【通用版】2020高考數(shù)學(xué)突破專題《破譯函數(shù)中雙變量問題》

1、2020【通編版】高考數(shù)學(xué)專題突破破譯函數(shù)中雙變量問題、單選題已知函數(shù)4x 1e ,g x1 1n22x ,若f m g n成立，則n m的最小值21n2 12ln2 121n21 1n2A.3 B.3 C. 3 D.則洲=!十哇，.廣；4- 42【解 析】 設(shè) = n(2n=k(k>Q)碎）十洲3-睫二24424比2 4k伯在上通肱 在產(chǎn)）上瞬，力購屬于又t題.求最值問題【方法點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求最值,往往先將所求問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)：配方法、換元法、不等式法、三角函數(shù)法、首先確定函數(shù)的定義域，然后準(zhǔn)確圖像法、函數(shù)單調(diào)性法求解，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值

2、, 地找出其單調(diào)區(qū)間，最后再根據(jù)其單調(diào)性求函數(shù)的最值即可二、填空題2.已知 f(x) =(x + 1)3e -x+ 1, g(x) =(x + 1)2+a,若？ x1, x2 C R,使得 f(x2 ) >g(x1)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .27 , 【答案】e【解析】？ x1, x2CR,使得 f(x2) >g(x1)成立，即為 f(x)max >g(x)min.又 f' (x) = (x +1)2e -x+ 1( x+ 2),由 f ' (x) = 0 得 x= 1 或 2,且當(dāng) x< 2 時(shí)，f ' (x) > 0, f(x)單調(diào)

3、27遞增；當(dāng) x>2 時(shí)，f' (x) v 0, f(x)單調(diào)遞減，所以 f(x)max = f(2) = e ,又 g(x)min = a,2727則aw e ,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（一00, e .點(diǎn)睛：對于不等式任意或存在性問題，一般轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值大小關(guān)系，即x1,乂2, fx2x minminxi,乂2, fxix2x minmaxxi,x2, fxix2xmaxminxi,乂2, fx2xmaxmax3.若不等式x2 2y2 & cx(y x)對任意滿足x>y>0的實(shí)數(shù)x, y恒成立，則實(shí)數(shù)c的最大【答案】2、2 4【解析】由f - Zj/Mct

4、y一工）整理育（1 +匚）一即3WRI兩邊同時(shí)除以M1可得口 +公- 令£ y x工2?,一二產(chǎn)一2r-?=->1,即（1+0L 二 W% 即L 二 W11一 標(biāo)，貝崎 CW-令拉）二一則有 F 二y£tI /14寸*ff1F ,令F（力二。解得U2+JI （i=之一不合條件心>舍去）,則極大值為7（2+盧）=2先 （T）-%則有JI 4 即匚的最大值為4.點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參 .不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量， 構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題三

5、、解答題4.已知函數(shù)f x x alnx i （a為常數(shù)）與x軸有唯一的公關(guān)點(diǎn)A.（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;（n）曲線y f x在點(diǎn)A處的切線斜率為a2 a 3,若存在不相等的正實(shí)數(shù) x1x2,滿足 f x1f x2 ,證明：x1x2 1【答案】（I）當(dāng)a 1時(shí)，函數(shù)f x的遞增區(qū)間為 1,遞減區(qū)間為0,1當(dāng)a 0時(shí)，函數(shù)f x的遞增區(qū)間為0，無遞減區(qū)間.（n）證明見解析【解析】試題分析:（I）因?yàn)楹瘮?shù)fx alnx 1的定義域?yàn)?,故由題意可知曲線f x與x軸存在公共點(diǎn)A 1,0 又 f xx ax ，對a進(jìn)行討論分a 0, 0a（1，a 1，a；1四種情況進(jìn)行可得解（n）容易知道函數(shù)2的切線

6、斜率為f 1 1a a a 3,得a 2,由（I）可知af x在A1,0處在區(qū)間0上遞增.不妨設(shè)x1x2,因?yàn)镮fx1f x2 ,則fx10 fx2,則x1 21nxi 1x2 21nx21,整理得x2x12 21n x1x2 ,利用基本不等式構(gòu)建關(guān)于xix2的不等關(guān)系即可證得.試題解析：（I）因?yàn)楹瘮?shù)=X-聯(lián)一 1的定義域?yàn)椋╫=+工），且/=0,故由題意可知曲線（可與"的在公共點(diǎn)HL0）,又則有*當(dāng)口 時(shí)J /（"） 0,函數(shù)力在定義域上遞增，滿足條件j當(dāng)。時(shí).空數(shù)刈在日）上遞減，在色上遞腐-1 1（DO E看（1時(shí)貝/（曰）7（1） = 0 ,取/ =也 M 

