[理學(xué)]第四章 n 維向量空間ppt課件

1、第四章 n維向量空間第一節(jié)第一節(jié) n n維向量的概念維向量的概念第二節(jié)第二節(jié) 向量的線性表示與線性相關(guān)向量的線性表示與線性相關(guān)第三節(jié)第三節(jié) 等價(jià)向量組等價(jià)向量組第四節(jié)第四節(jié) 線性方程組的構(gòu)造線性方程組的構(gòu)造第五節(jié)第五節(jié) 向量空間的子空間向量空間的子空間由上一節(jié)知道統(tǒng)稱：統(tǒng)稱：n維向量維向量n n個(gè)數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組個(gè)數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組12,Tnaaa 1行向量列向量(1n矩陣) (n矩陣)第一節(jié)第一節(jié) n n維向量的概念維向量的概念1212,TTnnb bb 向量和相等對(duì)應(yīng)分量都相等1iibin222,Tnnbbb和:的 120,0,0,TTn零向量負(fù)向量向量稱為的 - -112,k,Tnkkkk

2、向量數(shù)與數(shù)乘 1 ; 2:; 3; 4; 5 1; 6; 7 OOk lklkkk 加法交換律:加法結(jié)合律 向向量量加加法法和和向向量量與與數(shù)數(shù)的的數(shù)數(shù)乘乘運(yùn)運(yùn)算算規(guī)規(guī)律律 : : 8klkl nnnR維實(shí)向量 所有 空間維實(shí)向量的集合稱為。 定4.記為義11212 ,TnnnR 為實(shí)數(shù) nnnC所有維復(fù)向量的集合稱為。向量空間記為維復(fù)12n12n ,z,zTnCz zz z為復(fù)數(shù)向量的線性表示向量的線性表示1212 ,4,.2mmnk kk設(shè)都是 維向量， 定 若存在數(shù)使得義 , , , ,1122 mmkkk1212,mm稱可由或線性表示線性的合稱組是 第二節(jié) 向量的線性表示與線性相關(guān)12

3、3412123344 = -3,2,0,5,(1,0,0,0) ,(0,1,0,0) ,(0,0,1,0) ,(0,0,0,1) .,205TTTTTeeeee eeeeeee 例向量可由線性表示：=-31 1221212(1,0,0),(0,1,0),(0,0, , 1) nnnnex ex exeenxexx 一般地，對(duì)任意 維向量向向 量量 線線 性性 表表 示示 與與 線線 性性 方方 程程 組組 的的 關(guān)關(guān) 系系11 1121112212221121 1222221211nnm2 , mmmmnnnmmnmna xxxbxxxbxxxb給定具有 個(gè)變量的 個(gè)線性方程組成的方程組記 1

4、2122n22m11n, bmmmmbxxx1b方程組寫成：m()(,)()( (1) ,)rankrankrankrankm12m12m12m12m12m12m1 (1)向量可由向量線性表示 的充要條件是： (2)向量定可由向量地線 性表示的充要條件是： 可理4.1惟量一由向證：, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 1212, (), ()mmTmx xxAXAXxxx xxx2mmm121m122線性表示存在 個(gè)數(shù)，使得 方程組 有解其中, , , , , , , , , , ,1122,( )( ) (2) , ()(,)(), ()

5、 mmAArank Arank Amx xxAXAxxxrankrank1212m1m2mm1212mm1212矩陣即：可由向量線性表示存在 個(gè)惟一的數(shù)，使得 方惟程組 有惟一一解 其中地 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,), ()( )( ) ()()()(,), TXx xxAArank Arank Amrankrankmm12mmm12m12m1212矩陣即：, , , , , , , , , , , , , , , , 123441231234123 (1,2, 3,1) ,(5, 5,12,11) (1, 3,6,3) ,(2

6、, 1,3,4)1512151225310311312630000111340000()(4.2TTTTrankrank設(shè)問(wèn)：是否可由，線性表例解：示？，12344123)23，可由，線性表示, 但表示式子不惟一向量的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)1212 :0, 4k.30 mmmnAk kkkkA12m12設(shè)有 維向量組如果存一組不全為 的數(shù) ，使稱向義量組定得, , , , , 線線性性相相關(guān)關(guān)1212k 00mmmkkkkkA12僅當(dāng)時(shí)成立稱向量組線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān) 1 4.2定理僅僅含含一一個(gè)個(gè)向向量量 的的向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān) = 0 2 含含有有零零向向量量的的向向量量組組線線性性相相

7、關(guān)關(guān) 3至少 向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān)有有一一個(gè)個(gè)向向量量可可由由其其他他 向向量量線線性性表表示示 4 部部分分向向量量向向量量組組向向線線性性相相關(guān)關(guān)線線性性相相關(guān)關(guān)線線性性無(wú)無(wú)量量組組任任意意部部分分向向量量關(guān)關(guān)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)1212122,m,0mmmmk kkkk1證（3）：若向量線性相關(guān)，則存在不全為0 的 個(gè)數(shù)使得 k 12121110,mmkkkkk 不妨設(shè)于是 可用向量組的其它向量線性表示。122 mmcc反之，若12210mmcc12,m則線性相關(guān) 1121211222121211212, 0 , ,0,0 0,0,00mmkkkkkkkkmkmc ccc ccccc

