132函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)１

1、1.3.2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) ?,?th,.,at , 8.3.1規(guī)律規(guī)律導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么變化導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么變化地地相應(yīng)相應(yīng)特點(diǎn)特點(diǎn)此點(diǎn)附近的圖象有什么此點(diǎn)附近的圖象有什么是多少呢是多少呢在此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)在此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)函數(shù)那么那么距水面的高度最大距水面的高度最大高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員時(shí)時(shí)我們發(fā)現(xiàn)我們發(fā)現(xiàn)觀(guān)察圖觀(guān)察圖thOa83.1圖圖.,值值的的過(guò)過(guò)程程形形象象解解釋釋利利用用導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)找找極極通通過(guò)過(guò)動(dòng)動(dòng)畫(huà)畫(huà)實(shí)實(shí)驗(yàn)驗(yàn) 0th單調(diào)遞增單調(diào)遞增 0th單調(diào)遞減單調(diào)遞減 0ah93.1圖圖 ; 0ah,.93.1,that出可以看如圖圖象的附近函數(shù)放大 ,0;tah th t當(dāng)時(shí) 函數(shù)單調(diào)遞增

2、 ,0.tah th t當(dāng)時(shí) 函數(shù)單調(diào)遞減 ,(,0)(,0).,. 0tatah ttah ttaah th th a這就是說(shuō) 在附近 函數(shù)值先增時(shí)后減時(shí)這樣 當(dāng) 在 附近從小到大經(jīng)過(guò) 時(shí)先正后負(fù) 且連續(xù)變化 于是有 ?,xfy是否也有同樣的性質(zhì)呢是否也有同樣的性質(zhì)呢對(duì)于一般的函數(shù)對(duì)于一般的函數(shù) ,ta在附近 ?xfy,?xfy?j , i , h,g, f ,e,d,c,b,axfy,113.1103.1有什么規(guī)律有什么規(guī)律的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)在這些點(diǎn)附近在這些點(diǎn)附近值是多少值是多少在這些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)在這些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的函數(shù)值有什么關(guān)系的函數(shù)值有什么關(guān)系附近附近等點(diǎn)的函數(shù)值與這些點(diǎn)等點(diǎn)的函數(shù)值

3、與這些點(diǎn)在在函數(shù)函數(shù)圖圖和和如圖如圖探究探究cd efoghijxy xfy aboxy xfy 103.1圖圖113.1圖圖aboxy xfy 103.1圖圖 .0 xf, 0 xfax;0af ,axafaxxfy,b, a右側(cè)近的左側(cè)附而且在點(diǎn)點(diǎn)的函數(shù)值都小附近其他它在點(diǎn)比的函數(shù)值點(diǎn)在函數(shù)以發(fā)現(xiàn)我們可兩點(diǎn)為例以 ,0;0,. 0yf xxbf bxbfbxbfxfx類(lèi)似地 函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值比它在點(diǎn)附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大而且在點(diǎn)附近的左側(cè)右側(cè)aboxy xfy 103.1圖圖 ;xfyaf,xfya的的叫做函數(shù)叫做函數(shù)的極小值點(diǎn)的極小值點(diǎn)叫做函數(shù)叫做函數(shù)我們把點(diǎn)我們把點(diǎn)極小值極小值 ;xf

4、ybf ,xfyb的的函數(shù)函數(shù)叫做叫做的極大值點(diǎn)的極大值點(diǎn)叫做函數(shù)叫做函數(shù)點(diǎn)點(diǎn)極大值極大值.valueextreme.極小值統(tǒng)稱(chēng)極小值統(tǒng)稱(chēng)極大值和極大值和稱(chēng)為稱(chēng)為極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)極極值值點(diǎn)點(diǎn)極值極值.,的是函數(shù)的局部性質(zhì)的是函數(shù)的局部性質(zhì)刻畫(huà)刻畫(huà)點(diǎn)附近的大小情況點(diǎn)附近的大小情況極值反映了函數(shù)在某一極值反映了函數(shù)在某一 31144.3f xxx例 求函數(shù)的極值 32144,3422 .f xxxfxxxx解因?yàn)樗?.2x, 2x, 0 xf或得令:下面分兩種情況討論 ;2x, 2x, 0 xf1時(shí)或即當(dāng) .2x2, 0 xf2時(shí)即當(dāng) :xf ,xf ,x的變化情況如下表

5、變化時(shí)當(dāng) , 222,222,0028433xfxf x 單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增 ;3282f,xf ,2x,并且極大值為值有極大時(shí)當(dāng)因此 2,42.3xf xf 當(dāng)時(shí)有極小值 并且極小值為 .123.14x4x31xf3所示的圖象如圖函數(shù)?極大值一定大于極小值嗎?0點(diǎn)嗎點(diǎn)嗎的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值導(dǎo)數(shù)值為導(dǎo)數(shù)值為思考思考22oxy 4x4x31xf3123.1圖圖 .,xfy0 xfy,.xxf0 x,xxf,0 xf,0 x,0 x, 00f.x3xf,xxf,.03323而非充分條件而非充分條件件件在這點(diǎn)取極值的必要條在這點(diǎn)取極值的必要條是函數(shù)是函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為在一