7、3;（CU I，則lnjq）=- , /（x（j） = x -1 0 a故由零點(diǎn)存在定理可知函數(shù)/（五）在1）上還有一個雪點(diǎn)，因此不符合題意*若a 1,則函數(shù)f x的極小值為f 10,符合題意;2_ _r _2 a 22,則由函數(shù)f x的單調(diào)性，有f a f 10 ,取x0a 1 a ,有2f xoa a 1n a 1.下面研究函數(shù)g a a ln a2 1 , a 1,因?yàn)?g aa 1 2 a2 1恒成立，故函數(shù)g a在1,上遞增，故g ag 111n2 0 故 f 設(shè)ag a 0成立，函數(shù)f x在區(qū)間2a, a1，一上存在零點(diǎn).不符合題意.綜上所述:,遞減區(qū)間為 0,1 ;,無遞減區(qū)間.

8、當(dāng)a 1時(shí)，函數(shù)f x的遞增區(qū)間為 1, 當(dāng)a 0時(shí)，函數(shù)f x的遞增區(qū)間為0U1）容易知道的數(shù)/（可在d（LO）處的切發(fā)斜率為/=1J 口3,得 = ±21由C I 可知口 =2 且函數(shù)/（力在區(qū)間電十h）上嶂憎.不崩設(shè)叉工方,因?yàn)閨/（） |=| /（3）|,則二天卜0 c為），貝1FWi* + 21呵-11 = Xj 4-1 j 整理得向 + 的=2 -2tn 為覆 j,由基本不等式得與+ % 2故2 21n（4與）4 ,整理得6五十In（維叼）一 1。,即 k/（1）由由數(shù)/在包y）上單調(diào)建顯所以阮即再西 】.點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用基本不等式來證明，考

9、查了分類討論的 思想，屬于中檔題.1 2f x alnx x ax5 .已知函數(shù)2（a為常數(shù)）有兩個極值點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）設(shè)f（x）的兩個極值點(diǎn)分別為x1, x2,若不等式f（x1） +f（x2）入（x1 +x2）恒成立，求入的最小值.【答案】（1）4,; （2） 1n4 3【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化為對應(yīng)一元二次方程有兩個正根，再根據(jù)實(shí)根分布列不等式組，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題：f x1fx2f x1fx2Xx2最大值，再化簡Xx2為a的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得其值域，即得入的最小值.試題解析：(1)f ' (x) = - +

10、 x - a=L-LilA-Lil (x >0), xx于是f(x)有兩個極值點(diǎn)等價(jià)于二次方程x2 ax+a= 0有兩正根，A =/ 一4猛設(shè)其兩根為x1 , x2,則Xi + AO ，解得a>4,XiX=a>0不妨設(shè) x1 v x2,此時(shí)在(0 , x1)上 f ' (x) > 0,在(x1 , x2)上 f ' (x) v 0,在(x2 , + 8)上口 f ' (x) >0.因此x1 , x2是f(x)的兩個極值點(diǎn)，符合題意.所以a的取值范圍是(4 , +8).C2)/Ui)= Hnxi+*- g + alnXi+m一皿二nr沁+ :

11、 W+jtJ) -dch+jJ £almCiXi + 3 0Ci+X；)： 一二八jUi + .vJ(.Ina 1),于是fpcJJM I + Kz(a) Ina- -a-l9 貝4，(a)- 士HE因?yàn)槔?gt;4,所以/依)<0.于是甲二加J91在(4,上單調(diào)遞被,因此如空購 J._3.且嗎3可無限接近而41 Xi-r XsXi-rxs又因?yàn)閬V+長>內(nèi)政不茅式及后+/如<+北)等價(jià)于中叫Mi+la所以、的最小值為加4- 3.點(diǎn)睛：對于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數(shù)法，使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具

