北京科技大學(xué)matlab大作業(yè)

1、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告實(shí)驗(yàn)名稱 MATLAB在研究物體振動(dòng)方面的應(yīng)用 學(xué) 院 專業(yè)班級(jí)       姓  名  學(xué)  號(hào)   2015年 1月14一、 【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?物體振動(dòng)這樣一個(gè)看似簡(jiǎn)單但又包含著很多復(fù)雜計(jì)算的運(yùn)動(dòng)中，在人為的計(jì)算時(shí)是很難精確的實(shí)現(xiàn)，而通過MATLAB可以處理諸多科學(xué)中的許多問題，利用它來研究物理學(xué)中的機(jī)械振動(dòng)，不僅特別方便還非常有效。二、 【實(shí)驗(yàn)任務(wù)】本列舉振動(dòng)的一些實(shí)例，用matlab語言編制計(jì)算機(jī)程序進(jìn)行仿真以達(dá)到研究簡(jiǎn)諧振動(dòng)以及振動(dòng)的合成

2、，振動(dòng)的計(jì)算以及受迫振動(dòng)。三、 【實(shí)驗(yàn)程序】（一）簡(jiǎn)諧振動(dòng)介紹    最簡(jiǎn)單和最基本的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)任何復(fù)雜的振動(dòng)，都可以看成為許多簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成    1特點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的條件是：在任何時(shí)候所受到的力與質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移成正比，其指向與位移相反，始終指向平衡位置所受的力與位移的關(guān)系表示為             （1）式中  為正的常數(shù)對(duì)于彈簧振子， 

3、; 就是彈簧勁度系數(shù)    2運(yùn)動(dòng)的微分方程及其解    根據(jù)牛頓第二定律，作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的微分方程寫成    即                  （2）式中  。如下面的（3）和（4）所示，  是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圓頻率。  微分方

4、程（2）的解是                     （3）或            （4）式（7.3）也可以表為復(fù)數(shù)形式            &

5、#160;   （5）但要約定取其實(shí)數(shù)部分    利用三角公式，很容易導(dǎo)出A ，  和B，C之間的關(guān)系    即         （6）3速度和加速度    作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它的速度和加速度很容易得到只要將（7.3）對(duì)時(shí)間分別求導(dǎo)一次和求導(dǎo)兩次即可，      

6、60;    （7）         （8）    式（1）、（2）、（3）、（4）、（5）都是判別一個(gè)系統(tǒng)是否作簡(jiǎn)道振動(dòng)的依椐    4圓頻率  、周期  和頻率  之間的關(guān)系     ，  ，     &#

7、160; （9） ，  ，  三者不是獨(dú)立的，只要知道其中一個(gè)，就可以由（7.9）求出其余兩個(gè)。它們是由振動(dòng)系統(tǒng)的固有性質(zhì)決定，常稱為固有圓頻率，固有周期和固有頻率    5振幅  和初周相 （3）中  和  是兩個(gè)積分常數(shù)，可由初始條件決定將初始條件：“  ，  ， ”代入（3）和（7），得       &

8、#160;          （10）解得           （11）    求解質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的具體運(yùn)動(dòng)情況，也就是要確定（7.3）中的  ，  ，  三個(gè)值其中  和  由初始條件決定，因此一般來說，首先必須確定初始值  和

9、  ，而根據(jù)（7.10）或（7.11）求出  和  值至于  （或  或  ），它是由系統(tǒng)固有性質(zhì)決定的，與初始情況無關(guān)例如對(duì)于彈簧振子，  ，完全由彈簧勁度系數(shù)  和物體質(zhì)量  所決定彈簧的  大（即所謂硬的彈簧），振動(dòng)的圓頻率  也就大。而物體的質(zhì)量m大，  就小6簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)的能量作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能為    &

10、#160;  （12）振動(dòng)系統(tǒng)彈性勢(shì)能為        （13）因此系統(tǒng)總機(jī)械能為           （14）    系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能各隨時(shí)間作周期性變化，在振動(dòng)過程中動(dòng)能和勢(shì)能互相轉(zhuǎn)換，而總機(jī)械能保持不變這是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的一個(gè)特性總機(jī)械能E與振動(dòng)的振幅平方A 2，振動(dòng)的圓頻率平方  成正比  

11、60; 動(dòng)能和勢(shì)能在一個(gè)周期內(nèi)對(duì)時(shí)間的平均值分別是      （15）注意  和  在一周期內(nèi)對(duì)時(shí)間的平均值均等于12這樣，                         （16）7.振動(dòng)的合成   

12、0;一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)振動(dòng)方向相同、頻率相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，合振動(dòng)仍為簡(jiǎn)諧振動(dòng)        （17）利用振幅矢量圖示法容易求得     （18）     二個(gè)振動(dòng)方向相同、頻率略有差異的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其合振動(dòng)不為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，產(chǎn)生“拍”現(xiàn)象拍頻為 （  ，  為兩分振動(dòng)頻率）    （19）二個(gè)振動(dòng)方向互相垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成：（1）若二

13、振動(dòng)頻率相同，合振動(dòng)軌跡一般為一橢圓.（2）若二振動(dòng)頻率成整數(shù)比，合振動(dòng)軌跡為規(guī)則的穩(wěn)定的閉合曲線，稱利薩如圖但若不成整數(shù)比，軌跡為不閉合的復(fù)雜曲線.（二）實(shí)際運(yùn)用例1.關(guān)于物體振動(dòng)的計(jì)算的應(yīng)用質(zhì)量為1kg的物體，以振動(dòng)1x10-4m作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其最大加速度為4.0m/s.求：（1）震動(dòng)的周期；（2）通過平衡位置時(shí)的動(dòng)能；（3）總能量；（4）物體在何處其動(dòng)能和勢(shì)能相等； 通過平衡位置時(shí)的速度最大，所以得： 當(dāng)時(shí)，可得x的位置即： 程序如下：m=1; %m為物體的質(zhì)量amax=4.0; %amax為最大加速度A=1.0*10-4; %A為振幅W=sqrt(amax/A); %求角速度T=2*pi

