2020年高考理科數(shù)學(xué)《概率與統(tǒng)計》題型歸納與訓(xùn)練

1、 2020年高考理科數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計題型歸納與訓(xùn)練【題型歸納】題型一 古典概型與幾何概型例1、某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待秒才出現(xiàn)綠燈的概率為 .【答案】【解析】因為紅燈持續(xù)時間為秒.所以這名行人至少需要等待秒才出現(xiàn)綠燈的概率為.例2、市政府為調(diào)查市民對本市某項調(diào)控措施的態(tài)度，隨機抽取了名市民，統(tǒng)計了他們的月收入頻率分布和對該項措施的贊成人數(shù)，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：月收入（單位：百元）頻數(shù)贊成人數(shù)(1)用樣本估計總體的思想比較該市月收入低于(百元)和不低于(百元)的兩類人群在該項措施的態(tài)度上有何不同；(2)現(xiàn)從樣本中月收

2、入在和的市民中各隨機抽取一個人進行跟蹤調(diào)查，求抽取的兩個人恰好對該措施一個贊成一個不贊成的概率【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】(1)由表知，樣本中月收入低于(百元)的共有人，其中持贊成態(tài)度的共有人，故贊成人數(shù)的頻率為，月收入不低于(百元)的共有人，其中持贊成態(tài)度的共有人，故贊成人數(shù)的頻率為，根據(jù)樣本估計總體的思想可知月收入不低于(百元)的人群對該措施持贊成態(tài)度的比月收入低于(百元)的人群持贊成態(tài)度的比例要高(2) 將月收入在內(nèi)，不贊成的人記為，贊成的人記為，將月收入在內(nèi)，不贊成的人記為，贊成的人記為從月收入在和內(nèi)的人中各隨機抽取人，基本事件總數(shù)，其中事件“抽取的兩個人恰好對該措施一個贊

3、成一個不贊成”包含的基本事件有共個，抽取的兩個人恰好對該措施一個贊成一個不贊成的概率.【易錯點】求解古典概型問題的關(guān)鍵：先求出基本事件的總數(shù)，再確定所求目標事件包含基本事件的個數(shù)，結(jié)合古典概型概率公式求解一般涉及“至多”“至少”等事件的概率計算問題時，可以考慮其對立事件的概率，從而簡化運算【思維點撥】1. 求復(fù)雜互斥事件概率的方法一是直接法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥事件概率的和，運用互斥事件的求和公式計算；二是間接法，先求此事件的對立事件的概率，再用公式，即運用逆向思維的方法(正難則反)求解，應(yīng)用此公式時，一定要分清事件的對立事件到底是什么事件，不能重復(fù)或遺漏特別是對于含“至多”“至

4、少”等字眼的題目，用第二種方法往往顯得比較簡便2.求古典概型的概率的基本步驟:算出所有基本事件的個數(shù)；求出事件包含的基本事件個數(shù)；代入公式，求出；幾何概型的概率是幾何度量之比,主要使用面積、體積之比與長度之比. 題型二 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例例1、某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了名學(xué)生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成組：并整理得到如下頻率分布直方圖：（）從總體的名學(xué)生中隨機抽取一人，估計其分數(shù)小于的概率；（）已知樣本中分數(shù)小于的學(xué)生有人，試估計總體中分數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)；（）已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于，且樣本中分數(shù)不小于的男女生人數(shù)相等

5、試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例【答案】（）；（）；（）.【解析】（）根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分數(shù)不小于的頻率為，所以樣本中分數(shù)小于的頻率為.（）根據(jù)題意，樣本中分數(shù)不小于的頻率為，分數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為.所以總體中分數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)估計為.（）由題意可知，樣本中分數(shù)不小于的學(xué)生人數(shù)為，所以樣本中分數(shù)不小于的男生人數(shù)為.所以樣本中的男生人數(shù)為，女生人數(shù)為，男生和女生人數(shù)的比例為，所以根據(jù)分層抽樣的原理，總體中男生和女生人數(shù)的比例估計為.【易錯點】求解統(tǒng)計圖表問題，重要的是認真觀察圖表，發(fā)現(xiàn)有用信息和數(shù)據(jù)對于頻率分布直方圖，應(yīng)注意圖中的每一個小矩形的面積是落在該區(qū)間上的頻率，所有小矩形的面積

6、和為，當小矩形等高時，說明頻率相等，計算時不要漏掉其中一個【思維點撥】1簡單隨機抽樣特點是從總體中逐個抽取適用范圍：總體中的個體較少2系統(tǒng)抽樣特點是將總體均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分中抽取適用范圍：總體中的個體數(shù)較多3分層抽樣特點是將總體分成幾層，分層進行抽取適用范圍：總體由差異明顯的幾部分組成4利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)時易出錯，應(yīng)注意區(qū)分這三者在頻率分布直方圖中：(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù)；(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方

