概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識點總結(詳細)(共13頁)

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念.22樣本空間、隨機事件.24 等可能概型（古典概型）.35條件概率.36獨立性.3第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布.31 隨機變量.32 離散性隨機變量及其分布律.33 隨機變量的分布函數(shù).34 連續(xù)性隨機變量及其概率密度.35 隨機變量的函數(shù)的分布.3第三章第三章 多維隨機變量多維隨機變量.31 二維隨機變量.32 邊緣分布.33 條件分布.34 相互獨立的隨機變量.35 兩個隨機變量的函數(shù)的分布.3第四章第四章 隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征.31數(shù)學期望.32 方差.33 協(xié)方差及相關系數(shù).3第五章第五章

2、 大數(shù)定律與中心極限定理大數(shù)定律與中心極限定理.31 大數(shù)定律.32 中心極限定理.3第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念2樣本空間、隨機事件樣本空間、隨機事件1事件間的關系 則稱事件 B 包含事件 A，指事件 A 發(fā)生必然導致事件 B 發(fā)生 BA 稱為事件 A 與事件 B 的和事件，指當且僅Bxxx 或ABA當 A，B 中至少有一個發(fā)生時，事件發(fā)生BA 稱為事件 A 與事件 B 的積事件，指當Bxxx 且ABAA，B 同時發(fā)生時，事件發(fā)生BA 稱為事件 A 與事件 B 的差事件，指當且僅Bxxx 且ABA當 A 發(fā)生、B 不發(fā)生時，事件發(fā)生BA ，則稱事件 A 與 B 是互不相容的

3、，或互斥的，指事件 A 與事 BA件 B 不能同時發(fā)生，基本事件是兩兩互不相容的 ，則稱事件 A 與事件 B 互為逆事件，又稱事件且S BA BAA 與事件 B 互為對立事件2運算規(guī)則 交換律 ABBAABBA 結合律)()( )()(CBACBACBACBA分配律 )()B(CAACBA）（ )()( CABACBA徳摩根律BABAABA B 3頻率與概率頻率與概率定義 在相同的條件下，進行了 n 次試驗，在這 n 次試驗中，事件 A 發(fā)生的次數(shù)稱為An事件 A 發(fā)生的頻數(shù)頻數(shù)，比值稱為事件 A 發(fā)生的頻率頻率nnA概率：概率：設 E 是隨機試驗，S 是它的樣本空間，對于 E 的每一事件 A

4、 賦予一個實數(shù)，記為P（A） ，稱為事件的概率1概率滿足下列條件：)(AP（1）非負性非負性：對于每一個事件 A 1)(0AP（2）規(guī)范性規(guī)范性：對于必然事件 S 1)S(P（3）可列可加性可列可加性：設是兩兩互不相容的事件，有nAAA,21（可以取）nkknkkAPAP11)()(n2概率的一些重要性質：（i） 0)(P（ii）若是兩兩互不相容的事件，則有（可以?。﹏AAA,21nkknkkAPAP11)()(n（iii）設 A，B 是兩個事件若，則，BA )()()(APBPABP)A()B(PP（iv）對于任意事件 A，1)(AP（v） （逆事件的概率）)(1)(APAP（vi）對于任意

5、事件 A，B 有)()()()(ABPBPAPBAP4 等可能概型（古典概型）等可能概型（古典概型）等可能概型：試驗的樣本空間只包含有限個元素，試驗中每個事件發(fā)生的可能性相同若事件 A 包含 k 個基本事件，即，里21kiiieeeA個不同的數(shù)，則有中某，是，kkn2 , 1iii, 21 中基本事件的總數(shù)包含的基本事件數(shù)S)(1jAnkePAPkji5條件概率條件概率（1）定義：設 A,B 是兩個事件，且，稱為事件 A 發(fā)生的0)(AP)()()|(APABPABP條件下事件 B 發(fā)生的條件概率條件概率（2）條件概率符合概率定義中的三個條件1。非負性：對于某一事件 B，有0)|(ABP 2。

