FIR數字濾波器的設計方法

1、1會計學FIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法2 IIR數字濾波器在前述設計中只強調了幅頻特性，其數字濾波器在前述設計中只強調了幅頻特性，其相頻特性不好，雖然可以用全通網絡給以校正，仍不算好。相頻特性不好，雖然可以用全通網絡給以校正，仍不算好。在圖象處理及數據傳輸中，要求線性相位（只產生群延時，在圖象處理及數據傳輸中，要求線性相位（只產生群延時，不產生波形畸變），用不產生波形畸變），用FIR濾波器較適宜。濾波器較適宜。 FIR濾波器是多項式形式，沒有分式分母部分，易于濾波器是多項式形式，沒有分式分母部分，易于用用FFT法實現。由于非線性相位系統(tǒng)一般可用法實現。由于非線性相位系統(tǒng)一般可用

2、IIR濾波器實濾波器實現，故這里討論線性相位現，故這里討論線性相位FIR。一、FIR與IIR相比較：時間時間 t幅幅度度原始信號原始信號時間時間 t幅幅度度相移相移90o時間時間 t幅幅度度相移相移 180odd)()(f1 f2f時時延延f1 f2f時時延延f1 f2f ( )f1 f2f ( ) 系統(tǒng)相位特性決定了信號不同頻率的時延系統(tǒng)相位特性決定了信號不同頻率的時延輸入波形輸入波形DFT變換變換忽略相忽略相位信息位信息IDFT變換變換輸出波形輸出波形constant)(ddgg)(NpgpTTph00)(sin- 系統(tǒng)的群延遲系統(tǒng)的群延遲9對于對于FIR濾波器，單位沖激響應濾波器，單位沖

3、激響應 )(nh的的Z變換為變換為 10)()(NnnznhzH，共，共N個樣點長，個樣點長，N-1階多項式，階多項式，有有N-1個零點，個零點，N-1階極點階極點z=0在原點處。在原點處。一、線性相位條件一、線性相位條件 當 )(nh為實數， 10 Nn，且滿足下列條件之一： )1()(nNhnh )1()(nNhnh 偶對稱 奇對稱 則具有線性相位特性。則具有線性相位特性。 10又由于N分為奇、偶兩種情形，故組合出四種情形。 偶對稱，N為奇情形偶對稱，N為偶情形11奇對稱，N為奇情形 奇對稱，N為偶情形注意：無論是奇對稱還是偶對稱，對稱中心在注意：無論是奇對稱還是偶對稱，對稱中心在n=(N

4、-1)/2處。處。 12二、線性相位特點二、線性相位特點 這里推導一下滿足偶對稱或奇對稱的這里推導一下滿足偶對稱或奇對稱的 )(nh具有線性具有線性相位，即相位，即)()()( jjeHeH （7-2） )( H是幅度，是幅度， )( 是相角。是相角。 其中其中 bk )(，k，b是常量，是常量， -k稱為群延時稱為群延時 kdd )(，131. )(nh是偶對稱的情況是偶對稱的情況 )1()(nNhnh 1010)1()()(NnnNnnznNhznhzH 10)1(10)1()()(1NmmNNmmNzmhzzmhnNm從而從而 )()(1)1( zHzzHN，進而：，進而： 10)1(1

5、)1()(21)()(21)(NnnNnNzzznhzHzzHzH14 102121212)(NnNnNnNzznhz 102121cos)()(NnNjjNnnheeH 比較（比較（7-2），幅度、相位分別為：），幅度、相位分別為： 21)(21cos)()(10NnNnhHNn （7-17）（7-18） 152. )(nh是奇對稱的情況是奇對稱的情況 )1()(nNhnh 1010)1()()(NnnNnnznNhznhzH 10)1(10)1()()(1NmmNNmmNzmhzzmhnNm從而有從而有 )()(1)1( zHzzHN，進而：，進而： 10)1(1)1()(21)()(21

