第4章 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)分析的數(shù)值計(jì)算方法(25頁)

1、第4章 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)分析的數(shù)值計(jì)算方法用振型疊加法確定多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)時(shí)，必須先求得系統(tǒng)的固有頻率和主振型。當(dāng)振動(dòng)系統(tǒng)的自由度數(shù)較大時(shí)，這種由代數(shù)方程求解系統(tǒng)固有特性的計(jì)算工作量很大，必須利用計(jì)算機(jī)來完成。在工程中，經(jīng)常采用一些簡單的近似方法計(jì)算系統(tǒng)的固有頻率及主振型，或?qū)⒆杂啥葦?shù)較大的復(fù)雜結(jié)構(gòu)振動(dòng)問題簡化為較少階數(shù)的振動(dòng)問題求解，以得到實(shí)際振動(dòng)問題的近似分析結(jié)果。本章將介紹工程上常用的幾種近似解法，適當(dāng)?shù)剡x用、掌握這類實(shí)用方法，無論對設(shè)計(jì)研究或一般工程應(yīng)用都將是十分有益的。§4.1 瑞利能量法瑞利（Rayleigh）能量法又稱瑞利法，是估算多自由系統(tǒng)振動(dòng)基頻的一種近似方法

2、。該方法的特點(diǎn)是：需要假定一個(gè)比較合理的主振型；基頻的估算結(jié)果總是大于實(shí)際值。由于要假設(shè)主振型，因此，該方法的精度取決于所假設(shè)振型的精度。§4.1.1 第一瑞利商設(shè)一個(gè)自由度振動(dòng)系統(tǒng)，其質(zhì)量矩陣為、剛度矩陣為。多自由度系統(tǒng)的動(dòng)能和勢能一般表達(dá)式為當(dāng)系統(tǒng)作某一階主振動(dòng)時(shí)，設(shè)其解為將上式代入式（4.1.1），則系統(tǒng)在作主振動(dòng)時(shí)其動(dòng)能最大值和勢能最大值分別為根據(jù)機(jī)械能守恒定律，即可求得其中，稱為第一瑞利商。當(dāng)假設(shè)的位移幅值列向量取為系統(tǒng)的各階主振型時(shí)，第一瑞利商就給出各階固有頻率的平方值，即在應(yīng)用上式時(shí)，我們并不知道系統(tǒng)的各階主振型，只能以假設(shè)的振型代入式（4.1.4），從而求出的相應(yīng)固有

3、頻率的估計(jì)值。從理論上講，可用式（4.1.4）近似求解各階固有頻率，但由于對系統(tǒng)的高階主振型很難作出合理的假設(shè)，所以，該式一般只用來估算系統(tǒng)的基頻。§4.1.2 第二瑞利商瑞利能量法也可以應(yīng)用于由柔度矩陣建立的位移運(yùn)動(dòng)方程。這時(shí)自由振動(dòng)方程代入式（4.1.1），注意到、是對稱矩陣，以及，則系統(tǒng)的勢能為由式（4.1.2）可得將上式代入式（4.1.7），系統(tǒng)勢能的最大值為由可得稱為第二瑞利商?？梢宰C明，若所選假設(shè)振型很接近于第一階主振型，則由第一瑞利商和第二瑞利商計(jì)算出的值確實(shí)接近于，而且比實(shí)際值稍大（所謂上限估計(jì)）。對于同一假設(shè)振型，第二瑞利商比第一瑞利商更接近真實(shí)值，但其精確程度主要

4、取決于假設(shè)振型接近于第一階主振型的程度。例4.1 在圖4.1.1所示三自由度系統(tǒng)中，試用瑞利能量法估算系統(tǒng)的第一階固有頻率。已知，。圖 4.1.1【解】 系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣為剛度矩陣為柔度矩陣為粗略地假設(shè)振型為，從而得 （1） （2） （3）式（1）、（2）代入式（4.1.4）得式（1）、（3）代入式（4.1.10）得系統(tǒng)的第一階固有頻率的精確值為，顯然第二瑞利商的結(jié)果較接近精確值，但誤差還較大，這是因?yàn)榧僭O(shè)振型與第一階精確振型相差較遠(yuǎn)的緣故。如果在圖4.1.1的每一個(gè)質(zhì)量上順坐標(biāo)方向分別作用一單位力，則以該靜變形曲線作為假設(shè)振型，即取則有由式（4.1.4）得由式（4.1.10）得可見，假設(shè)振型與