6、規(guī)范性：對于必然事件 S， 1)|(ASP3 可列可加性：設是兩兩互不相容的事件，則有,21BB11)()(iiiiABPABP（3）乘法定理 設，則有稱為乘法公式0)(AP)|()()(BAPBPABP（4）全概率公式： niiiBAPBPAP1)|()()(貝葉斯公式： niiikkkBAPBPBAPBPABP1)|()()|()()|(6獨立性獨立性定義定義 設 A，B 是兩事件，如果滿足等式，則稱事件 A,B 相互獨)()()(BPAPABP立定理一 設 A，B 是兩事件，且，若 A，B 相互獨立，則0)(AP BPABP)|(定理二 若事件 A 和 B 相互獨立，則下列各對事件也相互

7、獨立：A 與與，與，BABAB第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布1 隨機變量隨機變量定義 設隨機試驗的樣本空間為是定義在樣本空間 S 上的實值單值函X(e)X e.S數(shù)，稱為隨機變量X(e)X 2 離散性隨機變量及其分布律離散性隨機變量及其分布律1 離散隨機變量：有些隨機變量，它全部可能取到的值是有限個或可列無限多個，這種隨機變量稱為離散型隨機變量滿足如下兩個條件（1）， （2）=1kk)(pxXP0kp1kkP2 三種重要的離散型隨機變量（1）分布 設隨機變量 X 只能取 0 與 1 兩個值，它的分布律是，則稱 X 服從以 p 為參數(shù)的分布或兩點) 101 , 0kp-1p)k(

8、k- 1kpXP（，）（分布。（2）伯努利實驗、二項分布 設實驗 E 只有兩個可能結果：A 與，則稱 E 為伯努利實驗.設A，此時.將 E 獨立重復的進行 n 次，則稱這一串重復的1)p0pP(A)（p-1)AP(獨立實驗為 n 重伯努利實驗。 滿足條件（1）， （2）=1 注意n2 , 1 , 0kqpkn)kX(k-nk，P0kp1kkP到是二項式的展開式中出現(xiàn)的那一項，我們稱隨機變量 X 服從參數(shù)k-nkqpknnqp）（ kp為 n，p 的二項分布。（3）泊松分布 設隨機變量 X 所有可能取的值為 0,1,2，而取各個值的概率為 其中是常數(shù)，則稱 X 服從參數(shù)為的泊松分布記,2 , 1

9、 , 0,k!e)kX(-kkP0為）（X3 隨機變量的分布函數(shù)隨機變量的分布函數(shù)定義 設 X 是一個隨機變量，x 是任意實數(shù)，函數(shù) x-x,PX)x(F稱為 X 的分布函數(shù)分布函數(shù)，具有以下性質(1) 是一個不減函數(shù) （2）)()(xXPxF)(xF （3）1)(, 0)(1)(0FFxF，且是右連續(xù)的即)(),()0(xFxFxF4 連續(xù)性隨機變量及其概率密度連續(xù)性隨機變量及其概率密度 連續(xù)隨機變量：如果對于隨機變量 X 的分布函數(shù) F（x） ，存在非負可積函數(shù)，使)(xf對于任意函數(shù) x 有則稱 x 為連續(xù)性隨機變量，其中函數(shù) f(x)稱為 X,dttf)x(Fx-）（的概率密度函數(shù)，簡

10、稱概率密度1 概率密度具有以下性質，滿足（1）；)(xf1)( (2) , 0)(-dxxfxf（3）；（4）若在點 x 處連續(xù)，則有21)()(21xxdxxfxXxP)(xf)(F x，)(xf2,三種重要的連續(xù)型隨機變量 (1)均勻分布若連續(xù)性隨機變量 X 具有概率密度，則成 X 在區(qū)間(a,b)上服，其他，0aa-b1)(bxxf從均勻分布.記為），（baUX (2)指數(shù)分布若連續(xù)性隨機變量 X 的概率密度為 其中為常數(shù)，則稱，其他，00.e1)(x-xxf0X 服從參數(shù)為的指數(shù)分布。（3）正態(tài)分布若連續(xù)型隨機變量 X 的概率密度為，）xexfx-21)(222(的正態(tài)分布或高斯分布，

11、記為，服從參數(shù)為為常數(shù)，則稱（，其中X)0），（2NX特別，當時稱隨機變量 X 服從標準正態(tài)分布10，5 隨機變量的函數(shù)的分布隨機變量的函數(shù)的分布定理 設隨機變量 X 具有概率密度又設函數(shù)處處可導且恒有,-)(xxxf，)(xg，則 Y=是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為0)(,xg)(Xg其他，0, )()()(,yyhyhfyfXY第三章第三章 多維隨機變量多維隨機變量1 二維隨機變量二維隨機變量定義 設 E 是一個隨機試驗，它的樣本空間是和是定義在 SX(e)X e.SY(e)Y 上的隨機變量，稱為隨機變量，由它們構成的一個向量（X，Y）叫做二維隨機X(e)X 變量設（X，Y）是二維隨機變量

