平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示教學(xué)設(shè)計(jì)

1、56 平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律一、內(nèi)容及其解析1、內(nèi)容：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式、兩個(gè)平面向 量的夾角的坐標(biāo)公式及用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式判斷兩個(gè)平面向量的垂直 關(guān)系。2、解析：平面向量的數(shù)量積是兩向量之間的一種運(yùn)算，前面我們已經(jīng)做了充分 研究，這次課通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，給出了向量的另一種表示式 坐標(biāo)表示式后，這樣就使得向量與它的坐標(biāo)建立起了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，而平面向量的坐 標(biāo)表示把向量之間的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)之間的運(yùn)算 , 這就為用“數(shù)”的運(yùn)算處理“形” 的問(wèn)題搭起了橋梁。本節(jié)內(nèi)容是在平面向量的坐標(biāo)表示以及平面向量的數(shù)量積及其運(yùn)算律的基 礎(chǔ)上，介紹了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

2、，平面兩點(diǎn)間的距離公式，和向量垂 直的坐標(biāo)表示的充要條件。由于向量的數(shù)量積體現(xiàn)了向量的長(zhǎng)度和三角函數(shù)之 間的一種關(guān)系，特別用向量的數(shù)量積能有效地解決線段垂直的問(wèn)題。把向量的 數(shù)量積應(yīng)用到三角形中，還能解決三角形邊角之間的有關(guān)問(wèn)題。所以向量的數(shù) 量積的坐標(biāo)表示為解決直線垂直問(wèn)題，三角形邊角的有關(guān)問(wèn)題提供了很好的辦 法，本節(jié)內(nèi)容也是全章重要內(nèi)容之一。二、目標(biāo)及解析1、目標(biāo)1）、掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示2）、了解用平面向量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題3）、掌握向量垂直的條件2、解析：1）、通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示出平面向量的數(shù)量積；2）、引入數(shù)量積的坐標(biāo)表示后，可以用坐標(biāo)將距離、角

3、度及垂直關(guān)系用坐標(biāo)表示 出來(lái),從而解決有關(guān)這些方面的幾何問(wèn)題.3）、兩個(gè)向量的數(shù)量積是否為零，是判斷相應(yīng)的兩條直線是否垂直的重要方法之一。（注意：垂直的坐標(biāo)表示xix2+ yiy2 =0 ,共線的坐標(biāo)表示xiy2 x2yi=0）三、教學(xué)問(wèn)題診斷本節(jié)課是在學(xué)生充分理解向量的概念，掌握向量的坐標(biāo)表示，并已經(jīng)掌握了 向量的數(shù)量積的概念和運(yùn)算律的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的，應(yīng)該說(shuō)，從知識(shí)的接受上 學(xué)生并不困難，也能理解各個(gè)公式的坐標(biāo)表示。本節(jié)課的重點(diǎn)是掌握平面向量 數(shù)量積的坐標(biāo)表示，并能用坐標(biāo)形式處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題，難點(diǎn) 是向量垂直的條件的理解與掌握，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是在掌握向量數(shù)量積概念的 基礎(chǔ)上，

4、通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，將向量的數(shù)量積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的運(yùn)算，即數(shù) 之間的運(yùn)算。四、教學(xué)支持條件分析本節(jié)內(nèi)容是全章重點(diǎn)內(nèi)容之一，學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)容易混淆，在指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真預(yù)習(xí)的前提下，教學(xué)中從向量的幾何意義上突破難點(diǎn)，在通過(guò)適當(dāng)?shù)木毩?xí)加以鞏固。 可把重要性質(zhì)、運(yùn)算律、例題做成幻燈片，提高課堂效率。五、教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程（一）、教學(xué)基本流程情景創(chuàng)設(shè)t | |新課講授 |例題解析 J 斗 目標(biāo)檢測(cè)| |小結(jié)與作業(yè)（二）情景創(chuàng)設(shè)平面向量的表示方法有幾何法和坐標(biāo)法，向量的表示形式不同，對(duì)其運(yùn)算 的表示方式也會(huì)改變.向量的坐標(biāo)表示，為我們解決有關(guān)向量的加、減、數(shù)乘 向量帶來(lái)了極大的方便.上一節(jié)，我們學(xué)習(xí)了平面向量的數(shù)量積，

