微專題數(shù)列中的新定義問題PPT課件

1、20172017 近年來，數(shù)列中的新定義問題是高考的近年來，數(shù)列中的新定義問題是高考的熱點(diǎn)熱點(diǎn)，也是能力考，也是能力考查的新題型查的新題型. .數(shù)列中的新定義問題不但可以考查對數(shù)列知識的數(shù)列中的新定義問題不但可以考查對數(shù)列知識的理解與掌握程度，還能考查創(chuàng)新能力和探索能力理解與掌握程度，還能考查創(chuàng)新能力和探索能力. .對于新定義對于新定義問題，需要選擇有效的方法分析信息，靈活運(yùn)用所學(xué)的知識解問題，需要選擇有效的方法分析信息，靈活運(yùn)用所學(xué)的知識解決問題決問題. .1.等和數(shù)列等和數(shù)列定義：把滿足定義：把滿足an+an-1=k（n2，k為常數(shù)）的數(shù)列叫做為常數(shù)）的數(shù)列叫做等和等和數(shù)列，數(shù)列，常數(shù)常數(shù)

2、k叫做數(shù)列的公和叫做數(shù)列的公和. 若等和數(shù)列若等和數(shù)列an的首項(xiàng)為的首項(xiàng)為1，公和為，公和為3，其前，其前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn= .解解: 根據(jù)根據(jù)等和等和數(shù)列的定義以及數(shù)列的定義以及k=3，得，得an=3-an-1.因?yàn)橐驗(yàn)閍1=1，所以，所以a2=2，a3=1，a4=2，即即n為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)，an=1；n為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，an=2.;23212nnSnn為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)【總結(jié)】等和數(shù)列的本質(zhì)是【總結(jié)】等和數(shù)列的本質(zhì)是奇數(shù)項(xiàng)奇數(shù)項(xiàng)和和偶數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)分別由兩組分別由兩組常數(shù)列常數(shù)列構(gòu)成，是一個(gè)構(gòu)成，是一個(gè)擺動數(shù)列擺動數(shù)列. 掌握這一特點(diǎn)，求通項(xiàng)、求和等問題就可迎刃而解了掌握這一特點(diǎn)，求通項(xiàng)、求和等問

3、題就可迎刃而解了.-213121311nnSSnnn為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)2.等比和數(shù)列等比和數(shù)列若數(shù)列若數(shù)列an對任意的正整數(shù)對任意的正整數(shù)n，都有，都有 (k為常數(shù)為常數(shù))，則稱，則稱數(shù)列數(shù)列an為為等比和等比和數(shù)列，常數(shù)數(shù)列，常數(shù)k叫做數(shù)列的叫做數(shù)列的公比和公比和.已知等比和數(shù)列已知等比和數(shù)列an中，中，a1=1，a2=2，k=3，則，則a2020= .kaaaannnn112解解: :設(shè)設(shè) ，則，則bn+1+bn=3. b2=1，b3=2，b4=1，n為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)，bn=2； n為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，bn=1.即即n為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)，an+1=2an；n為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，an+1=an.

4、nnnaab1，2121aab2.等比和數(shù)列等比和數(shù)列當(dāng)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)，an+1=2an；n為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，an+1=an.a1=1，a2=2a1=2 ，a3=a2=2 ，a4=2a3=22，a5=a4=22，a6=2a5=23，a7=a6=23，a8=2a7=24，a9=a8=24，a2020=21010.【總結(jié)】等比和數(shù)列的解題比等和數(shù)列多了一步構(gòu)造，【總結(jié)】等比和數(shù)列的解題比等和數(shù)列多了一步構(gòu)造，奇數(shù)項(xiàng)奇數(shù)項(xiàng)和和偶數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)由原來的兩組常數(shù)列變成由原來的兩組常數(shù)列變成兩組等比數(shù)列兩組等比數(shù)列，雖然還是分奇偶，雖然還是分奇偶研究的，但是實(shí)質(zhì)沒變研究的，但是實(shí)質(zhì)沒變.3.等積數(shù)列