12、，對于任意實數(shù) x，y，二元函數(shù)稱為二維隨機變量（X，Y）的yYxPXy)(Yx)P(XyxF，記成），（分布函數(shù)如果二維隨機變量（X，Y）全部可能取到的值是有限對或可列無限多對，則稱（X，Y）是離散型的隨機變量。我們稱為二維離散型隨機變量（X，Y）的，2 , 1ji)yY(ijjipxXP分布律。對于二維隨機變量（X，Y）的分布函數(shù)，如果存在非負可積函數(shù)），（yxFf（x，y） ，使對于任意 x，y 有則稱（X，Y）是連續(xù)性，），（），（ y-x-dudvvufyxF的隨機變量，函數(shù) f（x，y）稱為隨機變量（X，Y）的概率密度，或稱為隨機變量 X 和 Y的聯(lián)合概率密度。聯(lián)合概率密度。2 邊

13、緣分布邊緣分布二維隨機變量（X，Y）作為一個整體，具有分布函數(shù).而 X 和 Y 都是隨），（yxF機變量，各自也有分布函數(shù)，將他們分別記為，依次稱為二維隨機變量）（y),xFXYF（X，Y）關于 X 和關于 Y 的邊緣分布函數(shù)。邊緣分布函數(shù)。 ，2 , 1ixPXp1jiijip，2 , 1jyPYp1iiij jp分別稱為（X，Y）關于 X 和關于 Y 的邊緣分布律。邊緣分布律。 ipjp 分別稱，dyyxfxfX）,()(dxyxfyfY）,()()(xfX為 X，Y 關于 X 和關于 Y 的邊緣概率密度邊緣概率密度。)(yfY3 條件分布條件分布定義 設（X，Y）是二維離散型隨機變量，對

14、于固定的 j，若, 0jyYP則稱為在條件下隨, 2 , 1,ippyYPyYxXPyYxXPjijjjijijyY 機變量 X 的條件分布律，同樣為在條件下隨機變量 X, 2 , 1,jppxXPyYxXPXXyYPiijijiijixX 的條件分布律。設二維離散型隨機變量（X，Y）的概率密度為， （X，Y）關于 Y 的邊緣概),(yxf率密度為，若對于固定的 y，0，則稱為在 Y=y 的條件下 X 的條件)(yfY)(yfY)(),(yfyxfY概率密度，記為=)( yxfYX)(),(yfyxfY4 相互獨立的隨機變量相互獨立的隨機變量 定義 設及，分別是二維離散型隨機變量（X，Y）的分

15、布），（yxF)(FxX)(FyY函數(shù)及邊緣分布函數(shù).若對于所有 x,y 有，即yPY,xXPyYxXP，則稱隨機變量 X 和 Y 是相互獨立的。(y)F(F,FYXxyx對于二維正態(tài)隨機變量（X，Y） ，X 和 Y 相互獨立的充要條件是參數(shù)05 兩個隨機變量的函數(shù)的分布兩個隨機變量的函數(shù)的分布1，Z=X+Y 的分布 設(X,Y)是二維連續(xù)型隨機變量，它具有概率密度.則 Z=X+Y 仍為連續(xù)性),(yxf隨機變量，其概率密度為或dyyyzfzfYX）,()(dxxzxfzfYX）,()(又若 X 和 Y 相互獨立，設（X，Y）關于 X，Y 的邊緣密度分別為則)(),(yfxfYX 和這兩個公式

16、稱為dyfyzfzfYXYXy)()(（）dxxzfxfzfYXYX)()(）的卷積公式卷積公式YXff ,有限個相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布有限個相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布2，的分布的分布、XYZXYZ設(X,Y)是二維連續(xù)型隨機變量，它具有概率密度，則),(yxfXYZXYZ，仍為連續(xù)性隨機變量其概率密度分別為dxxzxfxzfXY),()(又若 X 和 Y 相互獨立，設（X，Y）關于 X，Y 的邊緣密度分別dxxzxfxzfXY),(1)(為則可化為 )(),(yfxfYXdxxzfxfzfYXXY)()()(dxxzfxfxzfYXY)()(1