8、ccc(4): 若向量組，中部分向量 ，線性相關(guān)則存在+不全為 的數(shù)使得則不全為零證 向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān)12, ,.m反之 若線性無(wú)關(guān), 如果它有某一個(gè)部分 向量組線性相關(guān)， 則整個(gè)向量組也必定線性相關(guān),所以,. 它它的的任任意意一一個(gè)個(gè)部部分分向向量量組組也也必必線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)引起矛盾1211221212112212 , (,), (, ,)mmmmmmmmxxxOrankrmxxxOrankm定理4.3 向量組線性相關(guān)方程有非零解 向量組線性無(wú)關(guān)方程只有零解證：由齊次方程組是否有非零解的充要條件可證。 推論 1212121 ,det,0det,0nnn 線性 無(wú)線性相關(guān)關(guān) 12

9、 2,mmnn 當(dāng)時(shí), 維向量組必定線性相關(guān)證明(2)121212,mmmnranknm矩陣只有 行 它的秩 所以向量組線性相關(guān) 1212121212121122 ,4.40mmmmmmmmnpnc ccccc設(shè) 維向量組線性相關(guān)，是矩陣，則向量組 也線性相關(guān)；反之，若向量組線性無(wú)關(guān)， 則向量組線性無(wú)關(guān)：若線性相關(guān) 則存在不全為零的數(shù)使 定理證 AAAAAAA11220mmccc兩 邊 左 乘 矩 陣 A1122 0mmcccAAA12,m線性相關(guān)AAA121212(,),mmmAAA若線性相關(guān)線性相關(guān) 引起矛盾反之，若線性無(wú)關(guān)，原向量組也必線性無(wú)關(guān) AAA11,1121,22111,2111

10、222212 , , , , 1 TrnTrnTmrrmmrmrmnmaaaaaaaaaaaan則這，推論（些向量的個(gè)，成若的）組向量維維向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān)前前r分r分量量 r nrr, 任取則可表示成的線性組合，即存在一組數(shù)C使得ran (k矩陣(1121122,),),) , (,),)mrmrrrOOOrankOrO rank(rank(所以，121212222 rank rank,(1), ,),),rirmrirmirrankArinkrmra 1111 充分性。已知：線性無(wú)關(guān)， 且對(duì)任意線性相關(guān)， ( , , , ,1 1可可知知A A 是是A A的的最最大大線線性性無(wú)無(wú)

11、關(guān)關(guān)組組 1212:,1 rank2( ),4.7mmrank Arrank A11 設(shè)有向量組則 的任意包含 個(gè)向量的線性無(wú)關(guān)部分 向量組都是 的任意包含相同個(gè)數(shù)的向量。：(1) 設(shè)向量組A 含有A中任意r個(gè)線性無(wú)關(guān)向量, 則(組構(gòu)成的矩陣定理4.8。證）由定明理知，是 的A , , , , AAArr極極大大線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組極極大大極極大大線線性性線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組. .12rankmr(2) 因?yàn)?的任意最大線性無(wú)關(guān)組都恰好包含= 個(gè)向量.A , ,例:求向量組的極大無(wú)關(guān)組.) 1, 1 , 4(),1 , 3, 2(),1, 2 , 1 (32112124124,23

12、1011111000A 3,32)(Ar123, 線性相關(guān)。1212, 但線性無(wú)關(guān)，是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組；1313, 也線性無(wú)關(guān)，也是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。1212Tmm 矩陣的秩它的列向量組的秩.又因 的秩等于的秩， 矩陣 的秩它的行向量組的秩.A= , ,= , ,AAA=12m定義4.6 向量組A:的秩。秩定定義為 只有零向量的向量組義0的為 它它的的最最大大線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組所所包包含含向向量量的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù) , ,由定理由定理4.74.7可知可知NoImage 1rankrank2rankrankrank3rankrank.4可由 線性表示 可由 線性表示可由 線性表示線性無(wú)關(guān)BAA BABA

13、BA BABABABAB.s r等等價(jià)價(jià)的的線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)向向量量組組含含有有相相同同個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)的的向向量量12125,rA= , ,B, 定理定理4.9證明證明 1111rankrankrank.ran1 k rank 21.3143若 可由 線性表示，取 中最大線性無(wú)關(guān)組 ， 可由線性表示也可由線性表示的最大線性無(wú)關(guān)組 也可用線性表示所以也可用 線性表示.由即知若 可用 線性表示，由知 若 可由 線性表示，且,由知 所以 線性相BAAAAABAABBAABA BABBABAABrs, s r關(guān).有有齊齊次次線線性性方方程程組組11 1122121 122221 122000nnnnmmmn