5、等積數(shù)列若數(shù)列若數(shù)列an對任意的正整數(shù)對任意的正整數(shù)n，都有，都有anan+1an+2=k (k為常數(shù)為常數(shù))，則稱，則稱數(shù)列數(shù)列an為為等積等積數(shù)列，常數(shù)數(shù)列，常數(shù)k叫做數(shù)列的叫做數(shù)列的公積公積.若等積數(shù)列若等積數(shù)列an中中a1=1，a2=2，k=8，則，則a1+a2+a99= .解：解：由題設(shè)得由題設(shè)得anan+1an+2=8 ，an+1an+2an+3=8, 兩式兩式相除相除得得an+3=an.所以所以an是一個(gè)是一個(gè)周期為周期為3的周期數(shù)列的周期數(shù)列.因?yàn)橐驗(yàn)閍1=1，a2=2，所以，所以a3=4，所以所以a1+a2+a99=33(a1+a2+a3)=337=231.【總結(jié)】這里的等積

6、數(shù)列給的是連續(xù)三項(xiàng)的積為同一個(gè)常數(shù)，若給出的是【總結(jié)】這里的等積數(shù)列給的是連續(xù)三項(xiàng)的積為同一個(gè)常數(shù)，若給出的是連續(xù)兩項(xiàng)的積為同一個(gè)常數(shù)（即連續(xù)兩項(xiàng)的積為同一個(gè)常數(shù)（即anan+1=k），則與等和數(shù)列如出一轍），則與等和數(shù)列如出一轍.這里用這里用連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)造出一個(gè)周期數(shù)列，利用一個(gè)周期內(nèi)的幾項(xiàng)和為定值，可求出連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)造出一個(gè)周期數(shù)列，利用一個(gè)周期內(nèi)的幾項(xiàng)和為定值，可求出特定的前特定的前n項(xiàng)和項(xiàng)和.4.等方差數(shù)列等方差數(shù)列在數(shù)列在數(shù)列an中，若中，若 ，則稱，則稱an為為等方差等方差數(shù)列數(shù)列. 下面對等方差數(shù)列的判斷：下面對等方差數(shù)列的判斷：若若an是等方差數(shù)列，則是等方差數(shù)列，則 是等方差數(shù)列

7、；是等方差數(shù)列；(-1)n是等方差數(shù)列；是等方差數(shù)列；若若an是等方差數(shù)列，則是等方差數(shù)列，則akn(kN*,k為常數(shù)為常數(shù))是等方差數(shù)列；是等方差數(shù)列；若若an是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列是常數(shù)列是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列是常數(shù)列;其中其中正確正確命題的序號是命題的序號是 .為常數(shù)pNnnpaann,2212解：解：對于，對于，若若an是等方差數(shù)列，則是等方差數(shù)列，則 是常數(shù)是常數(shù)p，但但 不一定是常數(shù)，不一定是常數(shù)，故不正確故不正確;212nnaa4.等方差數(shù)列等方差數(shù)列在數(shù)列在數(shù)列an中，若中，若 ，則稱，則稱an為為等方差等方差數(shù)列數(shù)列. 下面對等方差數(shù)列的判斷：下面

8、對等方差數(shù)列的判斷：若若an是等方差數(shù)列，則是等方差數(shù)列，則 是等方差數(shù)列；是等方差數(shù)列；(-1)n是等方差數(shù)列；是等方差數(shù)列；若若an是等方差數(shù)列，則是等方差數(shù)列，則akn(kN*,k為常數(shù)為常數(shù))是等方差數(shù)列；是等方差數(shù)列；若若an是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列是常數(shù)列是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列是常數(shù)列;其中其中正確正確命題的序號是命題的序號是 .解：解：對于，因?yàn)閷τ?，因?yàn)?-1)n2-(-1)n-12=1-1=0，所以所以(-1)n是等方差數(shù)列，故正確是等方差數(shù)列，故正確;為常數(shù)pNnnpaann,22124.等方差數(shù)列等方差數(shù)列在數(shù)列在數(shù)列an中，若中，若 ，則稱，則