7、形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和5.求回歸直線方程的關(guān)鍵正確理解計算的公式和準確的計算在分析實際中兩個變量的相關(guān)關(guān)系時，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點圖來確定兩個變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過線性回歸方程估計和預(yù)測變量的值6.獨立性檢驗的關(guān)鍵根據(jù)列聯(lián)表準確計算，若列聯(lián)表沒有列出來，要先列出此表的觀測值越大，對應(yīng)假設(shè)事件成立的概率越小，不成立的概率越大題型三 概率、隨機變量及其分布例1、“過大年，吃水餃”是我國不少地方過春節(jié)的一大習(xí)俗年春節(jié)前夕， 市某質(zhì)檢部門隨機抽取了包某種品牌的速凍水餃，檢測其某項質(zhì)量指標，（1）求所抽取的包速凍水餃該項質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)（同一組中

8、的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）由直方圖可以認為，速凍水餃的該項質(zhì)量指標值服從正態(tài)分布，利用該正態(tài)分布，求落在內(nèi)的概率；將頻率視為概率，若某人從某超市購買了包這種品牌的速凍水餃，記這包速凍水餃中這種質(zhì)量指標值位于內(nèi)的包數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望附：計算得所抽查的這包速凍水餃的質(zhì)量指標的標準差為；若，則， 【答案】(1) (2) （3）的分布列為；【解析】（1）所抽取的包速凍水餃該項質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)為（2）服從正態(tài)分布，且， ，落在內(nèi)的概率是根據(jù)題意得，； ； ； ； 的分布列為例2、為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取個零件，并測量其尺寸(單位：

9、)根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示一天內(nèi)抽取的個零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學(xué)期望；(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查()試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；()下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的個零件的尺寸：經(jīng)計算得，其中為抽取的第個零件的尺寸，用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標準差作為的估計值，利用估計值判斷是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計和(精確到)附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則,.【答案

10、】（1）；（2）需要；的估計值為，的估計值為.【解析】（1）抽取的一個零件的尺寸在之內(nèi)的概率為，從而零件的尺寸在之外的概率為，故因此.的數(shù)學(xué)期望為. (2)()如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸在之外的概率只有，一天內(nèi)抽取的個零件中，出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率只有，發(fā)生的概率很小因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的. ()由，得的估計值為，的估計值為，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在之外，因此需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查剔除之外的數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均.因此的估計值為，剔除之外的數(shù)據(jù)，剩下數(shù)

11、據(jù)的樣本方差為，因此的估計值為.【易錯點】1正確閱讀理解，弄清題意：與概率統(tǒng)計有關(guān)的應(yīng)用問題經(jīng)常以實際生活為背景，且?？汲Ｐ?，而解決問題的關(guān)鍵是理解題意，弄清本質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為離散型隨機變量分布列求解問題，如本題第(1)問就是利用正態(tài)分布求出，進而求出.2注意利用第(1)問的結(jié)果：在題設(shè)條件下，如果第(1)問的結(jié)果第(2)問能用得上，要可以直接用，有些題目不用第(1)問的結(jié)果甚至無法解決，如本題即是在第(1)問的基礎(chǔ)上利用小概率問題，說明監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性3注意規(guī)范答題：解題時要寫準每一小題的解題過程，尤其是解題得分點要準確、規(guī)范，需要文字表達的，不要惜墨，但也不能過于啰嗦，恰到位置就好

12、，本題就需要用文字表達，準確說明是解題關(guān)鍵【思維點撥】1.條件概率的兩種求解方法: (2)基本事件法,借助古典概型概率公式,先求事件包含的基本事件數(shù),再求事件所包含的基本事件數(shù),得.2.判斷相互獨立事件的三種常用方法:(1)利用定義,事件相互獨立.（2）利用性質(zhì),與相互獨立,則與與,也都相互獨立.(3)具體背景下,有放回地摸球,每次摸球的結(jié)果是相互獨立的.當產(chǎn)品數(shù)量很大時,不放回抽樣也可近似看作獨立重復(fù)試驗.3. 求離散型隨機變量的分布列,首先要根據(jù)具體情況確定的取值情況,然后利用排列、組合與概率知識求出取各個值的概率.4. 利用獨立重復(fù)試驗概率公式可以簡化求概率的過程,但需要注意檢驗該概率模

13、型是否滿足公式的三個條件:(1)在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是一個常數(shù);(2)次試驗不僅是在完全相同的情況下進行的重復(fù)試驗,而且各次試驗的結(jié)果是相互獨立的;(3)該公式表示次試驗中事件恰好發(fā)生了次的概率.5. 求離散型隨機變量的均值與方差的基本方法有:(1)已知隨機變量的分布列求它的均值、方差和標準差,可直接按定義(公式)求解;(2)已知隨機變量的均值、方差,求的線性函數(shù)的均值、方差,可直接用均值、方差的性質(zhì)求解,即,(為常數(shù)).(3)如能分析所給隨機變量服從常用的分布,可直接利用它們的均值、方差公式求解,即若服從兩點分布,則,;若，則，.【鞏固訓(xùn)練】題型一 古典概型與幾何概型1.已知，則函數(shù)