12、體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)圖像確定條件6 .設(shè)函數(shù) f(x) = em奸 x2 mx.(1)證明：f(x)在(8, 0)單調(diào)遞減，在(0, +8)單調(diào)遞增;(2)若對于任意x1, x2C 1,1,都有f X1f x2 e 1 ,求m的取值范圍.【答案】(1)見解析；(2)1,1【解析】試題分析：(1)先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)m正負(fù)以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性討論得導(dǎo)函數(shù)符號(2)先利用最值轉(zhuǎn)化不等式恒成立得f(x)最大值與最小值的差不大于e-1,再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù) 單調(diào)性，解對應(yīng)不等式得 m的取值范圍.試題解

13、析：(1)f ' (x) = m(emx- 1)+2x.若 m>0,則當(dāng) x ( oo, 0)時(shí)，emx 1< 0, f ' (x) < 0;當(dāng) xC(0,+8)時(shí)，emx 1 >0, f' (x) > 0.若 m< 0,則當(dāng) x ( oo, 0)時(shí)，emx 1 > 0, f ' (x) v 0;當(dāng) x C (0 , + _°°)時(shí)，emx 1 <0, f z (x) > 0.所以，f(x)在(一8, 0)單調(diào)遞減，在(0, +OO)單調(diào)遞增.(2)由Cl)知任對任意的附 加)在【1川單調(diào)

14、遞遍，在11單調(diào)遞增了故在kQ處取得最小值.所/(1)I.以對于任意抬 一,的充要條件是I,門士« 一 1)一 I,c - I p即-一®igffi馳gS=籥一f則卻 二講一 1.當(dāng)KQ時(shí)，葭當(dāng)時(shí)，£ 3>。.故始力在(8, Q)單調(diào)遞減，在(0,十8)單調(diào)遞增.又月口)=心 £(-i)=/T + 2-Ho,故當(dāng) WliI時(shí)，s(ri=o.當(dāng)胸一L1時(shí):晨哂W。二晨一帝)W0?即式成立j當(dāng)e>1時(shí),由E的單調(diào)性? g(M)>0j即/一明>二一力當(dāng) 網(wǎng)4一1時(shí)j gf般即圍f_|_網(wǎng)>&-1綜上m所的取值范圍是L 11

15、.點(diǎn)睛：不等式有解問題與不等式恒成立問題這兩類問題都可轉(zhuǎn)化為最值問題，即f x a恒擊 q q a f x f x aa f x .成乂 ？max ,怛成乂 ？min .（2）在（1）的條件下，求證:x1 x2 2lna【答案】（I）見解析；（n） （1） a e； （2）見解析.【解析】試題分析：（I）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論 a的范圍，分別令f' x 0求得x的范圍，可得函數(shù)f X增區(qū)間，f X 0求得X的范圍，可得函數(shù) f X的減區(qū)間；（II ）（1）由（I）知，當(dāng)a0時(shí)，f x在R上為增函數(shù)，f x不合題意；當(dāng)a 0時(shí)，f的遞增區(qū)間為 lna，遞減區(qū)間為,lnaf X min

16、f lnaalna a 1 lna0,即可解得a的取值范圍；（2）分離參數(shù)問題轉(zhuǎn)化為證明證明x1，不妨設(shè) XX2 ,記 t X1 X2 ,則 t 0，ett因此只要證明：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可試題解析：（I） f x的定義域?yàn)镽,aXe a,（1）當(dāng) a 0 時(shí)，f x 0在 r上恒成立，. f X在R上為增函數(shù);當(dāng)a。時(shí),令 f x 0得 x lna,令 f x 0得X lna, . . f x的遞增區(qū)間為lna，,遞減區(qū)間為,lna口由（I ）知當(dāng)仃=0時(shí)，/（封在用上為增的數(shù)，/（/）不合題意3當(dāng)口 下0時(shí)/（工）的遞增區(qū)間為。皿田）遞減區(qū)間為（yl口口i,又 fiO） > 0

17、n 當(dāng) xtx 時(shí)？二/（x）有兩個零點(diǎn)占多，則f （工）.正/0口日）=a #nn = a（l lna j <O ;解得o > e（2）由（n） （1）,當(dāng) a e時(shí),有兩個零點(diǎn)X1，X2 ,且fx在lna,上遞增，在，lna上遞減，依題意，ff X20 ,不妨設(shè)X1lna X2要E X1x22lna,即證 X12lnaX2又X1lna x2所以X1 2lna x2lna而f x在，lna上遞減，即證fX1f 2lna X2又f x1f X20 ,即證f x2f 2lna x2（ x2 lna）構(gòu)造函數(shù)x f 2lna x2ex 斗 2ax 2alna（x lna） e2aXe2