5、第一階主振型愈接近，則瑞利商結(jié)果愈接近于基頻。例4.2 如圖4.1.2所示，已知梁的彎曲剛度為，不計(jì)其質(zhì)量，求系統(tǒng)的第一階固有頻率。圖4.1.2【解】 系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣為柔度矩陣為粗略地選取假設(shè)振型為 ，則代入式（4.1.10）得系統(tǒng)第一階固有頻率的精確值為。其誤差約為1%。在系統(tǒng)柔度矩陣已知的情形下，若假設(shè)振型用，則計(jì)算精度還可提高。§4.2 鄧克萊法鄧克萊(Dunkerley)法又稱跡法。前述的瑞利能量法給出了系統(tǒng)最低階固有頻率的上限估計(jì)值，而鄧克萊法則給出了系統(tǒng)最低階固有頻率的下限估計(jì)值。如前所述，自由度系統(tǒng)的位移方程：設(shè)其解為 代入式（4.2.1），并以除全式得主振型方程其特征

6、方程為當(dāng)系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣為對角矩陣時(shí)，可展開為由代數(shù)方程理論（多項(xiàng)式根與系數(shù)之間的關(guān)系）可知，上式中項(xiàng)的系數(shù)變號后等于的n個(gè)根之和，即 對等式（4.2.3）作如下處理：等式左邊，由于，即，故近似地只保留一項(xiàng)。等式右邊，令稱為動(dòng)力矩陣（dynamic matrix），則式（4.2.3）右邊為動(dòng)力矩陣的跡，記為。因?yàn)槭堑趥€(gè)質(zhì)量處作用單位力時(shí)系統(tǒng)在該處的柔度系數(shù)。設(shè)想系統(tǒng)只有一個(gè)質(zhì)量存在，則系統(tǒng)成為單自由度系統(tǒng)，這時(shí)系統(tǒng)的剛度，固有頻率為， 即，于是有綜上所述，式（4.2.3）可寫為即系統(tǒng)的最低階固有頻率平方值的倒數(shù)，近似等于各質(zhì)量單獨(dú)存在時(shí)固有頻率平方值的倒數(shù)之和。由于式（4.2.3）的左邊舍去了一

7、些正數(shù)值，從而所得的值比真值小。式（4.2.6）稱為鄧克萊公式，計(jì)算出的結(jié)果為最低階固有頻率的下限估值。由于等式右邊為動(dòng)力矩陣的跡，故鄧克萊法又稱為跡法，它只適用于為對角矩陣的系統(tǒng)。鄧克萊法在準(zhǔn)確度上一般不如瑞利能量法，但由于它的計(jì)算較簡單，且易考慮各質(zhì)量或剛度的變化對最低階固有頻率的影響，故工程上仍經(jīng)常應(yīng)用它。例4.3 用鄧克萊法計(jì)算例4.1中系統(tǒng)的基頻?！窘狻?由例4.1可知，系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和柔度矩陣分別為， 動(dòng)力矩陣為其跡為由式（4.2.5）得系統(tǒng)的基頻為， 上述結(jié)果與精確值相比誤差較大，大約為8.08。例4.4 已知一均質(zhì)懸臂梁如圖4.2.1所示，式中為抗彎剛度，為梁的總質(zhì)量，為梁長，

8、其第一階固有頻率的平方。若在梁的自由端放置一激振器質(zhì)量為，設(shè)激振器質(zhì)量與梁的質(zhì)量之比，試用鄧克萊法估算系統(tǒng)的基頻值，并說明激振器質(zhì)量對均質(zhì)梁固有頻率的影響。圖 4.2.1【解】 已知懸臂梁的固有頻率的平方為 （1）由材料力學(xué)可知，其端點(diǎn)的柔度系數(shù)為，激振器固有頻率的平方為 （2）將式（1）、（2）代入式（4.2.6），得系統(tǒng)基頻的平方為 （3）由上式可知，系統(tǒng)的固有頻率與質(zhì)量比值有關(guān)。將式（3）式改寫為 （4）對于不同的質(zhì)量比，式（4）的值如表4-1所示：表4.2.1 不同質(zhì)量比的值1/201/101/213.2012.9582.0101.554誤差（%）8.915.842.855.8表4.2