9、稱an為為等方差等方差數(shù)列數(shù)列. 下面對等方差數(shù)列的判斷：下面對等方差數(shù)列的判斷：若若an是等方差數(shù)列，則是等方差數(shù)列，則 是等方差數(shù)列；是等方差數(shù)列；(-1)n是等方差數(shù)列；是等方差數(shù)列；若若an是等方差數(shù)列，則是等方差數(shù)列，則akn(kN*,k為常數(shù)為常數(shù))是等方差數(shù)列；是等方差數(shù)列；若若an是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列是常數(shù)列是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列是常數(shù)列;其中其中正確正確命題的序號是命題的序號是 .,pknaapnaaknn11212212故數(shù)列的定義可得解：對于，由等方差;確是等方差數(shù)列，故正故是常數(shù)，knnkknakppkknapknaaa112121212為

10、常數(shù)pNnnpaann,22124.等方差數(shù)列等方差數(shù)列在數(shù)列在數(shù)列an中，若中，若 ，則稱，則稱an為為等方差等方差數(shù)列數(shù)列. 下面對等方差數(shù)列的判斷：下面對等方差數(shù)列的判斷：若若an是等方差數(shù)列，則是等方差數(shù)列，則 是等方差數(shù)列；是等方差數(shù)列；(-1)n是等方差數(shù)列；是等方差數(shù)列；若若an是等方差數(shù)列，則是等方差數(shù)列，則akn(kN*,k為常數(shù)為常數(shù))是等方差數(shù)列；是等方差數(shù)列；若若an是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列是常數(shù)列是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列是常數(shù)列;其中其中正確正確命題的序號是命題的序號是 .解：解：對于，對于，若若an是等差數(shù)列，設(shè)公差為是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，

11、則，則an=a1+(n-1)d.從而從而 =a1+(n-1)d2-a1+(n-2)d2=2a1d+(2n-3)d2.因?yàn)橐驗(yàn)閍n是等方差數(shù)列，則上式為是等方差數(shù)列，則上式為常數(shù)常數(shù)，故，故d=0，所以該數(shù)列為常數(shù)列，故正確所以該數(shù)列為常數(shù)列，故正確.212nnaa為常數(shù)pNnnpaann,22124.等方差數(shù)列等方差數(shù)列在數(shù)列在數(shù)列an中，若中，若 ，則稱，則稱an為為等方差等方差數(shù)列數(shù)列. 下面對等方差數(shù)列的判斷：下面對等方差數(shù)列的判斷：若若an是等方差數(shù)列，則是等方差數(shù)列，則 是等方差數(shù)列；是等方差數(shù)列；(-1)n是等方差數(shù)列；是等方差數(shù)列；若若an是等方差數(shù)列，則是等方差數(shù)列，則akn(

12、kN*,k為常數(shù)為常數(shù))是等方差數(shù)列；是等方差數(shù)列；若若an是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列是常數(shù)列是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列是常數(shù)列;其中其中正確正確命題的序號是命題的序號是 .為常數(shù)pNnnpaann,22125.二階二階等差數(shù)列等差數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差組成的新數(shù)列是等差數(shù)列差組成的新數(shù)列是等差數(shù)列，則稱這個(gè)數(shù)列，則稱這個(gè)數(shù)列為為二階等

13、差數(shù)列二階等差數(shù)列. 例如數(shù)列例如數(shù)列1,3,9,19,33，它的每一項(xiàng)與前一項(xiàng)，它的每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差組成的新數(shù)列是的差組成的新數(shù)列是2,6,10,14，這是一個(gè)公差為，這是一個(gè)公差為4的等差數(shù)列，的等差數(shù)列，所以數(shù)列所以數(shù)列1,3,9,19,33，是一個(gè)二階等差數(shù)列是一個(gè)二階等差數(shù)列.那么，請問二階等差數(shù)列那么，請問二階等差數(shù)列1,3,7,13，的第，的第100項(xiàng)是項(xiàng)是 .解解：3-1=2, 7-3=4, 13-7=6，由此得出相鄰兩項(xiàng)之差依次大，由此得出相鄰兩項(xiàng)之差依次大2，即即an+1-an=2n,a100=(a100-a99)+(a99-a98)+(a98-a97)+(a3-a2)+