18、a 2a2 2a g x 在 lna,單調(diào)遞增,lna0,從而f x2lna xf 2lna & ,（x2 lna）,命題成立.8.已知函數(shù)f x ex 1kx 2k (其中e是自然對數(shù)的底數(shù),kC R）.(1)討論函數(shù)f x的單調(diào)性;(2)當(dāng)函數(shù)fx有兩個零點(diǎn)xi,x2時(shí)，證明:x1x22【答案】(1)見解析；(2)見解析.【解析】試題分析:本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問題。(1)求導(dǎo)數(shù)后，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號判斷出函數(shù)的單調(diào)性。(2)根據(jù)題意將證明x1x22的問題轉(zhuǎn)化為證明t+1 lntx1 x2 4 - 2t+11nt 2 t 1t 1 ，即證t 1 lnt

19、2 t 1 ,構(gòu)造函數(shù)g t t+1 lnt 2 t 1利用函數(shù)的單調(diào)性證明即可。試題解析：（D解：=人力不一廿及I）當(dāng)上0時(shí)j令f （工）=。，解得工T+lmT ，當(dāng)hE（t1+1M）時(shí)j尸皿工）單調(diào)遞涌 ”（一1+1臉蟒死尸國血/（*）單調(diào)遞增.人。時(shí)J，5md 0恒成立7 ，西瞰了在無上單調(diào)遞掾綜上，之k0H, /I w在I二l由山，里第由-在IJ1位工I上單闌硬迪。當(dāng)心口時(shí)，5）在士士單調(diào)遞增.（2）證明：當(dāng)上三口時(shí)，由（1）知函數(shù)，。）單調(diào)遞增，不存在兩個零點(diǎn)。設(shè)函數(shù)/W的兩個零點(diǎn)為，小 過耳:餐 ,則-ii .-'-< . + '. '-'、二

20、' '' -1：=七岫19金旺=f /十2 i1+2為 所以t+1 lntx2 4 2 t 1要證耳十當(dāng)”2 ,只需證 空半2即運(yùn)針,i -L設(shè) _： 上 一.二：. 一 ：:-一:設(shè)咐=hn +1-L.1= -4單調(diào)遞增,£I £所以1g（r）在區(qū)間Q中出）上單調(diào)遞增,故時(shí)+用）29.已知函數(shù)；x lnx,g x ,eXmx 2 mm 0與，其中e是自然對數(shù)的底求曲線f1處的切線方程;X,x2（2）若對任意的X2求實(shí)數(shù)m的取值范圍11【答案】（1）ee【解析】試題分析：(2)0,2.2 11 1 1 ； 1 1（1）對國勤求導(dǎo)可得，（工）=-京占:

21、.據(jù)此可得切線的斜率為尸。）=-京JL切點(diǎn)坐標(biāo)為 L-jJ,據(jù)此可得切線方程為:（2）很明顯m0,原問題等價(jià)于f x max g x min ,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)可得關(guān)于m的不等式:求解不等式可得實(shí)數(shù)m的取值范圍是0，2'2 1 .試題解析:（i）定義域?yàn)椋≦+00）, 加=-二八1） = 1-j 又"）二。故曲線了（可在六二1處的切線方程為y-即 -' I' - I .出令，'（工）。得c/j令/'、。得Q <x <4e >- /"）在（口/）單調(diào)遞增j在勸單調(diào)遞減，勤當(dāng)了已也 J 時(shí)，二=八*）=一 3萬&

22、#171;+1口出廠一；，r 1 /又匣擻冢玲二物工十不一冽（陽>。）在區(qū)間中 上單調(diào)遞增， 士且（乃皿.= g（j）=一名+收，由題意知了（西）二鼠為丁恒成立a/GO3K MM疝皿 即一w3+也,JM二.0個也M2煦+1f x 1x2 mln 1 2x mx 2m10.函數(shù)2試討論函數(shù)f x的單調(diào)性；em(2)已知當(dāng) 2 (其中e 2.71828L求證：當(dāng)m 1時(shí)，對任意x1, 2 x20,1 , x11 em 【答案】（1）見解析（2）2（3）見解析其中m 0 .是自然對數(shù)的底數(shù)）時(shí)，在e 1 成立，求m的取值范圍；f x2f x11x2x2xl3【解析】試題分析:本題考杳利用導(dǎo)數(shù)研