14、/W; %求周期Ekmax=1/2*m*W*W*A*A; %求最大動(dòng)能E=Ekmax; %求總能量Ep=1/2*E; %求勢(shì)能x=sqrt(2*Ep/m/W/W); %求動(dòng)能和勢(shì)能相等時(shí)的位移例2 振動(dòng)圖以質(zhì)量為0.01kg的物體作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其振幅為0.08m，周期為4s，起始時(shí)刻物體在x=0.04m處，向OX軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，試求：畫出此時(shí)刻的0到8的振動(dòng)圖形。 解: A=0.08m T=4s T=0時(shí)，x=0.04； 得 0.04=0.08cosy 程序： t=0:pi/200:8*pi;x=0.08*cos(pi/2*t+pi/3);plot(t,x,'rp')legend(

15、'x=0.08*cos(pi/2*t+pi/3')結(jié)果如下圖： 例3：阻尼振動(dòng)有一單擺在空氣（室溫為20）中來回?cái)[動(dòng)，其擺線長(zhǎng)s=1.0m，擺錘是一半徑r=的鉛球，求：（1）擺動(dòng)周期；（2）振幅減小10%所需的時(shí)間；（已知鉛球密度為，20時(shí)空氣的粘滯阻力） 解：粘滯阻力為： 得:C=6rn 阻尼系數(shù) 有阻尼的情況下，單擺的振幅： （ 得： 程序如下：g=input('輸入g的值'); %g為重力加速度其值為l=input('輸入l的值'); %l為擺線長(zhǎng)p=input('輸入p的值'); %p為鉛球密度n=input('輸

16、入n的值'); %20時(shí)空氣的粘滯阻力r=input('輸入r的值'); %r為小球的半徑W=sqrt(g/l); %求角速度C=6*pi*r*n; %由粘滯阻力Fr=-6 rnv=-Crm=4/3*pi*r3*p; %求小球的質(zhì)量k=C/2/m; %求阻尼系數(shù)T=2*pi/W; %求單擺周期t1=log(1/0.9)/k; %振幅減小10%所需的時(shí)間Tt1輸入g的值0.98輸入l的值1.0輸入p的值2.65*10-3輸入n的值1.78*10-5輸入r的值5.0*10-3例4：相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 程序：t=1:0.001:15a1=input('振幅1=&

17、#39;);w1=input('頻率1=');phi1=input('初相位1=');a2=input('振幅2=');w2=input('頻率2=');phi2=input('初相位2=');x=a1*cos(w1*t+phi1);y=a2*cos(w2*t+phi2);subplot(2,2,1),plot(t,x),title('x軸上諧振1')subplot(2,2,4),plot(y,t),title('y軸上諧振2')subplot(2,2,3),comet(x,y),y

18、label('y'),xlabel('x'),title('李薩如圖形') 振幅1=10頻率1=2初相位1=pi振幅2=10頻率2=4相位2=10 例5：關(guān)于平面簡(jiǎn)諧波和簡(jiǎn)諧振動(dòng)一余弦波在弦上傳播，其波函數(shù)為式中和的單位為，t的單位為1、試求其振幅、波長(zhǎng)、頻率、周期和波速。2、分別畫出對(duì)應(yīng)和倆時(shí)刻弦上的波形圖。解：由已知的波函數(shù)求波動(dòng)的特征量，我們一般采用比較系數(shù)法，由 上式說明此簡(jiǎn)諧波向正方向傳播，將它與波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式相比較得：,程序：x=-0.25:0.001:0.25; %設(shè)定x的取值范圍for i=0:2 %用循環(huán)語句令i分別取0,1,

19、2 t=0.0025*i;y=0.002*cos(pi*5*x-200*pi*t); %此為時(shí)刻t的波函數(shù) if i=0; %用選擇語句分別用不同的顏色線型畫不同時(shí)刻的波形圖plot(x,y,'k-') %用黑色實(shí)線畫t=0時(shí)刻的波形圖 hold on %保存圖形的命令，否則后一幅圖會(huì)覆蓋前一幅 grid on %繪制網(wǎng)格else if i=1;plot(x,y,'r-') %用紅色虛線畫t=0.0025時(shí)刻的波形圖else if i=2;plot(x,y,'b-.') %用藍(lán)色虛點(diǎn)線畫t=0.005時(shí)刻的波形圖 end %結(jié)束if語句 end endend %結(jié)束for語句四【實(shí)驗(yàn)結(jié)果】1.物體振動(dòng)計(jì)算2.振動(dòng)圖3.阻尼振動(dòng)4.李薩如圖像5.平面簡(jiǎn)諧波和簡(jiǎn)諧振動(dòng)五【實(shí)驗(yàn)總結(jié)】 振動(dòng)是物體的一種很普通的運(yùn)動(dòng)形式，機(jī)械振動(dòng)是物體在一定位置附近所作的周期性往復(fù)運(yùn)動(dòng)。例如，心臟的跳動(dòng)、鐘擺的擺動(dòng)、活塞的往復(fù)運(yùn)動(dòng)、固體原子的振動(dòng)等等。這種運(yùn)動(dòng)都是在某一數(shù)值附近作往