6、)(NnnNnNzzznhzHzzHzH16 10)21()21(212)(NnNnNnNzznhz在單位圓上：在單位圓上： 102121sin)()(NnNjjNnnhjeeH 1022121sin)(NnjNjnNnhe 17221)(21sin)()(10 NnNnhHNn（7-20）（7-21） 線性相位，但有固定相移線性相位，但有固定相移 。 90三、幅度函數的特點三、幅度函數的特點 幅度函數的討論不僅對偶對稱和奇對稱不同，且幅度函數的討論不僅對偶對稱和奇對稱不同，且N為為奇偶也不同。奇偶也不同。 181.h(n)是偶對稱，是偶對稱，N為奇數為奇數 由（由（7-17）式）式 1021

7、cos)()(NnnNnhH 其中其中 )(nh是偶對稱，而是偶對稱，而 )1(21cos21cos21cosnNNNnnN 也對也對 21 N處成偶對稱，故整個處成偶對稱，故整個 )( H關于關于 21 N成偶對稱，成偶對稱，除中點除中點21 N處外，可以把第一點與最后一點合并處外，可以把第一點與最后一點合并2，第二，第二點與倒數第二點合并點與倒數第二點合并2，則有，則有19 2)3(021cos)(221)(NnnNnhNhH 2)1(1)cos()21(221)(NmmmNhNhH 令令 nNm 21，則可記做可記做 2)1(0)cos()()(NnnnaH 其中其中 21)0(Nha，

8、 nNhna212)(21, 2 , 1 Nn，20)( H關于關于 2 , 0 呈偶對稱呈偶對稱 0)( H 2 h(n)是偶對稱，是偶對稱，N為奇數為奇數212.h(n)是偶對稱，是偶對稱，N為偶數為偶數 與與 N為奇數不同在于為奇數不同在于 )( H合并偶對稱項時，沒有合并偶對稱項時，沒有中間項中間項 21Nh，可寫成：，可寫成： 2112021cos)2(2221cos)(2)(NmNnmmNhmNnnNnhH 令令記作：記作： 21)21(cos)()(NnnnbH 其中其中 nNhnb22)(2, 2 , 1Nn ，22 0)( H，在在 1 z處有一個零點處有一個零點 )( H關

9、于關于 2 , 0 呈偶對稱，對呈偶對稱，對 呈奇對稱呈奇對稱 （不可用作高通、帶阻）。（不可用作高通、帶阻）。 0 )( H 2h(n)是偶對稱，是偶對稱，N為偶數為偶數233.h(n)是奇對稱，是奇對稱，N為奇數為奇數 由（由（7-20）式）式 1021sin)()(NnnNnhH 2121121NhNNhNh021 Nh由由知知，即中間項為零。，即中間項為零。 )1(21sin21sin21sinnNNNnnN 故也是奇對稱的，合并相等項故也是奇對稱的，合并相等項 24 2)3(021sin)(2)(NnnNnhH )sin(21221211 mmNhnNmNm 令令可表示為：可表示為：

10、 )sin()()(211 nncHNn 其中其中 nNhnc212)(21, 2 , 1 Nn，在在 2 , 0 處處 0)( H，即，即 )(zH在在 1z處為零點。處為零點。 25 0)( H 2 h(n)是奇對稱，是奇對稱，N為奇數為奇數)( H關于關于 2 , 0 呈奇對稱呈奇對稱 264. h(n)是奇對稱，是奇對稱，N為偶數為偶數 與與3.情況相同，但無中間項情況相同，但無中間項 12021sin)(2)(NnnNnhH 令令 nNm 2 )21(sin22)(21mmNhHNm ，則記做：記做： )21(sin)()(21nndHNn 其中其中 nNhnd22)(2, 2 ,