5、那么向量的坐 標(biāo)表示，對(duì)平面向量的數(shù)量積的表示方式又會(huì)帶來(lái)哪些變化呢？設(shè)計(jì)意圖：設(shè)置情境，弓I出課題，設(shè)下問(wèn)題懸念，弓I發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，弓I起注意，喚起學(xué)生追求探索新知識(shí)的欲望.問(wèn)題1:設(shè)單位向量i, j分別與平面直角坐標(biāo)系中的x軸、y軸方向相同，0為 坐標(biāo)原點(diǎn)，若向量0A=3i' 2j，貝卩向量0A的坐標(biāo)是，若向量a = (1,2),貝卩向量a可用i, j表示為；已知 |i|=| j|=1 , i _ j，且 3 2j , b = i - j，則 a b=；設(shè)計(jì)意圖：由舊知識(shí)入手，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)已學(xué)過(guò)的知識(shí)，以便向新知識(shí)進(jìn)行探索。(三) 新課講授1、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示問(wèn)題2:已知

6、兩個(gè)非零向量(x1, y1) , b = (x2, y2)，怎樣用a與b的坐標(biāo)來(lái)表示a b呢？(讓學(xué)生自主推導(dǎo))設(shè)計(jì)意圖：先讓學(xué)生自主推導(dǎo)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示形式，讓學(xué)生能快速將所學(xué)的向量的坐標(biāo)表示知識(shí)用到剛學(xué)的向量的數(shù)量積的問(wèn)題上，體會(huì)知識(shí)的形成過(guò)程。設(shè)向量i,j分別為平面直角坐標(biāo)系的x軸、y軸上的單位向量，則有F * T-+卜a 二燈 j , b =X2i y? j二 a b = (Xii yi j)(x?i y? j)xiX2i2 + (xiy2 + X2yi)i j + yiyij2= XiX2 y2兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。練習(xí)：若 a = (2,3)，貝S a

7、，a 二, |a|=； 若表示向量a的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1,2)和(2,6)，則|aF 若 a=(1,1) , b=(-3,3)，則 ab二, a 與 b 的夾角是； 設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)做練習(xí)，及時(shí)鞏固所學(xué)新知識(shí)，加深理解2、學(xué)生活動(dòng)問(wèn)題3:設(shè)i是x軸上的單位向量，j是y軸上的單位向量，則 i i = i j= j i= j j =設(shè)計(jì)意圖：鞏固向量數(shù)量積的概念，并為下面的問(wèn)題做鋪墊3、建構(gòu)數(shù)學(xué)a=(x,yj,b=(x2,y2)，貝卩 abx+yM，讓學(xué)生用自己的語(yǔ)言表達(dá)，教師歸納得：兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。問(wèn)題4:向量的數(shù)量積的性質(zhì)如何用坐標(biāo)表示？(1) a=(x

8、,yj，則|a|怎么表示？(2) 若 A(x,y),B(X2,y2)則 |AB|又如何表示？(“ |a|=.x2 %2(2) |AB|=(X1-X2)2 (%-丫2)2問(wèn)題5:你能寫(xiě)出向量夾角公式的坐標(biāo)表示式以及向量平行和垂直的坐標(biāo)表示式嗎？設(shè)計(jì)意圖：仍然在幫助學(xué)生回憶有關(guān)知識(shí)點(diǎn)的過(guò)程中，弓I導(dǎo)他們用坐標(biāo)的形式 表示，通過(guò)兩向量的兩種特殊位置關(guān)系，體會(huì)向量的坐標(biāo)表示，感受向量的數(shù) 量積的作用。并幫助學(xué)生記住這些結(jié)論(1) cos=X1X2 yiy2|a 1 1 b 1 &i2 + yNX?2 +y22(2) a/b= X1yX2y1 =0(3) a _ b= x1x2 yy =04、例

9、題解析例1.已知a=(-1,、3) , b=d，求a b , |a|, |b|, a與b的夾角二?？梢越又鴨?wèn)：Qb的夾角怎么求？解：ab=(-1)3 (-1)=-2.3|a |(一1)2(、3)2 =2|b|(3廠匚1)2=2r a b-2343COST|a| |b|2x22T 0 二 v ":二.卄主6先讓學(xué)生嘗試解答，體會(huì)自主應(yīng)用新知識(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程，然后給出詳細(xì)解答.例2.已知A(1,2) , B(2,3) , C(-2,5)，試判斷ABC的形狀，并給出證明.解：ABC是直角三角形.證明如下：/ AB=(1,1) , AC=(-3,3). AB AC =1 (-3) 1 3=0

