第2單元 一元二次函數(shù)、方程與不等式（強(qiáng)化篇）（解析版）

1、第2單元 一元二次函數(shù)、方程與不等式（強(qiáng)化篇）基礎(chǔ)知識(shí)講解一不等式定理【基礎(chǔ)知識(shí)】對(duì)任意的a，b，有abab0；abab0；abab0，這三條性質(zhì)是做差比較法的依據(jù)如果ab，那么ba；如果ab，那么ba如果ab，且bc，那么ac；如果ab，那么a+cb+c推論：如果ab，且cd，那么a+cb+d如果ab，且c0，那么acbc；如果c0，那么acbc二不等式大小比較【技巧方法】不等式大小比較的常用方法（1）作差：作差后通過(guò)分解因式、配方等手段判斷差的符號(hào)得出結(jié)果；（2）作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函數(shù)的單調(diào)性；（7）尋找中間

2、量或放縮法；（8）圖象法其中比較法（作差、作商）是最基本的方法三基本不等式【基礎(chǔ)知識(shí)】 基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式其可表述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)公式為：（a0，b0），變形為ab（）2或者a+b2常常用于求最值和值域四、基本不等式的應(yīng)用【基礎(chǔ)知識(shí)】1、求最值2、利用基本不等式證明不等式3、基本不等式與恒成立問(wèn)題4、均值定理在比較大小中的應(yīng)用【技巧方法】技巧一：湊項(xiàng)需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值技巧二：湊系數(shù)遇到無(wú)法直接運(yùn)用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值技巧三：分離技巧四：換元一般，令t

3、x+1，化簡(jiǎn)原式在分離求最值技巧五：結(jié)合函數(shù)f（x）x+的單調(diào)性技巧六：整體代換多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)技巧七：取平方兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造條件總結(jié)我們利用基本不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式五二次函數(shù)的性質(zhì)【基礎(chǔ)知識(shí)】 二次函數(shù)相對(duì)于一次函數(shù)而言，顧名思義就知道它的次數(shù)為二次，且僅有一個(gè)自變量，因變量隨著自變量的變化而變化它的一般表達(dá)式為：yax2+bx+c（a0）【技巧方法】開(kāi)口、對(duì)稱(chēng)軸、最值與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)a0（0）時(shí)，圖象開(kāi)口向上（向下）；對(duì)稱(chēng)軸x；最

4、值為：f（）；判別式b24ac，當(dāng)0時(shí)，函數(shù)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；0時(shí)，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)0時(shí)無(wú)交點(diǎn)根與系數(shù)的關(guān)系若0，且x1、x2為方程yax2+bx+c的兩根，則有x1+x2，x1x2；二次函數(shù)其實(shí)也就是拋物線，所以x22py的焦點(diǎn)為（0，），準(zhǔn)線方程為y，含義為拋物線上的點(diǎn)到到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離平移：當(dāng)ya（x+b）2+c向右平移一個(gè)單位時(shí)，函數(shù)變成ya（x1+b）2+c；六一元二次不等式【基礎(chǔ)知識(shí)】 含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式它的一般形式是 ax2+bx+c0 或 ax2+bx+c0（a不等于0）其中ax2+bx+c是實(shí)數(shù)域內(nèi)的二次三項(xiàng)式【技

5、巧方法】 （1） 當(dāng)b24ac0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c0有兩個(gè)實(shí)根，那么ax2+bx+c可寫(xiě)成a（xx1）（xx2） （2） 當(dāng)b24ac0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c0僅有一個(gè)實(shí)根，那么ax2+bx+c可寫(xiě)成a（xx1）2 （3） 當(dāng)b24ac0時(shí)一元二次方程ax2+bx+c0沒(méi)有實(shí)根，那么ax2+bx+c與x軸沒(méi)有交點(diǎn)二.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根軸法）步驟：正化，求根，標(biāo)軸，穿線（偶重根打結(jié)），定解特例：一元一次不等式axb解的討論；一元二次不等式ax2+bx+c0（a0）解的討論（2）分式不等式的解法：先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化，（3）無(wú)理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解（