23、究畫數(shù)的單調(diào)性、梃盾最值，導(dǎo)軸的綜合應(yīng)用.易知目的定義域?yàn)椤?d #+m+ j-1+ X卜根據(jù)/(工)=，-+叨= ,'*通過討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)解爸. J1 十1 Ji A(1.4(1 e-ll在耳G - ，三B上至少存在一點(diǎn)/J使/(飛八什L成立，等價(jià)干當(dāng)彳4-.三時(shí),X)gAHl.逋過里調(diào)性求出最大值，然后解答.構(gòu)造錐助網(wǎng)翻式工)=司-:工，并求導(dǎo)得 3試題解析:l6x+l)(x-l)3。十2力?然后利用單調(diào)性解答.(1)易知f x的定義域?yàn)?2,： Z-f x x mln , 1 2x mx 2m22m 2x 2m 1 xx m 1 2x =1 2x2x x1 2x1x m - 由f

24、 x 0得：x 0或2 ,m 0,1 1m2 2.當(dāng)0時(shí),11一，m 一 時(shí)，f x 0, f x22單 調(diào) 遞 增； 當(dāng)1.m 一,0 時(shí)，f x20, f x單調(diào)遞減;x 0, 時(shí)，f x 0, f x單調(diào)遞增.1 m -當(dāng) 2時(shí),1 .一 一一一 1 一 一一x -,0 時(shí)，f x 0, f xx 0, m 時(shí)，f x 0, f x則當(dāng) 2單調(diào)遞增；當(dāng)21 x m -, 單調(diào)遞減；當(dāng)2時(shí)，f x 0, f x單調(diào)遞增.1 m -當(dāng) 2時(shí),時(shí),0,f1綜上，當(dāng) 2時(shí),0,上單調(diào)遞增，在1m ,02上單調(diào)遞減;2時(shí),2，012,0, m上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減;11m 二 f x 不當(dāng) 2時(shí)

25、，f x在 2上單調(diào)遞增.上至少存在一點(diǎn)使八飛成立,等價(jià)于當(dāng)上時(shí),小J 了6十】,由知，X時(shí)，f(x)單調(diào)遞蟠n當(dāng)=>寸，/(田單調(diào)通麻，蘭工=0時(shí)，/有最大值,=/(0)=-2m.2>m > 總+L解得碗<土£ .滿足冊£ .22所以實(shí)數(shù)的取值范圍是(一牝二1六、,故當(dāng)，對任意x1x2又x2x1x2f x1時(shí)，12x時(shí),x1x22x2ln16x2 5x 10, g都有g(shù)2x x 26x 1 x 12x3 1 2xx單調(diào)遞減.成立,13x1X213x2x1x1x2x113 x2x1點(diǎn)睛:利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題時(shí)，首先要.構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)

26、數(shù)研究函數(shù)的單調(diào) 性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu) 造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題111.設(shè) f(x) = Inx , g(x) = 2 x|x|.求g(x)在x=- 1處的切線方程;(2)令 F(x) = x f(x) g(x),求F(x)的單調(diào)區(qū)間;(3)若任意 x1 , x2 C 1+8)且 x1>x2,都有 mg(x1) g(x2)>x1f(x1)x2f(x2)恒成立, 求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】試題分析：(1)通過求導(dǎo)得到切線方程丫一>+;二" 的二加父一9磔M)，得到單調(diào)區(qū)間 jwa(0,十8)上

27、建瀛j 13)構(gòu)造 帕C)二巾虱不一亂工)二號爐一1加曉 則 的0在(Of+8)上為單調(diào)送贈，故始國二斷一加工一！三口恒成立，即用孑田I恒成立,界京1 -> x4式題解析：x<0 時(shí)，g(x) = ；x2, g' (x) = 一 x,故g( 1) = 去 g' ( 1) = 1,故g(x)在x=- 1處的切線方程是：y+號=lX(x+ 1),即 x y+1= 0.2(2)由題意知 F(x) =xlnx -z-x|x| = xlnx Nx2(x>0),F' (x) = Inx x+ 1,令 t(x) = F' (x) = Inx x+ 1,則 t