9、.1中的誤差是與比較而言，可見，只有當(dāng)激振器的質(zhì)量為梁的質(zhì)量的1/20以下時(shí)，激振器質(zhì)量對梁的固有頻率影響才可接受。§4.3 李茲法前述兩種方法只限于估算振動(dòng)系統(tǒng)的基頻，但工程實(shí)際中往往需要求出前幾階的固有頻率及相應(yīng)主振型，應(yīng)用瑞利能量法的困難在于較高階固有頻率的假設(shè)振型難于選擇。李茲法在瑞利法的基礎(chǔ)上較好地克服了上述困難，可計(jì)算系統(tǒng)的前幾階固有頻率及主振型。李茲（Ritz）法不需要直接給出假設(shè)振型，而是將假設(shè)振型表示為有限（低維）個(gè)獨(dú)立的假設(shè)模態(tài)的線性組合其中 ， 為列陣，可預(yù)先選定，為待定常數(shù)。將式（4.3.1）代入式（4.1.4），第一瑞利商為顯然，由上式還求不出固有頻率，但與

10、有關(guān)。由于瑞利法是固有頻率的上限估計(jì)，故的選擇應(yīng)當(dāng)使上式給出的固有頻率值最小，即上式對的偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)等于零。令 ，于是由可得 而同理 于是，式（4.3.3）可寫為這個(gè)方程可合并為一個(gè)矩陣方程上式中，和為階對稱陣，分別稱為廣義剛度矩陣（generalized stiffness matrix）和廣義質(zhì)量矩陣（generalized mass matrix）。這樣，式（4.3.4）可改寫為這樣，問題又歸結(jié)為特征值問題，所不同的是，現(xiàn)在為階矩陣的特征值問題，而不是原系統(tǒng)階矩陣的特征值問題。因而，李茲法是一種縮減自由度的近似解法。由上式求得的個(gè)特征值就是原系統(tǒng)前階固有頻率平方的近似值。將解得的個(gè)特征矢量進(jìn)

11、行歸一化，代入式（4.3.1）可求得原系統(tǒng)前階主振型的近似值，即由式（4.3.6）可知，各對矩陣是正交的，即有所以上式說明用李茲法求得的階近似主振型對質(zhì)量矩陣也是正交的，同時(shí)它們對剛度矩陣也是正交的，因此，對它們可以用振型疊加法分析系統(tǒng)的各種響應(yīng)。同理，如果將式（4.3.1）代入第二瑞利商式（4.1.10），也可歸結(jié)為減維特征值問題：這里應(yīng)當(dāng)指出，由李茲法求得的個(gè)值中，前個(gè)或個(gè)值比較接近于真值，而后面的值誤差比較大。因此，若想求前個(gè)固有頻率及主振型的近似解，縮減的自由度數(shù)目最好不小于個(gè)，這樣就能得到較精確的解。例4.5 圖4.3.1(a)所示為一等直桿，桿長為，截面面積為，密度為, 試用聚縮質(zhì)

12、量的方法將其離散為有限自由度系統(tǒng)，并用李茲法求桿縱向振動(dòng)時(shí)第一階固有頻率和主振型的近似解。圖4.3.1【解】 將直桿等分為五段，每段的質(zhì)量等分為兩半，各集中于每段的兩端，然后將五段合并聚縮為5個(gè)質(zhì)量，各聚縮質(zhì)量之間由剛度為的5個(gè)彈簧相連接，如圖4.3.1(b)所示。每段桿的拉壓剛度確定為。 這樣，我們就得到五自由度的離散系統(tǒng)。系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣分別為， 系統(tǒng)的柔度矩陣為因?yàn)橹灰蟮谝浑A固有頻率和主振型，故縮減為兩個(gè)自由度處理，選取兩個(gè)假設(shè)模態(tài)，由式（4.3.5），有廣義質(zhì)量矩陣和廣義剛度矩陣分別為，由式（4.3.6）得特征方程為解得 ， 故，對應(yīng)的、為， 由式（4.3.7），求各階主振型