11、1Nn ，27在在 2 , 0 處處 0)( H)(zH在在 1 z處為零點處為零點 )( H在在 2 , 0 呈奇對稱，在呈奇對稱，在 呈偶對稱呈偶對稱（不可用作低通、帶阻）。（不可用作低通、帶阻）。 0)( H 2 h(n)是奇對稱，是奇對稱，N為偶數為偶數28四、零點位置四、零點位置 由于由于線性相位線性相位FIR濾波器的系統(tǒng)函數總滿足濾波器的系統(tǒng)函數總滿足 )()(1)1( zHzzHN0)( izHiz，是是 )(zH的零點的零點 0)()()1(1 iNiizHzzH，故，故 1 iz也是也是 )(zH的零點的零點 加之加之 )(nh是實數，對應是實數，對應 )(zH的零點總是成共

12、軛對的零點總是成共軛對出現，故一般出現，故一般 總是總是4個零點個零點一組同時出現一組同時出現 當零點是復零點時當零點是復零點時總是總是4 4個一組出現個一組出現29圖圖 1Re(z)j Im(z)0 1111411111111)1()(zerzerzerzerzzzHiiiijijijijikki 一般情況)cos2)(cos21(12122212 zzrrzrzrriiiiiii 30有幾個特例情況，即零點在單位圓上或在實軸上，需要另外討論。有幾個特例情況，即零點在單位圓上或在實軸上，需要另外討論。 1. 零點在單位圓上，但不在實軸上時，也需呈共軛對。零點在單位圓上，但不在實軸上時，也需呈

13、共軛對。 121111)( zezezHiijkji 21cos21 zzi 1Re(z)j Im(z)0二階二階FIR濾波器濾波器 1 312. 零點在實軸上，但不在單位圓上時，實數的倒數仍是實數，零點在實軸上，但不在單位圓上時，實數的倒數仍是實數，也成對出現。也成對出現。 1Re(z)j Im(z)0 211211)1(1111)( zzrrzrzrzHiiikii二階二階FIR濾波器濾波器 1 323. 零點在單位圓上，且在實軸上時。零點在單位圓上，且在實軸上時。 1Re(z)j Im(z)011)( zzHi一階一階FIR濾波器濾波器 5 . 0 33對對 為偶數時，如為偶數時，如 奇

14、對稱，有奇對稱，有 ，在，在N)(nh0)0( H1 z處是零點（不適合低通、帶阻）處是零點（不適合低通、帶阻）對對 為偶數時，如為偶數時，如 偶對稱，有偶對稱，有 ，在，在N)(nh0)( H1 z處是零點（不適合高通、帶阻）處是零點（不適合高通、帶阻）對對 為奇數時，如為奇數時，如 奇對稱，有奇對稱，有 ， ，N)(nh0)0( H 處是零點（不適合低通、高通、帶阻）處是零點（不適合低通、高通、帶阻）0)( H1z這三種情況必有零點這三種情況必有零點 111 zzz或或或或返回34 提到窗函數，首先有兩點要搞清楚，一是什么是窗，二是這提到窗函數，首先有兩點要搞清楚，一是什么是窗，二是這里是

15、什么窗。窗的概念是取已知序列的一部分，該部分每點值要里是什么窗。窗的概念是取已知序列的一部分，該部分每點值要對應乘上窗的值。對應乘上窗的值。 窗函數設計法（時窗設計法）的過程窗函數設計法（時窗設計法）的過程如下：如下： 2. 取窗函數，去掉取窗函數，去掉 0 n部分，得到物理可實現系統(tǒng)部分，得到物理可實現系統(tǒng) 3. 其其Z變換對應物理可實現系統(tǒng)函數變換對應物理可實現系統(tǒng)函數 ， )(zH其幅頻特性其幅頻特性將近似于原理想濾波器將近似于原理想濾波器1. 給定理想的數字濾波器給定理想的數字濾波器 )( jdeH，求得其對應時域單位，求得其對應時域單位采樣響應為采樣響應為)(nhd。)(nhd是物理