6、4）指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式（5）對(duì)數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式（6）含絕對(duì)值不等式應(yīng)用分類(lèi)討論思想去絕對(duì)值； 應(yīng)用數(shù)形思想；應(yīng)用化歸思想等價(jià)轉(zhuǎn)化七一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系【基礎(chǔ)知識(shí)】 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系其實(shí)可以用一個(gè)式子來(lái)表達(dá)，即當(dāng)ax2+bx+c0（a0）有解時(shí)，不妨設(shè)它的解為x1，x2，那么這個(gè)方程可以寫(xiě)成ax2a（x1+x2）x+ax1x20即x2（x1+x2）x+x1x20它表示根與系數(shù)有如下關(guān)系：x1+x2，x1x2習(xí)題演練1 選擇題（共12小題）1關(guān)于x的不等式的解集為，且：，則a=（）ABCD【答案】A【解析】因?yàn)殛P(guān)于x的不等式的解集為，所以，又，所以，解得，因?yàn)椋?/p>

7、所以.故選：A.2已知a，b為非零實(shí)數(shù)，且，則下列命題成立的是（ ）ABCD【答案】D【解析】A不正確，如，顯然不成立，B不正確，如，時(shí)，顯然不成立，C不正確，如，時(shí)，顯然不成立.函數(shù)在定義域R上是個(gè)減函數(shù)，.所以D選項(xiàng)正確.故選：D3若，則下列不等式中一定成立的是（ ）ABCD【答案】A【解析】取排除與； 函數(shù)是上的增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，必定成立， 即，所以A正確 函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)， 不一定成立，所以不成立 故選：A4兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，成等差數(shù)列，則不等式恒成立時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C【解析】解：兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，成等差數(shù)列，不等式恒成立，即恒成立，即恒成立，求得，故選

8、：C5設(shè)，則的最小值為（ ）ABCD【答案】D【解析】，所以 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，的最小值為96已知，則的最小值為（ ）.A9BC5D【答案】B【解析】.，且，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值2.的最小值為.故選B.7若，則的最大值為（ ）ABCD【答案】C【解析】，設(shè) 原式 當(dāng)即時(shí)有最大值為故答案選C8已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（ ）A10B11C13D21【答案】B【解析】解：正實(shí)數(shù)滿足，則，即：，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為11.故選：B.9關(guān)于的不等式的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C【解析】不等式，即，若，不等式解集為；若，不等式解集為，要保證恰含

9、有兩個(gè)整數(shù)，則或，所以正確選項(xiàng)為C10已知0<b<1+a，若關(guān)于x的不等式（xb）2>（ax）2的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，則（ ）A1<a<0B0<a<1C1<a<3D3<a<6【答案】C【解析】由，整理可得（1）2bx+>0，由于該不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，則有1<0，此時(shí)>1，而0<b<1+a，故a>1，由不等式<0解得即要使該不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，那么3<<2，由<2得b<2（a1），則有a<+1，即a<+1<+1，解得a<

10、3，由3<得3a3>b>0，解得a>1，則1<a<311若存在正實(shí)數(shù)y，使得，則實(shí)數(shù)x的最大值為（）ABC1D4【答案】A【解析】，4xy2+（5x21）y+x0，y1y20，y1+y20，或，0x或x，（5x21）216x20，5x214x或5x214x，解得：1x，綜上x(chóng)的取值范圍是：0x；x的最大值是，故選：A12若、均大于0，且，則的最大值為（ ）ABCD【答案】C【解析】解：、均大于0,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”,的最大值為.故選:C2 填空題（共6小題）13已知正數(shù)滿足：，則的最小值是_【答案】2.【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，取等?hào)時(shí)，所以，所

11、以，當(dāng)時(shí)，符合條件，所以.故答案為：.14對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，若，則的最大值為 .【答案】5【解析】此題，看似很難，但其實(shí)不難，首先解出x的范圍，再解出y的范圍，最后綜合解出x-2y+1的范圍，那么絕對(duì)值最大，就去515設(shè)，是三個(gè)正實(shí)數(shù)，且，則的最大值為_(kāi).【答案】3【解析】因?yàn)?，所以，所以，令，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以所以的最大值為3故答案為：316已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是_.【答案】【解析】由正實(shí)數(shù)，滿足，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立，即的最小值是.故答案為：.17設(shè),則的最大值為 _【答案】【解析】由兩邊同時(shí)加上得兩邊同時(shí)開(kāi)方即得：（且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”），從而有（當(dāng)且

