勾股定理練習(xí)題及答案(共6套)

1、勾股定理課時練（1）1.在直角三角形 ABC 中，斜邊 AB=1 ，則 AB 2BC 2AC 2 的值是（）A.2B.4C.6D.82.如圖 182 4 所示 ,有一個形狀為直角梯形的零件ABCD ，AD BC，斜腰 DC 的長為10 cm， D=120°，則該零件另一腰 AB 的長是 _ cm（結(jié)果不取近似值） .3. 直角三角形兩直角邊長分別為 5 和 12，則它斜邊上的高為 _4.一根旗桿于離地面12 m 處斷裂，猶如裝有鉸鏈那樣倒向地面，旗桿頂落于離旗桿地步16 m ，旗桿在斷裂之前高多少m ？5. 如圖，如下圖，今年的冰雪災(zāi)害中，一棵大樹在離地面3 米處折斷，樹的頂端落在離

2、樹桿底部4米處，那么這棵樹折斷之前的高度是米 .3m“路”4m第5題圖第2題圖6. 飛機在空中水平飛行, 某一時刻剛好飛到一個男孩子頭頂正上方4000 米處 , 過了 20 秒, 飛機距離這個男孩頭頂 5000 米, 求飛機每小時飛行多少千米 ?7. 如圖所示，無蓋玻璃容器，高 18 cm ，底面周長為 60 cm ，在外側(cè)距下底 1 cm 的點 C 處有一蜘蛛，與蜘蛛相對的容器的上口外側(cè)距開口 1 cm 的 F 處有一蒼蠅， 試求急于撲貨蒼蠅充饑的蜘蛛，所走的最短路線的長度 .8. 一個零件的形狀如圖所示，已知AC=3cm ， AB=4cm ，BD=12cm 。求 CD的長 .第 8題圖9.

3、 如圖，在四邊形 ABCD中， A=60°， B= D=90°， BC=2，CD=3，求 AB 的長 .第9題圖10.如圖，一個牧童在小河的南4km 的 A 處牧馬，而他正位于他的小屋B 的西 8km 北 7km 處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家. 他要完成這件事情所走的最短路程是多少？11 如圖，某會展中心在會展期間準(zhǔn)備將高5m, 長 13m，寬 2m 的樓道上鋪地毯, 已知地毯平方米18元，請你幫助計算一下，鋪完這個樓道至少需要多少元錢?13m5m第 11題12. 甲、乙兩位探險者到沙漠進行探險，沒有了水，需要尋找水源為了不致于走散，他們用兩部對話機聯(lián)系，已知

4、對話機的有效距離為15 千米早晨8：00 甲先出發(fā)，他以6 千米 / 時的速度向東行走， 1 小時后乙出發(fā)，他以5 千米 / 時的速度向北行進，上午10： 00，甲、乙二人相距多遠(yuǎn)？還能保持聯(lián)系嗎？第7題圖第一課時答案：1.A ，提示：根據(jù)勾股定理得BC 2AC 21，所以 AB2 BC2AC 2=1+1=2 ；2.4 ，提示：由勾股定理可得斜邊的長為5 m ，而 3+4-5=2m ，所以他們少走了4 步.3.60，提示：設(shè)斜邊的高為x ，根據(jù)勾股定理求斜邊為12252169 13 ，再利13用面積法得， 15 12113x, x60；22134. 解：依題意， AB=16 m ， AC=12

5、 m ，在直角三角形 ABC 中 ,由勾股定理 ,BC 2AB2AC 2162122202 ,所以 BC=20 m ,20+12=32( m ),故旗桿在斷裂之前有32 m 高.5.86. 解: 如圖 , 由題意得 ,AC=4000 米 , C=90° ,AB=5000 米 , 由勾股定理得BC=50002400023000( 米 ),3所以飛機飛行的速度為540( 千米 / 小時 )2036007. 解：將曲線沿 AB展開，如圖所示，過點 C 作 CE AB于 E.在 RtCEF ,CEF90 ， EF=18-1-1=16 （ cm ），1CE=30(cm) ，2.60CE2EF2

