羅朗展開式在 zRzf)( zcczczf1011)(121 cdzzfiC)( Cdzzfizf)(21),(Res 1 c(利用柯西定理及例3.6)第18頁/共28頁課件20例子:112 ,Rezesz點處的留數(shù)。在擴充復平面上各個奇求函數(shù)21zezfz

13、)(解:,)( ,zzzf0奇點在擴充復平面上的孤立解析）的去心鄰域在 zRzf)(的一階極點是)(zfz0 的二階零點）的一階零點，是是（210zezz)( 110122 zzezeszz)(lim,Re0z內(nèi)的羅朗展開式在 zRzf)(201znzzfnn !)( zz!31211第19頁/共28頁課件21，那么外處處解析個孤立奇點在擴充復平面內(nèi)除有限如果函數(shù)定理 ,)(. nzzzzf2165.)(的留數(shù)的總和必等于零點在所有各奇點（包括 zf01 ),(Re),(Re),(Rezfszzfszzfsn證明:，圓周在擴充復平面內(nèi)，構造RzC :根據(jù)留數(shù)定理得內(nèi)包含在使,Czzzn21),

14、(Re),(Re)(nCzzfszzfsidzzf 12),(Re),(Re)(nCzzfszzfsdzzfi 121),(Re)( zfsdzzfiC21結論成立.注:通過定理給出了計算留數(shù)的一種方法.第20頁/共28頁課件22無窮遠點處留數(shù)的計算652.定理),(),(Res1knkzzfesRzf ,)(Res),(Res.01132zzfzf 證)()()(,wwfzfzw 11則令)()(11 czzRzf項的系數(shù)變號內(nèi)的羅朗展開式中在1.定義的有限的孤立奇點為)(zfzk解析在Rww10 )( 1101wccwcw)( zcczczf1011)(上的羅朗級數(shù)在 zRzf)(上的羅朗

15、級數(shù)在Rww10 )( 31201121wcwcwcww)(,)(Re0121wwsc ,)(Re0112wwfs ,)(Re0112zzfs (更換變量記號)解析在 zRzf)(第21頁/共28頁課件23數(shù)面上各孤立奇點處的留求下列函數(shù)在擴充復平例8解114 zzzf)()()(1)(1(1)(4izizzzzzzzf 都是一階極點，izz , 1141)1(),1(Res zzzzzf1341 zz41 為孤立奇點 z)(lim),1(Res1z114 zzzzf（或者，41)1(1),(Res141 zzzzzf41)1(),(Res4 izizzzizf 0 ,1)1(Res),(Re

16、s2zzfzf 0 ,1Res4zz 0 為可去奇點）（0 z第22頁/共28頁課件24)()()()311210 zzizzf解階極點，是10iz ., 是一階極點31 z為孤立奇點 z)()()(lim),(Res13111101 zzzizzfz10)1(21i )1()(1lim3),(Res103 zizzfz10)1(21i 00 ,1)1(Res),(Res2 zzfzf),)()()(為可去奇點031111110102 zzzzizzzf),(Resizf 1),(Reszf 3),(Reszf),(Res zf10)1(21i 0)1(2110 i根據(jù)定理5.6第23頁/共28頁課件25求下列積分例9dzzzizz)()()(3111102 解:被積函數(shù)的孤立奇點: ,3,1 , iiI 2 1),(Reszf),(Resi