正弦定理證明(共5頁)

1、一、正弦定理的幾種證明方法abDABC1.利用三角形的高證明正弦定理（1）當ABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD，根據銳角三角函數的定義，有,。由此，得 ，同理可得 ， 故有 .從而這個結論在銳角三角形中成立.ABCDba（2）當ABC是鈍角三角形時，過點C作AB邊上的高，交AB的延長線于點D，根據銳角三角函數的定義，有， 。由此，得 ，同理可得 故有 .由(1)(2)可知，在ABC中， 成立.從而得到：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比值相等，即.2.利用三角形面積證明正弦定理DCBA已知ABC,設BCa, CAb,ABc,作ADBC,垂足為D.則RtADB中, ,AD=AB&#

2、183;sinB=csinB.SABC=.同理,可證 SABC=. SABC=.absinc=bcsinA=acsinB,在等式兩端同除以ABC,可得.即.3.向量法證明正弦定理(1)ABC為銳角三角形,過點A作單位向量j垂直于,則j與的夾角為90°-A,j與的夾角為90°-C.由向量的加法原則可得,為了與圖中有關角的三角函數建立聯系,我們在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數量積運算,得到 由分配律可得. B C|j|Cos90°+|j|Cos(90°-C)=|j|Cos(90°-A). j asinC=csinA. A 另外,過點C作與垂直的

3、單位向量j,則j與的夾角為90°+C,j與的夾角為90°+B,可得.(此處應強調學生注意兩向量夾角是以同起點為前提,防止誤解為j與的夾角為90°-C,j與的夾角為90°-B).CA(2)ABC為鈍角三角形,不妨設A90°,過點A作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為A-90°,j與的夾角為90°-C.由,得j·+j·=j·, jAB即a·Cos(90°-C)=c·Cos(A-90°),asinC=csinA.另外,過點C作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為9

4、0°+C,j與夾角為90°+B.同理,可得. 4.外接圓證明正弦定理在ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作ABC的外接圓,O為圓心,連結BO并延長交圓于B,設BB=2R.則根據直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等可以得到BAB=90°，C =B，sinC=sinB=.同理,可得.這就是說,對于任意的三角形,我們得到等式.ACB法一(平面幾何)：在ABC中，已知，求c。過A作，在Rt中，法二（平面向量）：，即：法三（解析幾何）：把頂點C置于原點，CA落在x軸的正半軸上，由于ABC的AC=b，CB=a，AB=c，則A，B，C點的坐標分別為A(b，0

5、)，B(acosC，asinC)，C(0，0)|AB|2=(acosCb)2+(asinC0)2=a2cos2C2abcosC+b2+a2sin2C=a2+b22abcosC，即c2=a2+b22abcosC.法五（用相交弦定理證明余弦定理）: 如圖，在三角形ABC中，A=，AB=a，BC=b，AC=c?，F在以B為圓心，以長邊AB為半徑做圓，這里要用長邊的道理在于，這樣能保證C點在圓內。BC的延長線交圓B于點D和E      這樣以來，DC=a-b，CE=a+b，AC=c。因為AG=2acos，所以CG=2acos-c。根據相交弦定理

6、有：      DC×CE=AC×CG，帶入以后就是      (a-b)(a+b)=c(2acos-c)   化簡以后就得b2=a2+c2+2accos。也就是我們的余弦定理。如圖，在ABC中，AB4 cm，AC3 cm，角平分線AD2 cm，求此三角形面積.分析：由于題設條件中已知兩邊長，故而聯想面積公式SABCAB·AC·sinA，需求出sinA，而ABC面積可以轉化為SADCSADB，而SADCAC·ADsin，SAD

7、BAB·AD·sin，因此通過SABCSADCSADB建立關于含有sinA，sin的方程，而sinA2sincos，sin2cos21，故sinA可求，從而三角形面積可求.解：在ABC中，SABCSADBSADC，AB·ACsinA·AC·AD·sin·AB·ADsin·4·3sinA·3·2sin，6sinA7sin12sincos7sinsin0，cos，又0A，0sin，sinA2sincos，SABC·4·3sinA（cm2）. 在ABC中，AB5

8、，AC3，D為BC中點，且AD4，求BC邊長.解：設BC邊為x，則由D為BC中點，可得BDDC，在ADB中，cosADB在ADC中，cosADC又ADBADC180°cosADBcos（180°ADC）cosADC.解得，x2所以，BC邊長為2.2.在ABC中，已知角B45°，D是BC邊上一點，AD5，AC7，DC3，求AB.解：在ADC中，cosC，又0C180°，sinC在ABC中，ABAC··7.3.在ABC中，已知cosA，sinB，求cosC的值.解：cosAcos45°，0A45°A90°，sinAsinBsin30°，0B0°B30°或150°B180°若B150°，則