17、)(X3的分布及，,minNYXmaxYXM設 X，Y 是兩個相互獨立的隨機變量，它們的分布函數(shù)分別為由于)(),(yFxFYX不大于 z 等價于 X 和 Y 都不大于 z 故有YXmax，M又由于 X 和 Y 相互獨立，得到的分布函zYz,PXzPMYXmax，M數(shù)為)()()(maxzFzFzFYX的分布函數(shù)為,minNYX)(1)(11)(minzFzFzFYX第四章第四章 隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征1數(shù)學期望數(shù)學期望定義 設離散型隨機變量離散型隨機變量 X 的分布律為，k=1,2，若級數(shù)絕kkpxXP1kkkpx對收斂，則稱級數(shù)的和為隨機變量 X 的數(shù)學期望，記為，即1kkk

18、px)(XEikkpxXE)( 設連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量 X 的概率密度為，若積分絕對收斂，則稱積)(xfdxxxf)(分的值為隨機變量 X 的數(shù)學期望，記為，即dxxxf)()(XEdxxxfXE)()(定理 設 Y 是隨機變量 X 的函數(shù) Y=(g 是連續(xù)函數(shù))(Xg（i）如果 X 是離散型隨機變量離散型隨機變量，它的分布律為，k=1,2，若kpXPxk絕對收斂則有kkkpxg1(）)Y(E)(XgEkkkpxg1(）（ii）如果 X 是連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量，它的分概率密度為，若絕對收斂則)(xfdxxfxg)()(有)Y(E)(XgEdxxfxg)()(數(shù)學期望的幾個重要性

19、質1 設 C 是常數(shù)，則有CCE)(2 設 X 是隨機變量，C 是常數(shù)，則有)()(XCECXE3 設 X,Y 是兩個隨機變量，則有；)()()(YEXEYXE4 設 X，Y 是相互獨立的隨機變量，則有)()()(YEXEXYE2 方差方差定義 設 X 是一個隨機變量，若存在，則稱為 X 的方)(2XEXE)(2XEXE差，記為 D（x）即 D（x）=，在應用上還引入量，記為，)(2XEXE)(xD)(x稱為標準差或均方差。222)()()()(EXXEXEXEXD方差的幾個重要性質1 設 C 是常數(shù)，則有 , 0)(CD2 設 X 是隨機變量，C 是常數(shù)，則有，)(C)(2XDCXDD(X)

20、(CXD3 設 X,Y 是兩個隨機變量，則有特E(Y)-E(X)(Y-2E(XD(Y)D(X)(YXD別，若 X,Y 相互獨立，則有)()()(YDXDYXD4的充要條件是 X 以概率 1 取常數(shù)，即0)(XDE(X)1)(XEXP切比雪夫不等式切比雪夫不等式：設隨機變量 X 具有數(shù)學期望，則對于任意正數(shù)，不等式2)(XE成立22-XP3 協(xié)方差及相關系數(shù)協(xié)方差及相關系數(shù)定義 量稱為隨機變量 X 與 Y 的協(xié)方差為，即)()(YEYXEXE),(YXCov)()()()()(),(YEXEXYEYEYXEXEYXCov而稱為隨機變量 X 和 Y 的相關系數(shù)D(Y)D(X)YX(XY），Cov對

21、于任意兩個隨機變量 X 和 Y，),(2)()()_(YXCovYDXDYXD協(xié)方差具有下述性質1),(),( ),(),(YXabCovbYaXCovXYCovYXCov2),(),(),(2121YXCovYXCovYXXCov定理 1 1XY 2 的充要條件是，存在常數(shù) a,b 使1XY1bxaYP當0 時，稱 X 和 Y 不相關XY附：幾種常用的概率分布表分布參數(shù)分布律或概率密度數(shù)學期望方差兩點分布10 p， 1 , 0,)1 ()1kppkXPkkp)1 (pp二項式分布1n10 p，nkppCkXPknkkn, 1 , 0,)1 ()(np)1 (pnp泊松分布0, 2 , 1 , 0,!)(kkekXPk幾何分布10 p, 2 , 1 ,)1 ()(1kppkXPkp121pp均勻分布ba ，其他0,1)(bxaabxf2ba