12、僅當(dāng),即時(shí)，“=”成立）故填：.【名師點(diǎn)睛】本題考查應(yīng)用基本不等式求最值，先將基本不等式轉(zhuǎn)化為（a>0,b>0且當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”）再利用此不等式來(lái)求解.本題屬于中檔題，注意等號(hào)成立的條件.18已知實(shí)數(shù)x，y滿足，且，則的最小值為_(kāi)【答案】3【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).上式可化為，解得，所以的最小值為3.故答案為：3三解析題（共6小題）19已知，不等式的解集是（1）求的值；（2）若存在實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）由，得，即，當(dāng)時(shí)，不合題意，當(dāng)時(shí)，則，解得，符合題意，當(dāng)時(shí)，則，無(wú)解，綜上，；（2）因?yàn)?，要使存在?shí)數(shù)解，只需，實(shí)數(shù)的

13、取值范圍為20已知，且（1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍【答案】（1）見(jiàn)證明；（2）.【解析】解：（1）由柯西不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；（2），要使得不等式恒成立，即可轉(zhuǎn)化為，當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，可得，的取值范圍為：21已知函數(shù)f（x）|2x1|+2|x+1|（1）求不等式f（x）5的解集；（2）若存在實(shí)數(shù)x0，使得f（x0）5+mm2成立的m的最大值為M，且實(shí)數(shù)a，b滿足a3+b3M，證明：0a+b2【答案】(1) ;(2)證明見(jiàn)解析.【解析】(1) 解：，則，由絕對(duì)值的幾何意義可得和時(shí)使得等號(hào)成立，所以解集為 (2)證明：由絕對(duì)值的幾何意義已知的最小值為，所以

14、，解得，所以，所以，因?yàn)椋?，由得，則，綜上所述，.22設(shè)函數(shù),（1）若不等式的解集為，求的值；（2）若，求的最小值（3）若 求不等式的解集.【答案】（1）2；（2）；（3）分類(lèi)討論，詳見(jiàn)解析.【解析】（1）由不等式的解集為可得：方程的兩根為，3且,由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，所以（2）由已知得,則，當(dāng)時(shí)，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）；當(dāng)時(shí)，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）；所以的最小值為；（3）由得，又因?yàn)?所以不等式化為，即，當(dāng)時(shí)，原不等式或若，原不等式此時(shí)原不等式的解的情況應(yīng)由與1的大小關(guān)系決定，故（1）當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；（2）當(dāng)時(shí)，不等式；（3）當(dāng)時(shí)，不等式 .綜上所述，不等式的解集為：當(dāng)時(shí)

15、，或；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故得解.23已知函數(shù)y=ax22a+1x+a+1(1)若a=2，解不等式y(tǒng)0；(2)若對(duì)于a2,2，函數(shù)值y<0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.【答案】(1)x|x1或x32；(2)x|1<x<32.【解析】(1)a=2，則y0，即2x25x+302x3x10，對(duì)應(yīng)拋物線開(kāi)口向上，不等式解集為“兩根之外（含兩根）”，所以y0的解集為x|x1或x32；(2)a2,2，ax22a+1x+a+1<0恒成立，將左邊代數(shù)式整理成關(guān)于a的式子，即x22x+1a+x+1<0，則左邊是關(guān)于a的一次函數(shù)，記作t=x22x+1a+x+1，題意變?yōu)閷?duì)a2,2，函數(shù)t=x22x+1a+x+1的函數(shù)值t<0恒成立由于一次函數(shù)圖象為一條直線，要使函數(shù)值t<0恒成立，則a=2和a=2時(shí)都有函數(shù)值t<0，得2x22x+1+x+1<02x22x+1+x+1<0，化簡(jiǎn)2x2+3x1<02x25x+3<0，解得x&l