14、na xa xa xa xa xa xa xaxax12,Tijnm nAaXx xx記,0AX 方方程程解解是是一一個(gè)個(gè)n n維維向向量量齊線組次次性性方方程程齊次線性方程組的解的性質(zhì).定定理理 4.10 4.101212,0,XXAXc c都是的解，是任意數(shù)1122c Xc X也是方程組的解. 12,sXXX1線性無(wú)關(guān) 12,sXXX2 任意一個(gè)解可由線性表示12,sXXX為為方方程程組組的的一一個(gè)個(gè)基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系線性組合 rank.rnnr設(shè) 是齊次線性方程組 4.11 的系數(shù)矩陣若，那么它有基礎(chǔ)解系且任意一個(gè)基礎(chǔ)解系包含個(gè)解AA-1-10000rrmnAXEE存在 階可逆矩陣 和 階

15、可逆矩陣 ，使于是，方程等價(jià)于（）Q0 PAQ =00 PQ X = 0. 4.13P P定理定理4.11證明證明-1-1-11-12122000,.rnrE因可逆，方程 4.13 等價(jià)于 （）把分塊: 那么，4.14 等價(jià)于也就是說(shuō)，方程的通解為其中，是任意維向量PQ X = 0. 4.14Q XYQ X =YY = 0. AX = 00 X = QYY00r+1r+2n12nr+1r+2nr+1r+2n-rnAXcAX的任意解 都是向量的線性組合又因 可逆，線性無(wú)關(guān)，因此也線性無(wú)關(guān)，所以是的一個(gè)基礎(chǔ)解系.XQQQQQQQQQQQQQ1212100.nr+1r+2n-rnn rc ccccc

16、ccX =,QQQ12n 設(shè) 的列向量是，QQ ,Q ,QT212n-rc ccY,例4.16 0 rank( )rank( )nn若，矩陣為 列，證明AB =AB證 rank,rank. rsB B的的每每一一列列都都是是方方程程A AX X = = 0 0的的解解. .ABAX = 0AX = 0的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系包包含含n-rn-r個(gè)個(gè)解解 B B中中至至多多有有n-rn-r個(gè)個(gè)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)向向量量s sn-rn-r，即即r+sr+sn.n.設(shè)有非齊次線性方程組11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb

17、1212,TTijmmm nAabb bbXx xx非齊次線性方程組非齊次線性方程組AXb4.16定理 4.12 121212121 1 若若X ,XX ,X 是是 4.164.16 的的兩兩個(gè)個(gè)解解，則則= X - X= X - X 是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次方方程程組組AX = 0AX = 0的的解解； * * *2 2 若若X X 是是 4.164.16 的的一一個(gè)個(gè)特特解解，是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程組組的的通通解解，那那么么 4.164.16 的的通通解解為為X =X =+ X+ X證證 121AXbAXb由和得12120,AA XXAXAX0AX所以 是的解. *11*00XXXA

18、XXAX112 若是 4.16 的任意一個(gè)解，由 1 知是的解，所以含于通解中（即可 由中所含的任意常數(shù)取特定值而得到）4.16 的任意解可寫成的形式，這里 是的通解.0AX若 是的通解，則*AXAAXb*XAXb所以是的解，綜合上述知*XX是 4.16 的通解.反之反之子子空空間間的的概概念念VVn設(shè) 是的非空子集，若 對(duì)向量加法與數(shù)乘封閉，即滿足R R ,VV 1,有； 2.VVn，有R RVn稱 是的線性子空間R R|0,WXAXXnR Rn是的子空間.R R證證1212,XXW n設(shè)，,由定理4.10知R R1122.XXW0WWn又，是的子空間R R4.20例 0Am nAX設(shè) 是矩

19、陣，則方程的解集;12r設(shè)有向量組， ，則所有可由這個(gè)向量組線性表示的向量組成集合1122|1,2,.rriVir ，R RVn仿照例4.21可以證明， 是的子空間，R R12r， ，由由向向量量組組生生成成的的子子空空間間定理 4.13 1212,rsLL ， ， AB2 向量組 與向量組 等價(jià)1212,rsLL ， ， 1212 :,rsAB 1： ， ，可用線性表示12:rAVVA設(shè)向量組， ，是子空間 中的線性無(wú)關(guān)組，且 中任意向量是向量組 的線性組合，稱.向向量量組組A A為為子子空空間間V V的的一一組組基基 VArVrrVn若的子空間 的一組基 包含 個(gè)向量，稱 是維子空間， 稱為 的.R R維維數(shù)數(shù)子子空空間間 0 0 的的維維數(shù)數(shù)定定義義為為0 0子子空空間間的的基基、維維和和向向量量坐坐標(biāo)標(biāo)基基維維例4.26 12 , 0|0, n rAXWX AXrank ArnnrWWWnrXW nn方程的基礎(chǔ)解系包含個(gè)線性無(wú)關(guān)解 記為中任意向量是解集是的子空間它們的線性組合基礎(chǔ)解系構(gòu)成的一組基中任意個(gè)線性無(wú)關(guān)解都是一組基也是方程的一組基礎(chǔ)解系.RRRR例4.27112233123233|,1,2,0,2,3,1,1, 1, 1TTTVxxxx