16、不可實現系統(tǒng)是物理不可實現系統(tǒng)0 n時時 0)( nhd）（因為（因為35設計流程：設計流程：)( jdeHIDTFT)(nhd選擇窗選擇窗)()()(nwnhnhd DTFT)( jeH檢驗檢驗窗函數設計法的優(yōu)點是簡單實用（特別是窗函數設計法的優(yōu)點是簡單實用（特別是Hamming窗、窗、Hanning窗）；缺點是截止頻率不易準確控制，有時需多次尋優(yōu)計算逼近。窗）；缺點是截止頻率不易準確控制，有時需多次尋優(yōu)計算逼近。 36 從這一過程可看到取的是時窗，而這一過程稱從這一過程可看到取的是時窗，而這一過程稱FIR濾波器的窗濾波器的窗函數法。由于這一方法涉及時域到函數法。由于這一方法涉及時域到Z域的

17、變換，可用域的變換，可用FFT快速計算，快速計算，故又稱傅立葉級數法。故又稱傅立葉級數法。 全過程的數學描述如下：全過程的數學描述如下： 對已知濾波器對已知濾波器 )( jdeH，其時域采樣響應，其時域采樣響應 )(nhd用用 1 F表示為：表示為： deeHnhnjjdd)(21)(例：對理想低通例：對理想低通 )()(sin21)( nndeenhcccnjjdcc37進一步設窗函數為進一步設窗函數為 )(nw，得物理可實現，得物理可實現 )(nh為為 )()()(nhnwnhd 其中其中2/ )1( N 設選矩形時窗，窗寬設選矩形時窗，窗寬 N，即，即 其它其它0101)(Nnnw此時此

18、時 其它其它0102121sin)(NnNnNnnhccc圖圖7.2.1 理想低通的單位脈沖響應及矩形窗理想低通的單位脈沖響應及矩形窗39如上得到時域結果。如果要求如上得到時域結果。如果要求Z域結果，一種簡單方法是求出域結果，一種簡單方法是求出 ) 1(,),1 (),0(Nhhh后，后，)1(321)1()3()2()1()0()( NzNhzhzhzhhzH就是有限長就是有限長FIR濾波器的系統(tǒng)函數。濾波器的系統(tǒng)函數。 這種方法求出的這種方法求出的 )(zH和和 )(zHd差距有多大，如何減少差距差距有多大，如何減少差距是下面要進一步分析的內容。是下面要進一步分析的內容。傅立葉變換具有一個

19、重要的性質：傅立葉變換具有一個重要的性質： 時域的卷積對應頻域的乘積時域的卷積對應頻域的乘積 時域的乘積對應頻域的卷積時域的乘積對應頻域的卷積 40由于由于 )(nh是是 )(nw與與 )(nhd之積構成，故之積構成，故 )( jeH是是 )( jdeH與與 )( jeW的卷積，的卷積， )( jdeH是理想矩形，而是理想矩形，而 )(nw是矩形時，是矩形時， )2sin()2sin()()21(10NNeeeWNjNnnjjR deWeHeHjRjdj)()(21)()(是卷積關系，從圖形上看一下這一卷積的效果。是卷積關系，從圖形上看一下這一卷積的效果。 圖圖7-7、7-8 圖圖7-8 矩形

20、窗的卷積過程矩形窗的卷積過程42如果窗函數的頻譜是一個如果窗函數的頻譜是一個 )( ，則卷積能保持原，則卷積能保持原 )( dH的理想形式，的理想形式， 但但 )( 要求時域窗是常數，無限長，無法物理要求時域窗是常數，無限長，無法物理實現，故選窗函數的主要構想是選具有主瓣窄高，旁瓣小的頻實現，故選窗函數的主要構想是選具有主瓣窄高，旁瓣小的頻域特性的時窗。（但兩者是矛盾的）域特性的時窗。（但兩者是矛盾的）主瓣窄，則過渡帶窄；旁瓣小，則衰減大；實際應用中是用主瓣窄，則過渡帶窄；旁瓣小，則衰減大；實際應用中是用主瓣寬度換取較大衰減。主瓣寬度換取較大衰減。下面介紹幾種時窗：下面介紹幾種時窗： 首先介紹