6、30216234( )由勾股定理，得CF=8.解：在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理，得在直角三角形 CBD中，根據(jù)勾股定理，得2222CD=BC+BD=25+12 =169，所以 CD=13.9. 解：延長 BC、AD交于點 E. （如圖所示） B=90°， A=60°， E=30°又 CD=3， CE=6， BE=8，設(shè) AB=x ，則 AE=2x ，由勾股定理。得 (2x)2x 282 , x83310. 如圖，作出 A 點關(guān)于 MN 的對稱點 A，連接 AB 交 MN 于點 P，則 AB 就是最短路線 .在 Rt A DB 中，由勾股定理求得A B=17k

7、m11.解：根據(jù)勾股定理求得水平長為1325212m，地毯的總長為 12+5=17 （ m），地毯的面積為17× 2=34（ m2 ) ，鋪完這個樓道至少需要花為：34× 18=612（元）12. 解：如圖，甲從上午 8：00 到上午 10：00 一共走了 2 小時，走了 12 千米，即 OA=12乙從上午 9： 00 到上午 10：00 一共走了 1 小時，走了 5 千米，即 OB=5222在 Rt OAB 中， AB =12 十 5 169 ， AB=13，因此，上午10： 00 時，甲、乙兩人相距13 千米 15 13，甲、乙兩人還能保持聯(lián)系A(chǔ)M PADB第 1OAB

8、C2AC2AB2324225勾股定理的逆定理（2）一、 選擇題1.下列各組數(shù)據(jù)中，不能作為直角三角形三邊長的是（）A.9，12，15B. 5,1, 3C.0.2， 0.3， 0.4 D.40 ， 41， 9442.滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（）A. 三個內(nèi)角比為 1 21B.三邊之比為 125C.三邊之比為3 25 D. 三個內(nèi)角比為 1 233. 已知三角形兩邊長為2 和 6，要使這個三角形為直角三角形，則第三邊的長為（）A.2B.2 10C.4 2或 2 10 D. 以上都不對4. 五根小木棒，其長度分別為 7， 15， 20， 24， 25，現(xiàn)將他們擺成兩個直角三角形，其

9、中正確的是（ ）ABCD二、填空題5. ABC的三邊分別是7、 24、 25，則三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)是.7.已知三角形 ABC的三邊長為 a, b, c 滿足 ab 10, ab18， c8，則此三角形為三角形 .8.cmcmcm，則 BC邊上的高為 AD=cm.在三角形 ABC中， AB=12， AC=5，BC=13三、解答題9.如圖，已知四邊形ABCD 中， B=90°， AB=3， BC=4， CD=12 ，AD =13，求四邊形 ABCD 的面積 .10. 如圖， E 、F 分別是正方形 ABCD 中 BC 和 CD 邊上的點，且 AB=4，第 9題圖CE=BC， F 為

10、CD 的中點，連接AF 、AE ，問 AEF 是什么三角形？請說明理由.ADFBEC第10題6. 三邊為 9、 12、 15 的三角形，其面積為.11. 如圖， AB 為一棵大樹， 在樹上距地面 10m 的 D 處有兩只猴子， 它們同時發(fā)現(xiàn)地面上的 C 處有一筐水果，一只猴子從 D 處上爬到樹頂 A 處，利用拉在 A 處的滑繩 AC，滑到 C 處，另一只猴子從 D 處滑到地面B，再由 B 跑到 C，已知兩猴子所經(jīng)路程都是15m，求樹高 AB .AD .BC第11題12. 如圖，為修通鐵路鑿?fù)ㄋ淼?AC，量出 A=40° B 50°， AB 5 公里， BC4 公里，若每天鑿