14、(a2-a1)+a1=299+298+297+22+21+1=2(99+98+97+2+1)+1=9901.6.接龍等差接龍等差(比比)數(shù)列數(shù)列若數(shù)列若數(shù)列an中，中，a1,a2,ak; ak,ak+1,a2k; a2k,a2k+1,a3k; 依次夠成依次夠成等差等差(比比)數(shù)列，稱該數(shù)列為接龍等差數(shù)列，稱該數(shù)列為接龍等差(比比)數(shù)列數(shù)列.該數(shù)列是由一系列該數(shù)列是由一系列等差等差(比比)數(shù)列首尾順序連接而成的，前一個(gè)數(shù)列的末項(xiàng)是后一個(gè)數(shù)列首尾順序連接而成的，前一個(gè)數(shù)列的末項(xiàng)是后一個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng).數(shù)列數(shù)列an中，中，a1=1,a1,a2,a10成公差為成公差為1的等差數(shù)列；的等差數(shù)列；a

15、10,a11,a20成公差為成公差為d的等差數(shù)列；的等差數(shù)列；a10n,a10n+1,a10n+10成公差為成公差為dn的等差的等差數(shù)列（數(shù)列（nN*，d0）.(1)若若a20=80，求，求d；(2)設(shè)設(shè)bn=a10n，求，求bn.(1)(1)解：解：an是一個(gè)接龍等差數(shù)列，是一個(gè)接龍等差數(shù)列，a1=1，a10=a1+91=10， a20=a10+10d=10+10d=80，解得解得d=7.6.接龍等差接龍等差(比比)數(shù)列數(shù)列數(shù)列數(shù)列an中，中，a1=1,a1,a2,a10成公差為成公差為1的等差數(shù)列；的等差數(shù)列；a10,a11,a20成公差為成公差為d的等差數(shù)列；的等差數(shù)列；a10n,a10

16、n+1,a10n+10成公差為成公差為dn的等差的等差數(shù)列（數(shù)列（nN*，d0）.(2)設(shè)設(shè)bn=a10n，求，求bn.(2)(2)解：解：a10=b1=10，a20=a10+10d，a30=a20+10d2，a40=a30+10d3， a10n=a10(n-1)+10d(n-1), 即即bn=bn-1+10d(n-1),（n2）當(dāng)當(dāng)n2，bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(bn-2-bn-3)+(b2-b1)+b1 =10d(n-1)+10d(n-2)+10d(n-3)+10d+10 =10d(n-1)+d(n-2)+d(n-3)+d+1 當(dāng)當(dāng)d=1，bn=10n； 當(dāng)當(dāng)d1

17、，bn=當(dāng)當(dāng)n=1，b1=10也適合上式也適合上式.ddn1110.,111010110ddddnbnn，.,111111qqqaqnaSnn7.對稱對稱數(shù)列數(shù)列如果有窮數(shù)列如果有窮數(shù)列a1,a2,a3,am滿足條件滿足條件a1=am,a2=am-1,a3=am-2,am=a1,即即ai=am-i+1(i=1,2,3,m，m2，mN),稱其為對稱數(shù)列稱其為對稱數(shù)列.（1）設(shè)）設(shè)bn是是7項(xiàng)的項(xiàng)的“對稱數(shù)列對稱數(shù)列”，其中，其中b1,b2,b3,b4是等差數(shù)列，是等差數(shù)列，且且b1=2，b4=11，請依次寫出，請依次寫出bn的每一項(xiàng)的每一項(xiàng).（2）設(shè)）設(shè)cn是項(xiàng)數(shù)為是項(xiàng)數(shù)為2k-1(k1)的的“

18、對稱數(shù)列對稱數(shù)列”，且，且ck,ck+1,c2k-1是是首項(xiàng)為首項(xiàng)為50，公差為，公差為-4的等差數(shù)列，的等差數(shù)列，cn的前的前2k-1項(xiàng)和為項(xiàng)和為S2k-1，請問，請問當(dāng)當(dāng)k為何值時(shí)，為何值時(shí)，S2k-1取到最大值？最大值為多少？取到最大值？最大值為多少？（3）設(shè)）設(shè)pn是是100項(xiàng)的項(xiàng)的“對稱數(shù)列對稱數(shù)列”，其中，其中p51, p52, p100是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為2，公差為公差為3的等差數(shù)列，求的等差數(shù)列，求pn的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn.7.對稱對稱數(shù)列數(shù)列如果有窮數(shù)列如果有窮數(shù)列a1,a2,a3,am滿足條件滿足條件a1=am,a2=am-1,a3=am-2,am=a1,即即ai=am-i+