21、描述窗函數頻譜中幾個參數。首先介紹描述窗函數頻譜中幾個參數。 43對對 )( jeW進行歸一化：進行歸一化： dBeWeWeWjjj)()(lg20)(0 1）3dB帶寬帶寬B 是主瓣下降是主瓣下降-3dB時的帶寬，時的帶寬，N 2 以以 為單位為單位1。 2）主瓣寬度（過零點帶寬）主瓣寬度（過零點帶寬 ），帶寬越小越好，減少過渡帶寬度，更陡帶寬越小越好，減少過渡帶寬度，更陡 3）旁瓣峰值（最大旁瓣峰值旁瓣峰值（最大旁瓣峰值 A(db)），越小越好，減少波動（阻帶最小衰減），越小越好，減少波動（阻帶最小衰減） )/(octdBD4）是旁瓣峰值衰減速度。是旁瓣峰值衰減速度。 0B44（1）矩形窗

22、）矩形窗 otherNnnRnwN0101)()( 2sin2sin)(21NeeWNjjR主瓣寬度為主瓣寬度為 ， 旁瓣較大旁瓣較大4N45（2）三角窗（）三角窗（Bartlett窗）窗） 12112221012)(NnNNnNnNnnw 2122sin41sin12)(NjjeNNeW主瓣寬度為主瓣寬度為 ， 旁瓣較小旁瓣較小8N46（3）漢寧（）漢寧（Hanning）窗：升余弦窗窗：升余弦窗 )(12cos121)(nRNnnwN 21)()(NjjeWeW )2()2(25. 0)(5 . 0)(NWNWWWRRR 8N主瓣寬度為主瓣寬度為 ， 旁瓣電平變小旁瓣電平變小4N47（4）海

23、明（）海明（Hamming）窗：改進升余弦窗窗：改進升余弦窗 )(12cos46.054.0)(nRNnnwN )2(23. 0)2(23. 0)(54. 0)(NWNWWWRRR 8N主瓣寬度為主瓣寬度為 ， 旁瓣幅度更小旁瓣幅度更小48（5）布萊克曼（）布萊克曼（Blackman）窗：二階升余弦窗窗：二階升余弦窗 )(14cos08. 012cos5 . 042. 0)(nRNnNnnwN 其中其中 14cosNn 為二階諧波分量為二階諧波分量 )14(04. 0)14(04. 0)12(25. 0)12(25. 0)(42. 0)( NWNWNWNWWWRRRRR12N主瓣寬度為主瓣寬度

24、為 為最大，為最大， 旁瓣電平最小旁瓣電平最小49（6）凱澤（）凱澤（Kaiser）窗窗 由貝塞爾函數構成，可以通過參數由貝塞爾函數構成，可以通過參數 調整，適應性強。調整，適應性強。另有幾十種，例如另有幾十種，例如Chebyshev窗，窗，Gaussian（高斯）窗。高斯）窗。 50常用的六種窗函數常用的六種窗函數(N=25)51六種窗函數的窗譜六種窗函數的窗譜(N=25)52重點看重點看P342P342，表，表7 7-3 3)( jdeH)(nhd)()()(nhnwnhd )( jeH2,( )w n2AN當當 不是很復雜時，可以直接計算積分，不是很復雜時，可以直接計算積分，否則必修用求