11、隧道 0.3 公里，問幾天才能把隧道 AB鑿?fù)ǎ?8.2勾股定理的逆定理答案：一、1.C；2.C；3.C ，提示：當(dāng)已經(jīng)給出的兩邊分別為直角邊時， 第三邊為斜邊 = 22622 10;當(dāng) 6為斜邊時，第三邊為直角邊 = 6 22 24 2；4.C；二、 5.90 °提示：根據(jù)勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，所以最大的內(nèi)角為90°.6.54，提示：先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，面積為191254.7.2直角，提示：(a b) 2100, 得 a 2b 22ab 100, a 2b 2100 2 186482c2；8. 60 ，提示：先根據(jù)勾股定理逆定理判斷三角

12、形是直角三角形，再利用面積法求得13112 5113 AD；22三、 9. 解：連接 AC，在 Rt ABC 中，AC2=AB2 BC2 =3242=25 ， AC=5.在 ACD 中，AC2 CD2=25 122=169，而 AB2=132=169 ， AC2 CD2=AB2， ACD=90°故 S 四邊形 ABCD=S ABCS ACD= 1 AB· BC 1 AC ·CD = 1 ×3× 4 1 × 5×12=6 30=36.222210. 解：由勾股定理得 AE 2=25， EF 2=5，AF 2=20， AE2=

13、EF2 + AF 2， AEF 是直角三角形11. 設(shè) AD=x 米，則 AB 為（ 10+x）米， AC 為（ 15- x）米， BC 為 5 米， ( x+10) 2+52=( 15- x) 2，解得 x=2， 10+x=12（米）12. 解：第七組， a27 115, b2 7( 71) 112,c 112 1 113.第 n 組， a 2n1,b2n(n1),c2n(n1)1勾股定理的逆定理（3）一、基礎(chǔ) ·鞏固1.滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三內(nèi)角之比為 1 23B.三邊長的平方之比為 123C.三邊長之比為 345D.三內(nèi)角之比為 3 4 52.如圖

14、 182 4 所示 ,有一個形狀為直角梯形的零件ABCD ，AD BC，斜腰 DC 的長為10 cm， D=120°，則該零件另一腰AB 的長是 _ cm（結(jié)果不取近似值） .圖 18圖 18 25圖 18 263.如圖 18 25，以 Rt ABC 的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為S1、S2、S3，且 S1=4，S2=8，則 AB 的長為 _.4.如圖 18 26，已知正方形ABCD 的邊長為 4，E 為 AB 中點，F(xiàn) 為 AD 上的一點，且 AF= 1 AD ，4試判斷 EFC 的形狀 .5.一個零件的形狀如圖 18 27，按規(guī)定這個零件中 A 與 BDC 都應(yīng)為直角，工人

15、師傅量得零件各邊尺寸： AD=4 ，AB=3,BD=5 ， DC=12 , BC=13 ，這個零件符合要求嗎？圖 18276.已知 ABC 的三邊分別為k2 1，2k，k2+1（k 1），求證： ABC 是直角三角形 .二、綜合 ·應(yīng)用7.已知 a、b、c 是 Rt ABC 的三 邊長， A 1B 1C1 的三邊長分別是2a、2b、2c，那么 A 1B 1C1 是直角三角形嗎？為什么？28.已知：如圖18 28，在 ABC 中， CD 是 AB 邊上的高，且CD =AD·BD.圖 18289.如圖 18 29 所示，在平面直角坐標(biāo)系中， 點 A 、B 的坐標(biāo)分別為 A（ 3

16、，1），B（2，4）， OAB 是直角三角形嗎？借助于網(wǎng)格，證明你的結(jié)論. 圖 182922210.已知：在 ABC 中， A 、 B、 C 的對邊分別是a、b、c，滿足 a +b +c +338=10a+24b+26c.12.已知：如圖 182 10，四邊形 ABCD ，AD BC，AB=4 ，BC=6 ，CD=5 ，AD=3. 求：四邊形 ABCD 的面積 .圖 18210參考答案一、基礎(chǔ) ·鞏固1.滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三內(nèi)角之比為 1 23B.三邊長的平方之比為 123C.三邊長之比為 345D.三內(nèi)角之比為 3 4 5思路分析： 判斷一個三角形是