14、在區(qū)間上為增函數(shù)的概率是（ ）. . . .【答案】【解析】當時，情況為符合要求的只有一種；當時，則討論二次函數(shù)的對稱軸要滿足題意則產(chǎn)生的情況表示：，8種情況滿足的只有4種;綜上所述得：使得函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)的概率為：.2.在區(qū)間上任取一數(shù)，則的概率是（ ） . 【答案】【解析】由題設(shè)可得,即;所以,則由幾何概型的概率公式.故應(yīng)選.3.某汽車美容公司為吸引顧客，推出優(yōu)惠活動：對首次消費的顧客，按元/次收費，并注冊成為會員，對會員逐次消費給予相應(yīng)優(yōu)惠，標準如下表：消費次數(shù)第次第次第次第次第次及以上收費比例該公司從注冊的會員中，隨機抽取了位進行統(tǒng)計，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：消費次數(shù)第次第次第次第次第次

15、及以上頻數(shù)假設(shè)汽車美容一次，公司成本為元，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，解答下列問題：(1)估計該公司一位會員至少消費兩次的概率；(2)某會員僅消費兩次，求這兩次消費中，公司獲得的平均利潤；(3)該公司要從這位里至少消費兩次的顧客中按消費次數(shù)用分層抽樣方法抽出人，再從這人中抽出人發(fā)放紀念品，求抽出的人中恰有人消費兩次的概率【答案】(1) 0.4；(2) 45；（3）.【解析】(1)位會員中，至少消費兩次的會員有位，所以估計一位會員至少消費兩次的概率為.(2)該會員第次消費時，公司獲得的利潤為第次消費時，公司獲得的利潤為，所以，公司獲得的平均利潤為.（3）因為，所以用分層抽法抽出的人中，消費次的有人，分別為，消

16、費次的有人，分別設(shè)為,消費次和次及以上的各有人，分別設(shè)為從中抽出人，抽到的有，共種；去掉后，抽到的有共種；去掉后，抽到的有：，共種，總的抽取方法有，其中恰有人消費兩次的抽取方法有，所以，抽出的兩人中恰有人消費兩次的概率為.考向二 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例1.為考查某種疫苗預(yù)防疾病的效果,進行動物實驗,得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：未發(fā)病發(fā)病合計未注射疫苗注射疫苗合計現(xiàn)從所有試驗動物中任取一只,取到“注射疫苗”動物的概率為（）求列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),的值；（）繪制發(fā)病率的條形統(tǒng)計圖,并判斷疫苗是否有效？（）能夠有多大把握認為疫苗有效？0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 -未注射 注

17、射附：【答案】（）,；（）詳見解析；（）至少有的把握認為疫苗有效.【解析】（）設(shè)“從所有試驗動物中任取一只,取到“注射疫苗”動物”為事件A,由已知得,所以,（）未注射疫苗發(fā)病率為,注射疫苗發(fā)病率為 發(fā)病率的條形統(tǒng)計圖如圖所示,由圖可以看出疫苗影響到發(fā)病率 0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 -未注射 注射0.660.25（）所以至少有的把握認為疫苗有效.2.在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司為推廣線下分店，計劃在市的區(qū)開設(shè)分店為了確定在該區(qū)開設(shè)分店的個數(shù)，該公司對該市已開設(shè)分店的其他區(qū)的數(shù)據(jù)作了初步處理后得到下列表格記表示在各區(qū)開設(shè)分店的個數(shù)，

18、表示這個分店的年收入之和（個）（百萬元）（）該公司已經(jīng)過初步判斷，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程；（）假設(shè)該公司在區(qū)獲得的總年利潤（單位：百萬元）與之間的關(guān)系為，請結(jié)合（）中的線性回歸方程，估算該公司應(yīng)在區(qū)開設(shè)多少個分店，才能使區(qū)平均每個分店的年利潤最大？參考公式：， ， 【答案】（1）；（2）公司應(yīng)在區(qū)開設(shè)個分店，才能使區(qū)平均每個分店的年利潤最大【解析】（1），關(guān)于的線性回歸方程.（2） ，區(qū)平均每個分店的年利潤 ，時， 取得最大值，故該公司應(yīng)在區(qū)開設(shè)個分店，才能使區(qū)平均每個分店的年利潤最大3. 某商場對商品天的日銷售量(件)與時間(天)的銷售情況進行整理，得到如下數(shù)據(jù)，

19、經(jīng)統(tǒng)計分析，日銷售量(件)與時間(天)之間具有線性相關(guān)關(guān)系時間(天)日銷售量(件)(1)請根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程.(2)已知商品天內(nèi)的銷售價格(元)與時間t(天)的關(guān)系為根據(jù)(1)中求出的線性回歸方程，預(yù)測為何值時，商品的日銷售額最大參考公式：，.【答案】(1)；(2)預(yù)測當時，商品的日銷售額最大，最大值為元【解析】(1)根據(jù)題意，所以回歸系數(shù)為，故所求的線性回歸方程為.（2） 由題意得日銷售額為當時，所以當當時，所以當綜上所述，預(yù)測當時，商品的日銷售額最大，最大值為元.題型三 概率、隨機變量及其分布1.在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有名男志愿者和名女志愿者，從中隨機抽取人接受甲種心理暗示，另人接受乙種心理暗示.（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的頻率。（II）用X表示接受乙種心理暗