25、和代替積分，以便在計算機上否則必修用求和代替積分，以便在計算機上計算，也就是，要計算離散傅里葉反變換，計算，也就是，要計算離散傅里葉反變換，一般都采用一般都采用FFT來計算來計算)( jdeH57%方法二方法二wc=0.3*pi;a=(N-1)/2;for n=1:N; m=n-1; if m=a hd(n)=wc/pi; else hd(n)=sin(wc*(m-a)/(pi*(m-a); endend%方法一方法一wc=0.3*pi;a=(N-1)/2;n=0:N-1;m=n-a+eps; %通過加任意小值 eps避免%了n=a時零比零的出現。hd=sin(wc*m)./(pi*m);58

26、h(n)=hd(n)*w(n)hd(n)w(n)020-0.1-0.0500.00.25Ideal Impulse Reponsehd(n)02000.811.2Hamming Windoww(n)020-0.1-0.0500.00.250.3h(n)Actual Impulse Response5900.20.41-500DecibelsMagnitude Response in dB00.51-3-2-10123phasePhase Response60用窗函數設計法設計不同類型用窗函數設計法設計不同類型HP、BP、BS的方法的

27、方法 對低通單位抽樣響應：對低通單位抽樣響應： nnnndeenhccnjjdcc , ,)()(sin21)(21 N矩形時窗則取矩形時窗則取 1, 2 , 1 , 0)()( Nnnhnhd61對高通、帶通、帶阻，只需改變（對高通、帶通、帶阻，只需改變（1）式的上下限即可）式的上下限即可 。1）高通：）高通： ccjjdeeH00)(則則 nnnnndedenhccnjnjdcc ,1 ,sinsin2121)()()(高通濾波器全通濾波器低通濾波器高通濾波器全通濾波器低通濾波器622）帶通：）帶通： othereeHhljjd0)( nnnnndedenhlhlhnjnjdhllh ),

28、(1 ,sinsin2121)()()(帶通濾波器（帶通濾波器（1,21,2）低通濾波器（）低通濾波器（22）低通濾波器（）低通濾波器（11）633）帶阻：）帶阻： othereeHhljjd0,0)( hllhdededenhnjnjnjd)()()(21)( nnnnnnhlhl ),(1 ,sinsinsin帶阻濾波器（帶阻濾波器（1,21,2）低通濾波器（）低通濾波器（11）高通濾波器（）高通濾波器（22）64可以觀察到：高通全通低通可以觀察到：高通全通低通 帶通低通帶通低通1低通低通2 帶阻低通高通帶阻低通高通全通全通帶通帶通窗函數法還可用于設計其它形式的濾波器窗函數法還可用于設計其

29、它形式的濾波器 例：用窗函數法設計一個例：用窗函數法設計一個 90移相器，其理想頻率響應為：移相器，其理想頻率響應為： 00)(jjeHjd，稱為希爾伯特（，稱為希爾伯特（Hilbert）變換器變換器 65 deeHnhnjjdd)(21)( 002121djedjenjnj 為為奇奇數數為為偶偶數數nnnnn 20)1(1取取 15 N)(nhd奇對稱，奇對稱，N為奇數，為奇數， )( H奇對稱奇對稱 )()21()(nwNnhnhd 66如如 )(nw是矩形窗，則有：是矩形窗，則有： 0)13()3()1( hhhn為奇數為奇數 72)14()0( hh 52)12()2( hh 32)1

30、0()4( hh 2)8()6( hh得到得到 )(nh，如需要可寫成，如需要可寫成 )(zH形式。形式。 為偶數為偶數21 Nn67窗函數設計法是令時域窗函數設計法是令時域 )(nh與理想與理想 )(nhd相近，相近，設計濾波器。設計濾波器。 而頻率抽樣法是令頻域而頻率抽樣法是令頻域 )()(kHkHd 來設計濾波器。來設計濾波器。 即：即： 令令kNjddeHkHkH 2)()()( 1, 1 , 0 Nk得到得到 )(kH后利用后利用3.7節(jié)的插值公式（節(jié)的插值公式（3-90），則有），則有 1011)(1)(NkkNNzWkHNzzH 10)2()()(NkjkNkHeH 其中其中 2

