數(shù)學之旅測試題

1、1愛因斯坦創(chuàng)立廣義相對論時用到了下列什么重要的數(shù)學工具？黎曼幾何2下面這個方程有沒有整數(shù)解？方程有沒有整數(shù)解？有3下列哪個是孿生素數(shù)對？(17,19)4圓與橢圓在下列哪個數(shù)學分支中可看作一樣？拓撲5具有同樣周長的下列圖形哪個面積更大？圓6以下漢字哪一個可以一筆不重復地寫出？日7偶數(shù)與正整數(shù)哪個多？一樣多8數(shù)列極限趨于0的直觀定義的弱點是下面哪一點？缺乏可操作性9課程中費曼的故事告訴我們懂得一件事情最重要的是下面列出的哪一條？找到感覺10超弦理論中蜷縮的空間可以用下面那個空間來描述？Calabi-Yau空間11下面哪一位人物用窮竭法證明了圓的面積與其直徑平方成正比？歐多克索斯12以下什么成果是阿

2、基米德首先得到的?拋物線弓形的面積13阿基米德求幾何級數(shù)的和用的是什么方法？幾何的方法14歐多克索斯、阿基米德和劉徽等人對微積分的貢獻主要體現(xiàn)在什么方面？定積分15一種發(fā)展連續(xù)不可分量的新幾何學的方法是下列哪位數(shù)學家的著作？卡瓦列里16現(xiàn)在我們一直在用的“函數(shù)（function）”這個詞是誰引進的？萊布尼茲17本課程提到的最美的風景點是指？牛頓-萊布尼茲公式18一直沿用至今的-語言是哪位數(shù)學家引入的？魏爾斯特拉斯19康托爾所創(chuàng)立的什么理論是實數(shù)以至整個微積分理論體系的基礎(chǔ)？集合論20下面關(guān)于黎曼可積和勒貝格可積的論述那一項是正確的？黎曼可積函數(shù)類是不完備的，勒貝格可積函數(shù)類是完備的21試用阿基

3、米德的方法求下面幾何級數(shù)的和。22計算加百列號的表面積與體積，并解釋為何在這個號角里面灌滿油漆，油漆的體積是有限的，但它卻能夠涂滿無限的表面積？23舉例說明黎曼積分中積分號和極限號有時不可交換，并給出可交換時需要的條件。24下列四個定義中，哪個不能作為Rn中的度量(距離)？25度量的三個基本屬性中不包括下列哪一個？連續(xù)性（三角不等式，正定型，對稱性）26下列關(guān)于度量和范數(shù)的說法中正確的是？由范數(shù)可以定義距離，但由距離不可以定義范數(shù)27下列說法中不正確的是？對，若為的范數(shù)，則下列說法中不正確的是？若為實數(shù)，則有28以下現(xiàn)象可以用什么原理來解釋？在三維空間中，波的傳播有清晰的前后陣面，但是在二維空

4、間中卻沒有？惠更斯原理29下列選項中正確的是？以下向量組中哪個不能構(gòu)成的基向量？（0，1，1），（2，1，1），（1，0，0）30下列哪個選項是正確的？若向量a=（1，0，5，2），b=（3，-2，3，-4），c=（-1，1，t，3）線性相關(guān)，那么t的值為？131下列選項正確的是？向量和的夾角為？32下列說法哪一個是正確的？向量組線性無關(guān)的充分必要條件是？齊次線性方程組只有零解33下列哪個屬性不是內(nèi)積所具有的？三角不等式（對稱性，對第一個變元的線性性，正定性）34給定一個集合 ，試驗證下面兩個集族是否構(gòu)成集合M上的拓撲？1).2).35隨著網(wǎng)絡(luò)的迅速發(fā)展，人們越來越多的使用e-mai

5、l聯(lián)系和交流。試通過任意兩人之間在一段時間內(nèi)的e-mail交流的次數(shù)來定義一個距離，使得交流多的距離近，交流少的距離遠，并驗證它滿足度量（距離）的三條屬性。36函數(shù) (x)=x2+5x+4在實數(shù)域上的不動點是什么？-237假如你正在一個圓環(huán)形（注意是圓環(huán)形）的公園內(nèi)游玩，手里的公園地圖不小心掉到了地上，問此時地圖上是否有一點，使得這個點下面的地方剛好就是它在地圖上所表示的位置？有38慢慢攪動咖啡，當它再次靜止時，問咖啡中是否有一點在攪拌前后位置相同？有39定義在0,1上的連續(xù)函數(shù)空間是幾維的？無限維。40若把一圓周繞著圓心旋轉(zhuǎn)90°，問在圓周上是否有不動點？沒有41美籍法裔

6、經(jīng)濟學家G. Debreu由于什么貢獻而獲得了1983年的諾貝爾經(jīng)濟學獎？運用不動點理論進一步發(fā)展了一般均衡理論；42下列哪種體現(xiàn)了壓縮映像的思想？合影拍照43電影“A beautiful mind”中男主人公的原型既是一位經(jīng)濟學家，又是一位大數(shù)學家，他的名字是？J.F. Nash44假如你正在一個圓形的公園內(nèi)游玩，手里的公園地圖不小心掉到了地上，問此時你能否在地圖上找到一點，使得這個點下面的地方剛好就是它在地圖上所表示的位置？能45下列陳述哪一項是正確的？有限維空間中的有界無窮集合必有收斂子列，無窮維則不然46假設(shè)消費者甲有6輛自行車，0臺計算機，消費者乙有3輛自行車，6臺計算機。甲和乙都想