28、 ' (x) = 1 1,X令 t ' (x)>0 ,解得 0<x<1，令 t ' (x)<0 ,解得 x>1,故F' (x)在(0, 1)上遞增，在(1 , +8)上遞減，故 F' (x) wF (1) = 0,故F(x)在(0, +8)上遞減；已知可轉(zhuǎn)優(yōu)為至%心1時(shí)F泓夙或冷)響均一到仇1)恒成立F饗 斷工)-一城二了-1一工加工5則收工成(0,十8)上為單調(diào)遞增的函數(shù),故/k)=皿In工一 1M0恒成立)即恒成立八,、n*+l e " In x令解足-> 則加一一方， 二當(dāng)工+8)時(shí)7WW0,州>

29、)單調(diào)遞減J 膽不三捌U)=1,即附三故實(shí)數(shù)兩的取值范圍是口 + 8),點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)的題型需要觀察題目函數(shù)的關(guān)系，本題中第(3)問將式子整理可得 x1>x2>l時(shí)，mg(x1) x1f(x1) >mg(x2) x2f(x2)恒成立，則聯(lián)想到構(gòu)造函數(shù)h(x) =mg(x)xf(x)=yx2 - xlnx ,再結(jié)合單調(diào)性進(jìn)行解題。12.已知函數(shù)f x 1nx a x 1 x 2(1)若函數(shù)f在定義域內(nèi)不單調(diào)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍;(2)若函數(shù)f在區(qū)間0,1內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù) a的取值范圍;(3)若 x1, x2且x1x2,求證:1nxi lnx2 x1 2x23 x1 x2a【

30、答案】(1)(2)a 3(3)見解析【解析】試題分析:x Q函數(shù)f x在區(qū)間0,1內(nèi)單調(diào)遞增,4 3a x 4(1)對函數(shù)求導(dǎo)有24 34則原問題等價(jià)于方程x4 3a x 4有大于零的實(shí)根，結(jié)合二次方程根的分布理論可得8a - 3;2(2)原問題等價(jià)于x 43ax 4 0在區(qū)間0,1內(nèi)恒成立，結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得(3)當(dāng)x1 x2時(shí)，不等式顯然成立，當(dāng) x1 x2 ,等價(jià)轉(zhuǎn)化后結(jié)合(2)的結(jié)論即可證得題中 的結(jié)論.試題解析：<1)工)的定義域?yàn)榘?= x +« 3區(qū)|：+4 x(x+ 2JT因?yàn)閄)在定義域內(nèi)不單通 所以方程-*)“4 = 0有大于零的實(shí)相7困數(shù)P = *

31、+ (4 - 3工+4的圖像經(jīng)過點(diǎn)(0,4) j= (4 -初)* 16 > 0g>0$43ax 4 0在區(qū)間0,1內(nèi)恒成立，即3a4在區(qū)間0,1內(nèi)恒成立4Q y - x 4x 在x 1時(shí)取得最小值9, a 3（3）當(dāng)x1/時(shí)，不等式顯然成0,1Int,則只需證明,x13 K x2x1 ,xiln - - tx2,只需證明x2x1 2x2 ,令x2f x立，由（2）可知lnx3 x 1x 2在0,1上是增函數(shù),3 t 1f x f 10, Int t 2點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知本專題在高考中的命題方向及識點(diǎn)，所以在歷屆高考中

32、，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出,命題角度從高考來看，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何 意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系. （2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù).（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中的優(yōu)化問題.（4）考查 數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.13.已知函數(shù)f（x） =（x + 1）ex（e為自然對數(shù)的底數(shù)）.求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù) <Hx） =xf（x） +tf ' （x）+e x,存在實(shí)數(shù) x1,x2C0,1,使得 2。（x1）< 4（x2）成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.3 e, 【答案】（1）

33、見解析（2）（巴 3 2e）U 2.【解析】試題分析：（1）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù).利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)f x的單調(diào)區(qū)間；（2）假設(shè)存在x1,x2 0,1 ,使得成立2 *x2成立，則2 x min x max ,分類討論求最值，即可求實(shí)數(shù) t的取值范圍.試題解析：.函數(shù)的定義域?yàn)榛穑琗二.當(dāng)JCMO時(shí),動當(dāng),'0E寸,ff(x)<0，在（口上單調(diào)遞增.在討）上單調(diào)遞減(2)假設(shè)存在,x20,1使得2Xix2 成立，則 2 x min x maxxf x tf xx21 t x 1ex對于0,11時(shí),x在0,1上單調(diào)遞減,當(dāng)0時(shí),0,1上單調(diào)遞增,2e當(dāng)1時(shí)，若x0,t0,