13、的近似值， 若用式（4.3.8）求解可由特征方程解得 ， 故，對應(yīng)的、為， 近似主振型為， 本題精確解為， ， （歸一化模態(tài)振型）對比之下，按式（4.3.6）或式（4.3.8）求解，第一階固有頻率和主振型都接近于真值，第二階固有頻率及主振型的誤差較大。而用式（4.3.8）求基頻及其主振型則更接近于真值。§4.4 矩陣迭代法矩陣迭代法也稱振型迭代法，它采用逐步逼近的方法來確定系統(tǒng)的主振型和頻率。§4.4.1 求第一階固有頻率和主振型求系統(tǒng)的基頻時(shí)，矩陣迭代法用的基本方程是位移方程，即或 令 矩陣稱為系統(tǒng)的動(dòng)力矩陣。如果將隨意假定的振型向量代入上式，等式并不成立，但是通過不斷的

14、迭代卻可以逐步逼近所要求解的固有頻率和振型向量。迭代過程如下：（a）選取某個(gè)經(jīng)過歸一化的假設(shè)振型，用動(dòng)力矩陣前乘以假設(shè)振型，然后歸一化，可得，即（b）將得到的和相比較，如果，就再以為假設(shè)振型進(jìn)行迭代，并且歸一化得到，即（c）如果，則繼續(xù)重復(fù)上述迭代過程，得直至?xí)r停止。此時(shí)，而相應(yīng)的特征矢量即為第一階主振型，?？梢宰C明，上述過程一定收斂于最低固有頻率及第一階主振型。由于振動(dòng)系統(tǒng)的個(gè)主振型是線性無關(guān)的，因此，任意的假設(shè)振型可以表示為各階主振型的線性組合，即得：即由于固有頻率的排序，上式中的系數(shù)， 分別小于相應(yīng)的系數(shù)，因此，比更接近。第二次迭代：即重復(fù)上述過程，第次迭代后，得即（因?yàn)椋┛梢?，?jīng)過一次

15、迭代，第一階主振型的成分得到比其他主振型更大的加強(qiáng)，反復(fù)的迭代下去，當(dāng)?shù)螖?shù)足夠大時(shí)，與只相差系數(shù)，即為所求的第一階振型向量，將其歸一化后為，即為所求的第一階主振型向量，即所以歸一化因子即為從以上的討論可以看出：盡管開始假設(shè)的振型不理想，它包含了各階的主陣型，而且第一階主振型在其中所占的分量不是很大。但在迭代過程中，高階振型的分量逐漸衰減，低階振型的分量逐漸增強(qiáng)，最終收斂于第一階主振型。假設(shè)振型越接近，則迭代過程越快；假設(shè)振型與相差較大，則迭代過程收斂得慢，但最終仍然得到基頻和第一階主振型。 如果在整個(gè)迭代過程中，第一階主振型的分量始終為零，則收斂于第二階主振型；如果前階主振型的分量為零，則

16、收斂于第階主振型。例4.6 求3自由度振動(dòng)系統(tǒng)的第一階固有頻率和振型向量（精確值為，）,已知 【解】 任取初始振型向量，然后依順序迭代計(jì)算,各次計(jì)算結(jié)果見表4.4.1。表4.4.1 振型向量迭代過程及結(jié)果迭代向量1111.0001.6672.0001.0001.7862.2141.0001.8002.2431.0001.8022.2471.0001.8022.2471.0001.8022.2473.0004.6675.0005.0435.0485.049由此得到：，。§4.4.2 求解高階固有頻率及主振型當(dāng)需要用矩陣迭代法求第二階、第三階等高階頻率及振型時(shí)，其關(guān)鍵步驟是要在所設(shè)振型中