19、1(i=1,2,3,m，m2，mN),稱其為對稱數(shù)列稱其為對稱數(shù)列.（1）設(shè)）設(shè)bn是是7項(xiàng)的項(xiàng)的“對稱數(shù)列對稱數(shù)列”，其中，其中b1,b2,b3,b4是等差數(shù)列，是等差數(shù)列，且且b1=2，b4=11，請依次寫出，請依次寫出bn的每一項(xiàng)的每一項(xiàng).（1）解：解：因?yàn)橐驗(yàn)閎1,b2,b3,b4是等差數(shù)列，設(shè)其公差為是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則則b4=b1+3d，即，即11=2+3d，解得，解得d=3，b2=b1+d=5，b3=b1+2d=8，所以數(shù)列所以數(shù)列bn為為2,5,8,11,8,5,2.7.對稱對稱數(shù)列數(shù)列如果有窮數(shù)列如果有窮數(shù)列a1,a2,a3,am滿足條件滿足條件a1=am,a2=am

20、-1,a3=am-2,am=a1,即即ai=am-i+1(i=1,2,3,m，m2，mN),稱其為對稱數(shù)列稱其為對稱數(shù)列.（2）設(shè)）設(shè)cn是項(xiàng)數(shù)為是項(xiàng)數(shù)為2k-1(k1)的的“對稱數(shù)列對稱數(shù)列”，且，且ck,ck+1,c2k-1是是首項(xiàng)為首項(xiàng)為50，公差為，公差為-4的等差數(shù)列，的等差數(shù)列，cn的前的前2k-1項(xiàng)和為項(xiàng)和為S2k-1，請問，請問當(dāng)當(dāng)k為何值時(shí)，為何值時(shí)，S2k-1取到最大值？最大值為多少？取到最大值？最大值為多少？（2）解：解：S2k-1=c1+c2+ck-1+ck+ck+1+ck+2+c2k-1=2(ck+ck+1+ck+2+c2k-1)-ck=250k-2k(k-1)-50

21、=-4(k-13)2+626當(dāng)當(dāng)k=13，S2k-1取得最大值，最大值為取得最大值，最大值為626.dnnnaSn2117.對稱對稱數(shù)列數(shù)列如果有窮數(shù)列如果有窮數(shù)列a1,a2,a3,am滿足條件滿足條件a1=am,a2=am-1,a3=am-2,am=a1,即即ai=am-i+1(i=1,2,3,m，m2，mN),稱其為對稱數(shù)列稱其為對稱數(shù)列.（3）設(shè)）設(shè)pn是是100項(xiàng)的項(xiàng)的“對稱數(shù)列對稱數(shù)列”，其中，其中p51, p52, p100是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為2，公差為公差為3的等差數(shù)列，求的等差數(shù)列，求pn的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn.（3）解：解：p51=2，p100=p51+493=149，由題意得由

22、題意得p1, p2, p50是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為149，公差，公差d= -3的等差數(shù)列的等差數(shù)列.,nnnnndnnnppppSnnn230123123149215012121當(dāng).,7500229923251322503775250377510051251525150nnnnppnpppSSnnnn當(dāng).,10051750022992350123012322nnnnnnSn；因此8.三角形三角形數(shù)列數(shù)列定義：若數(shù)列定義：若數(shù)列an的任意連續(xù)三項(xiàng)均能構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊長，的任意連續(xù)三項(xiàng)均能構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊長，則稱則稱an為為“三角形三角形”數(shù)列數(shù)列.對于對于“三角形三角形”數(shù)列數(shù)列an，如果函數(shù)