34、 x在0,t上單調(diào)遞減;t,1t'1上單調(diào)遞增,maxt 1etmax 1,3-Je .(*)由（1 ）知,0,1上單調(diào)遞減,32e證明：f（x）在（°°, 0）上單調(diào)遞減，在(0+ 8）上單調(diào)遞增;f（x2 ）| we1,求m的取值范圍.(2)若對于任意 x1 , x2 C 1,1,都有 |f(x1)【答案】（1）見解析（2） -1,1【解析】試題分析：（1）利用f x 0說明函數(shù)為增函數(shù)，利用 f x 0說明函數(shù)為減 函數(shù)，要注意參數(shù) m的討論；（2）由（1）知，對任意的 m, f x在 1,0單調(diào)遞減，在 0,1單調(diào)遞增，則恒成立問題轉(zhuǎn)化為最大值和最小值問題.

35、從而求得m的取值范圍.解析?。?）講月：了（工）=/+/-由工/. f1（X）=-1J+2x.若冽之口？則當(dāng)工£（-9時(shí)，。呻"0, 1r30,當(dāng)兀七（0,y）時(shí) j * 120, f（x）Q若洲父。,則為XE（T時(shí)，產(chǎn)一1冥r（X）0當(dāng) XE（O：十 K）時(shí),*-lv（b r（x）0，明數(shù)，（弓在（一笛上單調(diào)遞裾，在（。.46）上單調(diào)遞增.（2）由 知，對任意的m, f x在 1,0上單調(diào)遞減，在 0,1上單調(diào)遞增，故f x在 X 0處取得最小值.所以對于任意x1,x21,1 , f x! f x2 e 1的充要條件是 f 1 f 0 e 1em m e 1f 1 f 0

36、 e 1 即（em m e 1 設(shè)函數(shù)g t 8 t e 1,則g t et 1當(dāng)t 0時(shí)，g t 0；當(dāng) t 0時(shí)，g t 0.g t在 ,0上單調(diào)遞減，在 0,上單調(diào)遞增.u又7 g（1）二0,虱TJ 十2 - c c 0，當(dāng)北T時(shí)，g（f）EO當(dāng)酬一11時(shí)，虱叨生0j £（-W）0j即式成立；當(dāng)附1時(shí)F g（wi） % 0,即j 一叫6I當(dāng)zw一1時(shí)_, g （-m l 0 即序-網(wǎng)+力 匠T綜上,酸的取值范圍是卜1卜點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，用導(dǎo)數(shù)解決恒成立求參的問題，對于函數(shù)恒成立或者有解求參的問題，常用方法有：變量分離，參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，或者直

37、接求函數(shù)最值，使得函數(shù)最值大于或小于0,或者分離成兩個函數(shù)，使得一個函數(shù)恒大于或小于另一個函數(shù). 3 x15.已知函數(shù) f x x lnx ax2, g x x T（I）若a 1,求函數(shù)f x的極值；（n）若 a0,x11,2 ,x21,2 ，使得 fx1mgx2（ m 0）,求實(shí)數(shù) m 的取值范圍.33,ln2 33 ln2,【答案】（i）見解析（n）22.【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間， 131,2h x 1nx x , 12 g x 二 mx mx 求出函數(shù)的極值即可；（2）設(shè)hx 1nx x在1,2上的值域?yàn)锳,函數(shù)3上的值域?yàn)锽,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出實(shí)數(shù) m的取值范圍.試題解析：C I）依題意，/（x）=x-lnx+ r¥+x-l踮“已（。收）,故當(dāng)a1時(shí)，廣當(dāng)無亡已增時(shí)二雙1/ k/1、3故當(dāng)工二丁丸 可有極小直板小值為J彳；=q+1"，無極大值.(n)當(dāng) a。時(shí),lnx因?yàn)閤11,2x21,2，使得f x1mg x2 (m 0),lnx1故Xi1 3-mx2 3mx2;設(shè)h x lnx1,2上的值域?yàn)锳,函數(shù)1 3-mx 3mx在1,2上的值域?yàn)锽,1,2h'時(shí),1,2上單調(diào)遞減,ln22,g12x mx m m(i )當(dāng)m 0時(shí)，g1,2上單調(diào)遞減，此時(shí)的值域