17、消去較低階主振型的成分。如由展開定理其中如果要在中消去成分，則只需取假設(shè)振型為其中稱為清除矩陣。用進(jìn)行迭代，則可求得第二階固有頻率和主振型。 如果在假設(shè)振型中消去前階主振型成分，則需取新的假設(shè)振型其中 稱為前階清除矩陣。應(yīng)用作為假設(shè)振型將得到第階固有頻率和主振型。 運(yùn)算中不可避免地存在舍入誤差，即在迭代過程中難免會(huì)引入一些低階主振型分量，所以在每一次迭代前都必須重新進(jìn)行清除運(yùn)算。實(shí)際上，可以把迭代運(yùn)算和清除低階振型運(yùn)算合并在一起，即將清除矩陣并入動(dòng)力矩陣中去，并入原理如下：因?yàn)?，所以 從中清除，即令稱之為已含清除矩陣的新動(dòng)力矩陣，用進(jìn)行迭代將得到第二階主振型和固有頻率。因此，包含前階清除矩陣

18、的動(dòng)力矩陣為例4.7用矩陣迭代法求圖4.4.1所示三自由度扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)的第二階固有頻率及振型。已知：,，第一階固有頻率及主振型分別為：，。 圖4.4.1【解】 已知第一階固有頻率和主振型，于是，可計(jì)算出：由式（4.4.11）得到含清除矩陣的動(dòng)力矩陣選取初始假設(shè)振型?，F(xiàn)經(jīng)過十二次迭代后，得到，§4.5 子空間迭代法子空間迭代法是矩陣迭代法和李茲法相結(jié)合的一種近似計(jì)算方法，它將矩陣迭代法每次迭代一個(gè)假設(shè)的振型改為同時(shí)迭代前階假設(shè)振型，這樣對于一次性求解大型振動(dòng)系統(tǒng)中的前階固有頻率和主振型就比較方便。對一個(gè)自由度系統(tǒng)，質(zhì)量矩陣和剛度矩陣均為階矩陣，設(shè)系統(tǒng)的前階振型為所有階振型張成的線性空間的一

19、個(gè)子空間，取前階假設(shè)振型進(jìn)行迭代，即選取初始的迭代矩陣由式（4.4.2），系統(tǒng)的動(dòng)力矩陣,作矩陣迭代再用李茲法計(jì)算，先計(jì)算自由度縮減后的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣計(jì)算自由度縮減后的特征值問題求出個(gè)特征值 和特征向量，將特征值與特征向量表示為第一次迭代完成后，如果各特征值滿足精度要求，則取如果各特征值不滿足精度要求，則取將上式作為初始迭代矩陣進(jìn)行第二次迭代，即重復(fù)（4.5.2）到（4.5.5）的步驟，得到迭代后的個(gè)特征值和特征向量，重復(fù)進(jìn)行迭代過程，直到滿足精度要求為止。子空間迭代法具有明顯優(yōu)勢，尤其當(dāng)系統(tǒng)的特征值具有重根或者幾個(gè)特征值比較接近時(shí)，矩陣迭代法計(jì)算特征值時(shí)收斂速度很慢，而子空間迭代法具有李

20、茲法的優(yōu)點(diǎn)可以解決這個(gè)問題。對于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)，具有較多的自由度，而實(shí)際研究只需要前十幾階或前幾十階固有頻率和主振型就可以滿足工程精度要求了，所以可以利用子空間迭代法求系統(tǒng)的固有頻率和主振型。例4.8 利用子空間迭代法求圖4.5.1所示振動(dòng)系統(tǒng)的第一階固有頻率和主振型。圖4.5.1多自由度振動(dòng)系統(tǒng)【解】 系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣為 系統(tǒng)的剛度矩陣為任意取初始模態(tài)矩陣進(jìn)行第一次迭代如下：(歸一化)計(jì)算自由度縮減后的廣義質(zhì)量矩陣和剛度矩陣代入方程求特征值問題，得到解出對應(yīng)的振型矩陣為進(jìn)行第二次迭代(歸一化)計(jì)算自由度縮減后的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣代入方程求特征值問題，得到解出 相應(yīng)的振型為：由此得到第一階固有頻率為 主振型為 與精確值(),主振型非常接近。習(xí)題4-1 題4-1圖示彈簧質(zhì)量系統(tǒng)作垂直振動(dòng)。已知彈簧剛度，質(zhì)量，求此系統(tǒng)的固有頻率和主振型