31、1)2sin()2sin(1)(NjeNN 68一、線性相位的約束一、線性相位的約束 如果用頻率抽樣法設計，又附加線性相位濾波要求，則對應濾波器如果用頻率抽樣法設計，又附加線性相位濾波要求，則對應濾波器的對稱性有一定的要求，具體討論如下：的對稱性有一定的要求，具體討論如下： 1. 對對 )(nh是偶對稱，且是偶對稱，且 N為奇數時：為奇數時： 由表由表7-1第一欄：第一欄： 21)()(NjjeHeH69其中 )2()( HH是偶對稱 相位特性函數： 21)(N線性的 對 抽樣，則 )11(Nkk kNkHH ，2. 對 )(nh是偶對稱，且 N為偶數時： 由表7-1第二欄： )2()( HH

32、奇對稱 3. 對 )(nh是奇對稱，且 N為奇數時： 由表7-1第三欄： )2()( HH奇對稱 kNkHH 或)11(2Nkk kNkHH 或)11(Nkk 704. 對對 )(nh是奇對稱，且是奇對稱，且 N為偶數時：為偶數時： 由表由表7-1第四欄：第四欄： )2()( HH奇對稱奇對稱 kNkHH 或或)11(2Nkk 二、二、 頻率抽樣的兩種方法（兩種起點）頻率抽樣的兩種方法（兩種起點） I型型 kNjdeHkH 2)()( 已討論過已討論過 II型情況下：型情況下： )21(22 kNkNN 圖圖7-17兩種頻率抽樣兩種頻率抽樣72代入代入 )( jdeH 10)21(2)21(2

33、)()()()(NnnkNjkNjddenheHkHkH 101)21(21)(1)(NkkNjNzekHNzzH這時這時（7-100） 10)21()21()21(2sin)()2cos()(NkkNjNjjkNjekHeNNeH（7-101）73三、用 )(kH的模 )(kH表示線性相位濾波器 上面I型、II型表達式是已知 )(kH時求對應線性相位的濾波器 )( jeH，有時為設計方便，往往已知 )(kH而相位要求線性相位，來設計)( jeH，此時 )(kH可表示成模及幅角形式： )()()(kjekHkH 1, 1 , 0 Nk，三、線性相位第一種頻率抽樣三、線性相位第一種頻率抽樣由于由

34、于210( )( )NjnkNnH kh n e*( )()( )()NNH kHNkRkHNk當當h(n)為實數時，滿足為實數時，滿足( )()( )()H kH NkkNk 由此得出由此得出即即H(k)的模以的模以k=N/2為對稱中心呈偶對稱，為對稱中心呈偶對稱，H(k)的相角的相角 (k)以以k=N/2為對稱中心呈奇對稱。為對稱中心呈奇對稱。利用線性相位的條件即可得到：利用線性相位的條件即可得到：當當N為奇數時，有為奇數時，有211,0,22( )211(),122NNkkNkNNNkkNN當當N為偶數時，有為偶數時，有21,0,12221( )(),1,1220,2NNkkNNNkNk

35、kNNNk由此可知，當由此可知，當N為奇數時，有為奇數時，有21221()21( ),0,1,2( )1(),12NjkNNjN kNNH k ekH kNH Nk ekN同樣，當同樣，當N為偶數時，有為偶數時，有21221()2( )0,1,12( )02(),1,12NjkNNjN kNNH k ekNH kkNH Nk ekN把上式帶入式把上式帶入式7-90b，可以得到，可以得到11221sinsin(0) sin( )222()sinsinsin222NNjjkkkNNNHH kNNH eekkNNNNNN對線性相位第一種頻率抽樣，當對線性相位第一種頻率抽樣，當N為奇數時為奇數時112