17、否是直角三角形有以下方法：有一個角是直角或兩銳角互余；兩邊的平方和等于第三邊的平方；一邊的中線等于這條邊的一半.由 A 得有一個角是直角；B、 C 滿足勾股定理的逆定理，所以應(yīng)選 D.答案： D2.如圖 182 4 所示 ,有一個形狀為直角梯形的零件ABCD ，AD BC，斜腰 DC 的長為10 cm， D=120°，則該零件另一腰AB 的長是 _ cm（結(jié)果不取近似值） .圖 1824解：過 D 點作 DEAB 交 BC 于 E,則 DEC 是直角三角形 .四邊形 ABED 是矩形，AB=DE. D=120°， CDE=30° .又在直角三角形中，30°

18、;所對的直角邊等于斜邊的一半，CE=5 cm.22根據(jù)勾股定理的逆定理得，DE=1055 3 cm.3.如圖 18 25，以 Rt ABC 的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為S1、S2、S3，且 S1=4，S2=8，則 AB 的長為 _.圖 1825圖 1826思路分析： 因為 ABC 是 Rt，所以 BC22212 3332,+AC =AB,即 S+S =S，所以 S =12，因為 S =AB所以 AB=S312 23.答案： 2314.如圖 18 26，已知正方形ABCD 的邊長為 4，E 為 AB 中點，F(xiàn) 為 AD 上的一點，且 AF=AD ，4試判斷 EFC 的形狀 .思路分析：

19、分別計算 EF、 CE、CF 的長度，再利用勾股定理的逆定理判斷即可.解： E 為 AB 中點， BE=2. CE2=BE 2+BC 2=22+42=20.同理可求得 ,EF2=AE 2+AF 2 =22+12=5,CF 2=DF 2+CD 2=3 2+42=25. CE2+EF 2=CF2, EFC 是以 CEF 為直角的直角三角形 .5.一個零件的形狀如圖18 27，按規(guī)定這個零件中A 與 BDC 都應(yīng)為直角，工人師傅量得零件各邊尺寸： AD=4 ， AB=3,BD=5 ，DC=12 , BC=13 ，這個零件符合要求嗎？圖 182 7思路分析：要檢驗這個零件是否符合要求， 只要判斷 AD

20、B 和 DBC 是否為直角三角形即可，這樣勾股定理的逆定理就可派上用場了 .解：在 ABD 中， AB 2+AD 2 =32+42 =9+16=25=BD 2，所以 ABD 為直角三角形， A =90°. 在 BDC 中,BD 2+DC 2=52+122 =25+144=169=13 2=BC 2.所以 BDC 是直角三角形， CDB =90°.圖 182 9因此這個零件符合要求 .思路分析： 借助于網(wǎng)格，利用勾股定理分別計算OA 、AB 、OB 的長度，再利用勾股定理的逆6.已知 ABC 的三邊分別為 k2 1，2k，k2+1（k 1），求證： ABC 是直角三角形 .定

21、理判斷 OAB 是否是直角三角形即可 .思路分析： 根據(jù)題意，只要判斷三邊之間的關(guān)系符合勾股定理的逆定理即可.解： OA2 =OA 12+A 1 A2 =32+12 =10,證明： k 2+1>k 2 1,k2+12k=(k 1)2 >0,即 k2+1>2k ， k2+1是最長邊 .OB2=OB 12 +B1B 2=22+42=20,(k 2 1)2 +(2k )2=k 4 2k2+1+4k 2=k4+2k 2+1=(k 2+1) 2,AB 2=AC 2+BC 2=12+32=10, ABC 是直角三角形 . OA2+AB 2=O B 2.二、綜合 ·應(yīng)用 OAB

22、是以 OB 為斜邊的等腰直角三角形 .7.已知 a、b、c 是 Rt ABC 的三 邊長， A 1B 1C1 的三邊長分別是2a、2b、2c，那么 A 1B 1C1 是直10.閱讀下列解題過程：已知a、 b、 c 為 ABC 的三邊，且滿足 a2c2 b2 c2=a4 b4，試判斷 ABC角三角形嗎？為什么？的形狀 .思路分析： 如果將直角三角形的三條邊長同時擴大一個相同的倍數(shù)，得到的三角形還是直角解： a2c2b2c2 =a4 b4 ，(A) c2(a2 b2)=(a2+b2)(a2 b2) ，(B) c2 =a2+b2，（ C) ABC 是直三角形（例 2 已證） .角三角形 .解：略問：