23、，如果函數(shù)y=f(x)使得使得bn=f(an)仍為一個(gè)仍為一個(gè)“三角形三角形”數(shù)列，則稱數(shù)列，則稱y=f(x)是數(shù)列是數(shù)列an的的“保三角形函數(shù)保三角形函數(shù)”(nN*).(1)已知數(shù)列已知數(shù)列an是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為2，公差為，公差為1的等差數(shù)列，若的等差數(shù)列，若f(x)=kx(k1)是數(shù)列是數(shù)列an的的“保三角形函數(shù)保三角形函數(shù)”，求，求k的取值范圍的取值范圍;(2)已知數(shù)列已知數(shù)列bn的首項(xiàng)為的首項(xiàng)為2010，Sn是數(shù)列是數(shù)列bn的前的前n項(xiàng)和，且滿足項(xiàng)和，且滿足4Sn+1-3Sn=8040，證明，證明bn是是“三角形三角形”數(shù)列數(shù)列.8.三角形三角形數(shù)列數(shù)列定義：若數(shù)列定義：若數(shù)列an的任意

24、連續(xù)三項(xiàng)均能構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊長，的任意連續(xù)三項(xiàng)均能構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊長，則稱則稱an為為“三角形三角形”數(shù)列數(shù)列.對于對于“三角形三角形”數(shù)列數(shù)列an，如果函數(shù)，如果函數(shù)y=f(x)使得使得bn=f(an)仍為一個(gè)仍為一個(gè)“三角形三角形”數(shù)列，則稱數(shù)列，則稱y=f(x)是數(shù)列是數(shù)列an的的“保三角形函數(shù)保三角形函數(shù)”(nN*).(1)已知數(shù)列已知數(shù)列an是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為2，公差為，公差為1的等差數(shù)列，若的等差數(shù)列，若f(x)=kx(k1)是數(shù)列是數(shù)列an的的“保三角形函數(shù)保三角形函數(shù)”，求，求k的取值范圍的取值范圍;(1)解：解：an=n+1，對任意，對任意nN*，都有，都有an+an+

25、1an+2成立，成立，即即an是三角形數(shù)列是三角形數(shù)列.k1，所以，所以f(x)=kx在在R上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增，f(an)f(an+1)f(an+2)，又又f(x)=kx是是an的的“保三角形函數(shù)保三角形函數(shù)”，f(an)+f(an+1)f(an+2)，即即kn+1+kn+2kn+3,即即k2-k-10，1k.2518.三角形三角形數(shù)列數(shù)列(2)已知數(shù)列已知數(shù)列bn的首項(xiàng)為的首項(xiàng)為2010，Sn是數(shù)列是數(shù)列bn的前的前n項(xiàng)和，且滿足項(xiàng)和，且滿足4Sn+1-3Sn=8040，證明，證明bn是是“三角形三角形”數(shù)列數(shù)列.(2)證明：證明：由由4Sn+1-3Sn=8040，得，得4Sn-3Sn-

26、1=8040，n2.兩式相減得兩式相減得4bn+1=3bn，n2 . 由已知得由已知得4b2=6030=3b1.所以所以4bn+1=3bn，故，故bn是以是以 為公比，為公比，2010為首項(xiàng)的等比數(shù)列為首項(xiàng)的等比數(shù)列.43,1432010nnbbnbn+1bn+2，,11121432010162143201016943432010432010 nnnnnnbbbn+1+bn+2bn， 故故bn是是“三角形三角形”數(shù)列數(shù)列.【總結(jié)】本題需充分理解題意，準(zhǔn)確把握【總結(jié)】本題需充分理解題意，準(zhǔn)確把握“三角形三角形”數(shù)列的實(shí)質(zhì)，數(shù)列的實(shí)質(zhì)，運(yùn)用所學(xué)過的知識即三角形兩邊之和大于第三邊，構(gòu)建不等式運(yùn)用所學(xué)

27、過的知識即三角形兩邊之和大于第三邊，構(gòu)建不等式. .9.期待期待數(shù)列數(shù)列稱滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列稱滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列a1,a2,an為為n(n2,nN)階階“期期待數(shù)列待數(shù)列”：a1+a2+a3+an=0;|a1|+|a2|+|a3|+|an|=1.（1）若數(shù)列）若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為 試判斷數(shù)列試判斷數(shù)列an是否為是否為2020階階“期待數(shù)列期待數(shù)列”，并說明理由；，并說明理由；（2）若等比數(shù)列）若等比數(shù)列bn為為2k(kN*)階階“期待數(shù)列期待數(shù)列”，求公比，求公比q及數(shù)及數(shù)列列bn的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；（3）若一個(gè)等差數(shù)列）若一個(gè)等差數(shù)列cn既是既是2k(kN*