7、1/2用于自行車，1/2用于計算機，請找到一種定價方式使之達到供求均衡？解：設(shè)自行車定價為X,計算機定價為Y.并設(shè)最終甲有自行車k輛計     算機L臺，則乙最終有自行車9-k輛計算機6-L臺.    基于條件可列如下等式：    對甲：6X=kX+LY;kX=LY=6X*1/2;          得到k=3,L=3X/Y.    對乙：3X+6Y=(9-k)X+(6-L)Y;(9-k)X=(6-L)Y=(3X+6Y)*1/2;    

8、0;     代入k=3得L=2,3X=2Y.可記X=2t,Y=3t(t>0).    綜上所述，在自行車定價為2t計算機定價3t條件下可使供求             達到平衡.此時，甲有自行車3輛計算機2臺，乙有自             行車6輛計算機4臺.47（雙煎餅問題）有兩張形狀任意的煎餅，任意重疊在一起，問能夠一刀切下去，同時將兩煎餅二等分嗎，如果能，請說明理由。解：能。（以下把煎餅抽象成平面上的封閉凸域）理由如下：

9、    先給個簡單小引理：即對一個煎餅，不論相對形狀如何，必可切一刀，使它面積二等             分。（請見附件咯）    再應用連續(xù)函數(shù)的介值定理即可（對于凹域可以轉(zhuǎn)化為多個凸域證明）。三煎餅問題證明（不重疊情形）： 如圖（請見附件），在兩封閉凸域P,Q間任取一點O，作一水平軸作參考系，將0X逆時針旋轉(zhuǎn)到OX0        與兩圖形相交。          證明過程請見附件

10、（原諒我很對新系統(tǒng)無語）48擬微分算子在20世紀60年代成為了一種系統(tǒng)的數(shù)學理論，它的集大成者為下列哪位數(shù)學家？L.Hormander49有一段聲樂可以用y=a sin(bt)來表示，那么這段聲樂的音量是由其中哪個數(shù)值決定的？a50間斷函數(shù)能不能由Fourier級數(shù)表出？能51式子的值為？052一個音叉振動的位移與時間的關(guān)系式為y=0.01sin400t，那么這個音叉的振動的振幅和頻率分別為？0.01，200 53頻率表示的是物體每單位時間（每秒）振動的次數(shù)，它是以什么為單位的？赫茲54光的三原色是什么？紅藍綠55下列哪個著作可視為調(diào)和分析的發(fā)端？熱的解析理論；56振動快的波相對于振動慢的波稱

11、為什么波？高頻波57分數(shù)階導數(shù)可以由什么理論來定義？Fourier分析58 f(x)是周期為的函數(shù)，且寫出f(x)的Fourier級數(shù)其中Fourier系數(shù)59求調(diào)制信號的表達式。如果載波信號為，調(diào)制信號為，那么經(jīng)過調(diào)幅后的已調(diào)波的表達式其中，k是一個比例常數(shù)。試用上面給出的調(diào)幅信號的表達公式來求解以下問題：已知一個載波信號為，經(jīng)過調(diào)制后的已調(diào)波為，假設(shè)比例常數(shù)k=1，求調(diào)制信號的表達式。60皮亞諾曲線是一條填滿正方形的曲線，那么它的相似維數(shù)是多少呢？261科克曲線的Hausdorff維數(shù)是多少？ln4/ln362一個外徑為3，內(nèi)徑為2的圓環(huán)的Hausdorff維數(shù)是多少？263下列

12、和混沌與分形最不相關(guān)的是？三角初等函數(shù)64費根鮑姆（Feigenbaum）在研究混沌理論時，發(fā)現(xiàn)前兩個分叉點參數(shù)距離是后兩個分叉點參數(shù)距離的4.669.倍，這個現(xiàn)象說明了？非線性系統(tǒng)造成的混沌中有一定規(guī)律65若，那么a是周期為多少的點呢？366具體到每時每刻的長期天氣預報是可能的嗎，為什么？不可能，由于蝴蝶效應67蝴蝶效應指的是初始值的微小變化可以極大地影響結(jié)果，可以用于股票、天氣等一段時間內(nèi)難以預測的復雜系統(tǒng)中，那么蝴蝶效應來源于誰的發(fā)現(xiàn)呢？洛倫茲68科克曲線所圍的圖形面積是有限的嗎？有限69為了使肺泡與空氣有更多的接觸面，人的肺泡結(jié)構(gòu)十分復雜，其表面的Hausdorff維數(shù)是多少呢？接近于

13、370設(shè)生成科克曲線(Koch curve)的初始三角形為邊長為1的單位正三角形。(i) 試求出科克曲線所圍圖形的面積；(ii) 證明科克曲線長度為無窮大。圖形的一部分，依此畫下去當n趨于無窮時，Sn=$frac2sqrt35$235 71試求此康托爾集的Hausdorff維數(shù)。將封閉的0,1區(qū)間3等分,刪去中間的開區(qū)間(1/3,2/3)，然后把剩下的2個閉區(qū)間0,1/3，2/3,1再3等分，并刪去中間的2個開區(qū)間，即(1/9,2/9)，(7/9,8/9)，如此繼續(xù)下去，自然有些點永遠刪不去，比如1/3,2/3等，這些點的集合稱為康托爾(Cantor)集。試求此康托爾集的Hausdorff維數(shù).1.將封閉的0,1區(qū)間3等分,刪去中間的開區(qū)間(1/3,2/3)是其中的一份，剩下的是其中的兩