23、上述解題 過程是從哪一步開始出現(xiàn)錯誤的？請寫出該步的代號_ ；8.已知：如圖 1828，在 ABC 中， CD 是 AB 邊上的高，且 CD 2=AD·BD.錯誤的原因是 _；本題的正確結(jié)論是 _.求證： ABC 是直角三角形 .思路分析： 做這種類型的題目，首先要認(rèn)真審題，特別是題目中隱含的條件，本題錯在忽視了 a 有可能等于 b 這一條件，從而得出的結(jié)論不全面 .答案： (B) 沒有考慮 a=b 這種可能，當(dāng)a=b 時 ABC 是等腰三角形； ABC 是等腰三角形或直角三角形 .11.已知：在 ABC 中， A 、 B、 C 的對邊分別是 a、b、c，滿足 a2+b2 +c2+3

24、38=10a+24b+26c.圖 182 8試判斷 ABC 的形狀 .思路分析： 根據(jù)題意，只要判斷三邊符合勾股定理的逆定理即可.思路分析：（1）移項，配成三個完全平方； (2)三個非負(fù)數(shù)的和為0，則都為 0； (3)已知 a、b、證明： AC 2=AD 2+CD 2 ，BC2=CD 2 +BD 2，c，利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀為直角三角形.AC 2+BC 2=AD 2+2CD 2+BD 2解：由已知可得 a2 10a+25+b2 24b+144+c2 26c+169=0,=AD 2+2AD·BD+BD 2配方并化簡得 ,(a5) 2+(b 12)2+(c 13)2=0.

25、=（AD+BD ）2 =AB 2. (a 5)2 0,(b 12)2 0,(c 13)2 0. ABC 是直角三角形 . a5=0,b12=0,c 13=0.9.如圖 18 29 所示，在平面直角坐標(biāo)系中， 點 A 、B 的坐標(biāo)分別為 A（ 3，1），B（2，4）， OAB解得 a=5,b=12,c=13.是直角三角形嗎？借助于網(wǎng)格，證明你的結(jié)論.又 a2+b2=169=c 2, ABC 是直角三角形 .12.已知：如圖18210，四邊形 ABCD ， AD BC， AB=4 ，BC=6 ，CD=5 ， AD=3.求：四邊形ABCD 的面積 .圖 18210思路分析：（ 1）作 DEAB ，連

26、結(jié) BD，則可以證明 ABD EDB （ASA ）；(2)DE=AB=4 ，BE=AD=3 ，EC=EB =3；(3) 在 DEC 中， 3、4、5 為勾股數(shù)， DEC 為直角三角形， DE BC； (4)利用梯形面積公式，或利用三角形的面積可解.解：作 DE AB ，連結(jié) BD ，則可以證明 ABD EDB （ASA ） , DE=AB=4 ， BE=AD=3. BC=6, EC=EB=3. DE2+CE 2=32+42=25=CD 2, DEC 為直角三角形 .又 EC=EB=3, DBC 為等腰三角形，DB=DC=5.在 BDA 中 AD 2 +AB 2=32+42=25=BD 2, B

27、DA 是直角三角形 .它們的面積分別為S BDA = 1 ×3×4=6;S DBC= 1 ×6×4=12.22S 四邊形 ABCD =SBDA +S DBC =6+12=18.勾股定理的應(yīng)用（4）（3）結(jié)合勾股定理有關(guān)知識，說明你的結(jié)論的正確性。1. 三個半圓的面積分別為 S1=4.5 ， S2 =8， S3=12.5 ，把三個半圓拼成如圖所示的圖形，則 ABC一定是直角三角形嗎？說明理由。6.如圖，在Rt ABC中， ACB=90°， CD AB ， BC=6，AC=8， 求 AB 、CD 的長A2. 求知中學(xué)有一塊四邊形的空地 ABCD，如