10、. AB _ AC. ABC是直角三角形先讓學(xué)生畫(huà)出簡(jiǎn)圖，直觀感知三角形的形狀，然后引導(dǎo)學(xué)生分析解答注重培養(yǎng)學(xué)生由觀察一一猜測(cè)一一證明的思維方法.例題引伸:在直角 OAB中，OA二(2,3) , OB二(1,k)，求實(shí)數(shù)k的值;解：若 AOB =90，貝S OA_OB2 k 二-3 若.OAB =90，貝卩 AO _ AB而 AO =(一2,一3), AB =OBOA = (1,k 一3)/.2 _3(k -3) =011 k =3 若.OBA = 90，貝卩 BO _ BA而 BO=(-1, -k), BA = OA - OB 二(1,3 - k)_1 _k(3 _k) =0 k =25、課

11、堂小結(jié)掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；掌握平面向量的模的坐標(biāo)公式以及平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式；掌握兩個(gè)平面向量的夾角的坐標(biāo)公式；能用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系；目標(biāo)檢測(cè)1. 若 a =(-4,3),b =(5,6)，則 3|a|2 -4a b 二；2. 若 a =(3,1),b =(x,-3)，且 a b，則實(shí)數(shù) x 二；3. 若 A(-1,-4),B(5,2),C(3,4)，貝"ABC 的形狀是；4. 若a =(2,3),b =(4,7)，則a在b方向上的投影是 ；5. 若2 =(4,2)，則與a垂直的單位向量的坐標(biāo)是 ；設(shè)計(jì)意圖：

12、充分做到以本為本，根據(jù)學(xué)情，能讓學(xué)生把握公式特點(diǎn)，能利用公 式進(jìn)行計(jì)算。配餐作業(yè)一基礎(chǔ)題(A組題)1. 在已知a=(x, y), b=( y, x)，則a, b之間的關(guān)系為()CA.平行B.不平行不垂直C.a丄bD.以上均不對(duì)2. 若a=(xi, yi), b=(X2, y2),且a±b,坐標(biāo)滿(mǎn)足條件()CA.XiX2-yiy2=0B. Xiyi-X2y2=0C. XiX2+yiy2=0D. Xiy2+X2yi=03. a=(2,3), b=(-2,4),則(a+b) (a- b)=. -74. 已知a=( 2,3),b=(3,2),求：a b、(a+b)- (a b)、(a+b)2

13、>a(a+b)、b(a+b)設(shè)計(jì)意圖：在目標(biāo)檢測(cè)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步鞏固所學(xué)公式，達(dá)到夯實(shí)基礎(chǔ)的目的二鞏固題(B組題)5. 給定兩個(gè)向量a=(3,4), b=(2,-1)且(a+xb)丄(a-b),貝収等于()CA.23 B.23 C. 23 D. 232346. 若a=(-4,3), b=(5,6),則3| a| 2 4 a b等于()D.A.23 B.57C.63D.837. 已知a=(入，2 ), b=(-3,5)且a與b的夾角為鈍角，貝S入的取值范圍是(A">詈8. 已知A(1 , 0), B(3 , 1) , C(2 , 0),且a=BC,b=CA,則a與b的夾角為4

14、5°9. 證明：以A(-2,-3),B(19,4), q-1,-6)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形。10. 在厶ABC中，AB = (1 , 1) , AC = (2 , k),若厶ABC中有一個(gè)角為直角，求 實(shí)數(shù)k的值。設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生熟悉公式的變形，對(duì)所學(xué)知識(shí)有一個(gè)完整的印象，使知識(shí)系統(tǒng)化、條理化。三提高題（C組題）11. 已知a=（4,3）,向量b是垂直a的單位向量，則b等于（）DA.（5,4）或（4,3）3-4)或(-5,5D.（?-4）或応*A 13B.13C.65D. 655513.已知 A(1,2),B(2,3),q-2,5)，則 ABC() AA.直角三角形B.C.D.不等邊三角形12.已知 a=(2,3