6、點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為函數(shù)函數(shù)一般地一般地極值點(diǎn)極值點(diǎn)不是函數(shù)不是函數(shù)所以所以是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的即函數(shù)即函數(shù)恒有恒有還是還是于無(wú)論于無(wú)論但由但由雖然雖然我們有我們有函數(shù)函數(shù)對(duì)于對(duì)于例如例如值點(diǎn)值點(diǎn)的點(diǎn)不一定是函數(shù)的極的點(diǎn)不一定是函數(shù)的極導(dǎo)數(shù)值為導(dǎo)數(shù)值為求可導(dǎo)函數(shù)的極大求可導(dǎo)函數(shù)的極大( (小小) )值的步驟值的步驟: :確定函數(shù)的定義域；確定函數(shù)的定義域； 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù) ; ;( )fx 檢查檢查 , ,方程方程 0 0的根的左的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，確定極值點(diǎn)右兩側(cè)的符號(hào)，確定極值點(diǎn).(.(最好通過(guò)列最好通過(guò)列表法表法) )( )fx ( )fx 求方程求方程( )fx =0=0的根的根, ,這些

7、根也稱(chēng)為這些根也稱(chēng)為可能極值點(diǎn)；可能極值點(diǎn)； 強(qiáng)調(diào)強(qiáng)調(diào): :要想知道要想知道 x0是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)就就必須判斷必須判斷 f (x0)=0 0左右側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)左右側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào).(.(最好列最好列表表) ) 000,:0.0:10,0,;yf xfxfxxfxfxf x一般地 求函數(shù)的極值的方法是解方程當(dāng)時(shí)如果在 附近的左側(cè)右側(cè)那么是極大值 .xf, 0 xf, 0 xfx200是極小值是極小值那么那么右側(cè)右側(cè)附近的左側(cè)附近的左側(cè)如果在如果在解解54333( )3552.f xxxx練習(xí)：求函數(shù)的極值4322(1)( )3693(1)(3)fxxxxxxx，令令0)()

8、2( xf1231,0,3.xxx 得)3(x)1,( ), 3( ( 1,0)1 3)(xf )(xf0 0 0 00極大值極大值極小值極小值0(0,3)0 054333( )3552f xxxxMN圖形如下圖形如下)3(f極小值極小值(4)( 1),f 極大值例例2.2.（2001文）已知函數(shù)文）已知函數(shù)f(x)=xf(x)=x3 3-3ax-3ax2 2+2bx+2bx在點(diǎn)在點(diǎn)x=1處有極小值處有極小值-1，試確定，試確定a、b的值，并求出的值，并求出f(x)f(x)的單調(diào)區(qū)間。的單調(diào)區(qū)間。 分析：分析：f(x)f(x)在在x=1x=1處有極小值處有極小值-1-1，意味著，意味著f(1)

9、=-1f(1)=-1且且f(1)=0f(1)=0，故取點(diǎn)可求，故取點(diǎn)可求a a、b b的值，然后根據(jù)求的值，然后根據(jù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，求出單調(diào)區(qū)間函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，求出單調(diào)區(qū)間 。略解：?jiǎn)卧鰠^(qū)間為（單增區(qū)間為（-，-1/3）和（）和（1，+）單間區(qū)間為（單間區(qū)間為（-1/3，1）1132(1)1,(1)0fabf 練習(xí)練習(xí): : 已知函數(shù)已知函數(shù) 在在 處取得極值。處取得極值。(1)討論討論 和和 是函數(shù)是函數(shù) 的極大值還是極小值；的極大值還是極小值； (2)過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) 作曲線(xiàn)作曲線(xiàn) 的切線(xiàn)，求此切線(xiàn)方程。的切線(xiàn)，求此切線(xiàn)方程。xbxaxxf3)(231x) 1 (f( 1)f )(xf)

10、16, 0(A)(xfy 解：解：323)() 1 (2bxaxxf0) 1() 1 (ff依題意，依題意， . 0323, 0323baba0, 1ba) 1)(1(333)(,3)(23xxxxfxxxf則，令0)( xf1, 1xx時(shí)，當(dāng)), 1 () 1,(x0)( xf時(shí)，當(dāng)) 1, 1(x0)( xff(x)在在 上是增函數(shù)，上是增函數(shù)，) 1,(), 1 (，) 1, 1(f(x)在在 上是減函數(shù)。上是減函數(shù)。所以，所以， 是極大值；是極大值； 是極小值。是極小值。2) 1(f2) 1 (f（2）曲線(xiàn)方程為）曲線(xiàn)方程為 ，點(diǎn)，點(diǎn) 不在曲線(xiàn)上不在曲線(xiàn)上 .xxy33)16, 0(A設(shè)切點(diǎn)為設(shè)切點(diǎn)為 ，則點(diǎn)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿(mǎn)足的坐標(biāo)滿(mǎn)足),(00yxM03003xxy因因) 1(3)(200 xxf)(1(30200 xxxyy故切線(xiàn)的方程為故切線(xiàn)的方程為注意到點(diǎn)注意到點(diǎn)A（0，16）在切線(xiàn)上，有）在切線(xiàn)上，有)0)(1(3)3(16020030 xxxx830 x20 x即所以，切點(diǎn)為所以，切點(diǎn)為 ，)2, 2(M0169 yx切線(xiàn)方程為切線(xiàn)方程為1、極值的概念與極值的判定方法、極值的概念與極值的判定方法2、可導(dǎo)函數(shù)的極值的求法