28、下圖所示，學(xué)校計劃在空地上種植草皮， 經(jīng)測量 A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200 天，問學(xué)校需要投入多少資金買草皮？DBCCD7.在數(shù)軸上畫出表示17 的點（不寫作法，但要保留畫圖痕跡）AB3. （12 分）如圖所示，折疊矩形的一邊AD，使點 D 落在 BC邊上的點 F 處，已知 AB=8cm，BC=10cm，求 EC的長。8.已知如圖，四邊形ABCD 中， B=90°， AB=4， BC=3，CD=12， AD=13，求這個四邊形的面積4.如圖，一個牧童在小河的南 4km 的 A 處牧馬， 而他正位于他的小屋 B 的西

29、 8km 北 7km 處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家 .他要完成這件事情所走的最短路程是多少？ADBC小9.如圖，每個小方格的邊長都為1求圖中格點四邊形ABCD 的面積。牧 A北東DB小AC5. （8 分）觀察下列各式，你有什么發(fā)現(xiàn)？32 =4+5，52=12+13，72 =24+259 2=40+41這到底是巧合，還是有什么規(guī)律蘊涵其中呢？（ 1）填空： 132 =+B（ 2）請寫出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。勾股定理復(fù)習(xí)題（5）一、填空、選擇題題：C.對頂角相等D.如果 a=b 或 a+b=0, 那么 a2b23. 有一個邊長為 5 米的正方形洞口，想用一個圓蓋去蓋住這個洞口，圓的直徑至少為

30、（）米。4、一旗桿離地面6米處折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部8 米處，則旗桿折斷之前的高度是二、解答題：（）米。19、有一個水池， 水面是一個邊長為10 尺的正方形， 在水池正中央有一根蘆葦， 它高出水面1 尺。6、 在 ABC中， C=90° ,AB=10。 (1)若 A=30° , 則 BC=，AC=。 (2) 若 A=45°,如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面。水的深度與這根蘆葦?shù)拈L則 BC=，AC=。度分別是多少？8、在 ABC中， C=90°， AC=0.9cm,BC=1.2cm.則斜邊上的高 CD=m11、三角形的三邊

31、a b c ，滿足 ( ab) 2c22ab ，則此三角形是三角形。12、小明向東走 80 米后，沿另一方向又走了60米，再沿第三個方向走100 米回到原地。小明向20、一根竹子高 1 丈，折斷后竹子頂端落在離竹子底端3 尺處 . 折斷處離地面的高度是多少? ( 其東走 80 米后又向方向走的。中丈、尺是長度單位 ,1丈=10 尺)13、ABC 中， AB=13cm ,BC=10cm ，BC邊上的中線 AD=12cm則 AC 的長為cm14、兩人從同一地點同時出發(fā)，一人以3 米/ 秒的速度向北直行，一人以4 米 / 秒的速度向東直行，5 秒鐘后他們相距米.15、寫出下列命題的逆命題，這些命題的

32、逆命題成立嗎？21、某港口位于東西方向的海岸線上。“遠(yuǎn)航”號、 “海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定兩直線平行，內(nèi)錯角相等。（）方向航行，“遠(yuǎn)航”號每小時航行 16海里，“海天”號每小時航行12 海里。它們離開港口一個半如果兩個實數(shù)相等，那么它們的平方相等。小時后相距 30 海里。如果知道 “遠(yuǎn)航號” 沿東北方向航行， 能知道 “海天號” 沿哪個方向航行嗎？（）若 a2b2，則 a=b（）全等三角形的對應(yīng)角相等。（）角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上。23、一根 70cm的木棒 , 要放在長、 寬、高分別是 50cm,40cm,30cm 的長方體木箱中 , 能放進去嗎 ?( 提（）示: 長方體的高垂直于底面的任何一條直線.)16、下列各組線段組成的三角形不是