36、21sinsin(0) sin( )222()sinsinsin222NNjjkkkNNNHH kNNH eekkNNNNNN當當N為偶數時為偶數時對于線性相位第二種頻率抽樣，分析相同，自己看書對于線性相位第二種頻率抽樣，分析相同，自己看書78四、過渡帶抽樣的優(yōu)化設計 為了減輕偏離理想濾波器的起伏振蕩，可放寬“理想程度”，加寬過渡帶，增加過渡抽樣點數，從而使整體性能更好。 增加過渡帶抽樣點，可加大阻帶衰減加一點：加一點：不加過渡抽樣點：不加過渡抽樣點：220dB 240 54dB 加兩點：加兩點：加三點：加三點：260 75dB 280 95dB u增加過渡帶抽樣點，可加大阻帶衰減，但導致過增

37、加過渡帶抽樣點，可加大阻帶衰減，但導致過渡帶變寬渡帶變寬u增加增加N，使抽樣點變密，減小過渡帶寬度，但增，使抽樣點變密，減小過渡帶寬度，但增加了計算量加了計算量u優(yōu)點：頻域直接設計優(yōu)點：頻域直接設計u缺點：抽樣頻率只能是缺點：抽樣頻率只能是2 /N或或 /N的整數倍，截的整數倍，截止頻率止頻率 c不能任意取值不能任意取值例：利用頻率抽樣法設計一個頻率特性為矩形例：利用頻率抽樣法設計一個頻率特性為矩形的理想低通濾波器，截止頻率為的理想低通濾波器，截止頻率為0.5 ，抽樣點，抽樣點數為數為N=33，要求濾波器具有線性相位。，要求濾波器具有線性相位。解：理想低通頻率特性解：理想低通頻率特性10()0

38、cjwdHe其它按第一種頻率抽樣方式，按第一種頻率抽樣方式，N=33，得抽樣點，得抽樣點則：則：110Int24( )10Int122ccNNkH kNNk 將這些值帶入（將這些值帶入（7-111）式，可得）式，可得816133sin 33sin 33sin2332332()33sin33sin33sin2233233jjkkkH eekk為了改善頻率特性，以滿足指標要求，可在通帶和阻帶交界為了改善頻率特性，以滿足指標要求，可在通帶和阻帶交界處安排一個或幾個不等于零也不等于處安排一個或幾個不等于零也不等于1的抽樣值，在本例中的抽樣值，在本例中，在，在k=9處增加一個抽樣值處增加一個抽樣值如果要

39、進一如果要進一步增加阻帶步增加阻帶衰減，可再衰減，可再添加第二個添加第二個不等于不等于1也也不等于零的不等于零的抽樣，這樣抽樣，這樣過渡帶又加過渡帶又加寬了。寬了。8550dB,4 . 0,2 . 0ssp 861022 . 01 N8788抽樣點數抽樣點數N=10，過渡帶上無抽樣點。，過渡帶上無抽樣點。00.20.4100.351Ideal Amplitude ResponseHr(k)0510-0.3Impulse Responseh(n)00.20.4100.351Amplitude Responsefrequency in pi unitsHr(w)00.20.41

40、-500DecibelsMagnitude Responsefrequency in pi units892022 . 02 N9091抽樣點數抽樣點數N=20，過渡帶上一個抽樣點。，過渡帶上一個抽樣點。00.20.4100.351Ideal Amplitude ResponseHr(k)05101520-0.3Impulse Responseh(n)00.20.4100.351Amplitude Responsefrequency in pi unitsHr(w)00.20.41-500DecibelsMagnitude Responsefrequency in pi units923022 . 03 N9394抽樣點數抽樣點數N=30，過渡帶上兩個抽樣點。，過渡帶上兩個抽樣點。00.20.4100.11550.61951Ideal Amplitude ResponseHr(k)0102030-0.3Impulse Responseh(n)00.2