讓“封閉”題“開放”

1、讓“封閉”題“開放”胡挺員 “開放題已成為全世界的熱點(diǎn)。開放題的核心是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造意識和創(chuàng)造能力?！蹦敲矗诮滩倪€沒有提供足夠的開放題之前，“好的開放題從那里來？”(1)我認(rèn)為最現(xiàn)實(shí)的辦法是讓“封閉”題“開放”。 一、意識的開放 首先要改變那種只局限于教師給題學(xué)生做題的被動的、封閉的意識。學(xué)習(xí)的目的是為了使自然人過渡到社會人、使社會人更好地服務(wù)于社會，由于社會時(shí)刻在發(fā)生著變化，因此，一個(gè)良好的社會人必需具備適應(yīng)社會變化的能力。讓學(xué)生懂得用現(xiàn)成的方法解決現(xiàn)成的問題僅僅是學(xué)習(xí)的第一步，學(xué)習(xí)的更高境界是提出新問題、提出解題的新方案；即使為了應(yīng)試，就題論題的學(xué)習(xí)也是事倍功半，如一九九八年全國高考試題

2、第(19)題：“關(guān)于函數(shù)f(x)=4Sin(2x+/3)(xR)，有下列命題：由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是的整數(shù)倍；y=f(x)的表達(dá)式可改寫為y=4Cos(2x-/6):y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-/6，0)對稱；y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=-/6對稱。其中正確的命題是(注：把你認(rèn)為正確的命題的序號都填上)”顯然高中代數(shù)上冊第184頁例4“作函數(shù)y=3Sin(2x+/3)的簡圖?！笨勺鳛槠湓?。學(xué)生如果明白這些道理就會產(chǎn)生對問題開放的需求，逐步形成自覺的開放意識。 二、問題的開放 有了開放的意識，加上方法指導(dǎo)，開放才會成為可能。根據(jù)創(chuàng)造的三要素：“結(jié)構(gòu)、關(guān)系、順序”，我們

3、可以為學(xué)生構(gòu)建由“封閉”題“開放”的如下模式： 問題本身的開放 獲得新問題 問題解法的開放 獲得新思路 示例1。(高中平面解析幾何習(xí)題四第11題)求經(jīng)過兩條曲線x2+y2+3x-y=0和3x2+3y2+2x+y=0交點(diǎn)的直線方程。 解法開放：通常是先求交點(diǎn)坐標(biāo)，再由交點(diǎn)坐標(biāo)求直線方程。如果對由目標(biāo)分解出的兩個(gè)要素進(jìn)行適當(dāng)解釋：過交點(diǎn)由兩曲線方程組成的方程組的解是所求方程的解，直線所求的方程為一元二次方程，那么，只要由第一條曲線方程乘以3與第二條曲線方程相減便可得到所求的直線方程7x-4y=0；如果從“直線”入手，再考慮“過交點(diǎn)”，則可引入直線方程，運(yùn)用待定系數(shù)法求解。 示例2。(高中代數(shù)下冊第

4、12頁例7)已知a、b、mR+,并且a<b,求證(a+m)/(b+m)> a/b。 解法開放：除教材介紹的方法外，根據(jù)目標(biāo)的結(jié)構(gòu)特征，改變一下考察問題的角度，或同時(shí)對目標(biāo)的結(jié)構(gòu)作些調(diào)整、重新組合，可獲得如下思路：兩點(diǎn)(b,a)、(-m,-m)的連線的斜率大于兩點(diǎn)(b,a)、(0,0)的連線的斜率；b個(gè)單位溶液中有a個(gè)單位溶質(zhì)，其濃度小于加入m個(gè)單位溶質(zhì)后的濃度；在數(shù)軸上的原點(diǎn)和坐標(biāo)為1的點(diǎn)處，分別放置質(zhì)量為m、a的質(zhì)點(diǎn)時(shí)質(zhì)點(diǎn)系的重心，位于分別放置質(zhì)量為m、b的質(zhì)點(diǎn)時(shí)質(zhì)點(diǎn)系的重心的左側(cè)等。 示例3。(高中平面解析幾何復(fù)習(xí)參考題二第11題)由圓x2+y2=4上任意一點(diǎn)向x軸作垂線。求垂

5、線夾在圓周和x軸間的線段中點(diǎn)的軌跡方程。(答案：x2/4+y2=1) 問題本身開放：先從問題中分解出一些主要“組件”，如：A、“圓x2+y2=4”；B、“x軸”；C、“線段中點(diǎn)”等。然后對這些“組件”作特殊化、一般化等處理便可獲得新問題。 對A而言，圓作為一種特殊的曲線，我們將其重新定位在“曲線”上，那么曲線又可分解成大小、形狀和位置三要素，于是改變條件A(大小或形狀或位置)就可使問題向三個(gè)方向延伸。 如改變位置，將A寫成“(x-a)2+(y-b)2=4”，即可得所求的軌跡方程為(x-a)2+(2y-b)2=4；再將其特殊化(取a=0)，并進(jìn)行新的組合便有問題：圓x2+(y-b)2=4與橢圓x

6、2+(2y-b)2=4有怎樣的位置關(guān)系？試說明理由。 簡解：解方程組 x2+(y-b)2=4 x2+(2y-b)2=4得 y=0 或y=2b/3 當(dāng)y=0時(shí)，x2+b2=4， 若b<-2或 b>2，圓與橢圓沒有公共點(diǎn)； 若b=±2，圓與橢圓恰有一個(gè)公共點(diǎn)； 若 -2<b<2，圓與橢圓恰有二個(gè)公共點(diǎn)。 當(dāng)y=2b/3時(shí),x2+b2/9=4， 若b<-6或b>6，圓與橢圓沒有公共點(diǎn)； 若b=±6，圓與橢圓恰有一個(gè)公共點(diǎn)； 若-6<b<6，圓與橢圓恰有二個(gè)公共點(diǎn)。 綜上所述，圓x2+(y-b)2=4與橢圓x2+(2y-b)2=4，當(dāng)

7、b<-6或b>6時(shí)沒有公共點(diǎn)；當(dāng)b=±6時(shí)恰有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)-6<b<-2或b=0或2<b<6時(shí)恰有二個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)b=±2時(shí)恰有三個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)-2<b<0或0<b<2時(shí)恰有四個(gè)公共點(diǎn)。 上面的解法是從“數(shù)”著手，也可以從“形”著手分析。 再進(jìn)一步延伸，得：當(dāng)b>6時(shí)，圓x2+(y-b)2=4上的點(diǎn)到橢圓x2+(2y-b)2=4上的點(diǎn)的最大距離是多少？這類似于1992年浙江省高中證書會考試題，這個(gè)問題的解決是對數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等思想的進(jìn)一步強(qiáng)化。 對B而言，它是一條特殊的直線，通過對其位置的變更可產(chǎn)生許多有意義的問題；而C是一種特殊的線段分點(diǎn)，同樣可以使其進(jìn)到一般，若對由此產(chǎn)生的結(jié)果繼續(xù)研究就會發(fā)現(xiàn)以往的一些會考、高考試題。 開放的行為給上面三個(gè)簡單的問題注入了新的活力，推陳出“新”、自己給自己出題是人自我意識的回歸。 “所有的畫都是以只有3種原色的方式構(gòu)成的。每當(dāng)我們把某樣?xùn)|西說成是新的的時(shí)