28、)階階“期待數(shù)列期待數(shù)列”，又是遞，又是遞增數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式增數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式.,sin20202121220201nnan9.期待期待數(shù)列數(shù)列稱滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列稱滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列a1,a2,an為為n(n2,nN)階階“期期待數(shù)列待數(shù)列”：a1+a2+a3+an=0;|a1|+|a2|+|a3|+|an|=1.（1）若數(shù)列）若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為 試判斷數(shù)列試判斷數(shù)列an是否為是否為2020階階“期待數(shù)列期待數(shù)列”，并說明理由；，并說明理由；,sin20202121220201nnan（1）解：解：為偶數(shù)，為奇數(shù)nnan,2020120201a

29、1+a2+a3+a2019+a2020=(a1+a2)+(a3+a4)+(a2019+a2020)=0,|a1|+|a2|+|a3|+|a2020|=, 1202020201數(shù)列數(shù)列an為為2020階階“期待數(shù)列期待數(shù)列”.9.期待期待數(shù)列數(shù)列稱滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列稱滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列a1,a2,an為為n(n2,nN)階階“期期待數(shù)列待數(shù)列”：a1+a2+a3+an=0;|a1|+|a2|+|a3|+|an|=1.（2）若等比數(shù)列）若等比數(shù)列bn為為2k(kN*)階階“期待數(shù)列期待數(shù)列”，求公比，求公比q及數(shù)及數(shù)列列bn的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；（2）解：解：若若q=1，b1+b

30、2+b3+b2k=2kb1=0，所以所以b1=0，矛盾矛盾.若若q1，b1+b2+b3+b2k= ，得，得q= -1.|b1|+|b2|+|b3|+|b2k|=2k|b1|=1，所以，所以|b1|= .01121qqbkk21 .,knkbkbnnnn2211211211，或者9.期待期待數(shù)列數(shù)列稱滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列稱滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列a1,a2,an為為n(n2,nN)階階“期待期待數(shù)列數(shù)列”：a1+a2+a3+an=0;|a1|+|a2|+|a3|+|an|=1.（3）若一個(gè)等差數(shù)列）若一個(gè)等差數(shù)列cn既是既是2k(kN*)階階“期待數(shù)列期待數(shù)列”，又是遞增，又是遞增數(shù)列，

31、求該數(shù)列的通項(xiàng)公式數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式.（3）解：解：設(shè)設(shè)cn的公差為的公差為d，d0.c1+c2+c3+c2k-1+c2k=0，c1+c2k=c2+c2k-1=ck+ck+1=0，ck0，ck+10,|c1|+c2|+|c3|+|c2k|= -(c1+c2+c3+ck)+(ck+1+ck+2+ck+3+c2k)=1，c1+c2+c3+ck= ,ck+1+ck+2+ck+3+c2k= ，兩式相減得兩式相減得k2d=1，d= 2121.21k.2112122121kkcdkkkc，得由.,Nkknkknknkkdnccn，通項(xiàng)公式23212122112121222110.生成生成數(shù)列數(shù)列對于數(shù)列對于數(shù)列An:A1,A2,A3,An，若不改變，若不改變A1，僅改變，僅改變A2,A3,An中中部分部分項(xiàng)的符號，得到的新數(shù)列項(xiàng)的符號，得到的新數(shù)列an稱為稱為An的一個(gè)生成數(shù)列的一個(gè)生成數(shù)列.比如比如僅改變數(shù)列僅改變數(shù)列1,2,3,4,5的第二、三項(xiàng)的符號可以得到一個(gè)生成數(shù)列的第二、三項(xiàng)的符號可以得到一個(gè)生成數(shù)列1,-2,-3,4,5. 已知數(shù)列已知數(shù)列an為數(shù)列為數(shù)列 (nN*)的生成數(shù)列，的生成數(shù)列，Sn為為an的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和.(1)寫出寫出S3的所有可能值；的所有可能值；(2)若生成數(shù)列若生成數(shù)列an滿足滿足 ，求，求an的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式.n