培優(yōu)(九年級)圓的翻滾——毛全明老師(1)

1、圓的翻滾把平面圖形按一定方向作無滑動的翻折或滾動，稱為圖形的翻滾， 圖形翻滾的常見形式有：（ 1）正多邊形的翻折；（ 2）圓的滾邊。圖形翻滾問題著力考查動手操作、分析細節(jié)、歸納類比等綜合能力。【例 1】如圖，將邊長為a 的正六邊形 A1 A2 A3 A4 A5 A6 在直線 l 上由圖 的位置按順時針方向向右作無滑動滾動，當A1 第一次滾動到圖 位置時，求點A1 所經(jīng)過的路徑的長。分析與解每一次滾邊都是正六邊形繞點、（ 2017以一定的長為半徑旋轉(zhuǎn)定角，年桂林市中考題） A1 所經(jīng)過的路徑的長是弧長，解題的關(guān)鍵是深入分析每次滾動。【例 2】已知正方形ABCD 的邊長 ABk（ k 是正整數(shù)），

2、正PAE 的頂點 P 在正方形內(nèi)，頂點 E 在邊 AB 上，且 AE1 將PAE 在正方形內(nèi)按圖1 中所示的方式，沿著正方形的邊 AB、 BC、 CD、 DA、 AB、. 連續(xù)地翻轉(zhuǎn)n 次，使頂點 P 第一次回到原來的起始位置（1）如果我們把正方形ABCD在直線上作連續(xù)的翻轉(zhuǎn)運動圖意圖請你探索： 若 k1 ，則的邊展開在一直線上，那么這一翻轉(zhuǎn)過程可以看作是PAE2 是 k1時，PAE 沿正方形的邊連續(xù)翻轉(zhuǎn)過程的展開示PAE 沿正方形的邊連續(xù)翻轉(zhuǎn)的次數(shù)n時，頂點P 第一次回到原來的起始位置；（2）若 k2 ，則 n時，頂點 P 第一次回到原來的起始位置；若k3，則時，頂點 P 第一次回到原來的起

3、始位置；（3）請你猜測：使頂點P 第一次回到原來的起始位置的n 值與 k 之間的關(guān)系（請用含代數(shù)式表示 n ）nk 的（寧波市中考題）【例 3】如圖至圖，O 均作無滑動滾動， O1 、 O2、 O3 、 O4均表示 O與線段 AB 或 BC 相切于端點時刻的位置，O的周長為 c 閱讀理解：（1）如圖 1， O 從 O1 的位置出發(fā)，沿AB滾動到 O2 的位置，當 ABc 時， O 恰好自轉(zhuǎn) 1 周；（2）如圖 2， ABC 相鄰的補角是 n ， O 在 ABC 外部沿 A BC 滾動，在點 B 處，必須由 O1 的位置旋轉(zhuǎn)到O2 的位置， O 繞點 B 旋轉(zhuǎn)的角O1 BO2n， O在點 B處自

4、轉(zhuǎn)周實踐應用：（1）在閱讀理解的（ 1）中，若 AB 2c ，則 O 自轉(zhuǎn)周；若 ABl ，則 O 自轉(zhuǎn)周在閱讀理解的（ 2）中，若ABC 120 ，則 O 在點 B 處自轉(zhuǎn)周；若 ABC60，則 O在點 B 處自轉(zhuǎn)周；（2）如圖3，ABC90 ，AB BC1ABC 外部沿 O 從 O1 的位置出發(fā)，在2A B C滾動到 O4的位置， O 自轉(zhuǎn)周拓展聯(lián)想：（1）如圖 4，ABC 的周長為 l ， O 從與 AB 相切于點 D 的位置出發(fā)，在ABC 外部，按順時針方向沿三角形滾動，又回到與AB 相切于點 D 的位置， O 自轉(zhuǎn)了多少周？請說明理由；（2）如圖 5，多邊形的周長為l ， O 從與某

5、邊相切于點D 的位置出發(fā)，在多邊形外部，按順時針方向沿多邊形滾動，又回到與該邊相切于點D 的位置， 直接寫出 O 自轉(zhuǎn)的周數(shù)（河北省中考題）練習1. 已知一個半圓形工件， 未搬動前如圖所示， 直徑平行于地面放置， 搬動時為了保護圓弧部分不受損傷， 先將半圓作如圖所示的無滑動翻轉(zhuǎn)， 使它的直徑緊貼地面， 再將它沿地面平移50 米，半圓的直徑為4 米，則圓心 O 所經(jīng)過的路線長是m （ 2017 年蘭州市中考題）2. 如圖，小正六邊形沿著大正六邊形的邊緣順時針滾動， 小正六邊形的邊長是大正六邊形邊長的一半， 當小正六邊形由圖 位置滾動到圖 位置時， 線段 OA 繞點 O 順時針轉(zhuǎn)過的角度為度（河北

6、省中考題）3. 如圖，講兩枚同樣大小的硬幣放在桌上， 固定其中一枚， 而另一枚則沿著其邊緣滾動一周，這時滾動的硬幣滾動了（）A. 1圈B.1.5圈C.2 圈D.2.5 圈（佛山市中考題）4. 如圖，一張半徑為1的圓形紙片在邊長為a(a3) 的正方形內(nèi)任意移動，則該正方形內(nèi)，這張圓形紙片 “ 不能接觸到的部分” 的面積是（）Aa24a2 4BCD（ 2017 年衡州市中考題）5. 如圖所示， O 沿著凸 n 邊形 A1 A2 A3.An 1 An 的外側(cè)（圓和邊相切）作無滑動的滾動一第 4 題周回到原來的位置（ 1）當 O 和凸 n 邊形的周長相等時，證明：（ 2）當 O 的周長是 a ，凸 n

7、 邊形的周長是 O 自身轉(zhuǎn)動了兩圈；b 時，請寫明此時 O自身轉(zhuǎn)動的圈數(shù)（浙江省競賽題）第 5 題6. 如圖， 小慧同學把一個正三角形紙片 （即OAB）放在直線 l1 上 OA 邊與直線 l1 重合，然后將三角形紙片繞著頂點A 按順吋針方向旋轉(zhuǎn)120，此時點 O 運動到了點 O1 處，點 B 運動到了點 B1處；小慧又將三角形紙片AO1B1 ，繞點 B1 按順吋針方向旋轉(zhuǎn)120 ，此時點 A 運動到了點 A1處，點 O1 運動到了點 O2處（即頂點 O 經(jīng)過上述兩次旋轉(zhuǎn)到達O2 處）小慧還發(fā)現(xiàn)：三角形紙片在上述兩次旋轉(zhuǎn)的過程中頂點O 運動所形成的圖形是兩段圓弧，即弧 OO1 和弧 O1O2 ，

8、頂點 O 所經(jīng)過的路程是這兩段圓弧的長度之和，并且這兩段圓弧與直線l1 圍成的圖形面積等于扇形AOO1 的面積、AO1 B1 的面積和扇形BO1O2 的面積之和小慧進行類比研究：如圖， 她把邊長為 1的正方形紙片OABC 放在直線 l 2 上， OA 邊與直線l 2 重合，然后將正方形紙片繞著頂點A 按順時針方向旋轉(zhuǎn)90，此時點O 運動到了點 O1 處（即點B 處），點 C 運動到了點C1 處，點B 運動到了點B1 處，小慧又將正方形紙片AO1C1 B1 繞頂點 B1 按順時針方向旋轉(zhuǎn)90 ，按上述方法經(jīng)過若干次旋轉(zhuǎn)后，她提出了如下問題：問題：若正方形紙片按上述方法經(jīng)過3 次旋轉(zhuǎn)，求頂點O 經(jīng)過的路程，并求頂點O 在此運動過程中所形成的圖形與直線l 2 圍成圖形的面積；若正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過5 次旋轉(zhuǎn)求頂點O 經(jīng)過的路程；問題：正方形紙片OABC 按上述方法經(jīng)過多少次旋轉(zhuǎn)，頂點O 經(jīng)過的路程是？7. 如圖，等腰梯形MNPQ的上底長為2 ，腰長為3 ，一個底角為60正方形ABCD的邊長為 1，它的一邊AD在 MN上，且頂點A 與 M重合 現(xiàn)將正方形ABCD在梯形的外面沿邊 MN 、 NP、